A Modelagem

 MODELAGEM MATEMÁTICA NA CONSTRUÇÃO DE NOVOS CONCEITOS:
UMA ATIVIDADE COM OS ALUNOS DA OBMEP
Thiago Henrique de Freitas
Universidade Estadual de Maringá – UEM
Lilian Akemi Kato
Universidade Estadual de Maringá –UEM
Osvaldo Germano do Rocio
Universidade Estadual de Maringá – UEM
Resumo
Este trabalho pretende relatar e analisar resultados obtidos por meio de uma atividade de
modelagem matemática realizada com alunos do ensino Fundamental, premiados da
OBMEP. A atividade consistiu em introduzir o conceito de função contextualizado por um
tema do cotidiano dos alunos, visto que estes alunos ainda não tinham tido contato formal
com este conceito matemático. Utilizamos a modelagem como uma estratégia para a
facilitação do ensino de Matemática, pois promove uma aprendizagem mais significativa
dos conceitos e facilita a aplicabilidade em situações do cotidiano.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, Função, OBMEP.
Introdução
Encontrar métodos viáveis de atingir resultados pedagógicos que propiciem uma
aprendizagem mais significativa para quem aprende e uma facilidade maior de atingir os
objetivos didáticos para quem ensina, é um dos grandes desafios da educação atual.
Uma das dificuldades encontradas pelos alunos na aprendizagem de Matemática
está em relacionar a realidade vivenciada com os assuntos tratados na escola, que em geral
é dada quase que exclusivamente na forma teórica expositiva em sala de aula.
Nas aulas expositivas os alunos estão condicionados apenas a reproduzir
mecanicamente sem um olhar crítico para uma possível inter-relação existente entre o
estudado e o cotidiano.
É um dos papéis do professor estabelecer o elo entre a matemática e a realidade
que, em conjunto da modelagem matemática, preparam os alunos para relacionar a
disciplina em diferentes áreas, explorando a investigação e exploração dos conceitos a fim
de formar cidadãos mais críticos perante a sociedade.
“A atividade matemática escolar não é “olhar para coisas prontas e definitivas”,
mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para
compreender e transformar sua realidade. ”(PCN, 1997)
Embasando-se nessa abordagem, a modelagem matemática vem sendo proposta
como uma nova metodologia de ensino que possibilita, entre outras coisas, mostrar a
aplicabilidade da matemática escolar em situações do cotidiano.
A utilização da modelagem matemática como nova proposta de ensino torna as
aulas mais agradáveis e motivadoras, pois pode conduzir os alunos com facilidade à
abstração e à generalização dos resultados.
Segundo Barbosa (2001), “a modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual
os alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio da matemática, situações
com referência na realidade.”
A modelagem matemática apresenta aos alunos algumas aplicações da matemática
escolar em situações da sua realidade, também pode conduzir naturalmente a elaboração,
pelos estudantes, de conceitos novos.
Este trabalho apresenta um relato sobre uma atividade realizada com um grupo de
alunos do ensino fundamental do Estado do Paraná premiados na Olimpíada Brasileira das
Escolas Públicas e bolsistas de iniciação científica júnior do CNPq; o objetivo era a
construção do conceito de função por meio de uma atividade de modelagem matemática.
A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, mais conhecida
como OBMEP, é uma ação do Ministério da Educação e do Ministério da Ciência e
Tecnologia juntamente com o Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA).
A Olimpíada é realizada todos os anos, sendo que as provas são destinadas aos
alunos das escolas públicas. É realizada a primeira fase, onde são selecionados os melhores
alunos colocados desta prova. Esses alunos selecionados passam por um segundo teste
qualificativo onde os melhores colocados, ganham bolsa de estudos.
Os objetivos desta Olimpíada são de encontrar novos talentos em matemática,
estimular e divulgar o conhecimento matemático e o interesse por este, proporcionando
resultados tais como o desenvolvimento do pensamento matemático na formação do aluno
e do cidadão crítico perante a sociedade atual. Outro resultado importante é a possibilidade
de o aluno criar novos vínculos com a escola e também a mudança de atitude com relação
259 à Matemática, melhorando sua auto-estima e autoconfiança e, conseqüentemente, seu
desempenho escolar.
