Exemplo

Mecânica Quântica Rudimentos
Fonte: Chuang-Nielsen
Quantum Computation and Quantum Information,
Cambridge University Press, 2000
Francisco M. de Assis
Doutor, UFCG
 Objetivos:
 Apresentar os princípios da MQ com exemplos de apoio
 Emaranhamento, fontes quânticas, entropia
 Projeto QUANTA
GEPOTI/QUANTA
Mecânica Quântica?
Analogia
Programas <-> QED (específico)
Sistema operacional <-> QM
Gravitação Newton
Leis de movimento
Vamos aceitá-la como uma coleção de quatro postulados
que formam as regras básicas para a descrição de
qualquer sistema físico!
A mais bem sucedida!
Não há registro de falha em nenhuma previsão da QM!
Nielsen: a teoria do tudo será quântica
Aspecto conceitual: problema da medição
Teoria da gravitação quântica
Álgebra linear
A estrutura da QM
Notação de Dirac  ,  , A
Quatro postulados: 1. Representação de um sistema fechado:
“vetores de estado” e “espaço de estados”
2. Dinâmica dos sistemas quânticos:
“evolução unitária”
3. Representação das medições quânticas:
“medições ou operadores projetivos”
4. Representação de sistemas compostos
“produtos tensoriais”
Exemplo: qubit
(sistemas quânticos com 2 níveis)
1
fótons
spin de partículas
etc
 0  1
0
“Normalização”
|  |2  |  |2  1
base computacional
0
1
“All we do is draw little arrows on a piece of paper - that's all.”
- Richard Feynman
Postulado 1
Associado com qualquer sistema quântico existe um espaço
vetorial complexo (espaço dos estados), Cd.
O estado de um sistema quântico é um vetor unitário no
espaço dos estados
Exemplo: qubits com estados em C2.
 
 0  1  
 
A MQ não especifica estados de sistemas específicos. Uma
teoria específica deve ser usada para tanto.
Notação bra-ket
|
Qudit
(=  )
   0 0  1 1  2 2  ...  d 1 d  1
C
d
 0 
  
 1 
  2 


:


d 1 
  0 1  d 1 
Dinâmica: um exemplo
NOT quântico:
Qubit entrada
X 0  1 ;
X
Qubit saída
X 1  0 . Representação matricial:
 0  1 ?
 0   1  1   0
0
X 
0
1
1
0 1 
 1 0


A evolução de um sistema quântico fechado pode ser
Representada por uma matriz unitária
Matrizes unitárias
a b 
A

c
d


 
A†  A*
T
A é matriz unitária se:
a * c * 
 *

*
b d 
AA†  A†A  I
Conjugação hermitiana
Notação comum: U para matriz unitária
Exemplo
0 1 0 1 1 0
XX  
.




1 0 1 0 0 1

Postulado 2
A evolução de um sistema quântico é representada
por uma transformação unitária
' U 
Por que unitárias?
Observação: transformação unitárias
preservam a normalização
Sendo
' U 
  |   U U   | U U |     1
H
Portas de Pauli
X
X 0  1 ;
X1  0 ;
0 1 
X

1
0


Y
Y 0 i 1 ;
Y 1  i 0 ;
0 i 
Y

i
0


Z
Z 0  0 ;
Z1 1 ;
1 0 
Z

0

1


Exercício : verifique que XY=iZ
Exercício: verifique que X2=Y2=Z2=I
Medição de um qubit
  0   1
Não é possível determinar os valores de
 ou  
Mas é possível obter informação (limitada) sobre estes valores
por meio de
“Medições na base computacional”
2
P (0)   ;
P (1)  
2
A medição “colapsa” o estado do qubit para um dos estados da
base computacional com probabilidades P(0), P(1) respec.
Medição de um qubit
1
P (0)  P (1) 
1
2
0
1
1
0 
1
2
2
Medidas: caso mais geral
Na base e1 , e2  en
a medida do estado : 
resulta na observação de e j com probabilid ade
P( j )  e j 
A medida provoca o colapso do estado
da base computacional. Isto é tudo…

para um dos estados
Exemplo
  0   1
Considere a base ortonormal
 
0 1
2
 
,
2
P()   
P() 
 

