Barras Solicitadas Barras Solicitadas Axialmente Axialmente

Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Mecânica dos Sólidos 2
Código: ECIV030
Professor: Eduardo Nobre Lages
Barras Solicitadas Axialmente
(Tração e Compressão)
Maceió/AL
Ensaio Axial
Considere a barra prismática (seção
transversal constante) constituída de
um mesmo material isotrópico e
elástico linear, submetida a uma carga
axial P em uma das extremidades e
engastada na outra.
P
Através de ensaios observa-se que, distante da zona de perturbação
do engaste, segmentos de reta originalmente ortogonais ao eixo da
barra permanecem retos e ortogonais ao eixo da barra após o
processo de deformação.
P
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
L
Hipótese de Seções Planas
Todos os pontos de uma seção transversal apresentam o mesmo
deslocamento na direção longitudinal.
y
z
P
L
x
εxx constante na
seção transversal
Observa-se (ensaios) que nas direções y e z há um movimento
dos pontos da seção transversal de tal forma que
ε yy = ε zz = −νε xx
que leva a nulidade das tensões normais σyy e σzz, assim
σ xx
como
ε xx =
E
ou σ xx = Eε xx
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
u (X, Y, Z) = f (X )
∂u df
=
ε xx =
∂X dX
Esforço Normal e a
Tensão Normal
y
N
(EIS)
P
L
x
σxx
P
(tensões)
P
N = ∫ σ xx dA = σ xx ∫ dA = σ xx A ∴
A
A
σ xx
N
=
A
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z
Equações Governantes
Relação constitutiva:
Equivalência estática:
Equação de equilíbrio:
N
σ xx =
A
dN
= − p(X )
dX
d 2u
p(X )
=−
2
dX
EA
dσ xx
p(X )
=−
dX
A
dε xx
p(X )
=−
dX
EA
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Relação cinemática:
du
ε xx =
dX
σ xx = Eε xx
Estratégias de Solução
dN
= − p(X )
dX
σ xx
N
du
=
σ xx = Eε xx ε xx =
A
dX
Problemas Hiperestáticos
d 2u
p(X )
=
−
dX 2
EA
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Problemas Isostáticos
Barra Prismática
sob Tração
Por se tratar de um problema isostático,
isostático o esforço normal pode
ser facilmente determinado por alguma estratégia apresentada
em Teoria das Estruturas 1 ou pela integração da EDO. Assim,
dN
= − p(X ) = 0
dX
Condição
de contorno
N (L ) = P ⇒ C = P ⇒ N(X ) = P 0 ≤ X ≤ L
De posse do esforço normal constrói-se a tensão
normal como
N(X ) P
σ xx (X ) =
=
A
A
0≤X≤L
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N(X ) = C
Constante de
integração
Barra Prismática
sob Tração
Fazendo uso da relação constitutiva tem-se
σ xx (X )
(
)
ε xx X =
=
E
P
EA
0≤X≤L
du
P
= ε xx (X ) =
dX
EA
P
u (X ) =
X+ C
EA
Condição
de contorno
u (0 ) = 0
Constante de
integração
⇒ C = 0 ⇒ u (X ) =
P
X
EA
PL
Variação de comprimento da barra: ∆ = u (L ) =
EA
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Da relação cinemática tem-se
Princípio de Saint
Saint--Venant
(em 1855)
As tensões provocadas por ações estaticamente equivalentes
podem ser consideradas iguais para regiões afastadas da zona
de aplicação dessas ações.
P/A
...
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Em relação à barra prismática sob tração, esse princípio pode