A idéia central deste trabalho consistia em motivar os alunos à compreensão de
assuntos até então desconhecidos por eles de forma diferente do ensino tradicional, ao qual
estavam acostumados e tinham um bom rendimento e, possivelmente, verificar a aceitação
desta metodologia de trabalho bem como a elaboração cognitiva dos conceitos envolvidos.
Em uma de nossas conversas rotineiras os alunos comentaram uma questão que
foi proposta em uma das provas da olimpíada realizada por eles que envolvia função,
conceito desconhecido por eles.
Ao comentar algumas aplicações cotidianas do conceito de função o que os alunos
acharam mais interessante e curioso foi com relação à conta de energia elétrica. Por meio
desta investigação nasceu a idéia de trabalharmos o conceito de função contextualizado
pela energia elétrica.
Referencial Teórico
Motivados por D’Ambrósio (2002) que diz “A modelagem matemática é
matemática por excelência.”, buscamos sair do âmbito da escola tradicional e subjetivamos
um aprendizado mais significativo para quem aprende por meio de uma contextualização
cotidiana. Atualmente muitos educadores matemáticos propõem a modelagem matemática
como uma estratégia de ensino e aprendizado.
“... a modelagem pode ser tomada tanto como um método científico de pesquisa
quanto como uma estratégia de ensino-aprendizagem- tem se mostrado muito
eficaz. A modelagem matemática consiste essencialmente na arte de transformar
problemas da realidade e resolvê-los, interpretando suas soluções na linguagem
do mundo real” (BASSANEZI, 2002)
Isto se deve porque atualmente, devido a inúmeros problemas de âmbito
social e cultural, o ensino de matemática em sala de aula vem sendo questionado, pois não
atinge mais os objetivos de aprendizagem esperados, novas metodologias vem sendo
propostas e pensadas, entre elas a modelagem matemática, a fim de propiciar uma melhora
na qualidade de ensino.
260 Para o contexto escolar a modelagem matemática contribui para a formação não
só de alunos, mas também de cidadãos críticos perante a sociedade atual.
“Se estamos interessados em educar matematicamente os nossos alunos para agir
na sociedade e exercer a cidadania - e esse é objetivo da educação básica -,
podemos tomar as atividades de Modelagem como uma forma de desafiar a
ideologia da certeza e colocar lentes críticas sobre as aplicações da matemática.”
(BARBOSA, 2003).
Por fim, utilizamos a matemática em conjunto com a modelagem matemática
como uma forma de mostrar que podemos reproduzir a realidade a partir de modelos
matemáticos.
“Ao olhar para a modelagem matemática e para a aplicação da matemática, de
forma geral, constatamos que ambas partem da realidade, isto é, da nossa
interação com o mundo. Além disso, ambas partem de situações problemáticas,
sendo que a matemática é considerada uma linguagem promissora, capaz de
conceituar essas situações e, desse modo, encaminhar soluções. Entendo que o
efeito ou objetivo, no caso da aplicação ou utilização de modelos vigentes, é a
reprodução da realidade e, no caso da modelagem, a transformação da
realidade...” (BEAN, 2007)
Com o desenvolvimento de novas metodologias educacionais, o papel do
professor em sala de aula tem um novo significado importante, deixando de ser apenas um
expositor de conhecimento e tornando-se o intermediador e articulador de novos conceitos.
A modelagem matemática auxilia nessa nova tendência, ajudando também os alunos a
terem uma nova visão dos temas trabalhados, estimulando o seu processo cognitivo e
estruturalmente moldando-o uma visão crítica e interpretativa dos conceitos trabalhados.
O aprendizado do conceito de função é essencial para a formação escolar, e que
apoiada pela modelagem e por uma contextualização cotidiana, em nosso caso a conta
energia elétrica, contribui para uma melhor formação estruturadora e conseqüentemente a
melhora do ensino e do aprendizado deste conceito tão importante.