2
=
0 1

2
2
2


2
2
Postulado 3
A medição do estado  na base computacional e1 , e2 ,, ed
resulta na observação do resultado j (o sistema permanece doravante
no estado j) com probabilidade
P( j )  e j 
2
Observe que o ato de medir “perturba” ou “colapsa” o sistema para
um determinado estado definitivamente!
O problema da medição
Sistema quântico
Dispositivo de medição
Resto do Universo
Os postulados 1 and 2
Postulado 3
Pesquisa: resolver o problema da medição…
Sistema de múltiplos qubits
00 00  01 01  10 10  11 11
Medição na base computacional:
Estado para n qubits:

n
x 0,1
P (x , y ) | xy |2
x x
Observe que são necessários O(2^n) bits clássicos para
representar um estado quântico de n qubits!
“Hilbert space is a big place” - Carlton Caves
Postulado 4
O espaço de estados de um sistema quântico composto é o
produto tensorial dos espaços de estados dos sistemas
componentes
Exemplo:
C  C C
00  0  0 ,
4
2
2 é o espaço dos estados de sistemas
01  0  1
com dois qubits
10  1  0
Propriedades do produto tensorial
z v  w
  (z v
)  w  v  (z w )
( v1  v2 )  w  v1  w  v2  w
v  ( w1  w2 )  v  w1  v  w2
11  1  1
Algumas conseqüências do Postulado 4
Se Alice prepara seu sistema no estado
o estado conjunto será
a b
Conversamente, se o estado conjunto é
Alice está no estado
a e Bob no estado b
a  b então o sistema de
a e o sistema de Bob está no estado b

Observe que independe da fase global: a  b = e i  a
  e
i 
b
Alice aplicar o operador U ao seu sistema é equivalente a aplicar
U I
ao sistema em conjunto
Lembrar que
A  B  v
 w  A v B w

Exemplos
Suponha que a porta X (NOT) é aplicada ao segundo qubit (Bob)
quando o estado conjunto é
0,4 00  0,3 01  0,2 10  0,1 11
O estado resultante é
( I  X )( 0,4 00  0,3 01  0,2 10  0,1 11 )
 0,3 00  0,4 01  0,1 10  0,2 11
Exercício: um sistema com dois qubits encontra-se no estado
  0,8 00  0,6 11
sendo submetido a uma operação X no segundo qubit e uma medição
na base computacional. Determine as probabilidades das observações
que podem ocorrer…
Alice
Emaranhamento quântico
 
Bob
00  11
2
  a b
   0   1  0   1 
  00   10   01   11
   0 or   0.
Schroedinger (1935): “I would not call
[entanglement] one but rather the characteristic
trait of quantum mechanics, the one that
enforces its entire departure from classical lines
of thought.”
Resumo
Postulado 1: um sistema quântico é representado por um
espaço vetorial complexo com produto interno (espaço dos
estados)
Postulado 2: A evolução de um sistema quântico isolado é
descrito por uma transformação unitária
' U 
Postulado 3: uma medida de um estado  realizada na base
2
e1 , e2 ,, ed
ej 
resulta no estado j com probabilidade
Postulado 4: O espaço dos estados de um sistema físico
composto é o produto tensorial dos espaços dos sistemas
componentes
Emaranhamento = Recurso Físico
Exemplo:
Codificação Superdensa
Alice
Codificação Superdensa
ab
Alice pode transmitir 2 bits clássicos se
dispõe de apenas 1 qubit? Sim!
 
00  11
2
Dispositivo de medição
ab
Bob
Alice
Codificação Superdensa
X 0  1;
Bob
X 1  0
Z 0  0 ; Z 1 1
ab
00 : Apply I
01 : Apply Z
10 : Apply X
11 : Apply XZ
00  11
2
00  11
2
00  11
2
00  11
2




00  11
2
00  11
00  11
2
2
10  01
2
10  01
2
ab
Exercício
Suponha que o estado inicial compartilhado
por Alice e Bob seja agora
 
  10
2
Será ainda possível implementar um protocolo de
codificação superdensa?
Aplicando as operações I, Z, X e XZ resulta numa base de Bell
portanto o estado inicial pode ser compartilhado para codificação
superdensa
Ciência da Informação quântica: arcabouço
para o estudo de sistemas quânticos complexos
Processos Quânticos
algoritmo de Shor
teletransporte
comunicação
capacidade de canais
quânticos com múltiplos
usuários
teoria do emaranhamento
criptografia
Correção de erros
quânticos
Complexidade
Fontes clássicas e quânticas
Exemplo: “Fonte binária quase-clássica
1
0 com probabilidade 2
1 com probabilidade 1
2
Exemplo: “Fonte binária quântica”
0
0 1
Definição geral: DMSQ
2
1
com probabilidade 2
com probabilidade 1
2
Uma fonte de informação quântica produz estados  j
com probabilidades pj
Entropia de Von Neumann
Fonte binária quase-clássica:
1
1
P 0   , P 1  
2
2
1
H   1
2
 0 1  1
1

