Dissertação Eduardo Henrique Matos Maschio.

Universidade Federal do ABC
Centro de Ciências Naturais e Humanas
CONVERSÃO PARAMÉTRICA DE FREQUÊNCIAS EM ELETRODINÂMICA
QUÂNTICA DE CIRCUITOS
por
Eduardo H. M. Maschio
Orientador: Prof. Dr. Roberto M. Serra
Santo André, 2013
Universidade Federal do ABC
Centro de Ciências Naturais e Humanas
CONVERSÃO PARAMÉTRICA DE FREQUÊNCIAS EM ELETRODINÂMICA
QUÂNTICA DE CIRCUITOS
por
Eduardo H. M. Maschio
Trabalho apresentado como requisito parcial para obtenção
do título de Mestre em Ciências, na área de Física,
sob orientação do Prof. Dr. Roberto M. Serra
Santo André, 2013
Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, de acordo
com as observações levantadas pela banca no dia da defesa, sob responsabilidade
única do autor e com anuência de seu orientador.
Santo André,
de
Assinatura do autor:
Assinatura do orientador:
de 20
.
Às árvores utilizadas na produção das folhas de papel
pelas quais todo o trabalho foi desenvolvido.
Agradecimentos
Primeiramente, gostaria de agradecer ao Prof. Dr. Roberto M. Serra, ao Dr. Lucas Céleri e a
Pedro Guimarães, pois foram as pessoas fundamentais por trás de todo o processo, sem os
quais, não haveria este trabalho.
Agradeço profundamente a meus pais, Chico e Alba, a minha irmã, Amanda, a meus
avós, Manoel e Eurides, a Mariana, a meus tios, Ellen Paula e Fábio, Eduardo e Fernanda,
Flávia, Jesus e Silvia, Leonildo e Vanda, a meus primos Gabriela, João Lucas, Gabriel, Renan,
Ricardo, Cristiano, Luciene, Elisa e Maeli, pois, graças ao apoio e motivação recebidos no
caminhar desta árdua jornada, fui capaz de vencer os obstáculos.
Aos grandes amigos e irmãos, Marcelo Fiorin, Artur Sartoreto, Tiago Gimenes, Tiago
Fonseca, Marcos Assis, João Ricardo, Marília, Thiago Berti, Daniel Ruiz, Ana Luiza, Mariah,
Daniel López, Han Pang, Nina, Sabrina, Yang Lu, Bin Zhao, Hung Do, Jessica, Filipe Cajazeiras, Paulo Sloid, Taunai Segundo, Felipe Ribeiro, Tadeu Aquino, Schebna, Vicente Costa,
Bruno Raviolo, Maria Thereza, Bianca Akemi, Khalil Portugal, Jonas Maziero, Kaonan, Felipe Kopel, Bruno e Felipe Bartoloni, Cesar Villegas, Juliana Sato, Laos, Wagner, Ana Mioko,
Toshiro, Naira Mattia, Fabiano Yoschitaki, Samyr Abdulack, Athena, Inaiza Dinis, Paula Vendramini e Fabiana Ayumi, através dos quais cultivei todas as virtudes, amizade e admiração,
o meu sincero agradecimento.
Por fim, agradeço às agências de fomento, CAPES e CNPq, e à Universidade Federal do
ABC, pois somente através delas o trabalho intelectual foi desenvolvido e tornou-se realidade.
“Não há nada que atrapalhe mais
o desenvolvimento científico
do que o desejo de que ele
aconteça rápido demais. ”
Georg Lichtenberg
MASCHIO, Eduardo H. M. Conversão Paramétrica de Frequências em Eletrodinâmica
Quântica de Circuitos. 2013. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do ABC,
Santo André, São Paulo
Resumo
Conversões paramétricas de frequências são processos não-lineares geralmente realizados
no contexto óptico. Tais processos têm sido amplamente estudados, seja para testar fundamentos da Mecânica Quântica, ou seja para aplicações tecnológicas. Recentemente, circuitos
supercondutores têm recebido bastante atenção devido a possibilidades de se atingir regimes de acoplamento forte e ultra-forte da radiação com a matéria, além destes sistemas
apresentarem configurações robustas a ruídos e um ótimo controle sobre os estados quânticos.
Neste trabalho, apresentaremos uma proposta teórica para uma arquitetura de circuito
supercondutor capaz de realizar processos de conversão paramétrica de frequências. Uma
fundamentação sobre os principais objetos de estudo do trabalho é apresentada em detalhes, partindo da quantização da linha de transmissão supercondutora e avançando para os
átomos artificiais, o acoplamento entre a linha de transmissão e o átomo e os processos paramétricos. É discutido a arquitetura do circuito, composto de um átomo artificial acoplado a
duas linhas de transmissão, cujo protocolo original possibilita a obtenção tanto da Conversão
Paramétrica Descendente quanto da Conversão Paramétrica Ascendente, cada qual obtido
através da aplicação de um campo externo que gera uma frequência modulada específica
no átomo artificial. Este método versátil é apresentado e desenvolvido levando em conta
valores experimentais atuais. As aproximações efetuadas que levam as previsões analíticas
do método são confirmadas através de cálculos numéricos. Uma análise para estados coerentes iniciais sob a atuação do processo de conversão é feita, observando-se compressões
nas quadraturas para cada um dos modos de ambas as linhas de transmissão. Os resultados obtidos da analise numérica corroboram o método, possibilitando sua implementação
experimental com a tecnologia atual.
xi
Palavras-chave: eletrodinâmica quântica de circuitos, conversão paramétrica ascendente,
conversão paramétrica descendente.
MASCHIO, Eduardo H. M. Parametric Frequency Conversions in Circuit Quantum Electrodynamics. 2013. Master’s Dissertation. Universidade Federal do ABC, Santo André, São
Paulo
Abstract
Parametric frequency conversion is a non-linear process largely employed in the quantum
optics context. Recently superconducting circuits have been received considerable attention
due to the possibility to achieve a the so-called ultra-string-coupling regime, besides the robustness against noise and a great control of quantum states.
In this work, we introduce a theoretical proposal for a superconducting circuit setup to
perform parametric frequency conversion. Initially we present some fundaments about the
mains objects in our proposal, i.e., starting form the quantization of a superconducting transmission line, passing through artificial atoms and it’s coupling with the transmission line,
and finally reaching the parametric frequency conversion process. We discuss the proposed
architecture, composed by an artificial atom coupled to two transmission lines. Parametric
up and down conversion processes are obtained by a suitable choice of a pumping magnet filed applied to the artificial atom. The versatile method is presented and analyzed
taking into account realistic experimental parameters. The validity of the approximations
employed in the analytical derivations is verified by numerical calculations. Considering the
coherent state as an example of application of the technic we observe comprehension in the
fled quadrature and entanglement in the twin photons generated in the parametric down
conversion. The result of our analysis suggests that the proposal can be experimentally implemented with the currently available technology.
keyword: circuit quantum electrodynamics, parametric up-conversion, parametric downconversion.
Sumário
1 Introdução
1
2 Eletrodinâmica Quântica de Circuitos & Processos Paramétricos
5
2.1 Quantização da Linha de Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2 O qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3 Átomos Artificiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4 O Cooper Pair Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.4.1 Características do CPB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5 O transmon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.6 Acoplamento do ressonador com o qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.7 Ruídos em QED de Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.7.1 Tempo de relaxação T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.7.2 Tempo de defasamento T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.8 Não Classicalidade da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.8.1 Estado Coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.8.2 Estado Comprimido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Função de distribuição de quasi-probabilidade W q, p de Wigner . .
32
32
2.8.4 Critério de Inseparabilidade para Variáveis Contínuas . . . . . . . . . .
35
2.9 Processos paramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.9.1 Conversão Paramétrica Descendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.9.2 Conversão Paramétrica Ascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
xiv
xv
3 Engenharia de Hamiltonianos
41
3.1 O sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2 Conversão Paramétrica Descendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.3 Conversão Paramétrica Ascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4 Resultados e Análises
51
4.1 Conversão Paramétrica Descendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.2 Conversão Paramétrica Ascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5 Conclusão
63
A Teorema da Equivalência Óptica para Operadores na Ordenação Normal
66
Referências Bibliográficas
69
Lista de Figuras
2.1 Representação do circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2 Representação da linha de transmissão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3 Esquema pictórico de um circuito supercondutor em QED de circuitos. . . . .
10
2.4 Representação esquemática de um Cooper Pair Box. . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.5 Representação de um Cooper Pair Box. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.6 Dispositivo baseado em um SQUID de fluxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.7 Níveis de energia do Cooper Pair Box. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.8 Esquema do circuito do transmon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.9 Gráfico qualitativo da razão EJ /EC 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.10 Gráficos comparativos da razão EJ /EC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.11 Gráfico do tempo T2 de decoerência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.12 Gráfico do tempo T1 devido ao tunelamento de quasi-partículas versus a temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.13 Esquema do processo de conversão paramétrica de frequências. . . . . . . . .
38
3.1 Esquema da disposição das frequências no sistema e dessintonias. . . . . . . .
45
4.1 Gráfico do comportamento da frequência Ω(t) do qubit. . . . . . . . . . . . . .
52
4.2 Probabilidade de ocupação dos estados do qubit para PDC. . . . . . . . . . . .
54
4.3 Número médio de fótons do ressonador a e b para PDC, com estado coerente
com número médio de de 2 fótons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.4 Número médio de fótons do ressonador a e b para PDC, com estado coerente
com um número médio de 1 fóton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xvi
56
xvii
4.5 Gráfico da função de Wigner para estado coerente inicial de um número médio de 1 fóton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.6 Gráfico da função de Wigner para PDC para os modos a e b após evolução do
estado para g a t ≈ 53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.7 Gráfico da função de Wigner para PDC para os modos a e b após evolução do
estado para g a t ≈ 124. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.8 Variância ∆2 u + ∆2 v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.9 Função de Wigner para um estado coerente inicial com um número médio de
1 fóton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.10 Gráfico da função de Wigner para PUC para os modos a e b após evolução do
estado para g a t ≈ 106. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.11 Gráfico da função de Wigner para PUC para os modos a e b após evolução do
estado para g a t ≈ 160. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Lista de Tabelas
3.1 Valores típicos das frequências e parâmetros do sistema . . . . . . . . . . . . .
xviii
44
Capítulo 1
Introdução
Com a possibilidade de se resolver eficientemente problemas computacionais difíceis utilizandose algoritmos quânticos, como o algoritmo de Shor [1] introduzido em 1994, a Computação
Quântica e Informação Quântica ganharam especial atenção e um grande desenvolvimento
foi promovido nestas áreas de pesquisa desde então.
Em 1998, DiVincenzo introduz um conjunto de 5 critérios [2] que devem ser seguidos
para ser possível a construção de um computador quântico. Tais critérios ficaram conhecidos posteriormente como Critérios de DiVincenzo e são listados como sendo: 1) ter uma
forma de representação da informação quântica (por exemplo, um bit quântico, ou qubit);
2) ser possível implementar portas lógicas universais através de transformações unitárias;
3) preparar o estado inicial do sistema com alta fidelidade; 4) medir os resultados de saída;
e 5) o sistema deve possuir longos tempos de decoerência.
Uma das primeiras propostas para implementação de portas logicas quânticas em sistemas físicos tirou proveito da física bem estabelecida da Eletrodinâmica Quântica de Cavidades, que se utiliza de espelhos supercondutores altamente refletores, esquemas ópticos, lasers e átomos de Rydberg [3] para testar alguns fundamentos da Mecânica Quântica
[4, 5], da Informação Quântica, entre outros [6, 7]. Um pouco mais recente (na última
década), uma nova física começa a ser explorada, transladando os sistemas ópticos utilizados em Eletrodinâmica Quântica de Cavidades para o domínio de circuitos eletrônicos
(supercondutores). Tais circuitos são construídos utilizando a junção Josephson [8], sendo
1
esta, revisitada em alguns trabalhos pioneiros na investigação do comportamento dos pares
de Cooper desta junção, como o trabalho de Joyez et al. [9]. Começam, então a serem
investigadas as suas propriedades e a física destes circuitos supercondutores é amplamente
explorada. Trabalhos sobre a possibilidade de se preparar um estado quântico de dois níveis
(qubit), com circuitos supercondutores baseados em estados de carga, tornam-se mais frequentes, tais como os publicados por Bouchiat et al. [10] e Nakamura et al. [11]. O assim
chamado Cooper Pair Box passa a ser investigado e trabalhado com a premissa de que no
regime de carga haveria menos ruído se comparado com o dispositivo no regime de fluxo,
previamente investigado por Leggett [12]. Posteriormente, foram feitas investigações sobre
os efeitos dos diferentes tipos de regimes e um estudo sobre os diferentes tipos de ruídos,
desencadeando no desenvolvimento de vários dispositivos baseados na junção Josephson,
tais como: o quantronium [13], em 2002, o transmon [14], em 2007, e o fluxonium [15],
em 2009.
Juntamente com a crescente gama de qubits supercondutores, foram desenvolvidas arquiteturas, como a proposta por Girvin et al. [16], em 2009, que tornassem estes circuitos
escaláveis, viabilizando, assim, a construção de conjuntos de circuitos mais complexos de
modo a possibilitar um processador quântico com vários qubits. Outras arquiteturas interessantes foram desenvolvidas com as mais diversas finalidades, como a proposta por Kubo et
al [17] em 2011, sendo esta uma arquitetura híbrida contendo um qubit transmon acoplado
com um ressonador e um diamante, que faz o papel de memória quântica, armazenando a
informação do qubit. Não obstante, em Junho de 2011, a empresa canadense D-Wave anunciou a primeira venda do seu computador quântico composto por 128-qubits [18], apenas
duas semanas após a publicação de um trabalho do mesmo grupo sobre um sistema quântico
contendo oito qubits formados por uma cadeia de spins artificiais, estes sendo produzidos
através de um qubit de fluxo supercondutor [19]. Apesar de ainda serem alvo de dúvidas
e descrenças, o feito notável trouxe um divisor de águas para a computação quântica, mostrando que se está mais próximo da construção de um computador quântico do que era
imaginado.
Motivados pelo crescente aumento do interesse por circuitos supercondutores, propuse-
2
mos testar alguns dos efeitos bem conhecidos da Óptica Quântica nos circuitos supercondutores, utilizando uma arquitetura em um circuito capaz de realizar processos de conversões
paramétricas de frequências descendente e ascendente, apenas pela alternância de uma
frequência externa modulada aplicada diretamente no qubit, que se encontra acoplado capacitivamente a duas linhas de transmissão supercondutoras não interagentes entre si. Tais
processos de conversão de frequências são importantes para, por exemplo, a geração de fótons gêmeos e para implementação de protocolos de processos como o teleporte [20–22] e
de metrologia quântica [23, 24].
No Capítulo 2 apresentaremos a assim chamada Eletrodinâmica Quântica de Circuitos,
partindo da quantização do circuito LC e mostrando que uma linha de transmissão supercondutora é descrita por tal circuito quantizado, além de suas propriedades relevantes
comportarem-se como um oscilador harmônico, de modo análogo à cavidade em Eletrodinâmica Quântica de Cavidades. Apresentaremos uma descrição de um tipo não linear de
circuito LC, a junção Josephson , que é de fundamental importância para a construção de
um átomo artificial no contexto de circuitos supercondutores, sendo este último um dispositivo supercondutor macroscópico que possui propriedades análogas a de um átomo de dois
níveis. Dois tipos destes átomos artificiais, o Cooper Pair Box e o transmon, será feita, seus
limites de operação e uma breve discussão sobre os principais tipos de ruídos presentes no
transmon. O acoplamento da linha de transmissão e o átomo artificial é então desenvolvido.
