Aula 4 - professor Daniel Orquiza de Carvalho
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Prof.DanielOrquiza EletromagnetismoII EletromagnetismoII Prof.DanielOrquizadeCarvalho SJBV Eletromagnetismo II Torque e Momento de Dipolo Magnético (Capítulo 8 - Páginas 238 a 242) • Torque magnético em um circuito fechado • Momento de dipolo magnético EletromagnetismoI 1 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado • O torque exercido sobre um circuito magnético fechado é importante para diferentes aplicações (quais?). • A resposta de materiais magnéticos a um campo externo H é outro problema importante relacionado com torque. • Vimos que a força diferencial exercida por uma Dens. de Fluxo Magnético B em um ! ! ! dF = Idl × B elemento de corrente Idl é: • Se considerarmos um condutor reto com comprimento L imerso em um B for uniforme, a força sobre o fio é: ! ! ! F = IL × B I • Onde L é um vetor orientado na direção do fio e com sentido igual ao da corrente. Β 1 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado • A força resultante por B será sempre perpendicular ao fio condutor (por que?). • Se considerarmos um circuito fechado, não há força resultante (para B uniforme), mas pode haver um torque. • O torque com relação a um ponto de origem ‘O’ é igual ao produto vetorial entre o z braço (vetor distância) e a força aplicada no fio: ! ! ! T = R×F ‘O’ • Se B é uniforme, podemos considerar que F é aplicada no centro de massa do fio (na verdade a força é distribuída uniformemente ao longo do comprimento do fio). x x ! R y ! F centro demassa 2 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado • Para encontrar uma expressão geral para o torque em um circuito fechado, considere uma espira retangular de corrente ‘I’, de lados ‘a’ e ‘b’, imersa em B. • Consideremos a origem como o ponto ! B = By ây + Bz âz z de referência para o cálculo dos torques • Por simplicidade, vamos considerar que -a/2 B só tem componentes: ! B = By ây + Bz âz -b/2 b/2 • A corrente ‘I’ flui no sentido horário. a/2 x x y I 3 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado • Para calcular F e T podemos analisar cada componente de B isoladamente e somar os resultados (vetorialmente). • Considerando Bz , a força em cada lado z Bzaz aponta para a origem. • Como Bz é uniforme, as magnitudes das ① forças serão iguais em lados opostos. ! F1 ④ ! ! ! ! F1 = − F3 e F2 = − F4 ! F4 • De forma geral, o componente de B normal ao plano da espira não contribui ! F3 ③ para o torque. x x ! F2 y ② I 4 4 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado • Componentes de campo magnético paralelos ao plano da espira contribuem para o torque. Vamos considerar cada lado separadamente. • No caso do lado (1) em x = -a/2, a força z é: ! F1 = Byay −b/2 ∫ I dyây × By ây = 0 ① y=b/2 ④ • Portanto o torque do lado (1) é nulo. y ② • Da mesma forma, do lado (3): ! ! F3 = 0 e T3 = 0 ③ x x I 5 Eletromagnetismo II SJBV Torque em um circuito fechado • Componentes do campo paralelos a um dos lados da espira não geram força nesse lado. • No lado (2) em y = b/2, a força é: ! F2 = z Byay a/2 ∫ I dxâx × By ây ① x=−a/2 ④ ! ⇒ F2 = Ia By âz ! F2 y ② ③ x x I 6 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado • O Braço do lado (2) é: ! b R2 = ây 2 z Byay • O Torque do lado (2) fica: ① ! ! ! ⎛b⎞ T2 = R2 × F2 = ⎜ ⎟ ây × ( Ia By ) âz ⎝2⎠ ④ ! T2 ! ⎛ ab ⎞ T2 = I ⎜ ⎟ By âx ⎝2⎠ ③ x x ! R2 ! F2 y ② I 7 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado • No lado (4) em y = -b/2, a força é: ! F4 = z −a/2 ∫ I dxâx × By ây Byay x=a/2 ! ⇒ F4 = −Ia By âz ① ④ ! F4 • O Braço do lado (4) é: ! b R4 = − ây 2 y ② ③ x x I 8 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado • O Braço do lado (4) é: ! b R4 = − ây 2 z Byay • Torque do lado (4): ! ! ! ⎛ b⎞ T4 = R4 × F4 = ⎜ − ⎟ ây × (−Ia By ) âz ⎝ 2⎠ ④ ! F4 ! ⎛ ab ⎞ T4 = I ⎜ ⎟ By âx ⎝2⎠ ! R4 ! T4 ③ x x ① y ② I 9 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado • O torque total é a soma T2 e T4: ! T = I ( ab) By âx = ISBy âx z Área da espira Byay • O momento de dipolo magnético de um circuito fechado com área S é definido: ! ! m = ISân = IS [A.m 2 ] ① ④ • Onde S aponta na direção normal a S, y ! T no sentido definido pela circulação de I com a Regra da Mão Direita. ③ x x ② I 10 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado • Note que m aponta na mesma direção da Densidade de Fluxo Magnético gerado pela espira Besp. z • Utilizando o momento de dipolo, o Byay Torque fica: ! ! ! T = m × B [N.m] ① ④ y ! T • Para uma bobina com N espiras: ! ! m = NIS ③ x x ② I 11 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado • Caso B não seja uniforme ao longo da área envolvida pelo circuito, podemos calcular T usando o momento de dipolo diferencial dm: ! ! dm = IdS [A.m 2 ] z Byay • Neste caso o torque é obtido integrando: ① ! ! ! ! ! ! dT = dm × B ⇔ T = " ∫ S dm × B ④ y ! T • O torque induzido na espira sempre tende a girar a mesma de forma a alinhar B ③ gerado pela espira com B externo. x x ② I 12 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado 13 SJBV Eletromagnetismo II Torque em um circuito fechado Um triângulo condutor filamentar une os pontos A(3; 1; 1), B(5; 4; 2) e C(1; 2; 4). Pelo segmento AB passa uma corrente de 0,2A na direção aAB. O triângulo está imerso em uma região com densidade de fluxo magnético: B = 0,2ax - 0,1ay + 0,3az [T] Calcule: (a) A força no segmento BC. (b) O torque na espira em relação a uma origem em A. (c) O torque na espira (calculado utilizando o momento de dipolo magnético). 2 x
