Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo 1 DISPONIBILIDADE DE ENERGIA Neste capítulo será estudado a Segunda Lei da Termodinâmica sob vários aspectos: eficiência e otimização de máquinas térmicas, refrigeradores e entropia. Veremos que é possível transferir calor de uma fonte quente para uma fonte fria espontaneamente, mas o inverso é proibido pois viola a 2a lei. Estudaremos alguns ciclos de máquinas térmicas e seus respectivos rendimentos. 1 – Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica Uma máquina, por mais simples que seja, tem basicamente a finalidade de converter calor em trabalho. Sua representação está mostrada na Figura 1. A procura de máquinas procurando atingir o máximo de eficiência possível é a motivação de muitas pesquisas nesta área. Por eficiencia queremos dizer que a máquina desperdiça o mínimo de energia quando converte calor em trabalho. Você pode citar alguns exemplos? Tq Qq W Tf Qf Fig. 1 – Representação esquemática de uma máquina térmica. A máquina retira calor de um reservatório quente e parte deste calor é convertido em trabalho e parte é rejeitado para o reservatório frio. Fluido operante – é a substância que tem por finalidade absorver calor Qq de uma fonte quente a uma temperatura Tq , efetuar trabalho W e rejeitar calor |Qf| para um reservatório frio a uma temperatura Tf. Ele sempre opera em ciclo. Reservatório térmico – é um sistema ideal que pode fornecer ou receber calor sem que sofra modificação apreciável na sua temperatura. Isto equivale a dizer que a sua capacidade calorífica é enorme. Rendimento – o rendimento de uma máquina térmica é definido da seguinte maneira: ε= W Qq mas, como o fluido operante trabalha em ciclo, seu estado inicial é igual ao estado final, ou seja, ∆U = Uf – Ui = 0, assim, podemos escrever que o rendimento é dado por: ε= Qf W Qq − Q f = = 1− . Qq Qq Qq (1) Para que o rendimento seja de 100%, é necessário que todo calor absorvido seja transformado em calor. Enunciado de Kelvin-Planck para a 2a Lei da Termodinâmica – é impossível que uma máquina, operando em ciclo, receba calor de uma fonte quente e efetue uma quantidade equivalente de trabalho sem ceder calor para um reservatório frio. Exemplo: se uma máquina retira 250 J de um reservatório quente e realiza apenas 100 J de trabalho, quanto de calor foi “perdido” para o reservatório frio e qual o rendimento desta máquina? Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo 2 Qq = W + Qf ⇒ Qf = Qq – W ⇒ Qf = 250 – 100 ⇒ Qf = 150 J. ε = W / Qq = 100/250 = 0,4 ou 40%. 2 – Refrigeradores e Segunda Lei da Termodinâmica O refrigerador tem como finalidade retirar calor de um reservatório frio utilizando, para isto, uma quantidade de trabalho e depositar uma quantidade de calor Qq num reservatório quente. Para o refrigerador, utilizamos o valor de sua eficiência para saber o quanto ele é bom. Este Coeficiente de Eficiência (COE) é dado pela seguinte equação: COE = Qf / W, (2) onde Qf é a quantidade de calor que entra no fluido operante e W é o trabalho recebido pelo refrigerador. Podemos reescrever a Eq. (2) em função do calor que entra no reservatório quente Qq da seguinte maneira: COE = Qf Q q −Q f . (3) Obs: Tanto no rendimento quanto no COE, o calor considerado é aquele que entra no fluido (+) ou que sai do fluido ( - ), quando sai, procuramos usar o seu módulo. Tq Qq W Tf Fig. 2 – Representação esquemática de um refrigerador. Ele retira calor de um reservatório frio utilizando trabalho e descarrega o calor Qq num reservatório quente. Qf Enunciado da Segunda Lei da Termodinâmica segundo Clausius É impossível retirar calor de uma fonte fria e transferir completamente para uma fonte quente sem utilização de trabalho. 