2ª Série

Mecânica
2007/2008
2ª Série
Questões:
1. Se a velocidade média é nula durante um intervalo de tempo ∆t e se v(t) é uma
função contínua, mostre que a velocidade instantânea se deve anular em algum
instante durante aquele intervalo. (Um esboço de x em função de t poderá ser útil
na sua explicação).
2. É possível ter uma situação em que a velocidade e a aceleração têm sinais
opostos? Em caso afirmativo, esboce um gráfico da velocidade em função do
tempo para comprovar a sua resposta.
3. Descreva uma situação em que a velocidade de uma partícula é perpendicular ao
seu vector posição.
4. Explique se as seguintes partículas têm ou não uma aceleração:
4.1. a partícula move-se em linha recta com o módulo da velocidade constante,
4.2. a partícula move-se ao longo de uma curva com o módulo da velocidade
constante.
5. Uma pedra, deixada cair do alto do mastro de um barco à vela, embaterá no
mesmo ponto da coberta quer o barco esteja parado ou em movimento com
velocidade constante?
6. Um projéctil é lançado na Terra com uma determinada velocidade inicial. Outro
projéctil é lançado na Lua com a mesma velocidade inicial. Desprezando a
resistência do ar, qual dos dois objectos tem o alcance máximo? Qual dos dois
atinge a maior altitude? (A aceleração da gravidade na Lua é 1.6 m/s2).
7. Um passageiro num comboio que viaja com velocidade constante deixa cair uma
colher. Qual a aceleração da colher relativa:
7.1. ao comboio?
7.2. à Terra?
Problemas:
1. Na figura 2.1 mostra-se o gráfico do deslocamento em função do tempo de uma
partícula que se move ao longo do eixo dos x. Determine a velocidade média nos
intervalos de tempo: a) 0 a 2 s, b) 0 a 4 s, c) 2 s a 4 s, d) 4 s a 7 s, e) 0 a 8 s.
14
12
10
x (m)
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
0
2
4
5
6
7
8
t (s)
Fig. 2.1
2. Este problema tem a ver com a conhecida fábula da lebre e da tartaruga. Uma
tartaruga rápida pode correr a 10.0 cm/s e uma lebre pode correr 20 vezes mais
depressa. As duas iniciam uma corrida ao mesmo tempo, mas a lebre pára para
descansar durante 2.0 min , e por isso a tartaruga ganha por um palmo (20 cm).
2.1. Quanto tempo dura a corrida?
2.2. Qual o comprimento total do percurso da corrida?
3. Uma partícula move-se ao longo do eixo do x de acordo com a equação
x = 2.0 + 3.0t − 1.0t 2 , onde x está em m e t em s. Determine para t=3 s:
3.1. a posição da partícula
3.2. a sua velocidade
3.3. a sua aceleração.
4. Um avião a jacto aterra com uma velocidade de 100 m/s e pode desacelerar a uma
taxa máxima de 5.0 m/s2 até parar.
4.1. A partir do instante em que ele toca na pista de aterragem, qual é o tempo
mínimo necessário para ele parar?
4.2. Pode este avião aterrar num aeroporto pequeno em que a pista tem 0.80 km de
comprimento?
5. Uma bala de 2.00 cm de comprimento é disparada directamente através de uma
tábua com 10.0 cm de espessura. A bala atinge a tábua com uma velocidade de
420 m/s e emerge dela com uma velocidade de 280 m/s.
5.1. Qual é a aceleração da bala através da tábua?
5.2. Qual é o tempo total de contacto da bala com a tábua?
5.3. Que espessura de tábua (calculada até à precisão de 0.1 cm) seria necessária
para parar a bala?
6. Uma mulher acrobata está sentada num ramo de uma árvore e deseja cair
verticalmente sobre um cavalo a galope que passa sob a árvore. A velocidade do
cavalo é 10.0 m /s, e a distâcia do ramo à sela á 3.0 m.
6.1. Qual deve ser a distância horizontal entre a sela e o ramo quando a mulher
cai?
6.2. Quanto tempo está ela no ar?
7. Um comboio pode minimizar o tempo t entre duas estações acelerando primeiro a
uma taxa a1=0.100 m/s2 durante um tempo t1, e desacelerando depois a uma taxa
a2=-0.500 m/s2 durante um tempo t2, utilizando os travões. Dado que as estações
estão afastadas apenas de 1.00 km, o comboio nunca atinge a sua velocidade
máxima. Determine o tempo de viagem t e o tempo t1.
8. Um peixe que nada num plano horizontal tem velocidade v0 = (4.0i + 1.0 j ) m/s
num ponto do oceano onde o seu vector posição em relação a uma rocha fixa no
porto é r0 = (1.0i − 4.0 j ) m. Depois do peixe nadar com aceleração constante
durante 20.0 s, a sua velocidade é v = (20.0i − 5.0 j ) m/s.