Uma rápida revisão dos estados não-clássicos da luz, a função de Wigner, o critério de inseparabilidade para sistemas de variáveis contínuas e processos paramétricos será feita. Tais
tópicos são apresentados de maneira a abarcar uma compreensão intuitiva sobre os resultados obtidos da engenharia de Hamiltonianos.
No Capítulo 3 apresentaremos o protocolo proposto, constituído de duas linhas de transmissão não interagentes acopladas a um átomo artificial, com parâmetros e frequências
definidos via especificações experimentais atuais. Desenvolveremos em detalhes todas as
passagens matemáticas importantes, de forma a conter uma intuição dos passos seguidos,
até a obtenção dos Hamiltonianos efetivos para ambos os processos paramétricos: descendente e ascendente. A interpretação física em algumas passagens será elucidada de modo a
3
ser mantida a motivação do problema e não ser perdido o significado físico nas aproximações realizadas.
No Capíulo 4 discutiremos os resultados obtidos analiticamente e analisaremos os aspectos das aproximações feitas com os resultados obtidos via cálculo numérico, utilizando o
Hamiltoniano inteiro sem nenhuma aproximação. Tais resultados numéricos serão apresentados em forma de gráficos das populações dos estados fundamental e excitado e número
médio de fótons de ambas as linha de transmissão, para a conversão paramétrica descendente e ascendente, demonstrando o comportamento do estado quântico inicial sob a ação
do Hamiltoniano inteiro durante a sua evolução temporal. Discussões são levantadas em
cada gráfico, comparando-se o Hamiltoniano efetivo com os gráficos numéricos, mostrando
a validade das aproximações. Também são apresentados gráficos da função de Wigner para
ambos os modos de oscilação das linhas de transmissão para o estado quântico em diferentes tempos, como forma de mostrar o caráter quântico dos fótons gerados em cada linha de
transmissão. Por fim, é mostrado, através do critério de inseparabilidade, que de fato há o
emaranhamento entre os mesmos.
No Capítulo 5 revisaremos os aspectos importantes de cada capítulo, sumarizando-os em
conclusões e apresentaremos a conclusão do trabalho como um todo. Perspectivas futuras
e problemas em aberto serão brevemente listados e descritos.
4
Capítulo 2
Eletrodinâmica Quântica de Circuitos
& Processos Paramétricos
Neste capítulo serão tratados os aspectos básicos e fundamentos para a compreensão do trabalho desenvolvido. Partindo da quantização da linha de transmissão, será mostrado quais
as considerações necessárias para se ter um ressonador que possua excitações quantizadas.
Também desenvolveremos aqui o tratamento matemático deste sistema físico. Posteriormente, será discutido o átomo artificial, em particular uma classe de átomos artificiais construídos em sistemas de estado-sólido e baseados na junção Josephson, além de suas características e vantagens sobre outros tipos de átomos artificiais. Serão brevemente comentados
os tipos de ruídos presentes, a não-classicalidade da luz, os estados coerente e comprimido,
funções de quasi-probabilidade e de verificação da presença de emaranhamento. Por último,
o processo de conversão paramétrica de frequência em sistemas ópticos será rapidamente
descrito.
2.1
Quantização da Linha de Transmissão
Uma linha de transmissão em um circuito supercondutor pode ter seus modos normais de
vibração quantizados de forma análoga à quantização dos modos da radiação eletromagnética em uma cavidade em Óptica Quântica [25]. Este procedimento de quantização tem
5
o intuito de mostrar que a linha de transmissão pode fazer o papel de uma cavidade para
a construção de um sistema análogo a interação da radiação com a matéria (um átomo)
em um circuito supercondutor. Para tanto, será considerada uma linha de transmissão que
possua um comprimento muito maior do que suas outras dimensões e assim sendo aproximada como um ressonador unidimensional. Este ressonador será descrito basicamente
por um circuito LC e, como será mostrado, sua dinâmica pode ser expressa por meio de um
conjunto de osciladores harmônicos independentes [26].
Inicialmente será considerado o caso mais simples, onde o circuito LC consiste em apenas
um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C, que possuem um fluxo magnético Φ e carga Q associadas respectivamente a cada um dos componentes, como mostrado
na Figura (2.1).
Figura 2.1: Representação de um circuito LC. C é a capacitância do capacitor, L a indutância
do indutor, Φ o fluxo magnético do indutor, +Q e −Q as cargas acumuladas na placa do
capacitor e I a corrente que flui no circuito.
Uma vez que estamos interessados em descrever uma junção Josephson e este age como
um indutor não-linear, torna-se interessante definir então o fluxo magnético Φ como sendo
a coordenada generalizada do sistema e Φ̇ = V (t) como sendo sua velocidade, pode-se
escrever o Lagrangeano do sistema na forma [27]
L=
1
2
C Φ̇2 −
1
2L
Φ2 ,
(2.1)
p
onde a frequência de oscilação do sistema é dada por Ω = 1/ LC. Pode-se notar que o
6
momento conjugado da coordenada Φ é a carga Q, através da equação
Q=
∂L
∂ Φ̇
= C Φ̇ = C V.
(2.2)
Definido o fluxo magnético como coordenada, é interessante observar que na equação
(2.1), a energia cinética associada ao indutor será representada na forma de energia potencial e a energia potencial do capacitor será representada como uma energia cinética [27].
Esta escolha de variáveis ficará mais clara quando tratarmos do átomo artificial. Neste ponto,
podemos aplicar a regra canônica de quantização então, promovendo a variável Φ e seu conjugado canônico Q à operadores, que obedecem a relação de comutação
[Q̂, Φ̂] = −2iħ
h,
(2.3)
escrevendo o Hamiltoniano, pela transformada de Legendre H = QΦ̇ − L e usando 2.2,
obtém-se
Ĥ =
Q̂2
2C
+
Φ̂2
2L
.
(2.4)
Podemos notar aqui a semelhança com o Hamiltoniano para um oscilador harmônico.
Reescrevendo Φ̂ e Q̂ em termos dos operadores de criação ↠e aniquilação â bosônicos
definidos com
1
1
Φ̂ + p
Q̂,
â ≡ i p
2Cħ
hΩ
2Lħ
hΩ
1
1
↠≡ −i p
Φ̂ + p
Q̂,
2Cħ
hΩ
2Lħ
hΩ
(2.5)
(2.6)
que obedecem a relação de comutação [â, ↠] = 1, pode-se obter o Hamiltoniano (2.4) na
7
conhecida forma
‹

1
,
Ĥ = ħ
hΩ â† â +
2
(2.7)
de um Hamiltoniano quântico para um oscilador harmônico que oscila em frequência Ω.
Uma questão importante a ser levada em consideração, é a natureza deste quanta de
excitação. Há duas maneiras equivalentes e sem perda de generalidade para tratá-lo: podemos simplesmente considerar como um fóton em si, uma vez que há uma oscilação do
campo elétrico vinda do capacitor e uma oscilação do campo magnético vinda do indutor,
produzindo uma excitação do campo na forma de fóton (Figura 2.2); ou podemos considerála como uma excitação da voltagem quantizada, uma vez que os circuitos basicamente são
manipulados via voltagem. Para maiores discussões dos aspectos quânticos destes sistemas,
ver por exemplo, [26].
Figura 2.2: Representação esquemática da linha de transmissão. A região em cinza representa o ressonador e a região hachurada representa o terra. Devido ao acoplamento capacitivo nas extremidades da linha de transmissão, há o acumulo de cargas nesta região gerando
um campo elétrico entre a linha e o terra. O campo magnético por sua vez é produzido a
partir da região da linha de transmissão constituída por um indutor.
Escrevendo agora os operadores carga e fluxo em termos dos operadores bosônicos de-
8
finidos nas equações (2.5) e (2.6), temos
Q̂ = −iQ Z P F â − â†
Φ̂ = Φ Z P F â + ↠,
(2.8)
(2.9)
onde as variáveis Q Z P F e Φ Z P F são
QZPF
ΦZ P F
v
t 1
= (2e)
,
4πz
s
z
= Φ0
4π
(2.10)
(2.11)
e as variáveis z e Φ0 são
z ≡
Φ0 ≡
v
t L (2e)2
C
h
2e
h
,
,
(2.12)
(2.13)
onde 2e é a carga do par de Cooper, z é uma impedância característica adimensional, Φ0 é o
quanta de fluxo supercondutor. Q Z P F e Φ Z P F são a quantidade de carga e fluxo do primeiro
modo do circuito, respectivamente. O índice ZPF significa flutuação do ponto zero (do inglês
zero point fluctuation), de modo que Q Z P F e Φ Z P F sejam o valor mínimo de carga e fluxo
no vácuo, caracterizando propriamente a flutuação dos valores e obedecendo a relação de
incerteza mínima de Heisenberg, agora expressa em termos destas variáveis, na forma
Q Z P F ΦZ P F =
ħ
h
2
,
(2.14)
seja obedecida.
Para o desenvolvimento acima, foi considerado um circuito LC de apenas um indutor e
um capacitor. Porém, a linha de transmissão é melhor descrita por um conjunto contínuo de
indutores e capacitores acoplados, como esquematizado na Figura (2.3). Deste modo, é necessário realizar a quantização da linha de transmissão por uma abordagem contínua. Para
9
Figura 2.3: Esquema pictórico de um circuito supercondutor em eletrodinâmica quântica
de circuitos. A região central azul é representada pela linha de transmissão e suas bordas
são seu acoplamento capacitivo. As regiões azuis adjacentes são o ’terra’. A região em
verde é o qubit supercondutor acoplado à linha de transmissão, como um circuito LC de um
indutor não-linear. Em rosa, o primeiro modo de oscilação da linha de transmissão. Abaixo,
a representação em forma de circuitos do sistema como um todo. Figura reproduzida da
referência [28].
isso, consideremos que um ressonador pode ser representado por um contínuo de circuitos
osciladores LC unidimensional, de comprimento L, contendo uma densidade de corrente
j(x, t) e densidade de carga q(x, t) e serão desconsiderados os acoplamentos capacitivos
nas extremidades bem como o acoplamento com o qubit, neste primeiro momento. Seu
Lagrangeano clássico é então escrito na forma
L=
Z
L/2
dx
−L/2
l
2
j2 −
1
2c
q2 ,
(2.15)
onde l é a indutância por comprimento e c é a condutância por comprimento [28]. Definindo
uma variável θ (x, t) como sendo
θ (x, t) ≡
Z
x
d x 0 q(x 0 , t),
−L/2
10
(2.16)
pode-se reescrever o Lagrangeano (2.15) que assume a forma
L=
Z
L/2
–
dx
−L/2
l
2
θ̇ −
1
2
∂θ
2 ™
.
∂x
2c
(2.17)
Da equação de Euler-Lagrange para θ (x, t), resulta-se em uma equação de onda
∂ 2θ
∂ t2
− v2
∂ 2θ
∂ x2
onde a velocidade de onda é definida por v =
= 0,
p
(2.18)
1/l c. Uma solução geral para este tipo de
equação é expressa em termos de uma série de Fourier [29]. Assim, acrescentando as condições de contorno θ (L/2, t) = θ (−L/2, t) = 0, dadas pela ausência de carga nos extremos
do ressonador, pode-se inferir a solução como

v kimpar,cut o f f
k par,cut o f f
t2
X
X
kimpar πx
k par πx

.
θ (x, t) =
φkimpar (t) cos
+
φkpar (t) sin
L
L
L
k
=1
k =2
impar
par
(2.19)
Para comprimentos L finitos, a linha de transmissão age como um ressonador de frequências
múltiplas de k, i.e., ωk = kπv/L. O valor limite de corte das frequências, kimpar,cut o f f e
k par,cut o f f , é dado pelo limite das propriedades físicas do circuito, uma vez que sua faixa de
frequências deve ser considerada entre energias que estejam abaixo da energia de gap 2∆ do
supercondutor [27] (detalhes sobre algumas propriedades do supercondutor e da energia
de gap 2∆ são explanadas na seção sobre o átomo artificial). Uma vez que a linha de
transmissão é formada por um contínuo de osciladores LC desacoplados, pode-se substituir
a solução na equação (2.19) no Lagrangeano em (2.17) e este último toma a forma de um
Lagrangeano para um conjunto osciladores harmônicos independentes
L=
Xl
k
2
2
φ˙k −
1
2c
kπ
L
2
φk2 .
(2.20)
Promovendo a coordenada canônica φk e seu momento conjugado canônico Πk = l φ˙k
11
a operadores e definindo a relação de comutação
[φ̂k0 , Π̂k ] ≡ 2iħ
hδk0 ,k ,
(2.21)
obtém-se o Hamiltoniano quântico para o referido circuito
Hˆ =
X 1
k
2l
Π̂2k (t) +
1
2c
kπ
L
φ̂k2 (t).
(2.22)
que pode ser reescrito em termos dos operadores bosônicos de criação e aniquilação âk† e
âk , respectivamente, satisfazendo a relação de comutação [âk , âk†0 ] = δkk0 , em termos dos
operadores φ̂k e Π̂k na forma
v
tħ
hωk c L
[âk (t) + âk† (t)],
2 kπ
v
tħ
hωk l
Π̂k (t) = −i
[âk (t) − âk† (t)],
2
φ̂k (t) =
(2.23)
(2.24)
onde, por fim, o Hamiltoniano (2.22) torna-se
H =
X
ħ
hωk

ak† ak
+
k
1
‹
2
.
(2.25)
Devido a utilização de apenas um modo do ressonador, geralmente sendo a frequência
mais próxima da frequência de transição do qubit, pode-se construir um ressonador com
esta configuração e assim torna-se possível escrever o Hamiltoniano em termos de apenas
uma frequência, na forma

†
H =ħ
hω r a a +
1
2
‹
,
(2.26)
onde ω r é a frequência relevante para o estudo da dinâmica de um sistema tipo átomocavidade [30].
12
2.2
O qubit
Um sistema quântico de dois estados (ou níveis) distinguíveis é denominado qubit (bit quântico) em Ciência da Informação Quântica, devido à sua analogia com sistemas clássicos de
Computação e Informação [31]. É importante ressaltar que o qubit possui uma conotação
tanto de objeto matemático abstrato (unidade de informação) quanto de um sistema físico
(sistema que codifica a informação). Este trabalho será focado no qubit como um sistema
físico e representado como uma certa classe de qubits baseados em circuitos supercondutores.
De átomos de Rydberg [3] aos átomos artificiais, há uma grande variedade de sistemas físicos utilizados como qubits [32]. Átomo artificial é uma nomenclatura geralmente
atribuída a estruturas mesoscópicos cujas propriedades de interesse podem ser aproximadas às propriedades de um único átomo. Dentre eles, há um tipo utilizado como qubit que
tem despertado crescente interesse: qubits supercondutores baseados em junção Josephson
[33, 34]. Qubits supercondutores são componentes mesoscópicos que apresentam propriedades quânticas necessárias para desempenharem o papel de um sistema quântico de dois
níveis. Tais sistemas possuem níveis de energia quantizados e uma certa anarmonicidade
intrínseca associada, que é responsável pela diferenciação entre dois níveis de energia vizinhos, dando-lhe o desejado caráter de átomo artificial. Nas próximas seções serão discutidos dois destes sistemas supercondutores capazes de codificar qubits baseados na junção
Josephson: o Cooper Pair Box (CPB) [9, 10, 35] e o transmon [28].