“As funções elementares associadas à modelagem possuem um papel importante
na conexão com outras disciplinas da natureza de Ciências da Natureza e mesmo
com outras áreas, adquirindo um caráter estruturador e integrado” (Projeto
Escolas-Referência, 2004)
Desenvolvimento
Partindo da idéia de realizar uma atividade motivadora para os alunos da OBMEP
com um desenvolvimento diferente do que eles já tinham realizado nas escolas, e visando a
261 analisar suas atitudes durante a atividade, desenvolvemos este trabalho que introduz o
conceito de função por meio de uma contextualização cotidiana, embasando-se na
modelagem matemática como recurso pedagógico.
Como esses alunos são premiados pela OBMEP, tinham o direito e o dever de
participar de um grupo de estudos promovido pela própria OBMEP, onde estudam
assuntos além do que era proposto em sala de aula sob a coordenação do professor Osvaldo
e monitorados por mim.
Quando iniciei a monitoria neste grupo de estudos, percebi uma curiosidade destes
alunos por conhecer outros assuntos de matemática e, principalmente, as aplicações em
outras áreas. Era um grupo de três alunos de diferentes características. Duas alunas
provinham de Maringá-PR e um aluno de Alto Paraná-PR. Mas essa não é uma diferença
significativa; o que realmente os diferenciavam eram as atitudes e raciocínio individual
para a resolução de um problema proposto.
Essa motivação do grupo incentivou-me a procurar alternativas para o ensino de
novos assuntos desconhecidos por eles, pois esses alunos gostavam de matemática, mas
desconheciam suas possíveis aplicações. Descobri que em uma das provas da Olimpíada
Brasileira das Escolas Públicas realizada por eles, foi exigida uma questão que envolvia o
conceito de função, que para revolta deles, não conseguiram resolver, pois desconheciam
este tema.
Expliquei que o conceito de função estava associado com diversas situações do
cotidiano, comentando algumas bem conhecidas, entre elas a relação entre a conta de
energia elétrica e função. A curiosidade de investigar a conta de energia elétrica e conhecer
esta relação com o conceito de função foi imediata.
Partindo disso, nasceu a idéia de realizarmos esta atividade. A modelagem
matemática surgiu como uma boa opção para este tipo de trabalho, pois unia de forma sutil
a realidade vivenciada pelos alunos e os temas abordados em sala de aula.
Quando a atividade foi anunciada, os alunos ficaram muito empolgados, pois foi
falado que seria uma experiência nova em que aprenderiam um novo conceito sem que o
professor explicasse.
Partindo disso iniciamos nossa atividade onde foi analisada a conta de energia
elétrica, evidenciando o racionamento consciente, o valor da conta a ser pago, os impostos
cobrados.
262 Pediu-se aos alunos que trouxessem os valores das potências, em killowat-hora,
dos aparelhos elétricos mais utilizados por eles ou por sua família e também contas de
energia elétrica com uma seqüência de meses com intuito de analisar e extrair dados para o
trabalho.
Em meu papel de orientador da atividade, auxiliava os alunos e os ajudava com
possíveis dúvidas lhes dando dicas. Notei que quando perguntado sobre as atitudes, em
sala de aula, dos professores dos alunos as respostas foram idênticas: esboçaram que o
ensino era repetitivo e desmotivador e que sempre tinham o professor ao seu lado para lhe
dar uma segurança necessária para a realização das tarefas. Neste contexto, a forma com
que esta atividade estava sendo realizada fez com que os alunos imaginassem que este
trabalho seria muito desafiador.
A idéia de não ter uma pessoa que lhes indicassem um único caminho correto,
fato este natural na escola tradicional, fez com que eles imaginassem que suas conclusões
seriam equivocadas, trazendo consigo o medo de não conseguir realizar a atividade. Foi
pedido também que discutissem bem todas as idéias que cada membro do grupo
expressasse, analisando a melhor e a mais coerente.
