Parte 1 - Nelson Reyes

MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Mecânica Analítica
Dinâmica Lagrangiana
Licenciatura em Física
Prof. Nelson Luiz Reyes Marques
Princípios da Mecânica Newtoniana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Leis do movimento
Os postulados enunciados a seguir equivalem às três leis do
movimento de Newton, mas procuram evitar certas dificuldades
lógicas da proposição original
 Primeira
Lei
Existem sistemas de referência, ditos inerciais em relação aos quais
toda partícula isolada descreve um MRU.
• A existência de um referencial inercial implica a existência de uma
infinidade de outros, todos movendo-se em linha reta com
velocidade constante.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Princípios da Mecânica Newtoniana
• Neste postulado está implícita a noção newtoniana de tempo
absoluto, que “flui uniformemente sem relação com qualquer coisa
externa” e é o mesmo em todos referenciais inerciais.
 Segunda
Lei
Em qualquer referencial inercial o movimento de uma partícula é
regido pela equação:
𝑚∙𝑎 =𝐹
• Este postulado pressupõe, implicitamente, que cada partícula está
associada uma constante positiva m, denominada massa, que é a
mesma em todos os referenciais inerciais.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Princípios da Mecânica Newtoniana
 Terceira
Lei
A cada ação corresponde uma reação igual e oposta, isto é, se 𝐹 𝑖𝑗 é
a força sobre a partícula i exercida pela partícula j, então
𝐹 𝑖𝑗 = −𝐹 𝑗𝑖
• Esta é a lei da ação e reação na sua forma fraca.
• Na sua versão forte, esta lei declara que, além de iguais e opostas,
as forças são dirigidas ao longo da linha que une as partículas. Isto
significa que duas partículas só podem se atrair ou repelir.
• Esta lei não tem valida geral, pois as forças entre cargas elétricas
em movimento geralmente a violam
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Princípios da Mecânica Newtoniana
• No caso de um sistema contendo várias partículas, supõe-se que a
força sobre cada uma delas pode ser decomposta em forças
externas, produzidas por fontes exteriores ao sistema, e forças
internas, que se devem as demais partículas do sistema. Assim, a
equação do movimento da i-ésima partícula de um sistema de N
partículas é, conforme a segunda lei,
𝑑𝑝𝑖
=
𝑑𝑡
𝑁
𝐹 𝑖𝑗 + 𝐹 𝑖 (𝑒)
𝑗=1
𝑗≠𝑖
onde
𝑑𝑟𝑖
𝑝𝑖 = 𝑚𝑖 𝑣𝑖 = 𝑚𝑖
𝑑𝑡
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Sistemas Conservativos e Não-Conservativos
• Se toas as forças atuantes sobre um sistema de partículas forem
derivadas de uma função potencial (ou energia potencial) 𝑉, então
o sistema é chamado de conservativo, do contrário é não
conservativo.
Energia Cinética:
1
𝑇=
2
𝑁
𝑚𝜈 𝑟𝜈 2
𝜈=1
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana

Vínculos
São limitações às possíveis posições e velocidades das partículas
de um sistema mecânico, restringindo a priori o seu movimento.
• É importante salientar que os vínculos são limitações de ordem
cinemática impostas ao sistema mecânico.
• As restrições antecedem a dinâmica e precisam ser levadas em
conta na formulação das equações de movimento do sistema.
• Restrições de natureza dinâmica – decorrentes, portanto das
equações de movimento – não são vínculos.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 1:
A segunda lei de Newton obriga uma partícula sujeita a uma força
central a se mover num plano fixo, mas isso não caracteriza um
vínculo, pois é de natureza dinâmica.
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Exemplo 2:
Uma partícula está restrita a uma superfície fixa. Seja 𝑟 = 𝑥, 𝑦, 𝑧
o vetor posição da partícula relativa a um sistema cartesiano de
eixos em relação ao qual a superfície permanece fixa. Então 𝑥, 𝑦, 𝑧
não são variáveis independentes mas devem satisfazer
𝑓 𝑟 ≡ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)=0
onde 𝑓 𝑟 = 0 é a equação da superfície. Se, por exemplo, a
superfície for uma esfera centrada na origem,
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 𝑅2
onde R é o raio da esfera.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 3:
Uma partícula está restrita a uma superfície móvel e deformável.
Neste caso 𝑥, 𝑦, 𝑧 obedecem à equação
𝑓 𝑟, 𝑡 ≡ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 0
a dependência temporal explícita indica a mudança na forma ou
localização da superfície no transcurso do tempo.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 4:
Duas partículas movem-se no espaço sempre unidas por uma haste
rígida. O vínculo tem a forma
𝑟2 − 𝑟1
2
− 𝑙2 = 0
ou, equivalente,
𝑥2 − 𝑥1
2
+ 𝑦2 − 𝑦1
2
+ 𝑧2 − 𝑧1
sendo 𝑙 o comprimento invariável da haste.
2
− 𝑙2 = 0
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 5:
Um pêndulo duplo oscila num plano vertical fixo. As equações de
vinculo são
𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑙12 = 0,
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑙12
𝑥2 − 𝑥1
2
+ 𝑦2 − 𝑦1
2
= 𝑙22
2
+ 𝑦2 − 𝑦1
2
− 𝑙22 = 0
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana

Coordenadas Generalizadas
Considere uma partícula ou sistema de partículas em movimento,
sujeita a possíveis restrições (vínculos). Haverá um número mínimo
de coordenadas independentes necessárias para especificar o
movimento.
Essas coordenadas representadas por
q1, q2, ...,qn
são chamadas coordenadas generalizadas e podem ser distâncias,
ângulos ou valores relacionados a eles
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
 Notação:
O subscrito  variará de 1 a n, o número de graus de liberdade,
enquanto o subscrito  variará de 1 a N, o número de partículas do
sistema.
