Torção em Barras de Seção Transversal Delgada e Fechada

Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Mecânica dos Sólidos 2
Código: ECIV030
Professor: Eduardo Nobre Lages
Torção em Barras de
Seção Transversal Delgada
e Fechada
Maceió/AL
Seção de Parede Delgada
Admite-se a possibilidade da espessura da parede
variar ao longo do comprimento da linha média.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Considere uma barra de seção delgada e fechada submetida a um
estado de torção pura cuja espessura da parede é considerada
pequena quando comparada com as demais dimensões da seção
transversal.
Distribuição das Tensões
A hipótese de seção de parede delgada permite assumir uma
distribuição da tensão de cisalhamento constante ao longo da
espessura da parede.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
A imposição da simetria do tensor de tensão juntamente com as
condições de contorno do problema (localização das ações
externas) obrigam que a distribuição da tensão de cisalhamento
ao longo da espessura ocorra na direção tangente à linha média
da parede da seção transversal.
Distribuição das Tensões
Isolando-se do tubo uma fatia recortada na direção do eixo da
peça entre duas seções transversais vizinhas, representam-se as
tensões de cisalhamento atuantes nas diversas faces do
elemento.
e
Distribuições
constantes ao
longo das faces
2
H
G
E
F
e1
A
C
B
∆x
Distribuição
variável ao longo
da linha média
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
D
Distribuição das Tensões
Apesar das distribuições da tensão
de cisalhamento nas faces ABCD e
EFGH serem constantes, as
respectivas intensidades são iguais
às intensidades da tensão de
cisalhamento na seção transversal
para os pontos das arestas BC e FG.
τ1
τ2
τ2
Estudando o equilíbrio da fatia na direção do eixo da
barra tem-se:
∑F
L
= 0 ∴ − τ ABCD e1∆x + τ EFGH e 2 ∆x = 0
⇒ τ1e1 = τ 2e 2
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
τ1
Fluxo de Cisalhamento
Da equação anterior, considerando ainda que as faces ABCD e
EFGH foram definidas arbitrariamente, conclui-se que o produto
da tensão de cisalhamento pela espessura da parede é
constante ao longo da seção transversal.
Assim sendo, conclui-se que a tensão de cisalhamento é
inversamente proporcional à espessura da parede, ou
seja, quanto maior a espessura menor será a tensão de
cisalhamento.
O próximo passo consiste em estudar a equivalência
estática entre o momento torsor e a tensão de
cisalhamento.
cisalhamento
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Esse produto é denominado fluxo de cisalhamento (q = τ e).
Equivalência Estática
T∆Τ
O
∆A = r.∆s/2
r
∆F = τe∆s
∆s
r
∆T = r∆F = τer∆s = 2q∆A
T = ∫ dT = ∫ 2qdA = 2q ∫ dA
T = 2qA LM
ALM: área da região delimitada
pela linha média da parede da
seção transversal
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
∆F
Equivalência Estática
T = 2qA LM
T
τ=
2A LM e
1ª Fórmula de Bredt
(Rudolf Bredt – engenheiro
mecânico e industrial alemão
que a desenvolveu em 1896)
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
T
Otimização da Seção
Transversal
e
R
A LM c = A LM r ⇒
L
=
R
π
A
1+ λ
e r =
λ
Ac
πλ
A c = 2π Re A LM c = πR 2
e
λL
1,128
L
A r = 2Le(1 + λ ) A LM r = λL
2
1
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
1,772
Comparação de Formulações
e
λ=
τde lg
τmin
τde lg
τmed
τ de lg
τ max
e
R
τde lg
τde lg
τ min
τde lg
τcirc
4 + λ2
=
4 − 2λ
4 + λ2
=
4
4 + λ2
=
4 + 2λ
τde lg
λ=e
R
τ med
τ max
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R
Exemplo
A seção transversal de um tubo fino tendo espessura de parede t
variável é ilustrada abaixo. A linha mediana da seção transversal
é um círculo de raio R, e a espessura é dada pela equação
em que t0 é a espessura na seção onde θ = 0. Se o tubo estiver
submetido a um torque T, quais são os valores extremos da
tensão de cisalhamento e onde se localizam?
t
R
θ
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θ

t = t 0 1 + sin 
2

Exemplo
De acordo com a 1ª fórmula de Bredt
T
τ=
2A LM e
Assim sendo,
A LM = πR 2
( )
e min = t 0 = t 0
o
(
)
⇒ τ max
e max = t 180o = 2 t 0 ⇒ τ min
T
=
2πR 2 t 0
T
=
4πR 2 t 0
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a tensão de cisalhamento é inversamente proporcional à espessura
da parede no ponto em estudo. Para a seção dada, a menor
espessura ocorre para θ = 0º e a maior espessura para θ = 180º.
Exemplo
τ
τ min
θ (em graus)
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Em função do ângulo θ de referência, a tensão de cisalhamento,
normalizada pelo menor valor, apresenta a seguinte variação ao
longo da parede do tubo:
Energia Específica de
Deformação
2A LM e
G
Com isso a energia específica de deformação é dada
simplesmente por
τγ 1 T 2
U0 = =
2
2
2 8 GA LM e
que é constante para todos os pontos ao longo de
uma espessura da parede da seção transversal.
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T
Para um ponto qualquer de uma
seção transversal os únicos
componentes não nulos dos estados
de tensão e de deformação, em
coordenadas curvilíneas, são dados
por
T
τ
e γ=
τ=
Energia de Deformação
Para gerar a energia de deformação acumulada numa barra sob
torção, deve-se integrar a energia específica de deformação ao
longo do volume da mesma, ou seja,
U = ∫ U 0dV
V
U = ∫ ∫ U 0 dAdx
LA
Como foi visto anteriormente, a energia específica de
deformação é constante ao longo da espessura, assim
sendo,
2
T
U = ∫ ∫ U 0 edsdx = ∫
2
8
GA
LM
L
L L LM
1
∫L e dsdx
LM
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Desmembrando a integração no volume da barra através da
seção transversal e ao longo do comprimento da mesma tem-se
Rotação por Unidade de
Comprimento
Considerando-se a rotação relativa entre duas seções
infinitesimalmente vizinhas provocada pelo momento torsor, a
conservação de energia do sistema linear resulta em
Comparando-se a expressão acima com a deduzida para torção
em barras de seções circulares, ou seja, dφ/dx=T/GJ, tem-se que
2
4
A
LM
J* =
1
∫L e ds
LM
é o momento polar de inércia equivalente (ou constante
de torção) da seção delgada e fechada.
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1
T 2dx
1
Tdφ =
ds
Wext = U ∴
2
∫
2
8GA LM L LM e
dφ
T
1
ou ainda
=
ds (2ª Fórmula de Bredt)
2
∫
dx 4GA LM L LM e
Exemplo
A seção transversal de um tubo fino tendo espessura de parede t
variável é ilustrada abaixo. A linha mediana da seção transversal
é um círculo de raio R, e a espessura é dada pela equação
em que t0 é a espessura na seção onde θ = 0. Calcular o momento
polar de inércia equivalente (ou constante de torção) para a seção
em pauta.
t
R
θ
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θ

t = t 0 1 + sin 
2

Exemplo
Da definição da constante de torção
t
4A 2LM
J =
1
∫L e ds
LM
*
R
θ
tem-se que
1
ds =
∫
e
L LM
2π
1
R
Rdθ = 4
∫0 
θ
t0
t 0 1 + sin 
2

⇒ J* = π2 R 3 t 0
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A LM = πR 2