3 – Equivalência dos Enunciados de Kelvin-Planck e Clausius Os enunciados de K-P e Clausius para a 2a Lei são equivalentes. Se um é correto o outro também o é, e vice-versa. Suponha que o enunciado de K-P é falso, então: Prova: Considere um refrigerador acoplado com uma máquina térmica perfeita. Suponha que o refrigerador retire 100 J do reservatório frio e ceda 150 J ao reservatório quente. A máquina, por sua vez, retira 50 J de calor do reservatório quente e transforma totalmente em trabalho (suponha que isto é possível – naturalmente viola K-P). O resultado deste acoplamento é um refrigerador perfeito – viola Clausius. Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo 3 50 J 150 J 100 J reserv. quente + = 50 J 50 J reserv. frio 100 J 100 J Fig. 3 – Demonstração da equivalência entre o enunciado de K-P e Clausius para. Os valores são arbitrários mas tem que ter coerência. 80 J 130 J + 50 J = 50 J 50 J 80 J 80 J Fig. 4 – Outro exemplo da demonstração da equivalência entre o enunciado de K-P e Clausius para. Os valores são arbitrários mas tem que ter coerência. 4 – Máquina de Carnot Qual a eficiência máxima de uma máquina? Teorema de Carnot: “Nenhuma máquina térmica, operando entre dois reservatórios térmicos dados, pode ser mais eficiente do que uma máquina reversível que opere entre estes reservatórios” Animações detalhadas e com possibilidades de alterações nos parâmetros termodinâmicos de vários ciclos podem ser encontrados nos sites abaixo. Ciclo de Carnot – melhor máquina que pode existir. http://physics.uwstout.edu/physapplets/wang/raineyblueneptunecom/~xmwang/javappl/carnotC.html ou http://www.rawbw.com/~xmwang/javappl/carnotC.html ou http://www.lmm.fis.ufal.br/termodinamica/carnot/carnot.html (em português) Ciclo Otto – é o ciclo que descreve a combustão de um motor a gasolina http://physics.uwstout.edu/physapplets/wang/raineyblueneptunecom/~xmwang/javappl/ottoCyc.html ou http://www.rawbw.com/~xmwang/javappl/ottoCyc.html Ciclo Diesel – o nome já diz, descreve o ciclo de um motor a diesel http://physics.uwstout.edu/physapplets/wang/raineyblueneptunecom/~xmwang/mygui/DieselG.html ou http://www.rawbw.com/~xmwang/javappl/dieselCyc.html ou http://www.k-wz.de/motor/dieselms.html Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo 4 Condições de reversibilidade 1 – Não se pode perder energia mecânica em virtude de ação de forças de atrito ou dissipativas que produzem calor; 2 – Não pode haver condução de calor provocada por diferença de temperatura; 3 – O processo deve ser quase-estático de modo que o sistema está sempre em estado de equilíbrio, ou muito próximo deste. Prova do Teorema de Carnot Considere uma máquina de Carnot (rendimento máximo possível) trabalhando como refrigerador e acoplada a uma máquina com rendimento maior que a de Carnot. O resultado deste acoplamento é uma máquina perfeita, que viola o enunciado de K-P. Logo, nenhuma máquina pode ter um rendimento maior do que a máquina de Carnot. 