Pai e Filho - Um diálogo filosófico e matemático

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Joel Faria de Abreu
Pai e Filho
Um diálogo filosófico e matemático
Uma monografia sobre ternos pitagóricos
1681²=(6!)² +1519²
Revisão RONALDO SANTIAGO
Ilustração Altamiro Ferreira da Costa
Projeto Gráfico, Capa e Diagramação TEREZA PIRES
Este livro é dedicado à minha esposa,
Eliane, aos meus filhos, Leandro e Letícia, e a todos os professores de Matemática.
Sumário
Prefácio......................................................................................................9
Introdução...............................................................................................15
I – Par ordenado, terno ordenado, e n-upla ordenada...............19
II – O conjunto Z............................................................................27
III – Sobre r, s ∈ Z...........................................................................35
IV – Ternos pitagóricos..................................................................45
V – Como pares ordenados geram ternos pitagóricos...............55
VI – Sobre (p, q) ∈ P1 e (a, b, c) ∈ T1............................................63
VII – Sobre (a, b, c) ∈ T1................................................................69
VIII – A infinitude dos conjuntos T, T1 e T2................................77
IX – Sobre as raízes da equação a4 = b4 + c4. ...............................85
X – Sobre n-uplas pitagóricas........................................................95
Epílogo...................................................................................................101
Prefácio
Matemática – divertida e curiosa, nas palavras de um divertido matemático e escritor brasileiro. Matemática – uma ciência meio
esotérica, só acessível a alguns iniciados, terror da grande maioria dos alunos do ensino médio e dos calouros das universidades.
Matemática – explorada como tema por muitos escritores, até mesmo por Walt Disney, que, na sua genialidade, entendeu de misturar
dois conceitos, imaginando uma terra chamada “Matemagicolândia”,
onde a Matemática e a magia se confundem. Nesse sentido, o consagrado cientista global Karl Sagan asseverava que, para o homem
comum, não há como distinguir a tecnologia da magia. Afinal, o que
é a Matemática?
Não temos como fugir do conceito de que a Matemática é
uma ciência, no sentido de resultado da soma sistematizada de conhecimentos históricos acumulados, passíveis de transmissão, com
sua inconfundível natureza de universalidade e objetividade. Mas
convenhamos que se trata de uma ciência um pouco diferente das
demais, dados o seu nível peculiar de abstração e a sua característica
de independência e descomprometimento com o pragmatismo, com
resultados concretos, aplicáveis. Todo professor de Matemática certamente já foi inquirido alguma vez: “Professor, para que serve isso?”,
“Professor, qual a utilidade daquilo?” Ora, todos sabemos que não se
produz Matemática com um objetivo prático em vista, mas como um
apuramento do exercício da inteligência humana na busca de critérios formais e lógicos que possam dar um respaldo seguro à busca do
conhecimento, qualquer que seja a área em que se deseja aprofundar
e sistematizar, com segurança, o entendimento dos profundos mistérios da natureza e da sociedade. Dentro desse enfoque, a Matemática
pode se confundir com uma linguagem. Uma linguagem muito especial. Uma linguagem científica.
Conheci Samir há mais ou menos treze anos, quando ele, extasiado, interrompeu uma aula de Álgebra Linear que eu ministrava numa
universidade em Brasília apenas para me informar em primeira mão
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que, finalmente, após séculos de tentativas, alguém havia demonstrado
o Último Teorema de Fermat. Como ele não conseguia, noticiando aos
brados a notícia, conter o seu entusiasmo, acabou contagiando os meus
alunos, que, espertamente, logo pegaram a deixa, interromperam a matéria e me exigiram a explicação da importância desse teorema. É claro
que o teste agendado para a aula seguinte foi adiado.