 Considere o vetor posição da -partícula em relação ao sistema de
coordenadas xyz como
𝑟𝜈 = 𝑥𝜈 𝑖 + 𝑦𝜈 𝑗 + 𝑧𝜈 𝑘
A relação entre as coordenadas generalizadas e as coordenadas de
posição são dadas pelas equações de transformação,
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
𝑥𝜈 = 𝑥𝜈 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 , 𝑡
𝑦𝜈 = 𝑦𝜈 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 , 𝑡
𝑧𝜈 = 𝑧𝜈 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 , 𝑡
Na forma vetorial, podemos escrever
𝑟𝜈 = 𝑟𝜈 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 , 𝑡
Essas funções são consideradas como sendo contínuas e tendo
derivadas contínuas.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 6:
Escreva as equações de transformação o pêndulo duplo
𝑥1 = 𝑙1 s𝑖𝑛 𝜃1
𝑦1 = 𝑙1 cos 𝜃1
𝑥2 = 𝑙1 sin 𝜃1 + 𝑙2 sin 𝜃2
𝑦2 = 𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos 𝜃2
O sistema tem apenas 2 grau de
liberdade
com
coordenadas
generalizadas q1 = θ1 e q2 = θ2
Dinâmica Lagrangeana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
 Vínculos Holônomos
Sejam as coordenadas de um sistema representadas por q1, q2, ...,qn
e o tempo representado por t. Se todas as restrições do sistema
podem
ser
representadas
por
equações
da
forma
𝜙 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 , 𝑡 = 0 ou sua equivalente, então o sistema é dito
holonômico.
 Envolve o tempo de modo explicito.
 Vínculos Não-Holônomos
São aqueles que não podem ser expressos dessa forma. Exemplo: as
paredes de um recipiente esférico de raio a onde encontram-se
confinadas as moléculas de um gás. Nesse caso os vínculos são ri < a
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Exemplo 7:
Um cilindro rola sem deslizar ao longo de uma linha reta. Sendo x a
posição do centro de massa do cilindro e  o ângulo de rotação do
centro de massa, a condição de rolar sem deslizar é representada
por
𝑥 = 𝑅𝜙
onde R é o raio do cilindro.
→
𝑥 − 𝑅𝜙 = 0
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Exemplo 8:
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Um disco vertical (moeda) rola sem deslizar num plano horizontal.
Sejam (x, y) a posição do centro de massa do disco,  o ângulo do
plano do disco com o eixo x e  o de rotação do disco em torno do
seu eixo de simetria. Sendo 𝑣 a velocidade do centro de massa, o
disco rola sem deslizar desde que 𝑣 = 𝑅𝜙 .
Sabendo que 𝑥 ≡ 𝑣𝑥 = 𝑣 ∙ cos 𝜃 𝑒 𝑦 ≡ 𝑣𝑦 = 𝑣 ∙ sin 𝜃, somos
conduzidos às equações
𝑥 − 𝑅𝜙 cos 𝜃 = 0
𝑒
𝑦 − 𝑅𝜙 sin 𝜃 = 0
que exprimem matematicamente a condição de rolamento sem
deslizar.
Dinâmica Lagrangiana - Princípio de d’Alembert
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1

Princípio de D’Alembert
O princípio de D’Alembert, ou princípio do trabalho virtual, usa a noção
de coordenadas generalizadas e o conceito dos deslocamentos virtuais
para eliminar as forcas de vínculo da descrição do problema.
 Deslocamentos Virtuais
 São deslocamentos infinitesimais de cada partícula que levam a
uma configuração possível a outra configuração possível
infinitesimalmente próxima no mesmo instante t.
 Dado um sistema de N partículas os deslocamentos virtuais
𝛿𝑟𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁, são deslocamentos infinitesimais das posições
𝑟1 , … , 𝑟𝑁 realizados instantaneamente e com a propriedade de
serem compatíveis com os vínculos
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Princípio de d’Alembert
 Deslocamentos Virtuais
 Em suma, as características definidoras dos deslocamentos
virtuais são:
i.
eles são infinitesimais;
ii.
ocorrem num instante t fixo;
iii. não violam os vínculos.
Dinâmica Lagrangiana - Princípio de d’Alembert
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
 Trabalho Virtual
Nesse formalismo, a distinção entre forças de vínculo e outras forças,
que chamaremos de forças aplicadas, é fundamental. Seja então
𝐹𝑖 = 𝐹 𝑖
𝑎
+ 𝑓𝑖
a força total atuando na i-ésima partícula do sistema, onde 𝑓𝑖 são
as forcas de vínculo e 𝐹 𝑖 (𝑎) são as forças aplicadas, que podem
ser externas ou devido às outras partículas do sistema.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Princípio de d’Alembert
Veremos inicialmente como fazer isso no caso estático, isto é, um
sistema de partículas em equilíbrio. Neste caso 𝐹𝑖 = 0 e, quaisquer
que sejam os deslocamentos virtuais 𝛿𝑟𝑖 ,
𝑁
𝐹𝑖 ∙ 𝛿𝑟𝑖 = 0
𝑖=1
como
𝐹𝑖 = 𝐹 𝑖
𝑎
+ 𝑓𝑖
𝑁
resulta
𝐹𝑖 ∙ 𝛿𝑟𝑖 +
𝑖=1
𝑓𝑖 ∙ 𝛿𝑟𝑖 = 0
𝑖
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Princípio de d’Alembert
Levando em conta que o trabalho virtual das forças de vínculo é zero,
somos conduzidos ao chamado princípio dos trabalhos virtuais:
𝑁
𝐹 𝑖 (𝑎) ∙ 𝛿𝑟𝑖 = 0
𝑖=1
Este princípio permite exprimir a condição de equilíbrio para sistemas
vinculados em termos somente das forças aplicadas.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Princípio de d’Alembert
Estamos interessados na dinâmica, que pode ser formalmente
reduzida à estática escrevendo a segunda lei de Newton na forma
𝐹𝑖 − 𝑝𝑖 = 0 , com 𝑝𝑖 = 𝑚𝑖 𝑟𝑖 . Segundo a interpretação de
d’Alembert. Cada partícula do sistema encontra-se em “equilíbrio” sob
uma força resultante que é a soma da força real com uma “força
efetiva invertida” igual a −𝑝𝑖 . Esta força adicional fictícia é uma força
de inércia existente no referencial que acompanha o movimento da
partícula, isto é, no qual ela permanece em repouso. Podemos
escrever:
𝑝𝑖 − 𝐹𝑖 ∙ 𝛿𝑟𝑖 = 0
𝑖
é verdadeira para qualquer deslocamento virtual 𝛿𝑟𝑖 .
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Princípio de d’Alembert
Usando a equação 𝐹𝑖 = 𝐹 𝑖 𝑎 + 𝑓𝑖 e admitindo a nulidade do
trabalho virtual das forças de vínculo, resulta o chamado princípio de
d’Alembert:
𝑝𝑖 − 𝐹 𝑖 (𝑎) ∙ 𝛿𝑟𝑖 = 0
𝑖
Este princípio representa uma extensão do princípio dos trabalhos
virtuais a sistemas mecânicos em movimento.
