Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1 Aula 14: A Matemática Grega: Pitágoras e os Pitagóricos 17/04/2015 2 Pitágoras de Samos Aproximadamente 572 a.C. Discípulo de Tales de Mileto, fortemente influenciado pela Matemática Babilônica. 17/04/2015 3 Os Pitagóricos Fundou a “Escola Pitagórica” Filosofia centro de estudos religiosos, • Amor a sabedoria. científicos e filosóficos. Irmandade unida por ritos e cerimônias secretas. Matemática • O que é aprendido. Acreditavam que os números inteiros positivos são a causa das características do homem e da matéria. Tratavam a Matemática de maneira filosófica e abstrata, desvinculada dos problemas práticos. 17/04/2015 4 A Escola Pitagórica Teoria dos Números 17/04/2015 cálculos 5 Contribuição dos Pitagóricos Elevar a ciência dos números (Aritmética) e da Geometria à categoria das artes maiores. Estabelecer o princípio de que uma proposição científica deve ser totalmente convincente, isto é, verdadeiramente demonstrada. 17/04/2015 6 Contribuição dos Pitagóricos Classificação dos números pares e ímpares, primos e compostos, amigos, perfeitos e figurados Métodos geométricos para demonstrar identidades algébricas MDC e MMC 17/04/2015 Construção de figuras geométricas Demonstração do Teorema de Pitágoras Propriedades dos números inteiros Soma dos ângulos internos de um polígono Sólidos Regulares Tetraedro, cubo e dodecaedro 7 Classificação dos Números Acreditavam que uma das características principais das coisas reside no fato de elas poderem ser organizadas e distinguidas. • Aqueles que podem ser divididos em duas partes Números iguais, sem que uma unidade fique no meio. Pares • Ilimitado, mau, fêmea • Aqueles que não podem ser divididos em duas partes Números iguais, porque sempre há uma unidade no meio. Ímpares • Limitado, bom, macho 17/04/2015 8 Números Pares e Ímpares “número par é aquele que tanto pode ser dividido em duas partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em nenhuma destas divisões haja uma mistura da natureza par com a natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem uma única exceção, que é o princípio do par, o número 2, que não admite a divisão em partes desiguais, porque ele é formado por duas unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro número par, 2.“ (Luchetta, V. O. J. , 2000) 17/04/2015 10 = 5 + 5 10 = 7 + 3 10 = 6 + 4 11 = 8 + 3 11 = 5 + 6 11 = 9 + 2 Par Ímpar 9 Números Perfeitos • É aquele que a soma de seus fatores, com exceção Número dfdfd dele mesmo, é igual ao número. Perfeito • Exemplos: 6 = 1 + 2 + 3 e 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14 • É aquele que cuja não soma de seus fatores próprios é menor que o próprio número. Deficiente • Exemplo: 16 > 1 + 2 + 4 +8 Número • É aquele que cuja não soma de seus fatores próprios é maior que o próprio número. Excessivo • Exemplo: 30 < 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 Número 17/04/2015 10 Números Amigos Dois números são amigos se a soma dos fatores próprios de um é o outro. Exemplo: “Amigo é alguém que é o outro eu, tal como são 220 e 284.” Fermat (1636) descobriu que 17296 e 18416 são amigos. Euler (1740) descobriu 62 pares de números amigos. Paganini (1866) mostrou que 1184 e 1210 são amigos. 17/04/2015 11 Números Primos Um número natural 𝑝 ≠ 1 é chamado Número Primo se, e somente se, seus únicos divisores são 1 e p. Os gregos formalizaram a ideia de escrever números como produto de primos. Teorema Fundamental da Aritmética: Todo número natural maior que 1 pode ser decomposto de maneira única em um produto de números primos. 17/04/2015 12 Números Figurados eram Os pitagóricos observadores atentos de formas geométricas, foram os primeiros a chamar de Números Figurados os números que resultam de arranjos com pontos ou pedrinhas na areia de modo a formar figuras geométricas. Das configurações numéricas, os pitagóricos tiravam suas conclusões. 17/04/2015 13 Números Triangulares 𝑛+1 𝑇5 = 10 + 5 = 15 𝑇6 = 15 + 6 = 21 𝑇𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 − 1 + 𝑛 𝑛+1 17/04/2015 𝑛(𝑛 + 1) 14 𝑇𝑛 = 2 Números Quadrados Todo número quadrado é a soma de dois números triangulares consecutivos. 17/04/2015 15 Números Quadrados 12 + 3 = 22 22 + 5 = 32 32 + 7 = 42 42 + 32 = 52 (3,4,5) Esta terna era especial pois 3 representa o macho, 4 é a fêmea e 5 é o casamento que os une no triângulo 17/04/2015 pitagórico (retângulo). 16 Ternos Pitagóricos 𝑥3 (3,4,5) (6,8,10) (9,12,15) 𝑥2 ( 11,60,61) (12,35,37) (28,45,53) Quando a soma de dois números quadrados resulta em outro número quadrado, os três inteiros positivos formam um Terno Pitagórico. Há evidências que Babilônicos e Egípcios antigos conheciam alguns desses ternos, muito antes de Pitágoras. 17/04/2015 17 Vestígios de Ternos Pitagóricos na Tábua de Plimpton (1800 a.C.) A segunda coluna possui os valores da largura, ou seja, de um cateto b 17/04/2015 A terceira coluna são os valores da diagonal, ou seja, a hipotenusa c 18 O Teorema de Pitágoras Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos dois lados restantes. 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 17/04/2015 19 O Teorema de Pitágoras Este teorema indica que os gregos conseguiram estabelecer uma ligação abstrata entre os números e as figuras, o que representa um importante esforço intelectual. Também prova que tinham aprendido a demonstrar, e não apenas a persuadir, o que representa um considerável salto cognitivo. 17/04/2015 20 Outras contribuições dos Pitagóricos Números irracionais e discussão do problema da incomensurabilidade. Que será tratado juntamente com o “Problema da Medida” 17/04/2015 21 Bibliografia ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012. BOYER, C. História da Matemática, São Paulo : Edgard Blucher, 1974. EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 1997. Luchetta, V. O. J. Números pares e ímpares, Imática, 2000. disponível em < http://www.matematica.br/historia/parimpar.html > 17/04/2015 22