150 J 150 J 150 J = + 50 J 50 J 100 J máquina de Carnot 60 J 90 J 100 J refrigerador de Carnot rendimento acima Carnot 10 J 10 J máquina perfeita Fig. 5 – Demonstração do Teorema de Carnot O Ciclo de Carnot no diagrama PV é mostrado na Figura 6. Cálculo do rendimento de Carnot O rendimento de uma máquina térmica é dado pela seguinte equação: ε= Qf W = 1− Qq Qq (4) onde Qq é a quantidade total de calor que entra na máquina e Qf é a quantidade total de calor que a máquina cede para o reservatório frio. Considere T1 = T2 = Tq e T3 = T4 = Tf. Mas Qq ≡ Q12 e Qf ≡ Q34. 2 Q12 = W12 = ∫ PdV = nRTq ln 1 V2 , V1 4 ∫ e Q34 = W34 = PdV = nRT f ln 3 pois ∆U12=0 V4 , pois ∆U12=0. Assim, V3 Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo 5 Qf Qq nRT f ln V3 V4 . nRTq lnV2 V1 = (5) Mas, num processo adiabático temos que: TV γ-1 = cte ⇒ TqV2 γ -1 = Tf V3 γ -1 ⎛ V2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ V1 ⎠ γ −1 ⎛V ⎞ = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝ V4 ⎠ γ −1 ⇒ TqV1 γ -1 = Tf V4 γ -1 e ⇒ V3 V2 = V4 V1 Levando a igualdade acima na Eq. (5), obtemos: Qf Qq = Tf Tq ⇒ ε = 1− Tf Tq . (6) CICLO DE CARNOT PRESSÃO Adiabáticas: 2 - 3 e 4 - 1 Isotérmicas: 1 - 2 e 3 - 4. Tq Tf VOLUME Fig. 6 – Diagrama PV para o Ciclo de Carnot com um gás ideal. Entre 1 e 2, calor entra no gás e realiza trabalho isotermicamente (∆U=0). De 2 para 3 a expansão ocorre sem transferência de calor (∆Q=0). De 3 para 4 o gás é comprimido isotermicamente perdendo calor para o meio (∆U=0) e para terminar o ciclo, o gás é comprimido adiabaticamente até o seu volume inicial (∆Q=0). 5 – Entropia É uma função de estado (só depende do estado final e inicial do processo) que está relacionada com o calor absorvido (ou cedido) pelo sistema e a temperatura em que este calor foi absorvido. Considere um processo reversível em que o gás a temperatura T, absorve uma quantidade de calor dQ. Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo 6 dQ sistema T Pela 1a Lei, temos: dQ = dU + PdV ou dQ = CV dT + nRT(dV/V) Ao integrar dQ, temos que a primeira parte do lado direito da equação acima não tem problema, pois, só depende da temperatura final e inicial, porém, a segunda parte (que é o trabalho) depende do caminho tomado para sair de um ponto para outro, logo, com um pouco de álgebra, obtemos a seguinte expressão: 2 T V dQ dT dV dQ = CV + nR ⇒∫ = CV ln 2 + nR ln 2 . T V T T1 V1 T 1 (7) A integral de dQ/T é a variação de entropia do sistema, ou seja, ∆S12 = S 2 − S1 = ∫ 2 1 dQ T Veja que, se entra calor no sistema, o dQ é positivo e a variação de entropia é positiva. Naturalmente se sai calor, a ∆S é negativa. Num ciclo completo e num processo reversível, ∆S12 = - ∆S21 . Se o processo não for reversível o cálculo da entropia é feito da seguinte maneira: substituir o processo por um reversível, e o cálculo pode ser realizado normalmente. Lembre-se que a entropia só depende dos estados inicial e final do processo. Os três exemplos a seguir são de fundamental importância para o entendimento do cálculo da entropia. Exemplo: Expansão adiabática livre. Este processo está longe de ser reversível pois, iniciado o processo, o gás jamais retornará ao seu estado (todo no lado esquerdo) espontaneamente. Assim, para o cálculo da entropia, considere um gás expandindo lentamente (por que?) de um volume V1 para um volume V2. O calor trocado neste caso é igual ao trabalho, pois, a expansão é isotérmica. Assim, ∆S = ∫ 2 1 2 dW 2 dV V dQ 1 2 =∫ = ∫ PdV = nR ∫ = nR ln 2 . 