2.3
Átomos Artificiais
Nesta seção será discutido brevemente algumas propriedades da supercondutividade, uma
descrição sobre a junção Josephson e a relação de ambas com o átomo artificial. A junção Josephson é um componente feito a partir de uma sobreposição entre duas partes de alumínio
separadas por uma fina barreira de um óxido [36], de maneira que permita o tunelamento
de partículas ou quasipartículas por entre a junção para as partes supercondutoras de alumínio resfriado abaixo da sua temperatura crítica [37]. Com a finalidade de explicar o conceito
13
de funcionamento desta junção, consideremos duas caixas metálicas supercondutoras separadas por uma junção de tunelamento e que cada caixa possua um número par de elétrons
ou apenas pares de Cooper. Os pares de Cooper são pares de elétrons ligados via uma troca
virtual de fônons [38], efeito explicado pela teoria BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer) de supercondutividade a baixas temperaturas1 . Devido aos efeitos da supercondutividade, em
cada caixa há apenas um estado fundamental que se encontra separado de um contínuo
de estados excitados por um gap de energia 2∆, tipicamente da ordem de vários Kelvin de
temperatura (energia ħ
hω em unidade de kB T ), quantidade esta de energia necessária para
a quebra do par de Cooper. Se o sistema for resfriado a algumas centenas de mK e a frequência de transição ω para estados excitados é da ordem de uma dezena de GHz, nesta
situação não haverá excitações dos elétrons e consequentes quebras de pares de Cooper.
Pode-se então reduzir o espaço de Hilbert dos elétrons de modo a obter-se apenas um único
estado, |N ⟩, definido pelo número total de pares em ambas as caixas. No entanto, apenas
este número N não define um estado quântico único. Será necessário, então, escrever o
estado como número de pares transferidos de um eletrodo para outro. Assim, tem-se
|m⟩ = NE − m, ND + m ,
(2.27)
onde NE é o número inicial de pares na caixa à esquerda, ND é o número inicial de pares
à direita e m o número de pares que atravessaram a junção da esquerda para a direita. A
Figura 2.4 apresenta uma representação pictórica resumindo as considerações apresentadas
acima.
Pode-se inferir neste sistema que a descrição de um sistema quântico de m estados, uma
vez que pode-se transferir m pares de um lado para o outro. Se desconsiderarmos efeitos
coulombianos de interação entre os pares e apenas nos atentarmos ao efeito dos pares sendo
transferidos de uma caixa para a outra, é notável a semelhança com o modelo de Ising
[39] ou de Tight-binding [40]. Podemos então escrever um Hamiltoniano efetivo para este
comportamento na forma
1
Para mais detalhes sobre a teoria BCS, veja a referência [38]. Também há livros-textos sobre Supercondutividade úteis para um entendimento mais detalhado, como por exemplo Introduction to Superconductivity, M.
Tinkham, 1996, McGraw-Hill.
14
Figura 2.4: Representação pictórica de uma sistema de duas caixas contendo pares de Cooper, NE pares à esquerda e ND pares à direita, inicialmente. O número m é o número de
pares que atravessaram a junção de tunelamento da esquerda para à direita. O gap de energia entre o estado fundamental e o contínuo de estados excitados é 2∆, muito maior do que
as energias envolvidas entre os pares de elétrons e a energia térmica do sistema (resfriado
a mK), mantendo assim, os pares sempre no estado fundamental.
Ĥ tunel. = −
EJ X
{|m⟩ ⟨m + 1| + |m + 1⟩ ⟨m|},
2 m
(2.28)
onde a energia EJ é a energia de acoplamento de Josephson, proporcional à densidade de
corrente de Josephson, definida por
v

u
2
∆
1
t
JS =
∆1 K  1 − 12  ,
RN
∆2
(2.29)
com R N = 2πh/e2 T̄ sendo a resistência de estado normal, ∆1 e ∆2 sendo as energias dos
€q
Š
1 − ∆21 /∆22 sendo uma função dependente da energia de ambos
gaps de cada caixa e K
os gaps. Quando ambas as caixas possuem o mesmo gap, K(0) = π/2, a energia EJ torna-se
diretamente proporcional a energia do gap [41]. Para um entendimento mais aprofundado
e formal sobre o comportamento do tunelamento dos pares de Cooper na junção Josephson,
há duas referências que podem ser consultadas [8, 41].
Pode-se escrever as autofunções (não normalizadas) do Hamiltoniano da equação (2.28)
15
em termos da base {|m⟩}, na forma de ondas planas, como
+∞
X
ϕ =
e imϕ |m⟩.
(2.30)
m=−∞
Atuando o Hamiltoniano (2.28) nesta autofunção, obtém-se
Ĥ tunel. ϕ = −EJ cos ϕ̂ ϕ .
(2.31)
A energia da junção Josephson nesta base é definida então como
E tunel. = −EJ cos ϕ .
2.4
(2.32)
O Cooper Pair Box
O Cooper Pair Box (CPB) é um átomo artificial que funciona no regime de carga constituído
por um eletrodo (ou ilha supercondutora) conectado a um reservatório de portadores de
carga (pares de Cooper) via uma junção Josephson [36], como esquematizado na Figura
2.5. A junção Josephson é o componente chave do CPB, permitindo a passagem dos pares
de Cooper através do tunelamento, como discutido na seção anterior, tornando o CPB efetivamente em um sistema quântico de dois níveis [11]: define-se este último pela ausência ou
presença de um par de Cooper extra na ilha. Existem duas maneiras de se causar a transição
de um estado para o outro: i) ao se aplicar uma voltagem do porta no CPB, induzindo o
tunelamento de um par de Cooper entre a ilha e o reservatório; e ii) aplicando-se um fluxo
magnético externo sobre o qubit de carga, quando o mesmo é constituído por um SQUID
(do inglês superconducting quantum interference device) de fluxo no lugar de uma simples
junção Josephson [33], como apresentado na Figura 2.6.
O Hamiltoniano do CPB é então escrito em termos de uma energia eletrostática gerada
pela contribuição das cargas situadas na ilha (devido a voltagem externa aplicada) e uma
energia de tunelamento da junção Josephson. Adicionalmente, a energia de carga sofre um
incremento gerado devido a presença de um porta acoplado no qubit, que gera o efeito de
16
Figura 2.5: Representação pictórica de um CPB. O CPB possui uma ilha supercondutora
(cinza claro, em inglês superconducting island) e um reservatórios de pares de Cooper (cinza
claro, em inglês superconducting reservoir) conectados via uma junção Josephson (cinza escuro). A energia potencial de tunelamento EJ , bem como a capacitância da junção CJ , do
porta C g e a voltagem da porta Vg são mostrados abaixo, no esquema do circuito. Figura
reproduzida da referência [42].
uma carga de deslocamento. Deste modo, o Hamiltoniano pode ser escrito na forma [28]
Hˆ = 4EC n̂ − n g
2
− EJ cos ϕ̂ ,
(2.33)
onde EC = e2 /2C é a energia Coulombiana de carga; n = −q/2e é o operador número de
excesso de cargas dos pares de Cooper na ilha; n g ≡ C g Vg /2e é a carga de deslocamento
efetivo, causada pelo porta acoplado; EJ é a energia Josephson; e ϕ = φ/Φ0 é o operador
de fase quantizada que corresponde à diferença de fase entre a junção e a região supercondutora (onde Φ0 é o quanta de fluxo supercondutor). Uma vez que os operadores n̂ e ϕ̂ são
conjugados canônicos quânticos, devem obedecer então a relação de comutação [30]
2.4.1
e i ϕ̂ , n̂ = −e−iϕ .
(2.34)
Características do CPB
Como ambos CPB e SQUID são átomos artificiais em que se codifica a informação essencialmente no portador de carga extra na ilha, diz-se que são qubits que operam no regime de
17
Figura 2.6: Esquema de um dispositivo baseado em qubit de carga construído com um
SQUID de fluxo. Foram adicionadas duas junções Josephson conectadas via a ilha supercondutora e o reservatório de cargas. Através do SQUID é possível aplicar um fluxo magnético
externo de modo a alternar a energia de tunelamento da junção. Figura reproduzida da
referência [33].
carga. As características que o mantêm operando neste regime são dadas pela razão entre
a energia de carga EJ e a energia de tunelamento EJ ser tal que
EJ
EC
® 1,
(2.35)
além de necessariamente se encontrar no regime de degenerescência de carga, também
chamado de sweet spot, onde a carga de deslocamento n g deve assumir um valor inteiro [36]
(em algumas representações, no entanto, assumindo o valor semi-inteiro [28, 33]). Ambos
os regimes estão intrinsecamente correlacionados, uma vez que, operando em EJ /EC ® 1,
o gap de energia entre dois estados adjacentes é bem distinguível dos demais estados e
a escolha adequada de n g faz com que seja possível alcançar este estado de superposição
entre ambos. Assim, é possível excluir outros estados indesejados (Figura 2.7) e, utilizando
a definição de estado da equação 2.27 ( com m = 0 e m = 1), transforma-o propriamente
em um qubit, cujos estados fundamental g e excitado |e⟩ são definidos, como
|0⟩ + |1⟩
g ≡ p
;
2
|e⟩ ≡
18
|0⟩ − |1⟩
.
p
2
(2.36)
Figura 2.7: Os níveis de energia do CPB em termos da quantidade de pares extras na ilha.
Os estados são definidos por |n⟩, onde n é o número de pares de Cooper adicionais na ilha.
As linhas pontilhada e tracejada mostram os níveis de energia dos estados |0⟩ e |1⟩. As linhas
cheias coloridas mostram as energias quando EJ = EC . Na região n g = 1, a energia do gap
entre dois estados adjacentes (fundamental e primeiro excitado) é distinguível da energia
dos demais estados. Figura reproduzida e adaptada da referência [36].
2.5
O transmon
O transmon é essencialmente um qubit de carga constituído por um SQUID e é adicionado
em paralelo um capacitor de capacitância CB , tão grande quanto a capacitância C g do porta,
como mostrado na Figura 2.8.
Diferentemente do CPB, que opera no regime EJ /EC ® 1, o transmon opera num regime
EJ /EC > 1 (essencialmente EJ /EC 1). Seu Hamiltoniano é escrito quase como o Hamiltoniano do CPB, na equação (2.33), porém, devido ao SQUID, a energia Josephson sofre
uma mudança e o Hamiltoniano é escrito na forma [14]
Ĥ = EC n̂ − n g
2
−
EJ0 cos
Φ
cos ϕ̂ ,
π
Φ0 (2.37)
onde EJ = EJ0 cos πΦ/Φ0 , com Φ sendo o fluxo magnético externo aplicado e Φ0 sendo o
quanta de fluxo magnético, da equação (2.13). O termo do cosseno vem do fato de haver
duas junções Josephson, no circuito do SQUID [33]. Pode-se fazer uma analogia entre o
transmon e um sistema de um pêndulo simples em pequenas oscilações. A energia EJ seria
19
Figura 2.8: Esquema do circuito do transmon. O SQUID representado no circuito entre os
nós a e b com uma energia Josephson EJ e um fluxo externo Φ aplicado. Um capacitor de capacitância adicional CB em série com o SQUID ligados ao capitador do porta de capacitância
C g conectados a uma voltagem Vg . Reproduzido da referência [30].
a energia potencial devido à força peso e a energia EC seria a energia cinética. Assim, o
termo EJ cos ϕ fica razoavelmente equivalente a um oscilador harmônico para os primeiros
estados de energia, como mostrado na Figura 2.9.
Figura 2.9: Gráfico qualitativo da consequência da razão EJ /EC 1. Quando EJ EC ,
pode-se fazer uma aproximação de pequenas oscilações, tornando o termo EJ cos ϕ (azul)
equivalente a um oscilador harmônico (roxo) para os primeiros estados de energia. No eixo
x está a fase ϕ e eixo y o módulo quadrado da função ψ do oscilador harmônico. São
mostrados o estado fundamental (cinza) e o primeiro excitado (verde).
As características que fazem do transmon uma boa escolha para codificar o qubit do
sistema são o fato do mesmo possuir robustez contra a decoerência e o ruído de carga e
ainda assim manter a anarmonicidade necessária, esta última sendo importante para ser
20
tratado como um sistema quântico de dois níveis [14], como observados nas Figuras 2.10
e 2.11. Com o aumento da razão EJ /EC , não se torna mais necessário a utilização do qubit
Figura 2.10: Os gráficos mostram os três primeiros níveis de energia do transmon, pela
razão entre a energia do m-ésimo nível com o primeiro, i.e. E01 , e n g . Pode-se observar que
com o aumento da razão EJ /EC , não é mais necessário operar no ponto de degenerescência
de caraga (do inglês, sweet spot), como o CPB. Mesmo assim, ainda é possível observar uma
anarmonicidade, diferenciando os gaps de energia dos pares de estados adjacentes.
no regime de degenerescência de carga, i.e. n g = 0.5 (para o caso da Figura 2.10 ), e
mesmo assim ainda observa-se uma anarmonicidade entre os gaps de energia dos pares de
estados adjacentes, necessária para se obter um qubit. Esta anarmonicidade é comentada
rapidamente abaixo.
Quantitativamente, fazendo a aproximação para pequenas oscilações, pode-se expandir
o Hamiltoniano (2.33) que torna-se
Ĥ ≈ 4EC n̂2 − EJ +
EJ
2
ϕ̂ 2 −
EJ
24
ϕ̂ 4 + . . . .
(2.38)
Será desconsiderado o termo de degenerescência de carga n g do transmon a partir de agora,
por este apresentar um valor muito pequeno para o transmon [30]. O primeiro e terceiro
21
termos do Hamiltoniano são exatamente os termos do operador de energia de um oscilador
harmônico. Pode-se então reescrevê-los em termos dos operadores bosônicos, tomando a
forma
2
4EC n̂ +
EJ
2
2
ϕ̂ =
p

†
8EJ EC â â +
1
2
‹
,
(2.39)
e considerando
ϕ̂ = ϕ Z P F ↠+ â ,
onde ϕ Z P F = φ Z P F /Φ0 e juntamente com ΩJ =
ϕZ P F ≡ 2
EC
EJ
p
(2.40)
8EJ EC /ħ
h, de (2.39), obtém-se
1/4
.
(2.41)
Com isto, substituindo (2.41) no quarto termo de (2.38), tem-se
−
EJ
24
ϕ̂ 4 = −
−EC ↠â −
EJ
ϕ Z4 P F ↠+ â
24
EC † †
EC
â â ââ −
2
4
4
EJ EC †
â + â ≈
2
24 EJ
EC † 2
EC †4
↠â3 + â†2 + â2 −
â â + ↠−
â + â4 ,
6
12
(2.42)
4
=−
onde os termos são dependentes de EC , de forma a serem suficientemente grandes para não
serem desprezados. Tem-se então o Hamiltoniano aproximado na forma
EC † †
Ĥ ≈ −EJ + ħ
hΩJ − EC ↠â −
â â ââ + termos não-diagonais,
2
(2.43)
cujas auto-energias sofrerão uma mudança devido ao último termo. Tais auto-energias podem ser encontradas calculando-se a aproximação de primeira ordem da teoria de perturbação. Das auto-energias, tira-se que a diferença entre dois pares de gaps de energias vizinhas
da forma ∆Em+2,m+1 − ∆Em+1,m é definido como a anarmonicidade absoluta αm+1 , resul-
22
tando então em
αm+1 ≡ −EC .