No primeiro dia da atividade estava estampado nos rostos dos alunos o
nervosismo em começar e o receio de uma atividade difícil. Apesar de serem alunos
premiados das Olimpíadas, o fato de desenvolver uma atividade onde suas conclusões
obtidas seriam levadas em consideração, não traziam a confiança necessária para ter uma
plena tranqüilidade para a realização da atividade.
O trabalho foi dividido em três partes. A primeira parte envolveria a leitura do
texto informativo sobre a energia elétrica no Brasil e no Paraná e as várias formas de
obtenção de energia elétrica; a segunda parte englobaria a retirada das hipóteses do texto
informativo e, por fim, a terceira parte analisaria os resultados obtidos.
O texto informativo continha uma tabela com preços de cada killowat-hora
cobrados no Brasil, nos Estados Unidos e na Europa. Uma questão discutida foi com
relação ao preço cobrado por cada kilowatt- hora no Brasil em comparação aos preços da
Europa e dos Estados Unidos, visto que o Brasil tinha o preço mais caro.
Por meio da leitura do texto informativo foi possível, após discussão, extrair os
dados que poderiam ser utilizados durante a atividade e por fim levantar as hipóteses do
problema. Os alunos preencheram uma tabela onde relacionava a potência de cada
263 aparelho elétrico, o uso diário em horas, a quantidade de dias que era utilizado no mês a
fim de encontrar o gasto em killowat- hora. Como os alunos sabiam o valor de cada
kilowatt hora pela análise das contas de luz, por uma multiplicação simples ficou fácil de
descobrir quanto cada aparelho gastava ao mês.
Com suas contas de energia elétrica em mãos os alunos completaram uma
segunda tabela que relacionava o gasto em kilowatt hora no mês, o preço de cada kilowatt
hora, a taxa de iluminação pública e por fim o valor total da conta de energia elétrica.
Por meio desta atividade os alunos desenvolveram uma expressão matemática, de
forma geral, que relacionava o valor das contas de energia elétrica com a quantidade gasta
em killowat-hora. A generalização da expressão matemática contribuiu para a construção
um conceito informal de função.
Antes de concluir a expressão encontrada houve um fato interessante, pois não
quiseram deixar o valor de cada kilowatt hora como uma constante. Notaram que havia
várias casas decimais e que elas, em algumas vezes, variavam dependendo do mês
analisado alterando o valor total da conta.
A escola tradicional focaliza um aprendizado repetitivo com relação à resolução
de problemas, ponto divergente das atividades de modelagem matemática, pois além de
propiciarem um olhar crítico e interpretativo fazem com que os alunos pensem de maneiras
distintas para cada atividade.
Outro fato importante foi que na hora de preencher a tabela em que relacionava as
potências dos aparelhos elétricos, o tempo utilizado e valor, em reais, gasto por esses
aparelhos mensalmente, as opiniões de todos os integrantes do grupo foram levadas em
consideração, inclusive não só pensaram em seus tempos de uso mas sim, no da sua família
também, esperando um resultado mais abrangente. Notaram que o chuveiro é o aparelho
elétrico que mais contribui no aumento da conta de energia elétrica.
Por fim, foi realizada a terceira parte da nossa atividade, que era composta pela
análise das conclusões obtidas, com o intuito de comprovar se os resultados são
condizentes com a realidade. Com esta comprovação o entendimento da definição formal
do conceito de função, que para meu espanto, foi assimilada de forma muito fácil e rápida.
A atividade proposta ajudou consideravelmente na generalização do conceito de função.
Notou-se que cada aluno construiu individualmente este conceito tão importante para a
matemática.
264 Considerações Finais
Ficou evidenciada nesta atividade a importância da contextualização de alguns
conceitos em especial, o conceito de função e de função exponencial por meio da
modelagem matemática como recurso pedagógico. A modelagem possibilita aos alunos o
desenvolvimento de suas capacidades de raciocínio, criatividade e pensamento crítico
sobre seu papel como cidadão, permitindo a tomada de decisões para o desenvolvimento e
resolução de problemas.