Em suas aplicações concretas é preciso levar em conta que os
deslocamentos virtuais 𝛿𝑟𝑖 não são independentes, pois têm que
estar em harmonia com os vínculos.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Princípio de d’Alembert
Exemplo 9:
Utilizando o princípio de d’Alembert, encontrar as equações do
movimento para o sistema mecânico da máquina de Atwood.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Princípio de d’Alembert
Solução:
A roldana é suposta sem massa e sem atrito. Com o sistema
cartesiano indicado na figura, temos:
𝑟1 = 𝑥1 𝑖 𝑒 𝑟2 = 𝑥2 𝑖
e o vínculo holônomo escreve-se:
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑙
onde a constante 𝑙 é determinada pelo raio da
roldana e o comprimento do fio, suposto
inextensível e de massa desprezível.
Claramente, os deslocamentos virtuais
𝛿𝑥1 𝑒 𝛿𝑥2 são compatíveis com o vínculo
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑙 e estão relacionados por
𝛿𝑥1 + 𝛿𝑥2 = 0 → 𝛿𝑥2 = −𝛿𝑥2
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Princípio de d’Alembert
Em outras palavras, se uma das massas sobe a outra desce a
mesma distância, e vice-versa.
𝑚1 𝑟1 ∙ 𝛿𝑟1 + 𝑚2 𝑟2 ∙ 𝛿𝑟2 = 𝐹 1
𝑎
∙ 𝛿𝑟1 + 𝐹 2
𝑎
∙ 𝛿𝑟2
= 𝑚1 𝑔𝑖 ∙ 𝛿𝑟1 + 𝑚2 𝑔𝑖 ∙ 𝛿𝑟2
𝑚1 𝑥1 ∙ 𝛿𝑥1 + (−𝑚2 𝑥1 ) ∙ (−𝛿𝑥1 ) = 𝑚1 𝑔𝛿𝑥1 + 𝑚2 𝑔 −𝛿𝑥1 →
→ 𝑚1 + 𝑚2 𝑥1 𝛿𝑥1 = 𝑚1 − 𝑚2 𝑔𝛿𝑥1
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Princípio de d’Alembert
𝑚1 + 𝑚2 𝑥1 𝛿𝑥1 = 𝑚1 − 𝑚2 𝑔𝛿𝑥1
Em vista da arbitrariedade de 𝛿𝑥1 , resulta a equação do movimento
da massa 𝑚1 :
𝑚1 + 𝑚2 𝑥1 = 𝑚1 − 𝑚2 𝑔
𝑚1 − 𝑚2
𝑥1 =
𝑔
𝑚1 + 𝑚2
esse resultado coincide com o resultado obtido pelo tratamento
newtoniano elementar. A aceleração de 𝑚2 é simplesmente
𝑥2 = −𝑥1 .
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
 Forças Generalizadas
Se 𝑊 for o trabalho total realizado sobre um sistema de partículas
pelas Forças 𝐹 𝑖 (𝑎) ≡ 𝐹𝑖 atuantes (aplicadas) sobre a k-ésima
partícula, então
𝑛
𝑑𝑊 =
𝑄𝑘 𝛿𝑞𝑘
𝑖=1
onde
𝑁
𝑄𝑘 =
𝑖=1
𝜕𝑟𝑖
𝐹𝑖 ∙
𝜕𝑞𝑘
Qk é chamada de força generalizada associada à coordenada
generalizada qk .
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
 Equações de Lagrange
A força generalizada pode ser relacionada com a energia cinética
pelas equações
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
−
= 𝑄𝑘
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
Se o sistema for conservativo de modo que as forças sejam
deriváveis de um potencial ou energia potencial V, podemos escrever
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
−
=0
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
A força generalizada pode ser relacionada com a energia cinética
pelas equações
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
−
= 𝑄𝑘
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
Se o sistema for conservativo de modo que as forças 𝐹𝑖 sejam
deriváveis de um potencial escalares 𝑉 𝑟𝑖 , … , 𝑟𝑁 , 𝑡 (ou energia
potencial V), Neste caso,
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝐹𝑖 = −𝛻𝑖 𝑉 = −
𝑖+
𝑗+
𝑘
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑦𝑖
𝜕𝑧𝑖
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
e as forças generalizadas escrevem-se
𝑁
𝑄𝑘 =
𝑖=1
𝜕𝑟𝑖
𝐹𝑖 ∙
=−
𝜕𝑞𝑘
𝑁
𝑖=1
𝜕𝑉 𝜕𝑥1 𝜕𝑉 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑉 𝜕𝑧𝑖
𝜕𝑉
+
+
=−
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑧𝑖 𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
𝜕𝑉
𝑄𝑘 = −
𝜕𝑞𝑘
onde usamos a regra da cadeia.
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
−
= 𝑄𝑘
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Como
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
−
= 𝑄𝑘
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
resulta
e
𝜕𝑉
𝑄𝑘 = −
𝜕𝑞𝑘
𝑑 𝜕𝑇
𝜕
−
𝑇−𝑉 =0
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
Dado que 𝜕𝑉
𝜕𝑞𝑘
= 0, esta ultima equação equivale a
𝑑 𝜕
𝑇−𝑉
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘
𝜕
−
𝑇−𝑉 =0
𝜕𝑞𝑘
Definindo a função de Lagrange ou, simplesmente, lagrangiano 𝐿 por
𝐿 =𝑇−𝑉
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
𝑑 𝜕
𝑇−𝑉
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘
𝜕
−
𝑇−𝑉 =0
𝜕𝑞𝑘
𝐿 =𝑇−𝑉
as equações de movimento do sistema podem ser escritas na forma
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕q k
𝜕qk
Equações de Lagrange
onde 𝑘 = 1, … , 𝑛.
Se o sistema não for conservativo
d 𝜕L
𝜕L
−
= 𝑄𝑘
dt 𝜕q k
𝜕qk
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 10:
O objetivo deste primeiro exemplo é ilustrar certos cuidados que
devemos ter em relação às várias derivadas parciais e totais que
aparecem ao longo dos cálculos no formalismo de Lagrange.
Considere um sistema fictício de dois graus de liberdade cuja
Lagrangeana é dada por 𝐿 = 𝑞12 𝑞2 + 𝑞 12 .
Equações de Lagrange
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕q k
𝜕qk
Essa Lagrangeana tem as seguintes derivadas parciais:
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Veja que q2 não aparece em L. As derivadas totais em relação ao
tempo ficam
Como as equações de Lagrange tem a forma
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕q k
𝜕qk
de forma que as duas equações de movimento ficam
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 11:
Determine a equação de Lagrange e as equações de movimento para
um pêndulo com suporte livre (a massa M pode se mover livremente
sem atrito no plano horizontal, enquanto o pêndulo oscila no plano
vertical).