(2.44)
Quando comparamos a anarmonicidade αm+1 com a diferença de energia entre o estado
p
fundamental e o primeiro estado excitado ∆E01 ∼ 8EJ EC , a razão entre a anarmonicidade
absoluta e ∆E01 torna-se a anarmonicidade relativa, definida como
r
αm+1
≡− 8
EJ
−1/2
EC
.
(2.45)
Nota-se, portanto, que a anarmonicidade ainda existe, havendo um decréscimo de −EC com
relação ao gap de energia anterior e seu descréscimo se dá algebricamente pela razão EJ /EC .
Se considerar um transmon contendo a frequência de transição ∆E01 /h = 5 GHz e razão
EJ /EC = 80, o valor típico de anarmonicidade será EC /h = 300 MHz.
Considerando que o ponto de degenerescência não é essencial para o transmon, pode-se
trabalhar com quaisquer valores de n g . Porém, isto acarreta em uma dispersão de carga
que precisa ser levada em consideração. Não obstante, é necessário fazer uma correção de
primeira ordem nos valores das auto-energias, devido aos ruídos causados por não se operar
em sweet spot. Através de alguns cálculos perturbativos e aproximativos2 , encontra-se que
a dispersão de carga do m-ésimo nível é dada por [14]
m
εm = (−1) EC
v m+3
EJ 2 4
24m+5 t 2
m!
π
2EC
e−
p
8EJ /EC
,
(2.46)
levando ao resultado de que a dispersão de carga decai exponencialmente com a razão EJ /EC .
Como o tempo T2 de decoerência3 é determinado pelo inverso da dispersão de carga, ele
aumenta exponencialmente com a razão, chegando teoricamente na ordem de segundos,
como observado na Figura 2.11.
2
3
Os cálculos podem ser acompanhados em detalhes na tese de S. Bishop, referência [30].
Detalhes adicionais sobre o tempo T2 de decoerência serão tratados na Seção 2.7.
23
Figura 2.11: A linha preta representa o gráfico do tempo T2 de decoerência em função da
razão EJ /EC . Pode-se observar que quanto maior a razão, maior o tempo T2 , que cresce
exponencialmente, podendo chegar teoricamente a segundos. Figura reproduzida da referência [14].
2.6
Acoplamento do ressonador com o qubit
Após a quantização da linha de transmissão, demonstrando que um ressonador pode ser
tratado analogamente como uma cavidade que aprisionou a radiação eletromagnética e da
equivalência entre um sistema macroscópico e um átomo de dois níveis, torna-se necessário
uma discussão sobre como é feito o acoplamento de ambos. Consideremos primeiramente
que o Hamiltoniano do sistema ressonador + qubit seja dado pela seguinte forma
2
Ĥ = ħ
hω r ↠â + EC n̂ − n g − EJ cos ϕ̂ +Ĥacoplamento .
| {z } |
{z
}
Ĥressonador
(2.47)
Ĥqubit
Escrevendo o Hamiltoniano do qubit Ĥqubit na base do número de pares de Cooper {|n⟩},
tem-se
Ĥqubit =
X
4EC n − n g
2
|n⟩ ⟨n| −
n
24
EJ
2
(|n + 1⟩ ⟨n| + |n⟩ ⟨n + 1|) ,
(2.48)
que pode ser reduzido para os estados com n = 0 e n = 1, devido a aproximação para um
qubit. De modo a escrever a equação 2.48 acima como um Hamiltoniano conhecido do tipo
pseudo-spin, pode-se efetuar uma mudança de base para que o qubit possa ser representado
na mesma forma de um sistema de spin, onde a base {|0⟩ , |1⟩} é escrita na base de spin
{|↑⟩ , |↓⟩} pela seguinte relação
|0⟩ = cos
κ
κ
|↑⟩ + sin
|↓⟩ ,
2
2 κ
κ
|1⟩ = − sin
|↑⟩ + cos
|↓⟩ ,
2
2
(2.49)
(2.50)
onde κ ≡ tan−1 EJ /4EC (1 − 2n g ) . Realizando a troca de base, obtém-se o Hamiltoniano
de pseudo-spin na forma
Ĥqubit = −
Eel
2
ˆz −
σ̃
EJ
2
ˆ x,
σ̃
(2.51)
ˆ z e σ̃
ˆ x são os operadores de Pauli escritos na base de spin
onde Eel = 4EC 1 − 2n g , σ̃
{|↑⟩ , |↓⟩}. Fazendo uma mudança de base novamente, retomando à base {|0⟩ , |1⟩}, o Hamiltoniano (2.51) toma a forma
Ĥqubit = ħ
h
Ω0
2
σ̂z ,
(2.52)
com Ω0 sendo a frequência de oscilação do sistema.
O Hamiltoniano de interação ressonador-qubit Hacoplamento descreve o acoplamento essencialmente capacitivo entre o ressonador e o transmon. Tal acoplamento pode ser escrito
na forma [30]
Ĥacoplamento = 2β eVr0ms n̂ ↠+ â ,
(2.53)
onde β = CG /CΣ é a razão entre a carga do porta e a carga total do sistema, e a carga do
p
elétron, n̂ o operador número de pares de Cooper e Vr0ms = ħ
hω r /2C r é a voltagem quantizada do ressonador. Basicamente, é definido o acoplamento entre a linha de transmissão e o
qubit como um acoplamento entre os pares de Cooper e a voltagem quantizada, onde o qubit
25
notará a presença do ressonador pela voltagem V (0, t) = Vr0ms ↠+ â [28]. Reescrevendo
(2.53) na base {|0⟩ , |1⟩} de forma que
Ĥacoplamento = 2
X
β eVr0ms ⟨i| n̂ j |i⟩ j ↠+ â ,
(2.54)
i, j=0,1
pode-se então definir a força de acoplamento ħ
h g i, j = 2β eVr0ms ⟨i| n̂ j , de modo que o Hamiltoniano (2.48) seja escrito como
Ĥ = ħ
hω r ↠â + ħ
h
Ω0
2
σ̂z + ħ
h
X
g i, j |i⟩ j ↠+ â .
(2.55)
i, j=0,1
i6= j
A somatória
P
i, j=0,1
i6= j
|i⟩ j claramente denota termos não-diagonais |0⟩ ⟨1| e |1⟩ ⟨0|, consti-
tuindo da transição entre os estados |0⟩ e |1⟩. Denotando tais termos como σ̂+ ≡ |1⟩ ⟨0| e
σ̂− ≡ |0⟩ ⟨1|, pode-se representar a somatória sobre |i⟩ ⟨ j como o operador de Pauli σ̂ x . Se
g i, j = g j,i , o Hamiltoniano total (2.47) então é escrito como o conhecido Hamiltoniano de
Rabi,
Ĥ = ħ
hω r ↠â + ħ
h
Ω0
2
σ̂z + ħ
h g01 σ̂ x ↠+ â .
(2.56)
O Hamiltoniano de Rabi é um Hamiltoniano bem conhecido que descreve a interação da
radiação com a matéria no contexto quântico. Ele contém um termo referente a um modo do
campo quantizado, um termo referente ao estado atômico e um termo referente a interação
entre ambos. Por ser já bem estudado e conhecido, ganha-se uma vantagem em conseguir
descrever o circuito supercondutor em termos deste Hamiltoniano e alguns detalhes desta
vantagem serão discutidos no Capítulo 3.
2.7
Ruídos em QED de Circuitos
Nesta Seção, apresentaremos um breve comentário sobre os principais ruídos encontrados
no qubit transmon, como também os ruídos resultantes de seu acoplamento com a linha de
transmissão.
26
Essencialmente, um qubit é caracterizado por dois tempos de decoerência, os chamados
tempos T1 e T2 . Tais tempos são essenciais, pois estabelecem o tempo limite de operações
que podem ser realizadas no sistema quântico. Em Eletrodinâmica Quântica de circuitos, o
tempo de relaxamento T1 é definido como sendo o tempo necessário para o qubit relaxar
do primeiro estado excitado para o estado fundamental, enquanto que o tempo de defasamento T2 é o tempo no qual a fase entre dois auto-estados torna-se aleatória [34]. Em
especial, o transmon experimentalmente mostrou-se com um tempo T2 = 2T1 , na faixa de
2µs sem a utilização de técnicas de “spin eco ”, sendo superior ao encontrado entre os qubits
supercondutores [43]. Em um recente trabalho de Paik et al [44] em 2011, foi construído
um transmon acoplado a um ressonador tridimensional, dando-lhe um tempo T2 ∼ 10 a
20µs. Outra notável diferença entre o transmon e os outros tipos de qubit supercondutores
é sua imunidade ao ruído 1/ f [14]. Tal robustez ao ruído foi não só verificada experimentalmente, como observou-se também que o transmon não era susceptível a ruídos de fluxo
ou de corrente crítica [43].
A seguir, serão listados alguns ruídos identificados no transmon, de acordo com a referência [14], onde encontra-se desenvolvida a sua principal base teórica.
2.7.1
Tempo de relaxação T1
Em razão do qubit estar acoplado a uma linha de transmissão, interagindo através do campo
eletromagnético gerado nela, há um canal de decaimento radioativo inevitável, a relaxação
por emissão espontânea. Utilizando-se de alguns tratamentos semi-clássicos da radiação,
pode-se obter o tempo T1 devido a esse decaimento espontâneo. Através de um modelo
realista de transmon, pode-se inferir o tempo T1 como sendo da ordem de 0.3 ms.
O efeito Purcell, que está associado a alteração da emissão espontânea de um sistema ao
ser colocado dentro de um ressonador, faz com que todos os níveis de transição do transmon
sofram alterações em sua taxa de decaimento. Considerando relevante apenas a taxa de decaimento entre o primeiro estado excitado e o fundamental, tem-se um tempo T1 ∼ 16µs.
Um importante canal de relaxação a ser verificado é a relaxação devido ao tunelamento
das quasi-partículas. Tal perda deve ser considerada uma vez que pode haver um número
27
Figura 2.12: Gráfico do tempo T1 devido ao tunelamento de quasi-partículas versus a temperatura para uma razão EJ /EC = 60. Na barra vertical roxa tem-se a temperatura do
transmon. Pode-se observar que para tal temperatura e EJ /EC , o tempo T1 é da ordem de
1s na temperatura típica de operação. Figura adaptada da referência [14].
ímpar de elétrons ou a quebra térmica dos pares de Cooper. Porém, uma vez que o transmon
possui a razão EJ /EC 1 e é resfriado a cerca de 20 mK, há pouco efeito das quasi-partículas
para este canal de ruído, fazendo com que, para um transmon com EJ /EC = 60, o tempo T1
devido ao tunelamento seja da ordem de 1 s, como é mostrado na Figura 2.12.
Uma outra fonte de relaxação que deve ser considerada é a relaxação devido ao acoplamento com um fluxo externo. Como o transmon é essencialmente construído com um
SQUID e este é acoplado a um fluxo magnético externo, tal relaxação é inevitável e, para um
caso em que uma das junções Josephson possuam um desvio de 10% em relação a outra, o
tempo T1 varia entre 20 ms a 1s, onde o tempo máximo (mínimo) é devido ao valor inteiro
(semi-inteiro) do quanta de fluxo que passa por dentro do SQUID.
Os tempos de relaxamento acima citados são os tipos mais comuns que poderiam ser verificados. No entanto, pelo fato de haver uma divergência entre as predições teóricas com os
resultados experimentais, leva-se a acreditar que outras fontes de ruído possam ser tão importantes quanto, porém ainda são desconhecidas ou não muito bem compreendidas. Neste
contexto físico, ainda há muito a ser feito para se descrever completamente as situações
experimentais.
28
2.7.2
Tempo de defasamento T2
A origem do defasamento do qubit está usualmente associada às flutuações da frequência
deste devido ao seu acoplamento com o ambiente. Devido às flutuações que acontecem
na carga, fluxo e corrente, lidam-se com três tipos essenciais de ruídos: o ruído de carga,
o ruído de fluxo e o ruído de corrente crítica. Como pode ser observado na Figura 2.11,
o tempo T2 devido ao ruído de carga chega a ordem de 8s. Já o ruído de fluxo contribui
com um tempo T2 ∼ 1µs. Porém, se o transmon for operado no regime de degenerescência
de fluxo (operado de modo análogo ao feito para a degenerescência de carga, utilizando o
fluxo), o tempo aumenta, chegando a aproximadamente 3.6ms. Para o ruído de corrente
crítica, tem-se um tempo T2 ∼ 35µs.
Outros tipos de defasamento que podem ser encontrados em qubits supercondutores são
devidos ao tunelamento das quasi-partículas e o ruído EC (ruídos devido a flutuações da
energia Coulombiana presente no SQUID). O primeiro não possui nenhuma influência no
transmon pelo fato deste operar no regime EJ /EC 1, onde a dispersão de carga decai
exponencialmente com a razão EJ /EC , fazendo com que uma única carga não tenha efeitos relevantes na frequência de transição. Para o ruído EC também não há nenhum efeito
relevante observado no transmon que faça este ser considerado.
2.8
Não Classicalidade da Luz
Estados não-clássicos da luz são, de imediato, provas do comportamento quântico da radiação eletromagnética. Em particular, um estado coerente ou um estado comprimido é de
grande importância para os mais diversos experimentos: de teste para fundamentos da Mecânica Quântica [45] ao teleporte e metrologia quântica [23, 24]. Nas subseções seguintes
serão brevemente descritos alguns dos estados utilizados e gerados nos processos aqui estudados, bem como métodos de análise do comportamento quântico dos estados gerados. São
estes: os estados, coerente e o comprimido, a função de distribuição de quasi-probabilidade,
a chamada função W q, p de Wigner [25, 46], e um critério de inseparabilidade (emaranhamento) de estados quânticos para variáveis contínuas, o critério de Duan-Giedke-Cirac-
29
Zoller [47].
2.8.1
Estado Coerente
O valor esperado do operador campo elétrico para um estado de número |n⟩ genérico será
⟨n| Ê x |n⟩ = 0, independentemente do valor de n, uma vez que o campo elétrico varia senoidalmente com o tempo [25]. Porém, com o estado de Fock, é possível descrever apropriadamente o valor esperado do campo elétrico. Munidos desta motivação, apresentaremos o
estado coerente, um estado quântico que se apresenta como sendo o limite entre os aspectos
clássico e quântico do campo.
Pode-se definir o operador campo elétrico para um único modo da radiação eletromagnética ao longo do eixo z e linearmente polarizado na direção x, com vetor de onda k pode
ser escrito em termos dos operadores de criação e aniquilação na forma
Ê x (z, t) = E0 ↠+ â sin(kz),
(2.57)
e também um estado |α⟩ que seja auto-estado de â. Assim, â |α⟩ = α |α⟩ e pode-se expandir
|α⟩ como um conjunto completo de estados de Fock,
|α⟩ =
∞
X
Cn |n⟩.
