HM_14 - Unifal-MG

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Profa. Andréa Cardoso
UNIFAL-MG
MATEMÁTICA-LICENCIATURA
2015/1
Aula 14:

A Matemática Grega:
Pitágoras e os Pitagóricos
17/04/2015
2
Pitágoras de Samos

 Aproximadamente 572 a.C.
 Discípulo de Tales de Mileto, fortemente
influenciado pela Matemática Babilônica.
17/04/2015
3
Os Pitagóricos

 Fundou a “Escola Pitagórica”
Filosofia
centro de estudos religiosos,
• Amor a sabedoria.
científicos e filosóficos.
 Irmandade unida por ritos e
cerimônias secretas.
Matemática
• O que é aprendido.
 Acreditavam que os números inteiros positivos são a
causa das características do homem e da matéria.
 Tratavam a Matemática de maneira filosófica e
abstrata, desvinculada dos problemas práticos.
17/04/2015
4
A Escola Pitagórica
Teoria dos Números

17/04/2015
cálculos
5
Contribuição dos Pitagóricos

 Elevar a ciência dos números
(Aritmética) e da Geometria à
categoria das artes maiores.
 Estabelecer o princípio de que uma
proposição científica deve ser
totalmente convincente, isto é,
verdadeiramente demonstrada.
17/04/2015
6
Contribuição dos Pitagóricos

Classificação dos números
pares e ímpares, primos e compostos, amigos, perfeitos e figurados
Métodos geométricos para
demonstrar identidades
algébricas
MDC e MMC
17/04/2015
Construção de
figuras
geométricas
Demonstração
do Teorema de
Pitágoras
Propriedades
dos números
inteiros
Soma dos
ângulos
internos de
um polígono
Sólidos
Regulares
Tetraedro, cubo
e dodecaedro
7
Classificação dos Números

 Acreditavam que uma das características principais
das coisas reside no fato de elas poderem ser
organizadas e distinguidas.
• Aqueles que podem ser divididos em duas partes
Números iguais, sem que uma unidade fique no meio.
Pares
• Ilimitado, mau, fêmea
• Aqueles que não podem ser divididos em duas partes
Números iguais, porque sempre há uma unidade no meio.
Ímpares • Limitado, bom, macho
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8
Números Pares e Ímpares

“número par é aquele que tanto pode ser dividido em duas partes
iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em
nenhuma destas divisões haja uma mistura da natureza par com a
natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem uma única
exceção, que é o princípio do par, o número 2, que não admite a
divisão em partes desiguais, porque ele é formado por duas
unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro número par, 2.“
(Luchetta, V. O. J. , 2000)
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10 = 5 + 5
10 = 7 + 3
10 = 6 + 4
11 = 8 + 3
11 = 5 + 6
11 = 9 + 2
Par
Ímpar
9
Números Perfeitos

• É aquele que a soma de seus fatores, com exceção
Número

dfdfd dele mesmo, é igual ao número.
Perfeito
• Exemplos: 6 = 1 + 2 + 3 e 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14
• É aquele que cuja não soma de seus fatores
próprios é menor que o próprio número.
Deficiente • Exemplo: 16 > 1 + 2 + 4 +8
Número
• É aquele que cuja não soma de seus fatores
próprios é maior que o próprio número.
Excessivo • Exemplo:
30 < 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15
Número
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10
Números Amigos

 Dois números são amigos se a soma dos fatores
próprios de um é o outro.
 Exemplo: “Amigo é alguém que é o outro eu, tal como são
220 e 284.”
 Fermat (1636) descobriu que 17296 e 18416 são amigos.
 Euler (1740) descobriu 62 pares de números amigos.
 Paganini (1866) mostrou que 1184 e 1210 são amigos.
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11
Números Primos

Um número natural 𝑝 ≠ 1 é
chamado Número Primo se, e
somente se, seus únicos
divisores são 1 e p.
 Os gregos formalizaram a ideia de escrever números
como produto de primos.
 Teorema Fundamental da Aritmética: Todo número
natural maior que 1 pode ser decomposto de
maneira única em um produto de números primos.
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12
Números Figurados

eram
 Os
pitagóricos
observadores atentos de
formas geométricas, foram
os primeiros a chamar de
Números
Figurados
os
números que resultam de
arranjos com pontos ou
pedrinhas na areia de modo
a
formar
figuras
geométricas.
 Das configurações
numéricas, os pitagóricos
tiravam suas conclusões.
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13
Números Triangulares

𝑛+1
𝑇5 = 10 + 5 = 15
𝑇6 = 15 + 6 = 21
𝑇𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 − 1 + 𝑛
𝑛+1
17/04/2015
𝑛(𝑛 + 1)
14
𝑇𝑛 =
2
Números Quadrados

 Todo número quadrado é a soma de dois números
triangulares consecutivos.
17/04/2015
15
Números Quadrados

12 + 3 = 22
22 + 5 = 32
32 + 7 = 42
42 + 32 = 52
(3,4,5)
 Esta terna era especial pois 3 representa o macho, 4 é a
fêmea e 5 é o casamento que os une no triângulo
17/04/2015 pitagórico (retângulo).
16
Ternos Pitagóricos

𝑥3
(3,4,5)
(6,8,10)
(9,12,15)
𝑥2
( 11,60,61) (12,35,37)
(28,45,53)
 Quando a soma de dois números quadrados resulta
em outro número quadrado, os três inteiros positivos
formam um Terno Pitagórico.
 Há evidências que
Babilônicos e
Egípcios antigos
conheciam alguns
desses ternos, muito
antes de Pitágoras.
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17
Vestígios de Ternos Pitagóricos na
Tábua de Plimpton (1800 a.C.)

A segunda coluna possui os valores
da largura, ou seja, de um cateto b
17/04/2015
A terceira coluna são os valores da
diagonal, ou seja, a hipotenusa c
18
O Teorema de Pitágoras

 Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados dos dois lados
restantes.
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
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19
O Teorema de Pitágoras

 Este teorema indica que os
gregos conseguiram
estabelecer uma ligação
abstrata entre os números e as
figuras, o que representa um
importante esforço intelectual.
 Também prova que tinham
aprendido a demonstrar, e não
apenas a persuadir, o que
representa um considerável
salto cognitivo.
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20
Outras contribuições dos Pitagóricos

 Números irracionais e discussão do problema da
incomensurabilidade.
 Que será tratado juntamente com o “Problema da
Medida”
17/04/2015
21
Bibliografia

 ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da
matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
 BOYER, C. História da Matemática, São Paulo : Edgard
Blucher, 1974.
 EVES, H. Introdução à História da Matemática.
Campinas: Unicamp, 1997.
 Luchetta, V. O. J. Números pares e ímpares, Imática,
2000. disponível em
< http://www.matematica.br/historia/parimpar.html >
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22
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