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Refazendo o desenho e tomando o nível de referencia na origem,
temos
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Podemos escrever as energias cinética e potencial
1
1
2
𝑇 = 𝑀𝑥 + 𝑚 𝑋 2 + 𝑌 2
2
2
𝑉𝑀 = 0
𝑒 𝑉𝑚 = −𝑚𝑔𝑌,
𝑙𝑜𝑔𝑜
𝑉 = −𝑚𝑔𝑌
Como
𝑋 = 𝑥 + 𝑙 sin 𝜃
𝑌 = 𝑙 cos 𝜃
→
→
𝑋 = 𝑥 + 𝑙𝜃 cos 𝜃
𝑌 = −𝑙𝜃 sin 𝜃
Logo
𝑋 2 + 𝑌 2 = 𝑥 2 + 𝑙2 𝜃 2 + 2𝑙𝑥𝜃 cos 𝜃
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Podemos reescrever as energias cinética e potencial como
𝑚 + 𝑀 2 𝑚𝑙2 2
𝑇=
𝑥 +
𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃
2
2
𝑉 = −𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃
A lagrangiana fica
𝑚 + 𝑀 2 𝑚𝑙2 2
𝐿 =𝑇−𝑉 =
𝑥 +
𝜃 + 𝑚𝑙𝑥𝜃 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃
2
2
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
OBS: A energia cinética e a energia potencial que aparecem na
equação de Lagrange só pode ser escrita em relação a um referencial
inercial. Isto se deve ao fato das equações de Lagrange terem sido
deduzidas do princípio de d’Lambert e esse princípio envolve a
aplicação da 2º lei de Newton que é válida apenas para referenciais
inerciais.
Um erro comum é escrever a energia cinética em relação ao suporte
(massa M em movimento), que em geral executa um movimento
acelerado.
2
𝑚𝑙
𝑣 2 = 𝑙2 𝜃 2 → 𝑇 =
𝜃2
2
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
𝑚 + 𝑀 2 𝑚𝑙2 2
𝐿=
𝑥 +
𝜃 + 𝑚𝑙𝑥𝜃 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃
2
2
Podemos, agora, determinar as equações de movimento
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑥
𝜕𝑥
d
𝑚 + 𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 0 = 0
dt
𝑚 + 𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝜃
𝜕𝜃
d
𝑚𝑙2 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 − −𝑚𝑙𝑥𝜃 sin 𝜃 − 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0
dt
𝑚𝑙2 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0
𝑚𝑙2 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Como as equações de movimento são difíceis de resolver (equações
não lineares – não existe um método geral de resolução , cada caso é
um caso), vamos analisar alguns casos limites (particulares) afim de
verificarmos se essas equações estão corretas.
1º) Se m = 0
𝑚 + 𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0
0+𝑀 𝑥 =0
→
𝑥=0
→ 𝑀 𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
2º) Se M  
𝑚 + 𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0
Divide-se todos os termos por M
𝑚 + 𝑀 𝑥 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃
+
−
=0→ 𝑥=0
𝑀
𝑀
𝑀
Substituindo 𝑥 = 0 na segunda equação de movimento
𝑚𝑙2 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 e dividindo por 𝑚𝑙2 ,
obtemos
𝑔
𝜃 + sin 𝜃 = 0
𝑙
que corresponde a equação do pêndulo simples com ponto de
suspensão fixo.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 12
Considere o pendulo simples da figura abaixo. Em coordenadas
polares o raio é fixo r = a e θ é a única coordenada livre. A
transformação de x, y para θ é x = a cos θ, y = a sin θ. A energia
cinética é obtida calculando-se
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
A energia cinética é obtida calculando-se
Como o lagrangiano é dado por
Obtemos
𝐿 =𝑇−𝑉
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝜃
𝜕θ
Equações de Lagrange
𝜕𝐿
𝜕𝜃
=
𝑚𝑎2 𝜃
→
𝜕𝐿
= 𝑚𝑔𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕𝜃
e a equação de movimento fica
𝑚𝑎2 𝜃 − 𝑚𝑔𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0
→
𝑎𝜃 = −𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 13:
Obter a lagrangiana e as respectivas equações de Lagrange para o
sistema mecânico representado, considerando desprezível as
massas da roldana e do fio inextensível, e que o comprimento natural
da mola é 𝑙.
Solução:
Supondo que o fio permaneça sempre
esticado, o vínculo
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑙0
𝑙0 é uma constante determinada pelo
comprimento do fio e pelo raio da
roldana, mostra que somente duas das
três coordenadas 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 podem ser
tomadas como
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Solução:
Supondo que o fio permaneça sempre esticado, o vínculo
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑙0
𝑙0 é uma constante determinada pelo comprimento do fio e pelo raio
da roldana, mostra que somente duas das três coordenadas 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3
podem ser tomadas como coordenadas generalizadas – o sistema
possui dois graus de liberdade. Escolhemos 𝑥2 𝑒 𝑥3
como
coordenadas generalizadas.