1 1 1 T T T V V1 Como o volume final é sempre maior que o volume do gás inicial, então a entropia é sempre positiva. Veja que variação de entropia negativa é impossível, pois, é impossível o gás do exemplo acima voltar a ocupar o volume V1 espontaneamente. Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo 7 Exemplo: Ponto de fusão Considere uma substância de massa m passando do estado sólido para o estado líquido. Seja Lf o seu calor latente de fusão. ∆S = ∫ 2 1 dQ mL f = . T Tf Exemplo: Gás expandindo num processo isobárico (P = cte). dS = Tf Vf dQ 1 dT dV . = (CV dT + PdV ) = CV + nR ⇒ ∆S = CV ln + nR ln T T T V Ti Vi mas como Pf = Pi , então nRT f Vf = T V nRTi ⇔ f = f , levando este resultado na equação acima, Vi T1 V1 obtemos: ∆S = CV ln Vf Vi + nR ln Vf Vi ⇒ ∆S = (CV + nR ) ln Vf Vi ⇒ ∆S = C P ln Vf Vi (8) ou ∆S = C P ln Tf Ti . (9) Todo este cálculo poderia ser feito de forma mais simples, vejamos: dS = dQ C P dT = T T ⇒ ∆S = ∫ Tf Ti C P dT T ⇒ ∆S = C P ln Tf Ti . Podemos enunciar a 2a Lei da Termodinâmica sob o ponto de vista da entropia, ou seja, “num processo reversível, a entropia do universo é zero”. Por universo entendemos sistema + vizinhança. Vamos discutir alguns exemplos. Exemplo: Expansão adiabática livre. Variação de entropia do universo = variação de entropia do gás + variação de entropia da vizinhança. ∆SU = ∆S S + ∆SV = nR ln V2 V + 0 = nR ln 2 > 0 V1 V1 Podemos então afirmar que num processo de expansão adiabática livre, o processo não é reversível. Num processo irreversível, a entropia do universo sempre aumenta. Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo 8 Exemplo: pedra de massa m caindo de uma altura h e colidindo inelasticamente com o solo. Considere como sistema o chão, a atmosfera e a pedra (sistema). Esta, ao cair, perde energia potencial em forma de energia cinética e ao colidir com o chão toda esta energia é transformada em calor, ou seja, Q = mgh. O sistema está isolado, logo a variação de entropia da vizinhança é nula. Assim, h Q mhg = . Como a variação de entropia do universo > 0, T0 T0 então o processo é irreversível. ∆SU = 6 – Entropia e Disponibilidade da Energia - Trabalho indisponível. O trabalho perdido num processo pode ser calculado a partir do valor da entropia do universo. Por trabalho perdido queremos dizer aquela energia que foi transferida de um reservatório para outro e que deixou de realizar trabalho devido ao fato da máquina não ter atingindo sua eficiência máxima. O trabalho perdido por uma máquina pode ser calculado a partir da seguinte expressão: Wperd = T ∆SU. (10) Aqui, a temperatura refere-se à temperatura do reservatório mais frio. Exemplo: Qual o trabalho perdido quando uma quantidade de calor flui de um reservatório quente para um reservatório frio? Tq ∆SU = ∆S q + ∆S f = − Q Q Tq + Q Tf ⎛ Q Q⎞ ⎛ Tf W perd = T f ⎜⎜ − + ⎟⎟ ⇒ W perd = Q ⎜⎜1 − ⎝ Tq T f ⎠ ⎝ Tq Tf ⎞ ⎟⇒ ⎟ ⎠ Q W perd = ε C Q onde εC é o rendimento de uma máquina de Carnot. Veja que este trabalho perdido é máximo pois, o rendimento de Carnot é máximo. Exemplo: Numa máquina de Carnot, qual o trabalho perdido? 400 K O rendimento desta máquina é: ε = 1 – Tf /Tq = 1 – 300/400 ou ε = 0,25. 100 J 25 J 400 K 75 J A variação de entropia do universo é: 100 75 ∆SU = ∆S q + ∆S f = − + = 0. 