Aula 2 - Continuidade

1. Continuidade
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Continuidade
Antes de atentar para esta definição,
consideremos a função cujo gráfico é o exibido na
figura acima. Esta figura identifica três valores de
x em que a função f não é contínua.
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
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Continuidade
1. Continuidade
1.Continuidade
2.Continuidade em um intervalo fechado
3.A função maior inteiro
4.Aplicação: juro composto
1. Em x = c1, f (c1 ) não é definida.
2. Em x = c2 , lim f ( x ) não existe.
x → c2
3. Em x = c3 , f (c3 ) ≠ lim f ( x ).
x → c3
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1. Continuidade
1. Continuidade
Em matemática, o termo “contínuo” tem
essencialmente o mesmo significado que na
linguagem cotidiana. Dizer que uma função é
contínua em x = c significa que não há interrupção
no gráfico de f em c. O gráfico de f não se parte
em c, e não há buracos, saltos ou lacunas.
Em todos os outros pontos do intervalo
(a, b), o gráfico de f se apresenta ininterrupto, o
que implica que a função f é contínua em todos os
outros pontos de (a, b).
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1
1. Continuidade
1. Continuidade
Exemplo 1: Discuta a continuidade das funções
seguintes:
Definição de continuidade
Seja c um número no intervalo (a, b) e seja f
uma função cujo domínio contém o intervalo (a, b).
A função f é contínua no ponto c se se verificam
as seguintes condições.
a. f(x) = x2 - 2x + 3
b. f(x) = x3 - x
1. f (c ) é definida.
2. lim f ( x ) existe.
x →c
Cada uma dessas funções é uma função
polinomial. Portanto, cada uma é contínua em toda a
reta real, como mostra a figura seguinte.
3. lim f ( x ) = f (c ).
x →c
Se f é contínua em todos os pontos do
intervalo (a, b), então é contínua no intervalo (a, b).
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1. Continuidade
1. Continuidade
Grosso modo, podemos dizer que uma função
é contínua em um intervalo se seu gráfico pode ser
traçado com papel e lápis sem levantar o lápis do
papel, conforme mostrado na figura acima.
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1. Continuidade
Continuidade das
funções racionais
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As funções polinomiais constituem um dos
tipos mais importantes de funções usadas no
cálculo. Observe, no gráfico acima, que o gráfico
de uma função polinomial é contínuo em toda a reta
real, não apresentando buracos, saltos ou lacunas.
Já, as funções racionais não são necessariamente
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contínuas em toda a reta real.
1. Continuidade
funções
polinomiais
e
Exemplo 2: Estude a continuidade das seguintes
funções.
das
a. f ( x ) =
1. Uma função polinomial é contínua em todo
número real.
1
x
b. f ( x ) =
x2 − 1
x −1
c. f ( x ) =
1
x2 + 1
Cada uma destas funções é uma função
racional e, assim, é contínua para todo número de
seu domínio.
2. Uma função racional é contínua em todo número
do seu domínio.
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2
1. Continuidade
2. Continuidade em um intervalo fechado
a. O domínio de f(x) consiste em todos os números
reais diferentes de x = 0. Por conseguinte, esta
função é contínua nos intervalos (- ∞, 0) e (0, ∞).
Definição
fechado
de
continuidade
em
um
intervalo
Seja f definida em um intervalo fechado
[a, b]. Se f é contínua no intervalo aberto (a, b) e
lim f ( x ) = f (a )
x →a +
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e
lim f ( x ) = f (b ),
x →b−
então f é contínua no intervalo fechado [a, b].
Além disso, f é contínua à direita em a e contínua
à esquerda em b.
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2. Continuidade em um intervalo fechado
1. Continuidade
b. O domínio de f(x) = (x2 – 1)/(x – 1) consiste em
todos os números reais diferentes de x = 1.
Portanto, esta função é contínua nos intervalos
(-∞, 1) e (1, ∞).
Podem se formular definições análogas para
abranger intervalos semi-abertos da forma [a, b) e
(a, b], ou intervalos infinitos. A função
f (x) = x
é contínua no intervalo infinito [0, ∞).
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1. Continuidade
2. Continuidade em um intervalo fechado
c. O domínio de f(x) = 1/(x2 + 1) consiste em todos
os números reais. Assim, esta função é contínua em
toda a reta real.
Exemplo 3: Estude a continuidade de
f (x ) = 3 − x
Note que o domínio de f é o conjunto de
(-∞, 3]. Além disso, f é contínua à esquerda em
x = 3 porque
lim f ( x ) = lim− 3 − x = 0 = f (3)
x → 3−
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x →3
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3
2. Continuidade em um intervalo fechado
2. Continuidade em um intervalo fechado
Para todo x ≤ 3, a função f satisfaz as três
condições de continuidade. Assim, podemos
concluir que f é contínua no intervalo (-∞, 3],
conforme mostra a figura abaixo.
lim g ( x ) = lim− (5 − x ) = 5 − 2 = 3
x → 2−
x →2
e
lim g ( x ) = lim+ ( x 2 − 1) = 22 − 1 = 3
x → 2+
x →2
Como os dois limites são iguais,
lim g ( x ) = g (2) = 3.
x →2
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2. Continuidade em um intervalo fechado
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2. Continuidade em um intervalo fechado
Assim, g é contínua em x = 2 e, consequentemente, é contínua em todo o intervalo [-1, 3],
como mostrado no gráfico abaixo.
Nota: Ao lidar com funções radicais da
forma
f ( x ) = g(x )
tenha em mente que o domínio de f coincide com a
solução de g(x) ≥ 0.
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2. Continuidade em um intervalo fechado
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3. A função maior inteiro
Exemplo 4: Discuta a continuidade de
Muitas funções utilizadas em aplicações à
administração são do tipo função escada, ou
função degrau. A função maior inteiro é um
exemplo de função escada. Esta função é
representada por
5 − x, -1 ≤ x ≤ 2
g( x ) =  2
 x − 1, 2 < x ≤ 3
As funções polinomiais 5 – x e x2 – 1 são
contínuas nos intervalos [-1, 2] e (2, 3],
respectivamente. Assim, para concluir que g é
contínua em todo o intervalo [-1, 3], basta
verificar o comportamento de g quando x = 2, o que
se pode fazer tomando limites unilaterais quando
x = 2.
x =
maior inteiro não superior a x.
Por exemplo,
−2,1 =
21
maior inteiro não superior a - 2,1 = -3
−2 =
maior inteiro não superior a - 2 = -2
1,5 =
maior inteiro não superior a 1,5 = 1
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4
3. A função maior inteiro
3. A função maior inteiro
Note que o gráfico da função maior inteiro
tem um salto de uma unidade para cada valor
inteiro. Isto implica que a função não é contínua
nos inteiros.
Note que, durante o primeiro turno de 8 horas,
x −1
= 0,
10.000
1 ≤ x ≤ 10.000,
o que implica