ser assumido para se considerar as soluções anteriormente
apresentadas em regiões afastadas do engaste e da
extremidade de aplicação da força P.
Exemplo
Considere agora a barra formada por dois trechos prismáticos de
mesmo material
X1
X2
E, A1
E, A2
L
L
Para descrever os campos das variáveis de estado do
problema devemos identificar intervalos de análise a partir
dos trechos onde há mudança na descrição do esforço normal
e/ou da rigidez axial EA.
O problema em pauta exige a consideração de dois
intervalos de análise, por exemplo
0 ≤ X1 < L e 0 < X 2 ≤ L
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P
Exemplo
Por se tratar de um problema isostático:
dN1
= 0 ∴ N1 (X1 ) = C1
dX1
dN 2
= 0 ∴ N 2 (X 2 ) = C 2
dX 2
N1 (L ) = N 2 (0 ) e N 2 (L ) = P
⇒ N1 (X1 ) = P
⇒ N 2 (X 2 ) = P
ε xx1 =
N1 (X1 ) P
=
A1
A1
σ xx1 (X1 )
E
=
σ xx 2 =
P
EA1
ε xx 2 =
du1
P
P
=
∴ u1 (X1 ) =
X1 + D1
dX1 EA1
EA1
N 2 (X 2 ) P
=
A2
A2
σ xx 2 (X 2 )
E
=
P
EA 2
du 2
P
P
=
∴ u 2 (X 2 ) =
X2 + D2
dX 2 EA 2
EA 2
u 1 (0 ) = 0 e u1 (L ) = u 2 (0 )
⇒ u1 (X1 ) =
P
X1
EA1
⇒ u 2 (X 2 ) =
P
PL
X2 +
EA 2
EA1
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σ xx1 =
Princípio da Superposição
dos Efeitos
A variação de comprimento da barra do exemplo anterior, dada
por
PL
PL
∆ = u 2 (L ) =
EA1
+
EA 2
NL
∆=
EA
onde essa variação de comprimento é diretamente proporcional ao
inverso da área da seção transversal. Com isso
∆=∆
rígido
E, A2
L
L
P
1
=0
A1
+∆
1
=0
A2
E, A1
rígido
L
L
P
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também pode ser determinada fazendo-se uso do Princípio da
Superposição dos Efeitos,
Efeitos desde que se conheça a variação de
comprimento de um trecho prismático de mesmo material e esforço
normal constante, dada por
Exemplo
Considere agora a barra prismática de mesmo material solicitada
por um carregamento axial uniformemente distribuído
X
E, A
L
O problema em pauta exige a consideração de
um único intervalo de análise, por exemplo
0≤X≤L
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p
Exemplo
Por se tratar de um problema isostático:
dN
= − p e N (L) = 0 ⇒ N(X ) = p(L − X )
dX
ε xx =
σ xx (X )
p
(L − X )
=
E
EA
(
du
p
(L − X ) e u (0) = 0 ⇒ u (X ) = p 2LX − X 2
=
dX EA
2EA
)
pL2
Variação de comprimento da barra: ∆ = u (L ) =
2EA
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σ xx
N(X ) p
=
= (L − X )
A
A
Exemplo
Para a variação de comprimento da barra,
barra anteriormente
encontrado,
2
pL
∆ = u (L ) =
2EA
E, A
pL
L/2
L
Essa conclusão pode ser estendida a qualquer lei de
variação do carregamento distribuído na direção axial,
desde que esse esteja atuando num trecho prismático
de mesmo material.
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esse mesmo resultado pode ser encontrado a partir de um arranjo
onde se tem a força resultante do carregamento distribuído
posicionado no centróide da figura de representação desse
carregamento, ou seja,
Ajustes nas Equações
Governantes
du
Relação cinemática: ε xx =
dX
σ
Relação constitutiva: ε xx = xx + α∆T
E
N
Equivalência estática: σ xx =
A
Equação de equilíbrio: dN = − p(X )
dX
d   du