(2.58)
n=0
Aplicando â em (2.58), tem-se
â |α⟩ =
∞
X
∞
X
p
Cn |n⟩ ,
Cn n |n − 1⟩ = α
n=1
(2.59)
n=0
e igualando ambos os coeficientes, encontra-se a relação de recorrência
p
Cn n = αCn−1
α
Cn = p Cn−1 =
n
α2
αn
Cn−2 = . . . p C0 .
p
n!
n(n − 1)
30
(2.60)
Substituindo (2.60) em (2.58), chega-se a
∞
X
αn
|α⟩ = C0
p |n⟩ ,
n!
n=0
(2.61)
que pela condição de normalização ⟨α | α⟩ = 1, determina-se C0 , como
∞
∞ X
∞
2 X
2 X
|α|2n 2 |α|2
α∗ n αm
⟨n | m⟩ = C0
⟨α | α⟩ = C0
= C0 e ,
p
n!
n!m!
n=0
n=0 m=0
C0 = e−|α|
2
/2
.
(2.62)
(2.63)
Com isto, o estado coerente tem a forma final
|α⟩ = e−|α|
2
/2
∞
X
αn
p |n⟩ .
n!
n=0
(2.64)
Pode-se definir a relação de completeza para o estado coerente sendo dada por uma integral
sobre o plano α complexo, na forma
Z
1
π
|α⟩ ⟨α| d 2 α = 1,
(2.65)
com d 2 α = dRe(α)dIm(α).
Uma importante propriedade do estado coerente é apresentar um valor mínimo de incerteza para ambas as quadraturas do campo X̂ 1 e X̂ 2 , que são definidas como
X̂ 1 =
X̂ 2 =
1
p ↠+ â ,
2
i
p ↠− â .
2
(2.66)
(2.67)
Deste modo, se um estado quântico apresenta o valor mínimo de incerteza, considerando a
relação de comutação X̂ 1 , X̂ 2 = i/2, a variância das quadraturas será mínima
¬
∆X̂ 1
2 ¶
α
=
¬
∆X̂ 2
31
2 ¶
α
=
1
4
.
(2.68)
Há uma outra maneira de definir o estado coerente: pela atuação do operador deslocamento
no vácuo. O operador Deslocamento é definido como
D(α) = exp α↠− α∗ â ,
(2.69)
e este operador tem a propriedade de deslocar um estado localizado no espaço de fase por
uma magnitude α, também atuando em um estado de vácuo e fazendo-o deslocar num
estado coerente. Desta forma,
D(α) |0⟩ = |α⟩ .
(2.70)
Diversas propriedades interessantes do estado coerente podem ser consultadas nas referências [25, 48, 49].
2.8.2
Estado Comprimido
Há uma classe de estados especialmente interessante chamada de estados comprimidos (estados de quadratura e número comprimidos). Tal estado é também denominado de estados
com estatística sub-Poissoniana e possui a característica de apresentar uma compressão em
uma das quadraturas do campo com o preço do alargamento da outra quadratura do campo.
Condições estas que surgem da relação de incerteza
¬
∆X̂ 1
2 ¶ ¬
∆X̂ 2
2 ¶
≥
1
16
,
(2.71)
e portanto, para um estado ser considerado comprimido este deve satisfazer a condição
¬
2.8.3
∆X̂ 1
2 ¶
<
1
4
¬
ou
∆X̂ 2
2 ¶
<
1
4
.
(2.72)
Função de distribuição de quasi-probabilidade W q, p de Wigner
Uma importante função de distribuição de quasi-probabilidade sobre o espaço de fase é a
função W q, p de Wigner, introduzida por Wigner em 1932 [46]. Tal função é definida
32
como sendo [25]
∞
­
·
1 1
W (q, p) ≡
q + x ρ̂ q − x e i p x/ħh d x,
2πħ
h −∞
2
2
1
Z
(2.73)
¶
com q ± 21 x sendo o autoestado do operador posição, p o momento e ρ̂ um operador
densidade arbitrário. A função W (q, p) pode ser usada para se calcular médias, desde que a
média do operador seja ordenada simetricamente. Como exemplo, para se calcular a média
da função clássica qp, deve-se substituí-la por q̂p̂ + p̂q̂ /2, de maneira que a média tome
a forma
q̂p̂ + p̂q̂ =
Z
(qp + pq)W (q, p)dqd p.
(2.74)
Assim, para se obter uma média utilizando a função W (q, p) é necessário escrever o operador na ordenação simétrica, ou também chamada de função ordenada de Weyl. Para uma
função genérica G(q̂, p̂), denota-se {G(q̂, p̂)}W para a ordenação simétrica, e então a média
é calculada como sendo
{G(q̂, p̂)}W =
Z
{G(q̂, p̂)}W W (q, p)dqd p,
(2.75)
correspondendo a uma média no espaço de fase.
Para podermos entender melhor o papel da função W q, p , consideremos uma variável clássica x e uma densidade de distribuição clássica ρc (x) da variável x, de modo que
obedeça a condição de normalização
Z
ρc (x)d x = 1.
(2.76)
Desta forma, a média de x do n-ésimo momento é definida como
n
⟨x ⟩ =
Z
d x x n ρc (x).
33
(2.77)
Introduzindo então uma função característica C(k), tal que
C(k) = e
ik x
=
Z
dxe
ik x
ρc (x) =
∞
X
(ik)n
n=0
n!
⟨x n ⟩ ,
(2.78)
obtemos ρc (x) apenas aplicando a transformada de Fourier,
ρc (x) =
1
Z
2π
d ke−ik x C(k),
(2.79)
desde que se conheça a função característica C(k). Introduzindo tal função para a Mecânica
Quântica, pode-se definir a função característica de Wigner como sendo
”
—
†
∗
CW (λ) ≡ Tr ρ̂eλâ −λ â = Tr ρ̂ D̂(λ) ,
(2.80)
onde D̂(λ) é o operador deslocamento. Utilizando a equação (2.80), é possível encontrar a
relação entre a função característica e a função de Wigner. Reescrevendo tal equação com
ρ̂ em termos da função de Wigner e do estado coerente |α⟩, tem-se
”
—
†
∗
CW (λ) = Tr ρ̂eλâ −λ â
Z
=
W (α) ⟨α| e
λ↠−λ∗ â
2
|α⟩ d α =
Z
W (α)eλα
∗
−λ∗ α 2
d α,
(2.81)
e efetuando a transformada de Fourier no plano complexo, obtém-se a função de Wigner
em termos da função característica CW (λ)
W (α) ≡
1
2π2
Z
eλ
∗
α−λα∗
CW (λ)d 2 λ.
(2.82)
Apesar de ser possível calcular médias com W (α), ela não é uma função de distribuição de
probabilidade propriamente dita, uma vez que pode exibir regiões de valores negativos no
espaço de fase. Desta maneira, a função de Wigner é uma função de distribuição de quasiprobabilidades. A ocorrência destes valores negativos pode ser usada para caracterizar a
não-classicalidade de alguns estados, exibindo inclusive efeitos de interferência associados
ao estado quântico.
34
Como um exemplo, consideremos um estado coerente β que possui uma função de
Wigner tal que
W (α) =
2
π
2
e−2|α−β | ,
(2.83)
e para o estado de número |n⟩ toma a forma
W (α) =
2
π
2
(−1)n L n (4 |α|2 )e−2|α| ,
(2.84)
onde L n (ζ) é um polinômio de Laguerre. Para o estado de número, é possível notar que
haverá valores negativos da função de Wigner. No Capítulo 4, é possível observar estados
apresentando valores negativos através dos gráficos gerados. Mais detalhes sobre representações no espaço de fase quântico podem ser obtidos em [25].
2.8.4
Critério de Inseparabilidade para Variáveis Contínuas
O critério de inseparabilidade para variáveis contínuas, proposto por Duan, Giedke, Cirac
e Zoller em 2000 [47], é um critério usado para se verificar o emaranhamento em estados
bipartidos de variáveis contínuas. Seja ψ um estado quântico composto por duas partes,
de forma que ψ = ψ a ⊗ ψ b . Podemos verificar o operador densidade associado ao
estado ψ como sendo ρ̂ = ψ ψ, que é dita separável (não emaranhada e não mista) se
e somente se, puder ser escrito na forma
ρ̂ =
X
(a)
pi ρ̂i
(b)
⊗ ρ̂i ,
(2.85)
i
(a)
(b)
onde pi é o peso probabilístico de se obter ρ̂i ⊗ρ̂i que satisfaz a condição de normalização
P
i pi = 1. Para o caso em que não é possível escrever ρ̂ como a equação (2.85), é dito que
o sistema é inseparável (emaranhado). É possível verificar sua inseparabilidade através do
cálculo da soma da variância de operadores atuando em cada um dos dois sub-sistemas.
Utilizando-se de um exemplo, a variância do operador posição x̂ i do sub-sistema i = a(b) é
35
dada por
2
∆2 x̂ i ≡ x̂ i2 − x̂ i ,
(2.86)
onde ⟨⟩ = Tr ρ̂ . De maneira a analisarmos as correlações entre os sub-sistemas, pode-se
definir os operadores posição total e momento relativo, como sendo
û =
x̂ a + x̂ b
p
2
v̂ =
e
p̂a − p̂ b
.
p
2
(2.87)
Tomando como exemplo um circuito supercondutor e utilizando o operador Φ̂ e seu momento conjugado Q̂, posição e momento, respectivamente. A relação de comutação dos
operadores Φ̂i e Q̂ i é tal que Φ̂i , Q̂ i 0 = 2iδii 0 4 . O princípio da incerteza de Heisenberg de
2
fine a relação ∆2 Φ̂i ≥ Φ̂i , Q̂ i 0 /∆2Q̂ i , de modo que a soma da variância dos operadores
para uma matriz densidade separável é escrita como [50]
∆2 û + ∆2 v̂ ≥ 2.
(2.88)
Porém, para uma matriz densidade inseparável, a relação de comutação [û, v̂] = 0 e a soma
da variância fica
∆2 û + ∆2 v̂ ≥ 0.
(2.89)
Assim, ∆2 û + ∆2 v̂ ≤ 2 é uma condição suficiente para se verificar correlação quântica do
tipo emaranhamento em um sistema bipartido [47].
2.9
Processos paramétricos
Processos paramétricos têm sido estudados desde o Século XIX por Faraday e Raylegh e
foram revisitados no Século XX com a introdução do maser e do laser, utilizando-se uma
abordagem quântica. Seu estudo inicial era focado na investigação da amplificação da radi4
Considerando ħ
h = 1 e os operadores adimensionais, sem perda de generalidade.
36
ação eletromagnética e, com o desenvolvimento da mecânica quântica, foi possível utilizar
os processos paramétricos para um estudo mais detalhado sobre as propriedades estatísticas da radiação. Um dos primeiros trabalhos sobre algumas propriedades quânticas destes
processos foi feito por Louisell et al. [51], mostrando que era possível ser feita uma medida
simultânea da fase e do número de quanta limitados apenas pela incerteza de Heinsenberg
e que a conversão de frequências via tais processos não possuíam flutuações de ponto zero.
Em 1970, Burnham e Weinberg investigaram experimentalmente o processo espontâneo de
conversão paramétrica descendente em um cristal não-linear de amônio dihidrogenofosfato
[52], abrindo tal abordagem para os domínios da Eletrodinâmica Quântica de Cavidades.
Desde então, os processos paramétricos são entendidos como processos não-lineares geralmente atribuídos à interação de um laser com um cristal não-linear. Este laser incidente
é constituído por fótons de frequência ω0 que, ao interagirem com o cristal, geram fótons
de frequências ω1 e ω2 . Deste efeito, são resultados dois tipos de processos: a conversão
paramétrica descendente e a conversão paramétrica ascendente.
2.9.1
Conversão Paramétrica Descendente
Para o caso em que um fóton incidente de frequência ω0 interagir com um cristal não-linear
e resultar em dois fótons de frequências ω1 e ω2 menores, que possuam direção e módulo
dos vetores de onda k1 e k2 diferentes, tais que
ω0 = ω1 + ω2 ,
(2.90)
k0 = k1 + k2 ,
(2.91)
tem-se o processo de conversão paramétrica descendente [48] (do inglês, parametric downconversion, sigla PDC). Tais considerações feitas acima garantem a conservação de energia
(equação (2.90)) e momento (equação (2.91)). A frequência ω0 é então denominada de
frequência de bombeio, ω1 e ω2 são as frequências de signal e idler. Na Figura 2.13 tem-se
um esquema representativo da conversão paramétrica de frequências.
37
Figura 2.13: Esquema representativo sobre um laser de bombeio de frequência ω0 e vetor
de onda k0 incidindo em um cristal não-linear, gerando fótons signal de frequência ω1 e
vetor de onda k1 e idler de frequência ω2 e vetor de onda k2 .
O Hamiltoniano típico deste sistema é escrito na forma
Ĥ =
2
X
€
Š
ħ
hωi âi† âi + ħ
h g 0 â1† â2† â0 + h.c. ,
(2.92)
i=0
onde g 0 é a força de acoplamento entre os três modos. Considerando que o campo incidente
de bombeio de frequência ω0 é constituído de um laser de bombeio intenso, pode-se tratar o
modo â0 como um campo clássico de amplitude a0 = v0 e−iω0 t . Movido por este tratamento,
o Hamiltoniano na representação de interação, obtém-se a seguinte forma
€
Š
Ĥ = ħ
h g â1† â2† e−i (ω0 −ω1 −ω2 ) t + h.c. ,
(2.93)
com g ≡ g 0 v0 . Devido aos limites da consideração feita na equação (2.93), sua validade é
2
dada para o caso em que n̂1 (t) , n̂2 (t) v0 .
Uma das propriedades interessantes dos fótons gerados via conversão paramétrica descendente é seu comportamento não-clássico. Utilizando a relação cruzada [48]
¶ ¬
: n̂1 (t)n̂2 (t) : = : n̂2j (t) : + n̂ j (t)
( j = 1, 2),
(2.94)
e escrevendo-a em termos do Teorema da Equivalência Óptica para Operadores na Ordena38
ção Normal (detalhes no Apêndice A), tem-se
•¬ ¶ ¬ ¶ ˜1/2
¬ 2 2 ¶
2
v v v 2
> v1 .
1
2
2
φ
φ
φ
(2.95)
A inequação (2.95) viola a Desigualdade de Schwarz [53], uma vez que esta implica na
inequação obedecendo o critério
•¬ ¶ ¬ ¶ ˜1/2
¬ 2 2 ¶
2
v v v 2
≤ v1 ,
1
2
2
φ
φ
φ
(2.96)
que é verificada como verdadeira para experimentos clássicos com a luz. Tal violação da
Desigualdade de Schwarz mostra o caráter sem descrição clássica da conversão paramétrica
descendente. Esta violação foi observada experimentalmente e discutida no trabalho de Nogueira et al., em 2001 [54]. Detalhes dos cálculos deste trabalho podem ser encontrados no
trabalho posterior dos mesmos autores, em 2002 [55].
O resultado obtido na equação (2.95) reflete o fato de que em um experimento de conversão paramétrica de frequências, a taxa de contagem de coincidência em detectores espacialmente separados de dois fótons R12 é maior do que a taxa somada de ocorrência da
contagem de coincidência para fótons no mesmo detector, i.e., R11 + R22 , onde R11 é a
taxa para a detecção dois fótons signal e R22 é a taxa para a detecção de dois fótons idler.
O experimento que demonstra este resultado é descrito no trabalho de Zou et al. [56], em
1991. Outros tipos de correlações não-clássicas, como correlações espaciais [57], e outras
violações, como a violação da Desigualdade de Bell [58], são verificadas nas mais diversas
montagens experimentais utilizando um cristal não-linear.
