Atividade: Números figurados Profa. Thaís

Atividade: Números figurados
Profa. Thaís
Bibliografia: Baron, M. E., Bos, H. J. M., Curso de História da Matemática: origens
e desenvolvimento do Cálculo. Editora Universidade de Brasília, 1985.
Embora possamos pensar hoje em dia em Pitágoras como um matemático, a escola
que ele fundou em Crotona na Itália tinha muito a ver com ritos religiosos, cerimônias de
iniciação e rituais de purificação; uma ordem estritamente monástica parece ter sido ditada
prescrevendo inclusive o vegetarianismo e o poder comum sobre as coisas. Os pitagóricos
também engajaram-se em atividades políticas e desenvolveram teorias relacionadas com o
poder e a responsabilidade daqueles que detinham o poder.
Podemos enumerar ao menos três razões que justifiquem a dificuldade de se perceber
a contribuição de Pitágoras à Matemática:
1. Virtualmente perderam-se todos os documentos da época;
2. Pitágoras fundou uma comunidade em que todo o conhecimento era partilhado por
todos.
3. Matemática era ciência e também parte de religião.
O papel central do número nesta escola, a distinguia de todas as outras. Dizia Aristóteles, muito tempo depois, que o número exercia para os pitagóricos o papel da matéria e
da forma do universo. Eles chamavam um ponto de um, uma reta de dois, uma superfície
de três e um sólido de quatro. O somatório de pontos gerava retas, o de retas, superfícies
e o de superfícies, sólidos; com os seus um, dois, três e quatro eles poderiam construir o
universo!
De acordo com Speusipo (século IV a.C.), os mais velhos seguidores de Pitágoras conheciam os números triangulares, quadrangulares e outros números poligonais. Na realidade,
a “figura” como um numeral teve origem na escola de Pitágoras.
Usando a notação moderna, teríamos:
• Os números triangulares são os números da forma
Tn = 1 + 2 + 3 + · · · + n.
• Os números quadrangulares são os números da forma
Sn = n2 .
• Os números retangulares são os números da forma
Rn = n(n + 1).
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T1
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··
T2
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··
···
T3
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S1
··
··
S2
· · ·
· · ·
· · ·
S3
1
··
R1
· · ·
· · ·
R2
· · ··
· · ··
· · ··
R3
Essa “brincadeira” de ver certas coleções de unidades geometricamente arrumadas nos
permite descobrir algumas propriedades dos números naturais. Por exemplo:
“A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2 ”
1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n2
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“A soma dos n primeiros números pares é igual a n(n + 1)”
2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 2n = n(n + 1)
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Estendendo essas construções para três dimensões, obtém-se pirâmides triangulares
(como somas de números triangulares), pirâmides quadradas (como somas de números
quadrados) e cubos.
Escrevendo 4 para pirâmide triangular, para pirâmide quadrangular e C para cubo,
temos:
41 = 1
43 = 1 + 3 + 6 = 10
1 = 1
3 = 1 + 4 + 9 = 14
C1 = 1
C3 = 33 = 27
42 = 1 + 3 = 4
44 = 1 + 3 + 6 + 10 = 20
2 = 1 + 4 = 5
4 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
C2 = 23 = 8
C4 = 43 = 64
Exercício 1. Usando a notação introduzida acima, complete a seguinte tabela, onde a
coluna extra marcada com E é a soma dos números cúbicos C:
2
n
1
2
3
4
5
T
1
3
S
1
4
4
1
4
R
2
6
C
1
8
1
5
E
1
9
Exercício 2. Usando sua tabela:
a) Expresse Sn + Cn em termos de Rn .
b) Expresse Tn + Sn + Cn em termos de n .
Exercício 3. Prove que a regra estabelecida no Exercício 2.b), Tn + Sn + Cn = 3n , é
equivalente à fórmula
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
.
k2 =
6
k=1
Na tabela do Exercício 1, adicionamos uma coluna extra (E) para determinarmos a
soma dos cubos. Você pode, pode inspeção, ver que, em cada linha, a soma dos cubos é
igual ao quadrado do número triangular naquela linha, ie,
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + ··· + n =
0.1
n(n + 1)
2
2
.
Considerações finais
Vimos que os números figurados constituem uma ferramenta útil para se estabelecer muitas
propriedades fundamentais dos números naturais e, em particular, nos permitiram escrever
as fórmulas
n
X
n(n + 1)
k=
2
k=1
n
X
k2 =
k=1
e
n
X
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
k3 =
n(n + 1)
2
2
.
Veja que não tratou-se de uma demonstração das fórmulas. Elas foram simplesmente
apresentadas como um método de descoberta que deve ter sido utilizado pelos pitagóricos.
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