P 0   , P
 2
2
2


Fonte quântica binária
(legítima):
3

1  0  1  0  1   4


  0 0  



2
2 
2   1

4
Agora usando a entropia de Von Neumann
1

4
1

4
S     tr  log     x logx  H0.8536  0,6
x
Em geral portanto pode se esperar maior compressão.
Subespaço Típico
Exemplo:
  p 0 0  1  p 1 1 , S    H  p
Seqüências não Típicas
Seqüências Típicas
X 1 , X 2 , , X 2nS   
Subespaço típico é gerado por
X 1 ,, X 2nS    , P   X j X j
Compressão de dados de Schumacher
Mede estado para verificar em que subespaço
típico está (projetores P) Q = I - P
P
Transf. Unit. X j  j 0  0
Q
Envia 0
 nS   
Envia j
Justapõe 0 s : j 0  0
Shumacher: EF=1
Transforma da inversa : j 0  0  X j
Compressão de Schumacher
j
0
UT
U
medida: 0
0
0
U†
O Projeto QUANTA - CNPq
Grupo de Informação e Computação Quântica
Aércio Ferreira de Lima, DF/UFCG
Bernardo Lula Júnior, DSC/UFCG
Francisco Marcos de Assis, DEE/UFCG
Grupo de Comunicações Quânticas
Rubens Vianna Ramos DETI/UFC
Objetivos Gerais
Desenvolvimento de um sistema de comunicações
quântico inviolável
Eva
Canal clássico
Canal quântico
Alice
Bob
Diagrama do sistema quântico
Diodo Laser
+
Atenuador
Óptico Ajustável
+
Controle
Fonte de
Fótons
Isolados
Fibra óptica
+
Acopladores
Ópticos
+
Controle
Polarizador
Defasador
de fase
Canal
Quântico
Bob
Receptor
de Fótons
Isolados
Alice
1
Z 0 , 1 
X  , 



0
Fotodiodo APD
+
Amplificador
+
Controle
Etapas do Projeto
 Proposição dos protocolos
 Softwares de controle e comunicação do
experimento (DSC/UFCG)
 Protocolo para autenticação quântica de
mensagens clássicas (DEE/UFCG)
 Aspectos experimentais
 Montagem e teste: fonte de fótons isolados,
interferômetro óptico e receptor de fótons
isolados. (DF/UFCG e DETI/UFC)
 Análise da segurança do sistema montado
 Inserção do sistema em redes de comunicação
existentes
Autenticação
 Esquemas clássicos de autenticação
 Código de Autenticação de Mensagem (MAC)
 Funções Hash
 Segurança
 Computacional
 Informacional (Teórica ou Incondicional)
 Esquemas c/ segurança informacional
 Wegman e Carter – 1981
 Segurança computacional X Computador quântico
 Subgrupo escondido (fatoração, log discreto, índice)
Autenticação quântica de mensagens
clássicas
 Curty e Santos (2001) – Comprimento Unitário
 Associa
0  0 , 1  1 tal que i |  j   i , j
 Chave secreta: par EPR maximamente emaranhado

1
 AB 
01
2
AB
 10
AB

 Alice - Para enviar o bit i:
Prepara tm  ii e aplica a operação unitária em

A
tm
EA  0 0 A I  1 1 AU
 Estado do sistema (Alice + Bob + Mensagem)

1
01
2
AB
ii  10
AB
U  ii

Continua ...
Autenticação quântica de mensagens
clássicas
 Bob - Para checar a autenticidade
DB  0 0 BU  1 1 B I
Faz medições ortogonais na base
B   i ; i  0,1,2,3
Autêntica se o resultado for i ; i  0,1
 Requer tecnologia inexistentes
Pesquisa:
Descrever um protocolo de autenticação quântica
de mensagens clássicas que exija apenas preparação,
transmissão e medição de estados quânticos de bases
ortonormais (ex. Z e X )