Na óptica não-linear, é possível observar o avanços recentes, como por exemplo, com o
experimento de Langford et al em 2011 [59], utilizando montagens experimentais mais complexas e eficientes. Além da óptica não-linear, algumas arquiteturas foram propostas para
se investigar a conversão paramétrica descendente em circuitos supercondutores, como no
trabalho de Marquardt em 2007 [60] e de Tian et al em 2008 [61].
39
2.9.2
Conversão Paramétrica Ascendente
Para o caso em que o fóton incidente de frequência ω0 interagir com o cristal não-linear e
resultar em dois fótons de frequências ω1 e ω2 , tais que obedeçam a relação
ω 0 = ω1 − ω2 ,
(2.97)
e seus vetores de onda k0 , k1 e k2 obedecendo
k0 = k1 − k2
(2.98)
para ω1 > ω2 , tem-se o processo de conversão paramétrico ascendente (do inglês, parametric up-conversion, sigla PUC). A conservação de energia e momento é obtida considerando a
contribuição vinda do cristal não-linear que é aquecido, causando uma adição de energia na
equação 2.97 que não é ligada diretamente aos lasers signal ou idler. Uma discussão mais
completa pode ser encontrada no trabalho de Armstrong et al. [62].
Uma das mais importantes motivações encontradas para a utilização da conversão paramétrica ascendente é o fato de ser possível converter um modo de frequência infra-vermelha
em frequência da luz visível. Trabalhos pioneiros, como o de Midwinter e Warner [63], em
1967, eram capazes de obter a conversão ascendente com uma eficiência de 1%. Trabalhos
posteriores mostram um significativo avanço, indo desde experimentos mais sofisticados,
como a transferência da informação de uma imagem de infra-vermelho para luz verde [64]
à experimentos que possibilitaram uma maior eficiência dos detectores [65]. Os experimentos não só avançaram em relação aos dispositivos de detecção e a qualidade dos lasers
e cristais não lineares, mas tais experimentos com conversão ascendente passaram a descrever estados não-clássicos da luz e testes de fundamentos da Mecânica Quântica [66], além
de serem usados para comunicação, computação e medidas quânticas através de correlações
quânticas entre os vários modos da luz [65], a chamada imagem quântica.
40
Capítulo 3
Engenharia de Hamiltonianos
Conversões paramétricas de frequências são processos não-lineares geralmente realizados
em Óptica Quântica e têm sido amplamente estudados e aplicados em diversas situações[65,
67–69]. Juntamente a este cenário, a física dos circuitos supercondutores vem obtendo destaque em aplicações em Informação Quântica devido a sua possível escalabilidade relacionada a analogia com circuitos clássicos, uma vez que idealmente é possível construir um
circuito com a quantidade desejável de linhas de transmissão e qubits e conectá-los uns aos
outros, suas arquiteturas robustas contra ruídos [14] e seus longos tempos de decoerência [44]. Visando a implementação dos processos paramétricos neste afluente horizonte da
tecnologia quântica, uma vez que a engenharia dos processos paramétricos já foi estudada
em diversas arquiteturas, tanto em QED de cavidades [70, 71] quanto em QED de circuitos
[72, 73], propusemos uma única arquitetura original e versátil para realização de processos
paramétricos descendentes e ascendentes, apenas pela alteração da modulação temporal de
um campo magnético da frequência de bombeio externo sob o qubit.
3.1
O sistema
A arquitetura escolhida para o sistema consiste em dois ressonadores não interagentes de
frequências ωa e ω b , respectivamente, acoplados a um átomo artificial transmon que será
tratado como um qubit. A versatilidade do protocolo se encontra essencialmente na mo-
41
dulação temporal da frequência do qubit, que é realizada através de um fluxo magnético
gerado por um indutor externo aplicado ao átomo artificial. A frequência do transmon é
então dada por
Ω(t) = Ω0 + ε f t ,
(3.1)
onde Ω0 é o termo constante da frequência do qubit, ε é uma amplitude de modulação do
campo externo temporalmente oscilante e f t é uma função arbitrária da série de Fourier,
como proposto em [74]
∞
X
ft =
sk sin(kηt) + ck cos(kηt) ,
(3.2)
k=0
onde η é uma frequência de modulação do campo externo. Esta modulação é a peça chave
responsável por efetivamente ser obtida a conversão paramétrica descendente (PDC) ou a
conversão paramétrica ascendente (PUC) entre os modos dos ressonadores a e b, como será
mostrado adiante. O Hamiltoniano do sistema pode então ser escrito como um Hamiltoniano de Rabi, na seguinte forma
Ĥ(t) = Ĥ0 (t) +
X
ħ
h gα (α̂ + α̂† )(σ̂+ + σ̂− ),
(3.3)
α=a,b
Ĥ0 (t) =
X
h
ħ
hωα α̂† α̂ + ħ
α=a,b
Ω(t)
2
σ̂z ,
(3.4)
onde σ̂z e σ̂+ +σ̂− ≡ σ̂ x são os operadores usuais de Pauli e gα=a(b) é a força de acoplamento
do modo do ressonador a(b) com o qubit, dada por [14]
v
v 1
uħ
t hωα t 1 EJ 4
ħ
h gα=a,b = 2β e
2C rα 2 8EC
β≡
Cg
CΣ
(3.5)
(CΣ = C g + CB + CJ ),
onde C rα é a capacitância do ressonador α, CΣ a capacitância total do sistema, C g é a capacitância do gate, CB é a capacitância adicional do qubit e CJ é a capacitância da junção Joseph42
son. Reescrevendo o Hamiltoniano de cada modo (modo a com qubit e modo b com qubit)
separadamente na representação de interação, através da transformação Û0 = exp i Ĥ0 t/ħ
h
Ĥ I
˙ †,
= Û0 Ĥ Û0† − i Û0 Û
0
(3.6)
obtém-se
α
α
Ĥ Iα = ħ
h gα e iΞ− α̂σ̂+ + e−iΞ− α̂† σ̂− + H.c. ,
(3.7)
com
Ξα+
Z
≡
t
dτ[Ω(τ) ± ωα ].
(3.8)
0
Nota-se que agora toda a dinâmica do sistema encontra-se nos termos exponenciais. Por
este motivo, faz-se uma expansão dos termos gα exp iΞα± que tomam a forma
α
gα e iΞ± = g̃α e
∞
X
1
i∆α t
±
l=0
l!


∞
εX
η k=1
l
Λk e−ikηt − Λ∗k e ikηt  ,
(3.9)
P∞
onde a constante de acoplamento é agora redefinida como g̃α ≡ gα exp i(ε/η) k=1 k−1 sk
e os outros parâmetros
Λk ≡ −
ck + isk
,
2k
∆α± ≡ Ω0 + εc0 ± ωα ,
(3.10)
(3.11)
sendo a equação (3.11) a dessintonia entre o qubit e o ressonador para cada modo α. Fazendo uma escolha das frequências e alguns parâmetros do sistema baseados em parâmetros típicos dos experimentos neste contexto, obtém-se os valores apresentados na Tabela
3.1 abaixo.
43
Tabela 3.1: Valores típicos de frequências e parâmetros do sistema retirados ou baseados nas
referências [14, 28]
Expressão analítica
Ω0 /2π
ε/2π
ω b /2π
ξ/2π
ωa /2π
g a /π
g b /π
EC /h
βa
βb
3.2
Valor (GHz,*≡adimensional)
5.0
∼ −0.7
4.8999
4.889
6.0920
∼ 3.0 · 10−2
∼ 1.0 · 10−4
0.3
0.3*
0.1*
Conversão Paramétrica Descendente
Estamos interessados na realização da chamada engenharia de Hamiltonianos para obter
efetivamente o processo de conversão paramétrica de frequências em Eletrodinâmica Quântica de circuitos. A escolha adequada da frequência de modulação η determinará o tipo de
processo que efetivamente será produzido no sistema. Para o caso da conversão paramétrica
descendente, a frequência escolhida é
η ≡ η P DC = Ω0 + εc0 + ωa + ω b − ξ,
(3.12)
onde ξ é uma frequência adicional na modulação do campo magnético aplicada ao qubit,
cujo valor encontra-se na Tabela 3.1 e é ξ/2π = 4.889 GHz. Com um valor de η P DC /2π ∼ 11
GHz, encontra-se na faixa de frequências de modulação experimentalmente acessíveis1 [75].
Na Figura 3.1 encontra-se esboçada uma disposição das frequências, de acordo com seus
respectivos valores, em comparação com a frequência de transição do qubit.
Com os principais parâmetros definidos, pode-se expandir a equação (3.9) até a primeira
ordem em k e l, onde termos como (ε/η)2 ou de ordem superior (cujo valor da potência
está relacionado ao valor de l) podem ser negligenciados e termos k > 1 oscilam muito mais
do que as outras frequências naturais do sistema (detalhes adicionais serão apresentados
1
É possível se verificar na referência [75] tal utilização de frequência modulada. O artigo utiliza-se destas
frequências moduladas para se observar o efeito Casimir dinâmico em um circuito supercondutor.
44
adiante). Munidos destas considerações, faz-se propício definir a função f t , da equação
Figura 3.1: Esquema pictórico (fora de escala) da disposição das frequências e dessintonias
consideradas no sistema. É importante notar que, para fins de comparação das diferentes
frequências do sistema, energia e frequência têm a mesma unidade arbitrária (ħ
h = 1). São
representados: frequência adicional ξ (azul claro), a frequência do ressonador b, ω b (azul),
a frequência do ressonador a, ωa (vermelho), a frequência estática do qubit,
Ω0 (marrom),
sendo esta a frequência de transição entre os estados fundamental g e excitado |e⟩ do
qubit. A dessintonia entre o ressonador a e o qubit e entre o ressonador b e o qubit também
são apresentadas.
(3.2), na forma
f t ≡ c0 + c1 cos ηt .
(3.13)
A equação (3.9) então toma a forma
gα e
iΞα±
= gα e
i∆α± t
1+
ε
η
Λ1 e
−iηt
+e
iηt
.
(3.14)
Expandindo os termos do Hamiltoniano (3.7), utilizando a equação (3.14) e adotando a
45
escolha para η = η P DC feita em (3.12), encontramos
” a
€
Š—
b
a
Ĥ Ia ' ħ
h g a e i∆+ t + θ e−iδ− t − e2i (∆+ +ω b ) t ↠σ̂+ +
Š—
” a
€
b
b
b
+ ħ
h g a e i∆− t + θ e−i (2ωa +δ− ) t − e i (2∆+ −δ+ ) t âσ̂+ + h.c.,
(3.15)
b
a
b
a
Ĥ Ib ' ħ
h g b e i∆+ t + θ e−iδ− t − e i (2∆+ +δ− ) t b̂† σ̂+ +
” b
€
Š—
a
a
a
+ ħ
h g b e i∆− t + θ e−i (2ω b +δ− ) t − e i (2∆+ −δ+ ) t b̂σ̂+ + h.c.,
”
€
Š—
(3.16)
α
com θ ≡ Λ1 ε/η P DC e δ∓
≡ ωα ∓ ξ. Analisando (3.15) é possível notar as seguintes ca
a
racterísticas: os termos g a θ exp −iδ−b t e g a exp i∆−
t possuem a menor frequência de
q
n̂a (onde n̂a é a média do número
oscilação em relação aos outros termos; o termo g a
de fótons do modo a) é muito menor do que a menor frequência do sistema (Ω0 e ωa ).
Com estas considerações, a média temporal dos termos de maior frequência de oscilação
pode ser desprezada e podemos considerar apenas os termos "menos oscilantes "[76]. Esta
aproximação é chamada de Aproximação de Onda Girante (em inglês, Rotating-Wave Approximation, sigla RWA) [77], inicialmente proposta por Jaynes e Cummings em [78].
a
Apesar do termo exp i∆−
t ainda oscilar mais do que exp −iδ−b , este último é multiplicado por θ 1. Na média, ambos os termos podem ter contribuições relevantes para
a dinâmica do sistema, assim é necessário mantermos ambos. Após efetuar a aproximação
RWA, o Hamiltoniano do ressonador a acoplado ao qubit toma a forma
€
Š
b
a
Ĥ Ia ' ħ
h g a θ e−iδ− t ↠σ̂+ + e i∆− t âσ̂+ + h.c..
(3.17)
Uma vez que o ressonador a possui uma frequência fora de ressonância com o qubit e considerando que a razão entre a força de acoplamento vezes a raiz do número médio de fótons
q
a
e a dessintonia entre qubit-ressonador é g a
n̂a /∆−
1, faz-se necessária a realização
do cálculo do regime dispersivo [28, 77], resultando em um Hamiltoniano da forma apro-
46
ximada
€
Š
b
HˆIa ' ħ
hζa θ 2 ↠â + 1/2 σ̂z + ħ
h g̃ a θ e−iδ− t ↠σ̂+ + h.c. .
(3.18)
Aplicando a transformação unitária Û1 (t) = exp −iδ−b t/2(↠â + σ̂z ) em (3.18), obtemos
o Hamiltoniano no referencial oscilante com frequência δ−b como sendo
Hˆeaf f ' ħ
h ζa θ 2 + δ−b
σ̂z
2
+ħ
hζa θ 2 ↠âσ̂z + ħ
h g a θ ↠σ̂+ + ħ
h g a θ âσ̂− ,
(3.19)
onde ζa é a força de acoplamento no regime dispersivo, dada por [14]
ħ
hζa ' − β e
v
2 ħ
hωa t EJ
2C ra
EC
a ħ
a −E
2EC ħ
h∆−
h∆−
C
.
(3.20)
Analisando agora o Hamiltoniano do ressonador b, em (3.16), nota-se que os termos
g b θ exp −iδ−a t e g b exp i∆−b t possuem a menor frequência de oscilação com relação aos
outros termos. O termo exp −iδ−a t é multiplicado por θ 1 e oscila muito mais do que
exp i∆−b t . Desta forma, na média, o termo torna-se desprezível, restando apenas o termo
oscilante exp i∆−b t . Após realizara aproximação RWA e tais considerações, o Hamiltoniano
do ressonador b com o qubit fica
b
b
Ĥ Ib ' ħ
h g b e i∆− t b̂σ̂+ + ħ
h g b e−i∆− t b̂† σ̂− .
(3.21)
Aplicando a transformação unitária Û2 (t) = exp −i∆−b σ̂z t/2 em (3.21), obtemos o Hamiltoniano no referencial oscilante com frequência ∆−b na forma
Hˆebf f ' −ħ
h
∆−b
2
σ̂z + ħ
h g b b̂σ̂+ + ħ
h g b b̂† σ̂− .
(3.22)
Uma vez obtidos os Hamiltonianos efetivos (3.19) e (3.22), analisaremos a dinâmica
efetiva do sistema através de uma transformação unitária. Tal transformação unitária U P DC
47
foi escolhida como
”
€
Š—
Û3 = exp ζa θ 2 ↠σ̂+ − âσ− + b̂σ+ − b̂† σ̂− .