8.1. Quais as componentes da aceleração?
8.2. Qual a direção da aceleração em relação ao eixo do x?
8.3. Onde está o peixe no instante t=25 s e em que direcção se move?
9. As coordenadas de um objecto que se move no plano xy variam no tempo de
acordo com as equações: x = (−5.0 sin t ) m e y = (4.0 − 5.0 cos t ) m, onde t está
em s.
9.1. Determine as componentes da velocidade e da aceleração em t=0 s.
9.2. Escreva expressões para o vector posição, o vector velocidade, e o vector
aceleração para qualquer instante t>0.
9.3. Descreva a trajectória do objecto num gráfico xy.
10. O João está na base de um monte, enquanto o Pedro está 30 m acima na encosta
do monte. O João está na origem de um sistema de coordenadas xy, e a linha que
descreve a encosta do monte é dada pela equação y=0.4x, como se mostra na
figura 2.2. Se o João atirar uma maçã ao Pedro segundo um ângulo de 50° em
relação à horizontal, com que velocidade deve atirá-la para que aquele a apanhe?
y
vo
50º
x
Figura 2.2
11. O super-homem sobrevoa Paris ao nível do topo das árvores quando vê que um
elevador da Torre Eiffel começa a cair devido ao cabo se ter partido. A sua visão
de raios X diz-lhe que Lois Lane está lá dentro. Se o super-homem está a 1.00 km
da Torre Eiffel, e o elevador cai de uma altura de 240 m, quanto tempo tem ele
para salvar Lois, e qual deve ser a sua velocidade média.
12. Um jogador de futebol chuta uma pedra, horizontalmente, da borda de uma falésia
com 40.0 m de altura, para um lago de água. Se o jogador ouvir o som do "chape"
3.0 s depois do chuto, qual a velocidade inicial da pedra? Utilize para a velocidade
do som no ar o valor 343 m/s.
13. Uma pulga pode saltar verticalmente até uma altura h.
13.1. Qual é a distância horizontal máxima que ela pode saltar?
13.2. Qual o tempo que ela leva no ar nos dois casos?
14. Uma bola ligada à extremidade de um fio é posta a rodar no ar segundo uma
circunferência horizontal de raio 0.30 m. O plano da circunferência está 1.2 m
acima do chão. A corda parte-se e a bola aterra 2.0 m afastada do ponto no chão
directamente por baixo da sua posição quando a corda parte. Determine a
aceleração centrípeta da bola durante o seu movimento circular.
15. Um comboio trava ao contornar uma curva apertada, passando de 90.0 km/h para
50.0 km/h nos 15.0 s que demora a dar a curva. O raio da curva é 150 m. Calcule a
aceleração do comboio no momento em que a sua velocidade atinge o valor de 50
km/h.
16. A Joana, no seu Mercedes, acelera a uma taxa de (3.0i − 2.0 j ) m/s2 enquanto que
a Sofia, no seu Jaguar, acelera a (1.0i + 3.0 j ) m/s2. Ambas partem do repouso da
origem de um sistema de coordenadas xy. Passados 5 s
16.1. qual é a velocidade da Joana em relação à Sofia?
16.2. a que distância estão uma da outra?
16.3. qual é a aceleração da Joana relativamente à Sofia?
17. Um rio tem uma corrente de 0.500 m/s. Um estudante nada contra a corrente a
distância de 1.00 km e retorna ao ponto inicial. Dado que o estudante pode nadar
com a velocidade de 1.20 m/s em água parada, quanto tempo demora a sua
viagem? Compare este valor com o tempo que a viagem duraria se a água
estivesse parada.
18. Um barco atravessa um rio, de largura L=160 m, em que a corrente tem uma
velocidade uniforme de 1.50 m/s. O piloto mantem a direcção em que aponta o
barco perpendicular ao rio e uma velocidade constante de 2.0 m/s em relação à
àgua.
18.1. Qual a velocidade do barco relativamente a um observador parado na
margem?
18.2. A que distância abaixo, no sentido da corrente, da posição inicial está o barco
quando atinge a margem oposta?
19. Um carro viaja para leste com velocidade de 50.0 km/h. Está a cair chuva
verticalmente em relação à Terra. Os traços da chuva nas janelas laterais do carro
fazem um ângulo de 60.0° com a vertical. Determine a velocidade das gotas de
água da chuva relativamente:
19.1. ao carro
19.2. à Terra.
20. Um camião segue para norte com uma velocidade constante de 10.0 m/s numa
estrada horizontal. Um rapaz que vai na parte de trás do camião deseja atirar uma
bola enquanto o camião se move e apanhar a bola depois do camião ter percorrido
20.0 m. Despreze a resistência do ar.
20.1. Com que ângulo em relação à vertical deve a bola ser atirada?
20.2. Qual deve ser a velocidade inicial da bola?
20.3. Qual a forma da trajectória da bola vista pelo rapaz?
20.4. Um observador fixo no solo vê o rapaz atirar e apanhar a bola. Determine a
forma da trajectória da bola e a sua velocidade inicial para este observador.