−
α
∆
T
EA

 = − p(X )

dX   dX

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Consideremos agora a possibilidade de existirem funções que
descrevam continuamente variações da área da seção transversal,
do módulo de elasticidade longitudinal do material, da variação da
temperatura ambiente e do coeficiente de dilatação linear do material.
Exemplo Hiperestático
Considere agora a configuração prismática hiperestática de
mesmo material e com a consideração de ação distribuída e
variação de temperatura ∆T.
E, A, α
X
L
O problema em pauta exige a consideração de
um único intervalo de análise, por exemplo
0≤X≤L
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p
Exemplo Hiperestático
Como os parâmetros E, A, α e ∆T são constantes ao longo da
peça, a equação diferencial de equilíbrio em deslocamento se
transforma em
d 2u
p
u (0 ) = 0 ⇒ C 2 = 0
u (L ) = 0 ⇒ C1 =
u (X ) = −
pL
2EA
p
pL
X2 +
X
2EA
2EA
Conhecido o campo de deslocamento chega-se a qualquer outra
variável de estado de interesse manipulando adequadamente a
relação cinemática, a relação constitutiva e a equivalência estática.
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=−
dX 2
EA
du
p
X + C1
=−
dX
EA
p
X 2 + C1X + C 2
u (X ) = −
2EA
Exemplo Hiperestático
Este mesmo problema também poderia ser resolvido com o
auxílio do método das forças,
forças que visa determinar os
hiperestáticos impondo-se uma equação de compatibilidade.
compatibilidade
E, A, α
p
=
E, A, α
p
L
+ ∆B (RB) = 0
RB
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L
Exemplo Hiperestático
Para quantificar o alongamento na extremidade direita da barra
faz-se uso do Princípio da Superposição dos Efeitos,
Efeitos usufruindo-se
do fato de que já que se conhece o efeito de cada ação isolada, ou
seja,
R
p
∆T
∆ B = ∆ B + ∆ B + ∆ BB = 0
pL2
∆ =
2EA
p
B
∆RBB = −
R BL
EA
pL
⇒ RB =
+ EAα∆T
2
De posse do hiperestático o esforço normal passa a ser
conhecido, podendo-se seguir o procedimento já discutido
para problemas isostáticos.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
∆∆BT = αL∆T
Novo Exemplo Hiperestático
Considere agora a barra prismática formada pela composição de
dois materiais em paralelo.
E1, A1
E2, A2
P
O problema inicial consiste em se determinar a distribuição da
carga axial entre as fases. Depois disso, trata-se cada fase de
maneira independente.
N = N1 + N 2
∴ P = σ1A1 + σ 2 A 2 (*)
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L
Novo Exemplo Hiperestático
Considerando que as fases se deformam em conjunto, não
havendo deslizamento relativo entre elas, tem-se que
ε1 = ε 2
σ1 σ 2
∴
=
E1 E 2
(* *)
σ1 =
E1
P
E1A1 + E 2 A 2
σ2 =
E2
P
E1A1 + E 2 A 2
de onde se conclui que o material mais rígido (maior módulo de
elasticidade longitudinal) desenvolve maiores tensões normais.
As expressões acima podem ser empregadas na análise
de peças de seções mistas, a exemplo de pilares em
concreto armado, bem como na análise de reforço
estrutural em função de alguma mudança no padrão de
solicitação original.
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Combinando-se (*) e (**) chega-se a:
Problemas de Verificação
vs. de Dimensionamento
Verificação
São conhecidos todos os dados de geometria, material e ações, e
deseja-se determinar σ, ε e u para confrontar com valores limites de
norma, por exemplo.
São conhecidos alguns dados de geometria, material e ações
e deseja-se determinar, por exemplo, algumas dimensões tais
que os valores limites de norma para σ, ε e u sejam atendidos.
σserviço ≤ σ admissível
σ referência da falha
=
fator de segurança
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Dimensionamento
Problemas de Verificação
vs. de Dimensionamento
P
Verificação
σ
serviço
d
σserviço
D
D, σ1admissível
4P
= 2 ≤ σ1admissível ?
πd
4P
admissível
=
≤
σ
?
1
2
πD
admissível
σserviço
≤
σ
?
D
2
Dimensionamento
admissível
d = ? | σserviço
≤
σ
d
1
σ
admissível
2
admissível
D = ? | σserviço
≤
σ
D
1
admissível
D = ? | σserviço
≤
σ
D
2
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d, σ
admissível
1
Energia Específica de
Deformação
Para um ponto qualquer de uma seção
transversal o único componente não
nulo do estado de tensão e o
correspondente componente de
deformação são dados por
P
σ XX
N
=
A
e
ε XX
N
=
EA
Com isso a energia específica de deformação é dada
simplesmente por
σ XX ε XX 1 N N
1 N2
=
U0 =
=
2 A EA 2 EA 2
2
que é constante na seção transversal.
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σxx
Energia de Deformação
Para gerar a energia de deformação acumulada numa barra
sob esforço axial, deve-se integrar a energia específica de
deformação ao longo do volume da mesma, ou seja,
U = ∫ U 0 dV
V
1 N2
dAdx
U = ∫ ∫ U 0 dAdx = ∫ ∫
2
2 EA
LA
LA
1 N2
1 N2
Adx =
=∫
dAdx = ∫
2
2 ∫
2 EA
2 EA A
L
L
1 N2
∫L 2 EAdx
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Desmembrando a integração no volume da barra através da
seção transversal e ao longo do comprimento da mesma tem-se