(3.23)
Aplicando a transformação Û3 no Hamiltoniano efetivo total do sistema Hˆe f f = Hˆeaf f +
Hˆebf f , obtém-se o Hamiltoniano efetivo para Conversão Paramétrica Descendente Hˆ P DC =
Û3† Hˆe f f Û3 na forma
Hˆ P DC
∆−b
σ̂z + 2ħ
hζa θ 2 g b σ̂ee − 2ħ
hζa θ 2 g a θ σ̂ g g +
2
—
”
+ 2ħ
hζa θ 2 g a θ ↠â + g b b̂† b̂ σ̂z +
—
”
+ ħ
hζa θ 2 g b + g a θ ↠b̂† + â b̂ σ̂z ,
' −ħ
hζa θ 2
(3.24)
cujo parâmetro de acoplamento efetivo da PDC é Λ P DC /2π ≡ −ζθ 2 g b + g a θ /2π ' 200
MHz. As discussões e os detalhes adicionais envolvendo este resultado serão retomados no
Capítulo 4 .
3.3
Conversão Paramétrica Ascendente
De maneira análoga ao que foi feito com a Engenharia da PDC, desenvolveremos os mesmos
passos para esta seção com o intuito de obter a Conversão Paramétrica Ascendente. Para
tanto, deve ser escolhida uma frequência de modulação η adequada a efetivamente ser
obtido um sistema que produza a conversão paramétrica ascendente. Esta frequência de
modulação pode ser escolhida como
η ≡ η PU C = ωa − ω b − γε,
(3.25)
onde γ é uma constante multiplicativa. Partindo do Hamiltoniano de interação (3.7), utilizando a frequência de modulação η PU C e realizando a RWA, obtém-se o Hamiltoniano do
48
modo a como sendo
” a
—
b
Ĥ 0aI ' ħ
h g a e i∆− t + Θe i (∆− −γε) t âσ̂+ + h.c.,
(3.26)
a
com Θ ≡ Λ1 ε/η PU C . Como há uma dessintonia ∆−
longe da ressonância e seu valor é tal
q
a
n̂a /∆−
1, efetua-se o regime dispersivo e o Hamiltoniano toma a forma
que g a
Hˆ 0aI
'ħ
hζa Θ
2

†
â â +
1
‹
2
”
—
b
σ̂z + ħ
h g a Θe i (∆− −γε) t âσ̂+ − h.c. ,
(3.27)
que, aplicando a transformação unitária Û4 (t) = exp −i(∆−b − γε)t/2(↠â + σ̂z ) em (3.27),
o Hamiltoniano torna-se
‚
Hˆ 0ae f f
' ħ
h ζa Θ 2 −
∆−b
2
Œ
γ
h g a Θâσ̂+ + ħ
h g a Θ↠σ̂− .
+ ε σ̂z + ħ
hζa Θ2 ↠âσ̂z + ħ
2
(3.28)
Traçando o mesmo caminho que percorremos no caso anterior, saindo do Hamiltoniano de
interação (3.7), utilizando η PU C e realizando a aproximação RWA, o Hamiltoniano do modo
b torna-se
b
b
Ĥ 0 Ib ' ħ
h g b e i∆− t b̂σ̂+ + ħ
h g b e−i∆− t b̂† σ̂− .
(3.29)
Aplicando uma transformação unitária Û5 (t) = exp −i∆−b t σ̂z /2 em (3.29), este toma a
mesma forma de (3.22), sendo
Hˆ 0 ebf f ' −ħ
h
∆−b
2
σ̂z + ħ
h g b b̂σ̂+ + ħ
h g b b̂† σ̂− .
(3.30)
Realizando a seguinte transformação
” €
Š—
Û6 = exp Θ âσ̂+ − ↠σ̂− + b̂σ̂+ − b̂† σ̂− .
49
(3.31)
Aplicando Û6 no Hamiltoniano total Hˆe0f f = Hˆ 0ae f f + Hˆ 0 ebf f , obtém-se Hˆ 0PU C = Û6† Hˆe0f f Û6
dado por
Hˆ 0PU C
∆−b − γε
σ̂z +
' −ħ
hΘ
”€ 2
Š
—
+ 2ħ
hΘ g a Θ↠â + g b b̂† b̂ σ̂z + g a Θ + g b σ̂ee +
”
—
+ ħ
hλ PU C ↠b̂ + â b̂† σ̂z ,
(3.32)
cujo parâmetro de acoplamento efetivo para PUC é λ PU C /2π ' 100kHz. Os detalhes das
aproximações e as discussões em torno deste Hamiltoniano efetivo serão retomadas no Capítulo 4.
50
Capítulo 4
Resultados e Análises
Neste capítulo serão discutidos os resultados obtidos, as aproximações feitas e os termos desprezados, bem como a validade do Hamiltoniano efetivo. Primeiramente será apresentado
um breve apanhado sobre os pontos importantes do método proposto.
O sistema proposto consiste em dois ressonadores independentes de frequências ωa e
ω b , respectivamente, acoplados a um qubit transmon que possui uma frequência de transição em torno de Ω0 acrescida de um termo temporalmente dependente com uma amplitude
de modulação ε, oscilante com frequência de modulação η. Esta frequência de modulação
produz uma oscilação na frequência do qubit que, dependendo de uma escolha adequada,
causa efetivamente um acoplamento entre ambos os ressonadores, gerando a emissão de
pares de fótons gêmeos (para o caso do η P DC ) ou troca de energia entre os modos (para o
caso do η PU C ). Na Figura 4.1 está representado, em forma de gráfico, o comportamento da
frequência do qubit na presença da frequência de modulação η.
É de suma importância notar que os ressonadores não estão acoplados entre si. Eles
encontram-se acoplados somente com o qubit que por sua vez faz o papel de intermediário,
não só efetivamente acoplando os ressonadores, como também sendo o responsável por
causar correlações entre os fótons produzidos em cada ressonador, como será mostrado
adiante.
51
Figura 4.1: Gráfico (fora de escala) que representa o comportamento da frequência do qubit
Ω(t) em função do tempo t. A amplitude ε e a oscilação temporal η em termos de cos ηt
estão igualmente representadas no gráfico. As constantes c0 e c1 são relativas à função
escolhida e podem assumir valores próximos a 1.
4.1
Conversão Paramétrica Descendente
Retornando ao Hamiltoniano efetivo para PDC, obtido na seção 3.2,
‚
ˆ P DC
H
' 4ħ
hζa θ
2
∆−b
8
Œ
‚
hζa θ
+ g b σ̂ee − 4ħ
2
—
”
+ 2ħ
hζa θ 2 g a θ ↠â + g b b̂† b̂ σ̂z +
—
”
+ ħ
hζa θ 2 g b + g a θ ↠b̂† + â b̂ σ̂z ,
−
∆−b
8
Œ
+ g a θ σ̂ g g +
(4.1)
onde utilizamos uma aproximação que desconsidera os termos ↠ââσ̂− , ↠↠âσ̂+ , ↠â b̂σ̂− e
↠â b̂† σ̂+ cujas frequências típicas destes são muito menores do que as associadas aos outros
termos do Hamiltoniano (4.1). A validade da não inclusão destes termos no Hamiltoniano
efetivo está principalmente ligada ao número médio de fótons do modo a e ainda se manterá
válida enquanto n̂a < 100 (para os valores típicos listados na Tabela 3.1 e dessintonias da
a
ordem de ∆−
).
A primeira linha do Hamiltoniano efetivo (4.1) representa um shift de energia nos estados do qubit, a segunda linha representa um shift de frequência tanto dos ressonadores
quanto do qubit e a terceira linha representa a interação efetiva em si entre os ressonadores.
52
Atentando-se à terceira linha, observa-se que são criados e aniquilados fótons de ambos os
ressonadores. Porém, devido à propriedade dos operadores de criação e aniquilação
α̂† |n⟩ =
p
n + 1 |n + 1⟩ ,
p
α̂ |n⟩ = n |n − 1⟩ ,
(4.2)
(4.3)
haverá sempre um valor líquido maior de fótons criados do que aniquilados, enquanto que
o estado do qubit (σ̂z = σ̂ee − σ̂ g g ) mantém-se sem alteração das populações dos estados
excitado e fundamental.
Pode-se escrever o Hamiltoniano na representação de interação, uma vez que separemos
todos os termos diagonais, i.e., os termos σ̂z , σ̂ee , σ̂ g g , ↠âσ̂z , b̂† b̂σ̂z , como sendo o Hamil
toniano livre Hˆ0P DC . Definindo também a transformação unitária Û = exp −i Hˆ0P DC t/ħ
h
e aplicando-se assim esta nos termos restantes não diagonais ↠b̂† σ̂z e â b̂σ̂z . Obtém-se o
Hamiltoniano na representação de interação HˆIP DC na forma

HˆIP DC ' −ħ
hΛ pd c e
4i
b
∆−
8
+g b ζa θ 2 t
↠b̂† + e
−4i
b
∆−
+g b
8

ζa θ 2 t
â b̂ σ̂z ,
(4.4)
onde Λ P DC /2π ≡ ζθ 2 g b + g a θ /2π ' 200 MHz (para os parâmetros típicos na Tabela
3.1). Este valor de força de acoplamento efetiva é da mesma ordem da força de acoplamento
encontrada na literatura para um transmon acoplado a uma linha de transmissão [14].
Classifica-se o sistema em um regime de acoplamento forte, uma vez que a razão Λ P DC /Ω0 ∼
0.04 encontra-se dentro desta faixa.
De modo a testar a validade do Hamiltoniano efetivo e suas aproximações, deve-se utilizar o Hamiltoniano de Rabi (2.56) inteiro, sem qualquer aproximação, e resolvê-lo via
cálculo numérico, utilizando os valores de frequências e parâmetros inicialmente definidos.
Deve ser escolhido um estado inicial e aplicar o Hamiltoniano de modo que se observe a
dinâmica do sistema. Utilizamos um estado ψ descrito por um estado coerente com o
número médio de 2 fótons em cada ressonador e com o qubit no estado fundamental. O
53
estado coerente é descrito como na equação (2.64),
|α⟩ = e
−|α|2 /2
∞
X
αn
p |n⟩ ,
n!
n=0
(4.5)
onde |α|2 é o número médio de fótons. O estado inicial do sistema ψ é então dado por
€
Š
∞
X
2
2
αa β b g a b ,
ψ = g ⊗ |α⟩ ⊗ β = e− |α| +|β | /2
p
a!b!
a,b=0
(4.6)
com g sendo o qubit no estado fundamental, |α|2 sendo o número médio de fótons do
2
modo a e β sendo o número de fótons do modo b. Utilizando um código escrito em
MATLAB, aplica-se o Hamiltoniano de Rabi (2.56) no estado ψ da equação (4.6). Como
resultado do cálculo numérico, foram obtidos os gráficos da probabilidade de ocupação dos
estados do qubit (Figura 4.2), do número médio de fótons para o ressonador a (Figura 4.3),
bem como da função de Wigner do modo a para diferentes tempos (Figuras 4.1 e 4.1) e
o gráfico da variância do critério de inseparabilidade para diferentes tempos (Figura 4.8).
Também foram obtidos gráficos para o número médio de fótons para o ressonador b (Figura
4.3) e da sua função de Wigner (Figuras 4.1 e 4.1).
1 ,0 0 0
0 ,9 9 5
P r o b a b ility o f o c c u p a tio n
0 ,9 9 0
0 ,9 8 5
P
e
P
g
0 ,9 8 0
0 ,0 0
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
g a t ( p a r a m e tr iz e d tim e )
Figura 4.2: Gráfico da probabilidade de ocupação dos estados fundamental g (vermelho) e excitado |e⟩ (preto) do qubit versus o tempo parametrizado em função da força de
acoplamento g a .
54
2 ,0 1 5
N ú m e r o m é d io d e fó to n s d o m o d o b
N ú m e r o m é d io d e fó to n s d o m o d o a
2 ,0 1 5
2 ,0 1 0
2 ,0 0 5
2 ,0 0 0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
2 ,0 1 0
2 ,0 0 5
2 ,0 0 0
0
g a t ( te m p o p a r a m e tr iz a d o )
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
g a t ( te m p o p a r a m e tr iz a d o )
Figura 4.3: Número médio de fótons do modo a (a esquerda) e b (a direita) de acordo
com a evolução de um estado coerente de um número médio de 2 fótons em cada modo e
resolvido numericamente via o Hamiltoniano de Rabi, utilizando os parâmetros da Tabela
3.1.
O gráfico da Figura 4.2 mostra a evolução temporal das populações dos estados fundamental e excitado sob a atuação do Hamiltoniano de Rabi (2.56). Observa-se a existência de
termos não diagonais no qubit através das pequenas oscilações de inversão de população da
ordem de 10−3 , indicando que a razão destes com relação aos termos diagonais do Hamiltoniano efetivo (4.1) torna-se suprimida e pode ser negligenciada para tempos maiores. Os
gráficos da Figura 4.3 mostram o número médio de fótons com relação ao tempo de evolução
do estado sob a atuação do Hamiltoniano de Rabi, em unidades de tempo parametrizado
g a t. É possível notar que efetivamente se obtém um aumento no número médio de fótons do
modo a e do modo b durante o tempo de evolução do sistema, como esperado pelo Hamiltoniano efetivo (4.4). Sobrepondo ambos os gráficos, torna-se mais fácil observar algumas
relações entre ambos os modos. O gráfico da Figura 4.4 apresenta tal sobreposição para um
estado inicial coerente com um número méio de 1 fóton em cada modo, este último sendo
escolhido apenas por tornar mais fácil a visualização das oscilações. Neste gráfico, é possível
observar as rápidas oscilações de grande amplitude do número médio de fótons do modo a
e uma relação entre os oscilações deste número de fótons em forma de batimento formadas
pelo modo a com as oscilações do número médio de fótons do modo b. Tais oscilações no
modo a podem ser interpretadas como a manifestação dos termos Anti-Jaynes-Cummings,
55
1 ,0 0 2 0
N ú m e r o m é d io d e fó to n s
1 ,0 0 1 5
1 ,0 0 1 0
1 ,0 0 0 5
1 ,0 0 0 0
m o d o a
m o d o b
0 ,9 9 9 5
0 ,9 9 9 0
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
g a t ( te m p o p a r a m e tr iz a d o )
Figura 4.4: Número médio de fótons dos ressonadores a (vermelho) e b (azul) versus o
tempo parametrizado g a t para um estado coerente inicialmente contendo um número médio
de 1 fóton em cada ressonador.
utilizados para a obtenção do Hamiltoniano efetivo, enquanto que os batimentos no modo
a e a oscilação no modo b possuem certa correlação quântica, analisada através de cálculos
da função de Wigner [25, 46] para diferentes tempos, como mostrado mais adiante.
56
Figura 4.5: Função de Wigner para um estado coerente com um número médio de 1 fóton antes da evolução do sistema através do Hamiltoniano de Rabi (2.56), utilizando os
parâmetros da Tabela 3.1.