A energia cinética do sistema é
𝑚1 2 𝑚2 2 𝑚3 2 𝑚1 + 𝑚2 2 𝑚3 2
𝑇=
𝑥1 +
𝑥2 +
𝑥3 =
𝑥2 +
𝑥3
2
2
2
2
2
porque 𝑥1 = −𝑥2
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Adotando o nível zero do potencial gravitacional no plano horizontal
que passa no centro da polia, temos
𝑘
𝑉 = −𝑚1 𝑔𝑥1 − 𝑚2 𝑔𝑥2 − 𝑚2 𝑔𝑥3 + 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑙 2
2
𝑘
𝑉 = − 𝑚2 − 𝑚1 𝑔𝑥2 − 𝑚1 𝑔𝑙0 − 𝑚3 𝑔𝑥3 + 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑙
2
A lagrangiana é
𝐿 =𝑇−𝑉
𝑚1 + 𝑚2 2 𝑚3 2
𝐿=
𝑥2 +
𝑥3 + 𝑚2 − 𝑚1 𝑔𝑥2 +
2
2
𝑘
+𝑚1 𝑔𝑙0 + 𝑚3 𝑔𝑥3 − 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑙 2
2
2
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
= 0 → 𝑚1 + 𝑚2 𝑥2 − 𝑚2 − 𝑚1 𝑔 − 𝑘 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑙 = 0
𝑑𝑡 𝜕𝑥2
𝜕𝑥2
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
= 0 → 𝑚3 𝑥3 + 𝑘 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑙 = 0
𝑑𝑡 𝜕𝑥3
𝜕𝑥3
Se 𝑘 = 0 não há interação ente m2 e m3. Neste caso limite as
equações de Lagrange preveem corretamente que m3 cai em queda
livre 𝑥3 = 𝑔 e que a aceleração 𝑥2 = 𝑚2−𝑚1 𝑔 𝑚1+𝑚2 da
massa m2 coincida com a obtida no tratamento da máquina de
Atwood pelo princípio de d’Alembert.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
𝐿=
𝑚1 + 𝑚2 2 𝑚3 2
𝑘
𝑥2 +
𝑥 3 + 𝑚2 − 𝑚1 𝑔𝑥2 + 𝑚3 𝑔𝑥3 − 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑙
2
2
2
Temos
𝜕𝐿
= 𝑚1 + 𝑚2 𝑥2
𝑑𝑥2
𝜕𝐿
= 𝑚3 𝑥3
𝑑𝑥3
2
+ 𝑚1 𝑔𝑙0
𝜕𝐿
= 𝑚2 + 𝑚1 𝑔 + 𝑘 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑙
𝑑𝑥2
𝜕𝐿
= 𝑚3 𝑔 + 𝑘 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑙
𝑑𝑥3
As equações de Lagrange são
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
= 0 → 𝑚1 + 𝑚2 𝑥2 − 𝑚2 − 𝑚1 𝑔 − 𝑘 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑙 = 0
𝑑𝑡 𝜕𝑥2
𝜕𝑥2
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
= 0 → 𝑚3 𝑥3 + 𝑘 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑙 = 0
𝑑𝑡 𝜕𝑥3
𝜕𝑥3
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 14:
Uma partícula move-se num plano e coordenadas polares são
empregadas para a descrição do movimento. O vetor posição da
partícula escreve-se 𝑟 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖 + 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑗.
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
As componentes da força generalizada são
𝜕𝑟
𝑄1 ≡ 𝑄𝑟 = 𝐹 ∙
= 𝐹 ∙ cos 𝜃𝑖 + sin 𝜃 𝑗 = 𝐹 ∙ 𝑒𝑟 = 𝐹𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑄2 ≡ 𝑄𝜃 = 𝐹 ∙
= 𝑟𝐹 ∙ − sin 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗 = 𝑟𝐹 ∙ 𝑒𝜃 = 𝑟𝐹𝜃
𝜕𝜃
Onde 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗 𝑒 𝑒𝜃 = − sin 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗 são os
unitários radial e angular representados na figura.
Usando
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 − 𝑟𝜃 sin 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 + 𝑟𝜃 cos 𝜃,
a energia cinética expressa em termos de coordenadas polares é
𝑚 2
𝑚 2
2
𝑇=
𝑥 +𝑦 =
𝑟 + 𝑟2𝜃2
2
2
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Portanto, podemos escrever
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
−
= 𝑄𝑘 →
−
= 𝑄𝑟 → 𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 = 𝐹𝑟
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
𝑑𝑡 𝑑𝑟
𝜕𝑟
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝑑
−
= 𝑄𝑘 →
−
= 𝑄𝜃 → 𝑚𝑟 2 𝜃 = 𝑟𝐹𝜃
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
𝑑𝑡 𝑑𝜃
𝜕𝜃
𝑑𝑡
Verifica-se portanto que 𝑟𝐹𝜃 é a componente normal ao plano do
movimento do torque em relação à origem, enquanto 𝑚𝑟 2 𝜃 é a
componente do momento angular. Desenvolvendo explicitamente a
derivada temporal, as equações de movimento anteriores tornam-se
𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 = 𝐹𝑟 ,
𝑚𝑟𝜃 + 2𝑚𝑟𝜃 = 𝐹𝜃 ,
que são simplesmente as componentes polares da equação de
movimento de Newton.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 15:
Uma conta desliza ao longo de uma haste retilínea lisa que gira com
velocidade angular constante num plano horizontal. Descreva seu
movimento pelo formalismo de Lagrange.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Solução:
Seja 𝑥𝑦 o plano horizontal que contém a haste e usemos as
coordenadas polares para localizar a massa 𝑚. As varáveis 𝑟, 𝜃 não
podem ser tomadas como coordenadas generalizadas porque 𝜃 é
forçada a obedecer à restrição 𝜃 − 𝜔𝑡 = 0, que é um vínculo
holônomo da forma 𝑓 𝑞1 , … , 𝑞𝑛 , 𝑡 = 0, onde 𝜔 é a velocidade
angular da haste, suposta conhecida. O sistema possui somente um
grau de liberdade (movimento radial) e podemos escolher 𝑞1 = 𝑟
como coordenada generalizada. A energia cinética pode ser escrita na
forma
𝑚 2
𝑚 2
2
2
𝑇=
𝑟 +𝑟 𝜃 =
𝑟 + 𝜔2 𝑟 2
2
2
Onde usamos 𝜃 = 𝜔.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Adotando o nível zero do potencial gravitacional no plano do
movimento, a lagrangiana do sistema se reduz à energia cinética:
𝑚 2
𝐿 =𝑇−𝑉 =
𝑟 + 𝜔2 𝑟 2
2
Dispondo da lagrangiana expressa exclusivamente em função de
𝑟 𝑒 𝑟, a equação de movimento do sistema é imediatamente obtida:
d 𝜕L
𝜕L
𝑑
−
=0 →
𝑚𝑟 − 𝑚𝜔2 𝑟 = 0 → 𝑟 = 𝜔2 𝑟
dt 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑑𝑡
Conclui-se que a conta tende a se afastar do eixo de rotação em
consequência da “força centrifuga”, que é o resultado bem conhecido.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 16:
Aplicar o formalismo lagrangiano para obter as equações de
movimento de um pêndulo duplo plano.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Sejam 𝑥1 , 𝑦1 𝑒 𝑥2 , 𝑦2 as coordenadas cartesianas das mas
𝑚1 𝑒 𝑚2 , respectivamente. Tomando-se os ângulos 𝜃1 𝑒 𝜃2
como coordenadas generalizadas, temos
𝑥1 = 𝑙1 cos 𝜃1
𝑦1 = 𝑙1 sin 𝜃1
𝑥2 = 𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos 𝜃2
