RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO FINAL DE

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO FINAL DE MATEMÁTICA APLICADA EM 2008 NO
COLÉGIO ANCHIETA-BA, AOS ALUNOS DA 3a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO.
ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.
C
D
01.
P
B
A
O quadrado ABCD (figura acima) tem lado igual a 6 cm. O ponto P, pertencente à diagonal AC , dista 5 cm
do vértice B.
Determine a diferença, em cm, das possíveis distâncias de P ao ponto A.
01)
2
02)
3 2
2
03)
4 2
3
04)
2
2
RESOLUÇÃO:
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo BHP:
(6 − x )2 + x 2
= 25 ⇒ 36 − 12x + x 2 + x 2 = 25 ⇒
2x 2 − 12x + 11 = 0 ⇒ x =
12 ± 144 − 88 12 ± 2 7
=
⇒
4
4
6± 7 
6 2 + 14
6 2 − 14
 2⇒d=
d = 
ou d =
⇒

2
2
 2 
6 2 + 14 6 2 − 14
−
= 14 .
2
2
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05) 3 2
2
02. Determine a área, em cm , da esfera inscrita num octaedro regular de
aresta igual a 6 cm.
01) 8π
02)16π
03) 24π
04) 28π
05) 32π
RESOLUÇÃO:
O triângulo VCD é eqüilátero, logo a sua altura
base
Os
AB mede 6cm e sua altura VO mede
triângulos
retângulos
VOA
e
VA mede
(3 3 )
2
VHO,
6 3
= 3 3 .O triângulo VAB é isósceles cuja
2
− 3 2 = 18 = 3 2
da
figura
3,
são
semelhantes,
logo:
VO OH
3 2 R
3 2
=
⇒
= ⇒R=
= 6
VA OA
3 3 3
3
A área da esfera è:
S = 4πR 2 = 24π .
RESPOSTA: ALTERNATIVA 03.
03. Qual das proposições a seguir é verdadeira?
01)
02)
03)
04)
Se duas retas são ortogonais, então se interceptam.
As projeções ortogonais de duas retas reversas sobre um mesmo plano, são retas concorrentes.
A interseção da superfície de um cubo com um plano, pode ser um trapézio.
Se duas esferas são tangentes exteriormente, então a distância entre seus centros é maior que a
soma dos seus raios.
05) A planificação da superfície lateral de um cone circular reto, determina um setor circular de raio igual
ao raio do cone.
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2
RESOLUÇÃO:
01) Falso, pois duas retas ortogonais são sempre reversas.
02) Falso.
Na figura ao lado considere-se as retas reversas
que contêm os lados AE e BC . As suas
projeções ortogonais sobre o plano α são,
respectivamente, o ponto E e a reta
FG .
03)
VERDADEIRO.
Pela figura ao lado conclui-se que a interseção
da superfície de um cubo com um plano, pode
ser um trapézio.
04)
Falso.
Na figura ao lado tem-se a planificação de duas
esferas tangentes exteriormente, onde se percebe
que a distância entre seus centros é igual à soma
dos seus raios.
05) Falso.
Analisando a figura ao lado chega-se à
conclusão de
que o raio da superfície
planificada é a geratriz do cone e não o seu
raio.
04. Com os algarismos x e y são formados os números xxy e yxx, cuja soma é igual a 1.070.
A expressão x + y é igual a
01) 6
02) 7
03) 8
04) 9
05) 10
RESOLUÇÃO:
Pelos dados da questão pode-se escrever: (100x + 10x +y) + (100y + 10x + x) = 1.070 ⇒
100(x + y) + 10(2x) + (x + y) = 1.000 + 70 ⇒
100(x + y) = 1.000
⇒ {x + y = 10 ⇒