Como o intermediador desta atividade, tive que pesquisar para ficar atualizado
sobre os temas relacionados à energia elétrica como: formas distintas de geração de energia
elétrica, como economizar, etc. Busquei também investigar antes da atividade os
conhecimentos prévios sobre a energia elétrica que os alunos tinham, a fim de
complementar seus conhecimentos sobre este tema.
“Dessa forma o professor precisa primeiramente conhecer o que o aluno já sabe,
pois a visão construtivista considera que todo sujeito já traz consigo uma carga
de conhecimento que já construiu até o momento e com as quais lhe dará
condições prévias para aprendizagens futuras. E o aluno precisa ainda estar
disposto a aprender o que o professor lhe desafia, o que ele tem a lhe ensinar
(conteúdos formais acumulados durante a história da civilização), tornando o
processo ensino aprendizagem dinâmico, dialético, com o professor ensinando e
aprendendo ao mesmo tempo com seu aluno.” (BURAK E SOISTAK 2005)
Durante a realização das atividades propostas e considerando-se o modo como foi
trabalhado, foi possível identificar a forma de pensamento que conduziu os alunos à
formalização do conceito de função.
Durante a realização da atividade os alunos foram percebendo a regularidade
existente na situação problema; o primeiro indício de abstração do conceito de função
surgiu quando eles puderam expressar verbalmente a relação entre as variáveis envolvidas.
“Uma coisa X está relacionada com outra coisa Y através de uma regra que sempre era
válida”, fala esta dita por um dos alunos ao esboçar sua primeira idéia de função. A partir
desse entendimento a definição formal do conceito de função surgiu naturalmente.
Ao final das atividades pediu-se que os alunos dessem sua opinião em um
questionário, a fim de avaliarmos como este trabalho foi recebido. Ao perguntar o que eles
tinham achado de mais interessante tivemos a seguinte indagação: “O mais interessante foi
que aprendi um novo conteúdo facilmente”. Por sua vez a quando perguntado se gostaria
265 de trabalhar outros temas desta forma, a resposta mais impressionante foi “... gostaria de
trabalhar outros temas desta forma, porque é um modo divertido e diferente, além de ser
dinâmico e estimulante.”
Considerando que a modelagem matemática contribui na formação de um cidadão
mais critico perante a sociedade (BARBOSA, 2003), acreditamos que esta atividade
contribuiu com a formação escolar destes alunos, pois aguçou seu olhar interpretativo e
opinativo para a resolução de exercícios propostos.
Além disso, a atividade contribuiu para o desenvolvimento destes alunos para
outras olimpíadas não somente por tratar formalmente de um dos conceitos mais
importantes dentro da matemática, como também por permitir uma participação ativa do
estudante no processo de ensino e aprendizagem, dando-lhes a auto-estima fundamental
para “ousar” aprender uma matemática diferente.
Referências bibliográficas
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: concepções e experiências de futuros
professores. 2001. 253 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas,
Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2001.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática na sala de aula. Perspectiva, Erechim (RS), v.
27, n. 98, p. 65-74, junho/2003.
BASSANEZI, R. Carlos; Ensino - aprendizagem com Modelagem Matemática; Ed.
Contexto; São Paulo ,2002.
BEAN, Dale. Modelagem matemática: uma mudança de base conceitual. V Conferencia
Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática, 2007.
BURAK, Dionísio, SOISTAK, Alzenir Virginia Ferreira, O conhecimento matemático
elaborado via Metodologia alternativa da modelagem matemática, Congresso
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Ensino da Matemática. Canoas, RS: ULBRA, 2005.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan; Prefácio do livro Ensino - aprendizagem com Modelagem
Matemática; Ed. Contexto; Rodney Carlos Bassanezi; São Paulo, 2002.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN: Matemática/Secretaria de Educação
Fundamental. – Brasília MEC/SEF, 1997.
266 PROPOSTA CURRICULAR DE MATEMÁTICA PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA.
Projeto Escolas-Referência, pag. 30, 2004. Autores: Mário Jorge Carneiro, Michel Spira,
Jorge Sabatucci.
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