𝑦2 = 𝑙1 sin 𝜃1 + 𝑙2 sim 𝜃2
donde
𝑥1 = 𝑙1 𝜃1 cos 𝜃1 , 𝑥2 = 𝑙1 𝜃1 cos 𝜃1 + 𝑙2 𝜃2 cos 𝜃2
𝑦1 = −𝑙1 𝜃1 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 , 𝑦2 = −𝑙1 𝜃1 sin 𝜃1 − 𝑙2 𝜃2 sin 𝜃2
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
A energia cinética relativa ao referencial supostamente inercial
(𝑥, 𝑦) é
𝑚1
𝑚2
2
2
𝑇=
𝑥 1 + 𝑦1 +
𝑥 22 + 𝑦 22
2
2
que, em termos das coordenadas e velocidades generalizadas,
escreve-se
𝑚1 + 𝑚2 2 2 𝑚2 2 2
𝑇=
𝑙1 𝜃1 +
𝑙2 𝜃2 + 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃1 𝜃2 cos 𝜃1 − 𝜃2
2
2
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Por outro lado, com o nível zero do potencial gravitacional no plano
horizontal que contém o ponto de suspensão de 𝑚1 , temos
𝑉 = 𝑚1 𝑔𝑦1 − 𝑚2 𝑔𝑦2 = − 𝑚1 + 𝑚2 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 − 𝑚2 𝑔𝑙2 cos 𝜃2
Finalmente, a lagrangiana 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 é dada por
𝑚1 + 𝑚2 2 2 𝑚2 𝑙22 𝜃 22
𝐿=
𝑙1 𝜃 1 +
+ 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃1 𝜃2 cos 𝜃1 − 𝜃2
2
2
+ 𝑚1 + 𝑚2 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑚2 𝑔𝑙2 cos 𝜃2
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Usando
𝜕𝐿
= 𝑚1 + 𝑚2 𝑙12 𝜃1 + 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃2 cos 𝜃1 − 𝜃2
𝜕𝜃1
𝜕𝐿
= −𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃1 𝜃2 s𝑖𝑛 𝜃1 − 𝜃2 − 𝑚1 + 𝑚2 𝑔𝑙1 sin 𝜃1
𝜕𝜃1
a equação de Lagrange
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
=0
𝑑𝑡 𝜕𝜃1
𝜕𝜃1
toma a forma
𝑚1 + 𝑚2 𝑙12 𝜃1 + 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃2 cos 𝜃1 − 𝜃2
+ 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃 22 sin 𝜃1 − 𝜃2
+ 𝑚1 + 𝑚2 𝑔𝑙1 sin 𝜃1 = 0
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
De modo inteiramente análogo, obtemos a segunda das equações
de Lagrange
𝜕𝐿
𝜕𝜃2
𝜕𝐿
= …
𝜕𝜃2
= …
a equação de Lagrange
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
=0
𝑑𝑡 𝜕𝜃2
𝜕𝜃2
Obtém-se
𝑚2 𝑙22 𝜃2 + 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃1 cos 𝜃1 − 𝜃2
− 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃 12 sin 𝜃1 − 𝜃2
+ 𝑚2 𝑔𝑙2 sin 𝜃2 = 0
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 17:
Uma partícula de massa m move-se em um campo de força conservativo.
Ache (a) a função lagrangiana, (b) as equações do movimento em
coordenadas cilíndrica 𝑟, 𝜃, 𝑧 .
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Solução:
(a) A energia cinética total em coordenadas cilíndricas
1
𝑇 = 𝑚 𝑟2 + 𝑟2𝜃2 + 𝑧2
2
A energia potencial 𝑉 = 𝑟, 𝜃, 𝑧 . Então a função lagrangiana é
1
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟 2 𝜃 2 + 𝑧 2 − 𝑉 𝑟, 𝜃, 𝑧
2
(b) As equações de Lagrange são
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑
𝜕𝑉
2
−
=0→
𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 −
=0
𝑑𝑡 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑑𝑡
𝜕𝑟
𝜕𝑉
2
→ 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 = −
𝜕𝑟
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑
𝜕𝑉
2
−
=0→
𝑚𝑟 𝜃 +
=0
𝑑𝑡 𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝑑𝑡
𝜕𝜃
𝑑 2
𝜕𝑉
→𝑚
𝑟 𝜃 =−
𝑑𝑡
𝜕𝜃
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑
𝜕𝑉
−
=0→
𝑚𝑧 +
=0
𝑑𝑡 𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑡
𝜕𝑧
𝜕𝑉
→ 𝑚𝑧 = −
𝜕𝑧
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 18:
Considere o caso do movimento de projeteis sob a gravidade em duas
dimensões. Encontre as equações de movimento nas coordenadas (a)
cartesianas e (b) polares.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Solução:
(a) Em coordenadas cartesianas, podemos escrever
1
1
1
2
2
2
𝑇 = 𝑚 𝑥 + 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 2
2
2
2
V= 𝑚𝑔𝑦
1
1
2
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 2 − 𝑚𝑔𝑦
2
2
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
=0 →
𝑑𝑡 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑑
𝑚𝑥 − 0 = 0 → 𝑥 = 0
𝑑𝑡
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
=0 →
𝑑𝑡 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝑑
𝑚𝑦 + 𝑚𝑔 = 0 → 𝑦 = −𝑔
𝑑𝑡
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
(b) Em coordenadas polares, podemos escrever
1
𝑇 = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟𝜃
2
2
1
1
2
= 𝑚𝑟 + m 𝑟𝜃
2
2
1
1
2
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚𝑟 + m 𝑟𝜃
2
2
2
2
𝑉 = 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃
− 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑
−
=0 →
𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 + 𝑚𝑔 sin 𝜃 = 0 →
𝑑𝑡 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑑𝑡
→ 𝑟𝜃 2 − 𝑔 sin 𝜃 − 𝑟 = 0
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑
−
=0 →
𝑚𝑟 2 𝜃 − 𝑚𝑔𝑟 cos 𝜃 = 0 →
𝑑𝑡 𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝑑𝑡
→ −2𝑟𝑟𝜃 − 𝑟 2 𝜃 − 𝑔𝑟 cos 𝜃 = 0
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
As equações de movimento em coordenadas cartesianas são mais
simples que as equações em coordenadas polares. Devemos
escolher as coordenadas cartesianas como as coordenadas para
resolver o problema. A chave para esse reconhecimento foi que a
energia potencial do sistema depende somente da coordenada 𝑦.
Nas coordenadas polares, a energia potencial dependia tanto de 𝑟
como de 𝜃.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 19:
Considere o sistema de polia dupla mostrado na figura. Utilize as
coordenadas indicadas e determine as equações do movimento.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
𝑦1 = 𝑥
𝑦2 = 𝑙1 − 𝑥 + 𝑦
𝑦3 = 𝑙1 − 𝑥 − 𝑙2 − 𝑦
𝑙1 = 𝑐𝑡𝑒
𝑙2 = 𝑐𝑡𝑒
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Solução:
Considere as polias como sem massa e estabeleça 𝑙1 𝑒 𝑙2 como os
comprimentos da corda livremente suspensa de cada uma das duas
polias. As distâncias 𝑥 𝑒 𝑦 são medidas do centro das duas polias.