10(2x)
+
x
+
y
=
70

RESPOSTA: ALTERNATIVA 05.
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3
05. O segmento AB representa a desvalorização do valor de um automóvel no decorrer do tempo.
O segmento CD representa a desvalorização de um outro automóvel.
Quanto tempo, em anos, após a compra, os automóveis terão o mesmo valor?
6
5
01)
02) 1
03)
7
5
04)
8
9
05)
8
5
RESOLUÇÃO:
Da analise do gráfico acima :
1) Equação da reta
AB :
6 10.000 1
0 40.000 1 = 0 ⇒ 240.000 + 10.000x − 40.000x − 6y = 0 ⇒
x
y
1
2) Equação da reta
=
+
=
−
+
⇒
−
=
−
+
+
CD :
0 50.000 1 = 0 ⇒ 150.000 + 10.000x − 50.000x − 3y = 0 ⇒
x
y
1
+ 4
3 10.000 1
−
−
=
− 0
+
⇒ 50.000x = 60.000 ⇒ x =
RESPOSTA: ALTERNATIVA 01.
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4
6
5
.
06. A reta r possui o ponto A = (–2,6) e é perpendicular ao segmento de extremos B = (– 4,–2) e C = (6,3).
Determine o ponto de interseção da reta r com o eixo dos x.
01) (1,0)
02) (–1,0)
03)
 3 
 , 0
 2 
04)
 3 
 − , 0
 2 
05) (2,0)
RESOLUÇÃO:
Inicialmente calcula-se o coeficiente angular da reta determinada pelos pontos B e C
m=
3 − (−2) 5 1
=
= ⇒ que o coeficiente da reta r que possui o ponto A = (–2,6) e é perpendicular ao
6 − (−4) 10 2
1
segmento de extremos B e C é −  
2
−1
=− .
A reta r tem então, equação da forma: y = – 2x + b.
Nesta equação, substituindo-se x e y pelos valores das coordenadas do ponto A = (–2,6), tem-se:
6 = – 2(– 2)+ b ⇒ b = 2.
A equação da reta r é: y = – 2x + 2.
O ponto de interseção da reta r com o eixo dos x, encontra-se fazendo y = 0 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1.
O ponto procurado é P = ( 1, 0).
RESPOSTA: ALTERNATIVA 01
07. Calcule a área do triângulo definido pelos semi-planos y ≥ 3x – 4 ;
01) 2 u.a
02) 2,5 u.a
03) 2,75 u.a
RESOLUÇÃO:
Para construir os gráficos das retas y= 3x – 4 e
y = –2x + 6:
Considerando os semi-planos: y ≥ 3x – 4;
y ≥ – 2x + 6; y ≤ 5 percebe-se que a
interseção dos três determina o triângulo ABC.
Para a determinação dos vértices A, B e C
deve-se resolver os sistemas:
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5
y ≥ – 2x + 6 ; y ≤ 5
04) 3,75 u.a
05) 4 u.a
5 x − 10 = 0
 y = −2 x + 6 
⇒ x = 2 e y = 2

 y = 3x − 4
y = 5
y = 5

⇒ 5 = 3 x − 4

 y = 3x − 4
x = 3

Logo A = (2, 2).
Logo B =(3, 5).

y = 5
 y = −2 x + 6

⇒ 5 = −2 x + 6

y = 5

1
x =

2
1 
, 5
2 
Logo C = 
A área do triângulo ABC é:
2
1
S= 3
2 1
2
2 1
5 1=
5 1
1
5
1 15 15
10 + 15 + 1 − − 10 − 6 = × = = 3,75.
2
2
2 2
4
RESPOSTA: ALTERNATIVA 04.
2
08. Considere a parábola P1 de equação y = x – ax + b
A parábola P2, simétrica de P1 em relação ao eixo dos y.
A parábola P3, simétrica de P2, em relação ao eixo dos x.
2
Sabendo que a equação de P3 é y = –x – 4x + 4, determine o vértice de P1.
01) (2,8)
02) (2,–8)
03) (–2,8)
04) (–2,–8)
05) (8,–2)
RESOLUÇÃO:
2
Sendo y = –x – 4x + 4 a equação da parábola P3, simétrica de P2, em relação ao eixo dos x, entâo a
2
2
equação da parábola P2 é: -y = x + 4x – 4 ⇒ y = x + 4x – 4.
2
Sendo y = x + 4x – 4 a equação da parábola P2, simétrica de P1, em relação ao eixo dos y, entâo a
2
2
equação da parábola P1 é: y = (–x) + 4(–x) – 4 ⇒ y = x – 4x – 4.
Vê o gráfico:
2
Vértice de P1 cuja equação é y = x – 4x – 4:
08-3480(S)5148_Aval_Final_Matem_3EM_01-10_marb
6
xv =
4
= 2 e yv = 4 – 8 – 4 = – 8 ⇒ V = (2, –8)
2
RESPOSTA: ALTERNATIVA 02
OUTRO MODO DE ENCONTRAR A EQUAÇÃO DE P1 :
2
Sendo a parábola P1 de equação y = x – ax + b simétrica de P2 em relação ao eixo dos y, a equação de P2
2
2
é: y = (-x) – a(-x) + b ⇒ y = x +ax + b.
2
Sendo a parábola P2 de equação y = x +ax + b simétrica de P3 em relação ao eixo dos x, a equação de P3
2
2
é: -y = x +ax + b ⇒ y = -x - ax - b.
2
Tem-se: (I) equação de P3 é y = –x – 4x + 4 (dado da questão)
2
(II) equação de P3 é y = –x – ax – b (dedução)
2
2
De (I) e (II): –x – 4x + 4 = –x – ax – b ⇒ a = 4 e b = – 4.
2
2
Como a equação de P3 é da forma y = x – ax + b (dado da questão) ⇒ y = x – 4x – 4.
09.
6 B
P (X,Y)
A
O
Q
2
O ponto P percorre o segmento AB.
Determine a área máxima do triângulo retângulo POQ.
01) 1
02)
3
2
03) 2
04)
5
2
05) 3
RESOLUÇÃO:
A equação da reta que passa pelos pontos (2, 0) e (0, 6) é da forma: y = ax + 6.
Substituindo x e y pelos valores determinados pelo ponto (2, 0), tem-se:
2a + 6 = 0 ⇒ a = – 3, logo a equação da reta acima citada é: y = – 3x + 6.
Então a determinação geral dos pontos que pertencem a esta reta é (x, – 3x + 6).
A área do triângulo POQ é S =
x(−3x + 6) − 3x 2
=
+ 3x .
2
2
Esta área será máxima quando x assumir o valor:
Smax =
−3
=1.
3
2( − )
2
−3
3
+ 3 = = 1,5
2
2
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7
− 2 x, se − 2 ≤ x < 0
10. Considere a função ƒ tal que: ƒ(x) = 
2
x − 4 x, se 0 ≤ x ≤ 5
Qual das proposições a seguir é verdadeira?
01) ƒ possui inversa.
02) O menor valor de ƒ é – 4.
03) A equação ƒ(x) = x possui, apenas, uma solução.
04) (ƒοƒ) (1) = – 2
05) ƒ é crescente no intervalo [0,5]
RESOLUÇÃO:
01) Falso.
ƒ não possui inversa, pois existe x ≠ x’ para os quais
f(x) = f(x’).
02) VERDADEIRO.
03) Falso.
Na função
− 2 x, se − 2 ≤ x < 0
f ( x) =  2
faça-se
x
x
se
x
−
4
,
0
≤
≤
5