400 300 Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo 9 Diferentemente do exemplo anterior, podemos ver que nenhum trabalho é perdido na máquina de Carnot, que é uma máquina reversível, pelo fato desta possuir um rendimento máximo. Assim, podemos afirmar que: Num processo irreversível, uma quantidade de calor igual a ∆SU.T, fica indisponível para a realização de trabalho, onde T é a temperatura do reservatório mais frio disponível. No caso da pedra caindo, podemos ver que o trabalho perdido é T0 . mgh/T0 = mgh. Isto é a energia potencial sofrida pela pedra ao cair de uma altura h. Parte desta energia poderia ter sido convertida em calor, mas não foi. 7 – Entropia e Probabilidade A entropia mede o grau de desordem de um sistema e está relacionada com a probabilidade de ocorrência de estados do sistema. Isto significa que um estado bem ordenado, ou entropia pequena, tem pouca probabilidade de ocorrer. Ou seja, num sistema a entropia tende sempre a aumentar. Vejamos o seguinte exemplo: Um gás, ao expandir livremente para o dobro do volume, tem uma ∆S = nR ln2. A probabilidade deste gás voltar a ocupar o volume inicial é praticamente zero principalmente se o número de moléculas for grande. A probabilidade de uma quantidade n de moléculas ocupar espontaneamente apenas a metade do volume após se expande livremente é dada por: p = (1/2)N. Para n = 2 moléculas, há 4 possibilidades. Para n = 3, 8 possibilidades A tabela abaixo mostra alguns valores de p em função de n. N p 1 2 3 4 10 ½ 0,25 0,125 0,0625 1/1024 1023 0 Podemos entender esta probabilidade da seguinte forma: se o gás tem 10 moléculas, a cada 1024 segundos, estas moléculas ocuparão apenas a metade do volume que elas ocupam, ou seja, estarão todos num mesmo lado. Para o caso onde temos o gás saindo de um volume V1 para um volume V2, a probabilidade é dada por: Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo 10 N ⎛V ⎞ ⎛V ⎞ ⎛V ⎞ p = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⇔ ln p = N ln ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = nN A ln ⎜⎜ 2 ⎟⎟ , ⎝ V1 ⎠ ⎝ V1 ⎠ ⎝ V1 ⎠ (11) mas, a variação de entropia de uma expansão livre é dada por: ∆S = nR ln V2 V1 ou seja, p = NA ∆S/R Exercícios - Fonte: Tipler 4a edição volume 1 1) Um mol de um gás monoatômico sofre um aumento de pressão isocoricamente de P1 = 100kPa para P2 = 200 kPa. Depois ele sofre uma expansão isotérmica saindo de um volume V1,2 = 25 l para V3 = 50 l. Em seguida, é comprimido isobaricamente até seu estado inicial. Calcule: a) a temperatura em cada ponto; o calor trocado em cada processo do ciclo e c) o rendimento desta máquina. 2) Uma máquina de Carnot opera entre dois reservatórios cujas temperaturas são Tq = 300K e Tf = 200K. a) Qual o seu rendimento? b) Se forem absorvidos 100 J de calor do reservatório quente, por ciclo, que trabalho efetua esta máquina? b) Qual o COE desta máquina ao operar como refrigerador entres estes reservatórios? 3) Um mol de um gás ideal sofre, inicialmente, uma expansão livre de V1 = 12,3 l para V2 = 24,6 l a T1 = T2 = 300 K. O gás é então comprimido isotérmica e quase-estaticamente até atingir seu estado inicial. a) Qual a variação de entropia do universo neste ciclo? b) Que trabalho foi perdido no ciclo? e c) Mostrar que este trabalho é T∆Su. Exercícios propostos - Fonte: Tipler 3a edição volume 2. De 1 a 30, 36, 45 e 49 (motor a gasolina). 25/11/2008