𝑣1 = 𝑥
𝒎𝟏 :
𝑑
𝑣2 =
𝑙1 − 𝑥 + 𝑦 = −𝑥 + 𝑦
𝒎𝟐 :
𝑑𝑡
𝑑
𝒎𝟑 :
𝑣3 =
𝑙1 − 𝑥 + 𝑙2 − 𝑦 = −𝑥 − 𝑦
𝑑𝑡
1
1
1
2
2
𝑇 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 + 𝑚3 𝑣32
2
2
2
1
1
2
𝑇 = 𝑚1 𝑥 + 𝑚2 𝑦 − 𝑥
2
2
2
1
+ 𝑚3 −𝑥 − 𝑦
2
2
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Entalecemos a energia potencial V = 0 em x = 0.
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = −𝑚1 𝑔𝑦1 − 𝑚2 𝑔𝑦2 − 𝑚1 𝑔𝑦2
𝑉 = −𝑚1 𝑔𝑥 − 𝑚2 𝑔 𝑙1 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑚3 𝑔 𝑙1 − 𝑥 + 𝑙2 − 𝑦
Simplificando, temos
𝑉 = −𝑚1 𝑔𝑥 − 𝑚2 𝑔 𝑙1 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑚3 𝑔 𝑙1 − 𝑥 + 𝑙2 − 𝑦
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Como T e V foram determinados, as equações de movimento podem
ser obtidas utilizando
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝐿 =𝑇−𝑉
e
−
=0
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
que também pode ser escrita em função de x e y
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
=0
𝑑𝑡 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
=0
𝑑𝑡 𝜕𝑦
𝜕𝑦
Os resultados são:
𝑚1 𝑥 + 𝑚2 𝑥 − 𝑦 +𝑚3 𝑥 − 𝑦 = 𝑚1 − 𝑚2 − 𝑚3 𝑔
e
−𝑚2 𝑥 − 𝑦 +𝑚3 𝑥 + 𝑦 = 𝑚2 − 𝑚3 𝑔
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 20:
Pendulo com apoio em parábola. Como ilustração adicional considere
um pêndulo cujo ponto de suspensão desliza sem atrito sobre uma
parábola y = ax2.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
As coordenadas do ponto de apoio são x e y, as da massa são X e Y e
θ é o ângulo que o fio do pendulo faz com a vertical. O sistema tem
dois graus de liberdade e as coordenadas generalizadas podem ser
escolhidas como x e θ. As equações que conectam a posição da
partícula com x e θ são:
𝑋 = 𝑥 + 𝑙 sin 𝜃
𝑌 = 𝑎𝑥 2 − 𝑙 cos 𝜃
𝑋 = 𝑥 + 𝑙𝜃 cos 𝜃
𝑌 = 2𝑎𝑥𝑥 + 𝑙𝜃 sin 𝜃
As energias cinética e potencial são
1
𝑇 = 𝑚 𝑥 + 𝑙𝜃 cos 𝜃
2
2
+ 2𝑎𝑥𝑥 + 𝑙𝜃 sin 𝜃
𝑉 = 𝑚𝑔𝑌 = 𝑚𝑔 𝑎𝑥 2 − 𝑙 cos 𝜃
2
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
A Lagrangeana é
𝐿 =𝑇−𝑉
1
𝐿= 𝑚
2
𝑥 + 𝑙𝜃 cos 𝜃
2
+ 2𝑎𝑥𝑥 + 𝑙𝜃 sin 𝜃
2
− 𝑚𝑔 𝑎𝑥 2 − 𝑙 cos 𝜃
Fica como exercício escrever as equações de movimento.
Dinâmica Lagrangiana
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
 Potenciais Generalizados
Quando as forças generalizadas resultam de uma função
𝑈 𝑞1 , … , 𝑞𝑛 , 𝑞1 , … , 𝑞𝑛 , 𝑡 por meio das expressões
𝑑 𝜕𝑈
𝜕𝑈
−
= 𝑄𝑘
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
então a lagrangiana fica definida por
𝐿 =𝑇−𝑈
onde função 𝑈 é chamada potencial generalizado ou potencial
dependente das velocidades.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
A classe de forças abrangidas pela equação 𝑄𝑘 =
𝑑 𝜕𝑈
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑈
−
𝜕𝑞𝑘
é
maia ampla do que o conjunto das forças conservativas, estas ultimas
constituindo um caso particular em que 𝑈 independe das velocidades
generalizadas e do tempo. Um exemplo importante é a força
eletromagnética sobre uma carga em movimento.
Continuam válidas as equações de movimento de Lagrange na forma
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕qk
𝜕qk
onde 𝑘 = 1, … , 𝑛.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana
OBS:
i. A formulação lagrangiana só pode ser utilizada em sistemas
conservativos (forças conservativas) ou, pelo menos, admitir um
potencial generalizado que dependa das coordenadas de
velocidade.
ii. Se houver forças dissipativas, como por exemplo, atrito viscoso
num líquido, um corpo se movendo no ar à baixas velocidades, não
cabem na formulação lagrangiana. Podemos usar, nestes casos, a
função de dissipação de Rayleigh.
Dinâmica Lagrangiana - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Exemplo 21:
Determinar a lagrangiana de uma partícula carregada em um campo
eletromagnético externo.
A força experimentada por uma carga elétrica e em movimento num
campo eletromagnético externo é a força de Lorentz (em unidades
CGS gaussianas)
𝑣
𝐹 =𝑒 𝐸+ ×𝐵
𝑐
As equações de Maxwell permitem escrever os campos em termos de
um potencial escalar ϕ(𝑟, 𝑡) e de um potencial vetor 𝐴(𝑟, 𝑡) da
seguinte maneira:
1 𝜕𝐴
𝐸 = −𝛻𝜙 −
𝑐 𝜕𝑡
,
𝐵 =𝛻×𝐴
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético
Utilizando como coordenadas as próprias coordenadas cartesianas
da partícula, as componentes da força generalizada coincidem as
componentes cartesianas da força de Lorentz. Considere, portanto
1 𝜕𝐴 1
𝐹 = 𝑒 −𝛻𝜙 −
+ 𝑣× 𝛻×𝐴
𝑐 𝜕𝑡 𝑐
Pretendemos mostrar que 𝐹 pode ser representada na forma
𝑑 𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝑄𝑘 =
−
para alguma função U. Mas em 𝑄𝑘 =
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝑑 𝜕𝑈
𝜕𝑈
−
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
aparece uma derivada total em relação ao tempo, ao
passo que em
𝐹 = 𝑒 −𝛻𝜙 −
parcial.