x −1 
C = 5.000  1 +
 + 3 x = 5.000 + 3 x
10.000 

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3. A função maior inteiro
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3. A função maior inteiro
Em aplicações da vida
função maior inteiro em geral
não-negativos de x. Em tais
serve para truncar a parte
exemplo, 1,345 é truncada
truncada para 3. Isto é
1,345 = 1
e
real, o domínio da
é restrito a valores
casos, esta função
decimal de x. Por
para 1 e 3,57 é
Durante o segundo turno de 8 horas,
x −1
= 1,
10.000
10.001 ≤ x ≤ 20.000,
o que implica

x −1 
C = 5.000  1 +
 + 3 x = 10.000 + 3 x
10.000 

3,57 = 3
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3. A função maior inteiro
3. A função maior inteiro
A figura abaixo mostra o gráfico de C. Note
as descontinuidades do gráfico.
Exemplo 5: Uma encadernadora produz 10.000
livros em um turno de 8 horas. O custo fixo por
turno é de $ 5.000,00, e o custo por livro é de
$ 3,00. Utilizando a função maior inteiro, podemos
escrever o custo da produção de x livros como

x −1 
C = 5.000  1 +
 + 3 x.
10.000 

Esboce o gráfico desta função custo.
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4. Aplicação: juro composto
4. Aplicação: juro composto
Os bancos e as instituições financeiras
diferem quanto à maneira de creditar os juros em
uma conta. Se o juro é creditado na conta de modo
que o juro futuro seja pago sobre o juro já
creditado, então o juro se chama composto.
Suponha, por exemplo, $ 10.000,00 depositados
em uma conta que paga juro de 6%, composto
trimestralmente. Como 6% é a taxa anual de juro,
a taxa trimestral é ¼ (0,06) = 0,015 ou 1,5%.
Abaixo é mostrado os saldos durante os cinco
primeiros trimestres.
Pelo gráfico abaixo, vemos que a função tem
uma descontinuidade em cada trimestre.
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4. Aplicação: juro composto
Trimestre
Saldo
1o
$ 10.000,00
2o
10.000,00 + (0,015)(10.000,00) = $ 10.150,00
3o
10.150,00 + (0,015)(10.150,00) = $ 10.302,25
4o
10.302,25 + (0,015)(10.302,25) = $ 10.456,78
5o
10.456,78 + (0,015)(10.456,78) = $ 10.613,63
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4. Aplicação: juro composto
Exemplo 6: Esboce o gráfico do saldo na conta
dada acima.
Seja A o saldo na conta e t o tempo, em
anos. Podemos utilizar a função maior inteiro para
representar o saldo, como segue
A = 10.000(1 + 0,015)
4t
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6