Efetuamos inicialmente o cálculo da função de Wigner para o estado coerente com um
número médio de 1 fóton, cujo resultado é mostrado no gráfico da Figura 4.5. De modo a
analisar o comportamento da evolução temporal do estado sob a ação do Hamiltoniano de
Rabi, foram gerados dois gráficos da função de Wigner do estado de cada modo em g a t ≈ 53
(Figuras 4.1 e 4.1) e g a t ≈ 124 (Figuras 4.1 e 4.1). Como pode-se observar na Figura 4.1, há
a presença de uma deformação de forma triangular no espaço de fase, indicando a tendência
do estado para se comprimir na quadratura X̂ 1 e algumas regiões negativas, resultado de
correlações não-clássicas. Voltando a atenção para a Figura 4.1, nota-se uma forte compressão na quadratura X̂ 2 . Se comparados com os gráficos para tempos maiores (Figuras 4.1 e
4.1), fica evidente que a compressão do modo a tende para a quadratura X 1 , enquanto que
a compressão do modo b se mantém na quadratura X 2 . Tais compressões indicam que os estados do modo a e do modo b encontram-se correlacionados quanticamente entre si. Como
comprovação não só das características quânticas dos estados separadamente, mas também
da correlação não clássica entre ambos, foi feito o cálculo do critério de inseparabilidade
(Seção 2.8.4). É possível observar no gráfico da Figura 4.8 a presença de emaranhamento
entre os fótons gerados para diferentes tempos, uma vez que para valores menores que 2,
57
Figura 4.6: Função de Wigner para o modo a (à direita) em um tempo parametrizado
g a t ≈ 53. A presença de deformações no inicialmente círculo (Figura 4.5) indica uma
tendência para a compressão do estado na quadratura X̂ 1 , relevando o caráter quântico
do estado. Função de Wigner para o modo b (à esquerda) em um tempo parametrizado
g a t ≈ 53. A presença de uma deformação acentuada em uma das quadraturas mostra a
compressão do estado na quadratura X̂ 2 quemostra o comportamento quântico do estado.
a variância plotada neste gráfico indica estados não-separáveis [47, 50]. Estes resultados
numéricos corroboram a predição do Hamiltoniano efetivo (4.4) para a geração de fótons
gêmeos nos ressonadores a e b.
58
Figura 4.7: Função de Wigner para o modo a (à direita) em um tempo parametrizado g a t ≈
124. Se comparado com a Figura 4.1, nota-se uma acentuação na compressão da função
no eixo X 1 e regiões negativas, mostrando o comportamento quântico do estado. Função
de Wigner para o modo b (à esquerda) em um tempo parametrizado g a t ≈ 124. A função
continua comprimida na quadratura X̂ 2 , apesar de perder um pouco da compressão obtida
anteriormente, se comparada com a Figura 4.1.
S e p a rá v e l
2 ,0
V a r iâ n c ia
E m a ra n h a d o
1 ,8
1 ,6
0
3 0
6 0
9 0
1 2 0
g at
Figura 4.8: Variância ∆2 u + ∆2 v versus o tempo parametrizado g a t. O gráfico apresenta
o cálculo do critério de inseparabilidade de variáveis contínuas para diferentes tempos,
utilizando-se o estado resultante do cálculo numérico. Valores abaixo de 2.0 resultam em
um sistema emaranhado, enquanto que para valores superiores, o sistema encontra-se separável.
59
4.2
Conversão Paramétrica Ascendente
Retomando o Hamiltoniano efetivo para PUC
Hˆ 0PU C
∆−b − γε
' −ħ
hΘ
σ̂z +
”€ 2
Š
—
+ 2ħ
hΘ g a Θ↠â + g b b̂† b̂ σ̂z + g a Θ + g b σ̂ee +
”
—
+ ħ
hλ PU C ↠b̂ + â b̂† σ̂z ,
(4.7)
onde os termos ↠↠σ̂− , ↠ââσ̂+ , ↠â b̂σ̂+ e ↠â b̂† σ̂− que são proporcionais à n̂a foram
desconsiderados desde que n̂a ® 1 se mantenha. Os termos na primeira linha são diagonais e portanto contribuem apenas como um shift na energia do sistema, enquanto que o
termo principal e responsável pela conversão paramétrica é o termo da terceira linha, onde
↠b̂ e â b̂† são responsáveis pela troca de energia entre os modos. Escrevendo o Hamiltoniano na representação de interação, obtém-se
HˆI0PU C
Š
€
' ħ
hλ PU C e2i ( g a Θ+g b )Θt ↠b̂ + e−2i ( g a Θ+g b )Θt â b̂†
Continuando a análise da natureza dessas oscilações, foi calculada a função de Wigner
para os dois modos com um estado coerente inicial com um número médio de 1 fóton em
cada modo e dois gráficos de cada modo para tempos distintos foram gerados, como apresentam as Figuras 4.8 e 4.10, para g a t ≈ 106, e Figuras 4.8 e 4.11, para g a t ≈ 160.
Um gráfico para o estado coerente inicial com número médio de 1 fóton foi gerado
(Figura 4.9), de modo a servir de parâmetro para os gráficos em tempos maiores. Analisando
os gráficos do modo a para os diferentes tempos (Figuras ?? e 4.8), nota-se uma tendência da
função a ser comprimida na quadratura X̂ 1 e uma tendência a acentuar uma região negativa
(não-clássica), denotando suas características quânticas devido aos termos ↠↠σ̂− , ↠ââσ̂+ ,
↠â b̂σ̂+ e ↠â b̂† σ̂− . Dos gráficos do modo b para os diferentes tempos (Figuras 4.10 e 4.11),
torna-se claro que a compressão mantém-se na quadratura X̂ 2 e as regiões negativas são mais
evidentes.
Dado que o estado do modo a tende à compressão na quadratura X̂ 1 e o estado do modo
60
Figura 4.9: Função de Wigner para um estado coerente inicial com um número médio de 1
fóton.
Figura 4.10: Função de Wigner para o modo a (à direita) em um tempo parametrizado
g a t ≈ 106. É notável a presença de deformações, fazendo o gráfico se assemelhar a um
triângulo, indicando uma tendência para a compressão do estado na quadratura X̂ 1 . Tal
compressão demonstra seu caráter quântico. Função de Wigner para o modo b (à esquerda)
em um tempo parametrizado g a t ≈ 106. A deformação acentuada da função na quadratura
X̂ 2 mostra que o estado possui um caráter quântico e relacionado com o modo a.
61
Figura 4.11: Função de Wigner para o modo a (à direita) em um tempo parametrizado g a t ≈
160. Se comparado com a Figura 4.8, nota-se uma acentuação na compressão da função e
nos valores negativos, confirmando seu caráter quântico. Função de Wigner para o modo
b (à esquerda) em um tempo parametrizado g a t ≈ 160. A função continua comprimida na
quadratura X̂ 2 , mantendo sua característica quântica.
b se encontra comprimido na quadratura X̂ 2 , fica evidente a correlação não-clássica dos
fótons gerados em ambos os ressonadores. Obtivemos então o processo de PUC acrescido
de fatores de compressão adicionais que são referentes ao número médio de fótons > 1 no
modo a.
62
Capítulo 5
Conclusão
Nesta dissertação foi apresentado um método original para se obter diferentes processos
paramétricos de conversão de frequências em Eletrodinâmica Quântica de circuitos através
apenas da escolha adequada de um parâmetro temporalmente dependente adicionado ao
sistema. Utilizando-se de uma frequência de modulação temporal no qubit (átomo artificial),
foi possível obter tanto a conversão paramétrica descendente (PDC) quanto a conversão paramétrica ascendente (PUC), apenas ajustando adequadamente o valor desta modulação.
Apresentamos inicialmente, no Capítulo 2, um estudo sobre a Eletrodinâmica Quântica
de circuitos através da quantização da linha de transmissão e de dois tipos de qubit baseados
na junção Josephson, o CPB e o transmon, bem como as características de ambos. Foi escolhido o transmon, nesta dissertação, por apresentar uma robustez contra o ruído de carga e
o ruído 1/ f , além da não necessidade de se operar no regime de degenerescência de carga,
ou sweet spot, e apresentar um incremento no tempo T2 de decoerência, tornando-o um
excelente candidato para o sistema proposto. Após a escolha do qubit a ser utilizado, apresentamos como ocorre seu acoplamento com a linha de transmissão e também uma rápida
descrição sobre os tipos de ruídos relevantes nele encontrados. Também foram discutidos
a não-classicalidade da luz e alguns tipos de estados quânticos da luz, como o estado coerente e o estado comprimido, apresentando suas características relevantes. Apresentamos a
função de distribuição de quasi-probabilidade de Wigner, uma importante ferramenta para
a análise dos resultados obtidos, bem como o critério de inseparabilidade de variáveis con63
tínuas, utilizado para verificar que há o emaranhamento nos fótons gerados pelo sistema
proposto. De forma mais abrangente, foram introduzidos os processos de conversão paramétrica descendente e ascendente no âmbito da óptica não-linear.
Em seguida, no Capítulo 3, foi apresentado o sistema em si, constituído de duas linhas
de transmissão não interagentes conectados ao transmon capacitivamente. O transmon se
encontra sob a ação de uma frequência de modulação externa que tem um papel essencial na
obtenção dos processos de conversão de frequências. Com uma escolha adequada do valor
da modulação externa, o qubit é capaz de realizar efetivamente o acoplamento entre os dois
ressonadores, produzindo os processos desejado. Após definidos os valores dos parâmetros
e frequências do sistema, foram efetuadas algumas aproximações no Hamiltonianos de Rabi,
como a aproximação de onda girante que desconsidera os termos que temporalmente oscilam muito mais do que a força de acoplamento. Também foram feitas aproximações para
se obter o Hamiltoniano no regime dispersivo, uma vez que a diferença entre as frequências
do ressonador e do qubit é muito maior do que a força de acoplamento. Algumas transformações unitárias adicionais foram utilizadas para eliminar as dependências temporais,
tornando os efeitos desejados mais evidentes para, por fim, serem obtidos os Hamiltonianos
efetivos para PDC e PUC. A força de acoplamento efetiva obtida é da ordem de 200 MHz
para PDC, classificando-o em um regime de acoplamento forte, e da ordem de 100 kHz para
PUC, classificando-o em um regime de acoplamento fraco.
No Capítulo 4, foram discutidos todos os aspectos resultantes das aproximações e escolhas feitas no Capítulo 3. Para o Hamiltoniano efetivo PDC, foi observado um crescimento
do número de fótons, partindo-se de um cálculo numérico utilizando o Hamiltoniano de
Rabi (2.56) sem nenhuma aproximação. Uma análise através de gráficos da função de Wigner para os fótons gerados nos ressonadores a e b, mostrou haver uma compressão de cada
um dos modos em quadraturas diferentes durante a evolução do sistema, inferindo uma
correlação quântica entre ambos os fótons. Para se apurar a existência de tal correlação, foi
feito o cálculo da variância dos operadores escritos em termos das quadraturas do campo
que mostrou haver emaranhamento entre os fótons gerados. Para o Hamiltoniano efetivo
PUC, observou-se uma troca de fótons entre os dois modos a e b, novamente partindo-se
64
do cálculo numérico utilizando o Hamiltoniano de Rabi. Gráficos da função de Wigner
mostraram novamente uma correlação quântica, através da compressão dos modos em quadraturas diferentes do campo devido ao efeito de termos extras no Hamiltoniano de PUC,
como discutido na Seção 4.2. Os cálculos numéricos apresentados no Capítulo 4 corroboram
as aproximações feitas no Capítulo 3 para a obtenção dos Hamiltonianos efetivos.
Como uma perspectiva futura interessante, é a possibilidade de seguir a análise para um
sistema aberto e verificar como se dá sua dinâmica na presença de ruído, da troca de energia com o ambiente e da perda de coerência quântica. Devido a uma pequena variação na
frequência de modulação ou na amplitude de modulação ser capaz de produzir efeitos não
desejados e até mesmo não esperados, é possível investigar o papel crucial de tais escolhas
de modulação adicionadas à dinâmica de sistemas quânticos mais complexos, acoplados a
mais qubits e ressonadores. Tais possibilidades poderiam levar a esquemas mais efetivos
para a produção de fótons gêmeos em Eletrodinâmica Quântica de circuitos.
Além disto, a proposta apresentada é altamente viável experimentalmente, uma vez que
os valores utilizados condizem com as possibilidades tecnológicas atuais. O protocolo proposto foi apresentado a pesquisadores experimentais do Quantronics Group, do CEA-Saclay,
França e sua implementação foi discutida. Detalhes como a modelagem do circuito: como
posicionar cada ressonador, o qubit, o modulador de frequências e os canais de leitura; implementação de um modulador de frequências, que pode ser tanto um campo magnético
variável quanto um capacitor modulado; as limitações quanto ao fator de qualidade e também a supressão do ruído no canal de carga através de uma geometria adequada. Tais
considerações discutidas confirmaram a possibilidade do protocolo ser construído e testado.
Uma possível realização experimental pode ser proposta posteriormente para se testar a
versatilidade contra o tempo de decoerência.
65
Apêndice A
Teorema da Equivalência Óptica para
Operadores na Ordenação Normal
Este Apêndice segue os passos feitos na referência [48], necessário para se construir uma
relação das grandezas que serão usadas para se verificar a desigualdade de Schwarz. Considerando uma função qualquer de ordenação normal g (N ) (â, ↠) do operador de aniquilação
â e criação ↠como sendo escrito na forma de uma série de potências na forma
g (N ) (â, ↠) =
X
cnm â†n â m .
(A.1)
n,m
O valor esperado de (A.1) no estado caracterizado pelo operador densidade ρ̂ é dado por
g (N ) (â, ↠) = Tr ρ̂ g (N ) (â, ↠)
(A.2)
Utilizando-se da definição de ρ̂ como
ρ̂ =
Z
φ(v) |v⟩ ⟨v| d 2 v,
66
(A.3)
reescrevemos (A.2) na forma
g
(N )
Z
†
(â, â ) = Tr
φ(v)
X
cnm |v⟩ ⟨v| â†n â m d 2 v
n,m
=
Z
φ(v)
X
cnm ⟨v| â†n â m |v⟩ d 2 v.
(A.4)
n,m
Como ⟨v| é autoestado de â†n e |v⟩ é autoestado de â m , tem-se que ⟨v| â†n â m |v⟩ = v ∗n v m e,
portanto,
g
(N )
†
(â, â ) =
Z
φ(v)
X
cnm v ∗n v m d 2 v
n,m
=
Z
φ(v)g (N ) (v, v ∗ ) d 2 v,
(A.5)
pode-se dizer que o valor esperado da função g (N ) (â, ↠) é encontrado pela substituição dos
operadores ↠e â pelos seus autovalores v ∗ e v e pelo valor médio da função resultante
g (N ) (v, v ∗ ) sob todo o plano-v complexo com φ(v) sendo uma função de ponderação. Uma
vez que podemos definir o valor esperado de g (N ) (v, v ∗ ) através da relação
Z
φ(v)g (N ) (v, v ∗ ) d 2 v ≡ g (N ) (v, v ∗ ) φ ,
(A.6)
onde tem-se o valor médio do ensemble ⟨⟩φ com respeito a função de ponderação φ(v), notase que o valor esperado quântico é determinado da mesma forma que o valor esperado de
uma função c-number correspondente em Óptica Clássica. A equação (A.6) pode ser escrita
como
g (N ) â, â†
≡ g (N ) (v, v ∗ ) φ .
(A.7)
O termo à direita significa a média do ensemble com respeito à densidade do espaço de
fase φ (v), enquanto que o termo à esquerda denota o valor esperado usual da Mecânica
Quântica.
(A.7)
Como um exemplo de aplicação desta relação, consideremos o número médio de fótons
67
n̂ = ↠â que é escrito como
⟨n̂⟩ = |v|2 φ ,
(A.9)
que, para um estado coerente caracterizado por um número médio de v 02 , é escrito na forma
⟨n̂⟩ =
Z
2
|v|2 δ2 v − v 0 d 2 v = v 0 .
68
(A.10)
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