Na Matemática existem alguns fenômenos interessantes, singulares, e que provam inequivocamente como ela, mais do que qualquer
outra disciplina, é capaz de desafiar, seduzir e até mesmo subjugar o
espírito humano. Estamos hoje na era da informática e podemos nem
compreender direito por que razão alguns matemáticos do passado,
quando ainda sequer se imaginava a possibilidade de existência das
máquinas de calcular de hoje, dedicaram a sua vida inteira na busca
frenética do valor de pi com dez casas decimais, com vinte, depois cinqüenta, cem casas decimais... Milhares de matemáticos, ao longo dos
séculos, embranqueceram os cabelos tentando encontrar uma fórmula
para os números primos. O mesmo ocorreu com o Último Teorema
de Fermat. Como ninguém conseguia demonstrá-lo, surgiram vários
casos particulares do teorema, como para n igual a cinco, n igual a sete
etc., donde se pode compreender e perdoar Samir pelo seu incontido
entusiasmo, já que Andrew Wiles, um professor de Matemática, havia
demonstrado o teorema para qualquer n – a vitória sobre um desafio
que percorreu séculos e acabou até sacrificando vidas inteiras de matemáticos dedicados na busca da solução para o problema
O professor Joel Faria de Abreu, colega de muitos e muitos
anos, decidiu analisar com maior profundidade, depois de acumular uma sólida experiência no magistério, a natureza e as propriedades das n-uplas de números inteiros positivos. Quem está afeto ao
dia-a-dia do magistério, da repetição interminável da mesma matéria em turmas diferentes, ou em semestres diferentes, raramente tem
consciência da quantidade de pequenos detalhes que estão “escondidos” nessas n-uplas. Numa história divertida, o professor Joel vai
mostrando pouco a pouco essas propriedades intrigantes até chegar,
com uma facilidade fascinante, a uma demonstração simples e inteli-
Qualquer estudante de Matemática certamente sabe que o estudo sério da disciplina é difícil e árduo. É como se disse num certo
livro de fábulas: “não existe um caminho real (fácil, privilegiado) para
o aprendizado da Matemática”. Assim, um livro que trate desse assunto
não pode deixar de apresentar seus desafios intelectuais e formais, os
seus rigores naturais. O livro do professor Joel, apesar da leveza do texto,
não pôde fugir do formalismo exigido pela Matemática nas demonstrações, que, nós sabemos, são indispensáveis. Em Matemática, uma
proposição demonstrada – não tem erro! – é uma verdade incontestável. Em algumas ocasiões são relembrados alguns interessantes paradoxos que apenas endossam a visão de que a Filosofia e a Matemática
compartilham de uma fronteira muito tênue e indefinível.
Desta maneira, recomendo este livro não só aos professores,
mas também aos milhares de entusiastas da busca do conhecimento,
pessoas que, pelo fato de buscarem o conhecimento, certamente jamais excluiriam a Matemática de sua peregrinação intelectual.
Professor Waldemar Villas Bôas Filho
Pai e Filho
gível do Último Teorema de Fermat para n igual a quatro. Não é que
essa demonstração para n igual a quatro seja, inerentemente, muito
difícil, mas o autor consegue fazer isso de uma maneira muito simples e direta, qualidade que nunca encontrei em outras demonstrações do gênero. Mas o que conta mesmo, na minha opinião, não é a
demonstração em si, mas a quantidade de resultados intermediários
de muito valor e utilidade para os professores de Matemática, principalmente para os professores do ensino médio.
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Introdução
Dos ternos pitagóricos, (5, 4, 3) é, sem dúvida, o mais simples e
o mais conhecido. E é um terno pitagórico porque, como veremos no
capítulo IV, 52 = 42 + 32.
Também pode-se provar que (5, 4, 3) é o único terno pitagórico
que tem como coordenadas números sucessivos. Além disso, não por
coincidências, 4, 5 + 4 e 5 – 4 são quadrados, com a particularidade
de 5 + 4 = 32. Veremos neste livro que, assim como em (5, 4, 3), se (a,
b, c) é um terno pitagórico com b par e a, b e c, dois a dois, primos
entre si, então b é múltiplo de 4, a + b e a – b são primos entre si e
a + b e a – b são quadrados. A particularidade a + b = c2 se verifica
quando a – b = 1.
Demonstração
Se (a, b, c) é um terno pitagórico, então, por definição,
a2 = b2 + c2
a2 – b2 = c2
(a + b). (a – b) = c2
Para a – b = 1, tem-se:
( a + b) . 1 = c2
a + b = c2
Pode-se calcular, como veremos no capítulo V, uma infinidade
de ternos pitagóricos com b par e a, b e c, dois a dois, primos entre si,
bem como ternos pitagóricos com coordenadas tão grandes quanto
queiramos. Exemplo:
(154212504617, 3141592, 154212504585), ou
1542125046172 = 31415922 + 1542125045852.
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Esse exemplo foi construído de tal modo que a segunda coordenada do terno pitagórico fosse o número formado pelos sete primeiros algarismos do número π.
Vejamos outro exemplo. Porém, agora, uma quádrupla pitagórica:
(11811, 1414, 1610, 11615), ou
11811² = 1414² +1610² +11615²
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Observem também que 1414 é o número formado pelos quatro
primeiros algarismos de
Este livro tem como personagens: Sócrates, professor aposentado de Filosofia e Matemática; Samir, filho de Sócrates e estudante
de Matemática; Caboré, jovem curioso e zelador do bloco “B” da SQN
316; e (por que não?) um solitário bem-te-vi que cantava na mesma
árvore todas as manhãs. Caboré é apelido, visto que criava uma caboré como animal de estimação.
O livro narra histórias interessantes e divertidas.
“Ser interessante é suficiente para ser útil”.
O autor.
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