𝜕𝑞𝑘
Podemos
𝐹 = 𝑒 −𝛻𝜙 −
1 𝜕𝐴
𝑐 𝜕𝑡
1 𝜕𝐴
𝑐 𝜕𝑡
introduzir
1
𝑐
+ 𝑣× 𝛻×𝐴
1
𝑐
+ 𝑣× 𝛻×𝐴
uma
derivada
notando que
a derivada é
total
em
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético
𝑑𝐴 𝜕𝐴
𝜕𝐴
𝜕𝐴
𝜕𝐴
𝜕𝐴
=
𝑥+
𝑦+
𝑧+
= 𝑣∙𝛻 𝐴+
𝑑𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝜕𝑡
Usando ainda
𝑣 × 𝛻 × 𝐴 = 𝛻 𝑣 ∙ 𝐴 − 𝑣 ∙ 𝛻 𝐴,
pois o operador nabla só afeta as variáveis de posição, podemos
escrever
1 𝑑𝐴 1
𝐹 = 𝑒 −𝛻𝜙 −
+ 𝛻 𝑣∙𝐴
𝑐 𝑑𝑡 𝑐
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético
Com o uso do operador 𝛻𝑣 =
𝑖𝜕
𝜕𝑥
𝑗𝜕
+
𝜕𝑗
𝑘𝜕
+
𝜕𝑧
e levando em conta que as
coordenadas e velocidades generalizadas são tratadas como
quantidades independentes, ficamos com
1
𝐹 = 𝑒 −𝛻 𝜙 − 𝑣 ∙ 𝐴
𝑐
𝑒 𝑑𝐴
−
𝑐 𝑑𝑡
𝑒
𝑑
1
𝐹 = −𝛻 𝑒𝜙 − 𝑣 ∙ 𝐴 +
𝛻𝑣 𝑒𝜙 − 𝑣 ∙ 𝐴
𝑐
𝑑𝑡
𝑐
pois 𝜙 𝑒 𝐴 não dependem da velocidade
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético
Levando-se em conta que 𝑞1 = 𝑥, 𝑞2 = 𝑦, 𝑞3 = 𝑧, a força 𝐹 assume a
𝑑 𝜕𝑈
𝜕𝑈
forma da equação 𝑄𝑘 =
−
com
𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑞𝑘
𝑒
𝑈 = 𝑒𝜙 − 𝑣 ∙ 𝐴
𝑐
de modo que
𝑚𝑣 2
𝑒
𝐿 =𝑇−𝑈 =
− 𝑒𝜙 + 𝑣 ∙ 𝐴
2
𝑐
É a lagrangeana de uma partícula carregada num campo
eletromagnético externo.
Dinâmica Lagrangiana - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
O momento canônico é dado por
𝜕𝐿
𝑒
𝑝𝑖 =
= 𝑚𝑥𝑖 + 𝐴𝑖 𝑟, 𝑡
𝜕𝑥𝑖
𝑐
,
𝑖 = 1, 2,3
𝑒
𝑝 = 𝑚𝑣 − 𝐴
𝑐
OBS: no sistema internacional o termo
expressão da lagrangiana fica
1
𝑐
desaparece e a
𝑚𝑣 2
𝐿 =𝑇−𝑈 =
− 𝑒𝜙 + 𝑒𝑣 ∙ 𝐴
2
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Partícula Livre Relativística
Vamos construir a lagrangiana de uma partícula livre relativística.
Uma quantidade invariante de Lorentz envolvendo diretamente as
coordenadas do espaço-tempo (de Minkowiski, sem gravidade) é a
métrica descrita pelo elemento de linha
𝑑𝑠 2 = 𝑐 2 𝑑𝑡 2 − 𝑑𝑟 2
em que 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo.
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Partícula Livre Relativística
A ação da partícula livre relativística pode ser proporcional a integral
de qualquer potencia de 𝑑𝑠. Vamos, por simplicidade, considerar a
ação na forma
2
S= 𝛼 1 𝑑𝑠
onde  é uma constante a ser determinada.
Vamos escrever a expressão numa forma mais conveniente
S= 𝛼
onde 𝑣 =
2
1
𝑑𝑟
. Aqui
𝑑𝑡
𝑐 2 𝑑𝑡 2
− 𝑑𝑟 2
= 𝛼𝑐
2
1
1
𝑣2
− 2
𝑐
𝑑𝑡
podemos identificar a lagrangiana da partícula por
𝑣2
𝐿 = 𝛼𝑐 1 − 2 𝑑𝑡
𝑐
= 𝛼𝑐 1 −
1
𝑣2 2
𝑐2
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Partícula Livre Relativística
No limite não-relativístico, 𝑣 ≪ 𝑐, temos
1 𝑣2
1𝛼 2
𝐿 ≈ 𝛼𝑐 1 − 2 = 𝛼𝑐 −
𝑣
2𝑐
2𝑐
O primeiro termo desta equação é uma constante, que não altera as
equações de movimento pois estas são obtidas por derivação de L.
1𝛼 2
𝑣 deve ser identificado como a energia
2𝑐
1
relativística 𝑚𝑣 2 , onde 𝑚 é a massa de repouso da
2
O segundo termo −
cinética não
partícula; então 𝛼 = −𝑚𝑐. Logo
2
𝑣2
𝑣
𝐿 = 𝛼𝑐 1 − 2 = −𝑚𝑐 2 1 − 2
𝑐
𝑐
MECÂNICA ANALÍTICA – PARTE 1
Dinâmica Lagrangiana - Partícula Livre Relativística
Daqui podemos obter quantidades importantes como o momento
relativístico e a energia relativística da partícula. Vejamos primeiro o
momento relativístico. Notando que 𝑣 2 = 3𝑗=1 𝑥𝑗 2 , temos
𝜕𝐿
𝜕
2
𝑝𝑖 =
= −𝑚𝑐
1−
𝜕𝑥𝑖
𝑥1
=
−𝑚𝑐 2
∴ 𝑝𝑖 =
𝑖 = 1, 2, 3
1
1−
2
𝑚𝑥𝑖
𝑣2
1− 2
𝑐
𝑗 𝑥𝑗
𝑐2
1
−
2 2
→
𝑗 𝑥𝑗
𝑐2
1
2 2
=
−2𝑥𝑖
𝑐2
𝑝=
∴
𝑚
𝑣2
1− 2
𝑐
𝑣