2
–2x = x ⇒ x = 0 e x – 4x = 0 ⇒ x = 0 ou x = – 4, logo
a equação ƒ(x) = x possui duas soluções.
04) Falso.
f(1) = 1 – 4 = – 3; (ƒοƒ) (1) = f(– 3) que não existe pois – 3 não pertence ao domínio desta função.
05) Falso.
Neste intervalo ƒ não é crescente nem decrescente.
11. O domínio da função ƒ(x) =
01) 0
02) 1
4
x 2 − 5x + 8
− 1 possui quantos elementos do conjunto {–3,–2,–1,0,2}?
x 2 + 3x − 4
03) 2
04) 3
05) 4
RESOLUÇÃO:
A expressão
4
x 2 − 5x + 8
x 2 − 5x + 8
−
1
somente
representa
um
número
real,
se
− 1≥ 0 ⇒
x 2 + 3x − 4
x 2 + 3x − 4
x 2 − 5x + 8 x 2 + 3x − 4
− 8 x + 12
− 2
≥0⇒ 2
≥0.
2
x + 3x − 4 x + 3x − 4
x + 3x − 4
Para estudar a variação do sinal da fração
− 8 x + 12
devemos primeiramente estudar a variação do
x 2 + 3x − 4
2
sinal das expressões N = –8x + 12 e D = x + 3x – 4.
Fazendo –8x + 12 = 0, encontramos x = 3/2 que é sua única raiz.
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8
2
Fazendo x + 3x – 4 = 0, x =
O domínio da função f(x) =
4
− 3 ± 25
⇒ x = −4 ou x = 1.
2
x 2 − 5x + 8
− 1 é: D(x) = {x ∈ R; x < –4 ou 1 < x ≤ 3/2 }
x 2 + 3x − 4
{–3,–2,–1,0,2} ∩ D(x) = ∅
RESPOSTA: ALTERNATIVA 01
12. Considere a função ƒ : R → R tal que ƒ(x) = [ x ], onde [ x ] é igual ao maior inteiro que não supera x.
O valor de ƒ (–π) + (ƒοƒ)
01) 2
( 2 ) é igual a
02) 2
03) 0
04) –2
05) –3
RESOLUÇÃO:
Tome-se π = 3,14 e
( 2 ) = 1,41.
Então ƒ (–π) = f (–3,14) = –4 e (ƒοƒ)
Logo: ƒ (–π) + (ƒοƒ)
( 2 ) = (ƒοƒ)(1,41) = ƒ(1) = 1.
( 2 ) = –4 + 1 = –3
RESPOSTA: ALTERNATIVA 05
 3 1
1 2 
eB=

13. Considere a equação AX + X = B tal que A −1 = 

1 1 
 2 1


Calcule det X
01)
1
3
02) −
1
3
03)
1
6
04) −
1
6
05)
1
2
RESOLUÇÃO:
Sendo
 3 1
 1 - 1
 ⇒ A = 
 ..
A −1 = 
 2 1
- 2 3 
Resolvendo a equação AX + X = B ⇒ (A + I)X = B ⇒
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9
 1 - 1  1 0 
1 2 
 + 
 X = 
 ⇒

2
3
0
1
1
1








4 1
2 1
5




2
1
1
2
1
2
1
2
2
2






 6
 × 
3
6



X = 
 ⇒ X = 


1 1  = 1 1 × 1 1  =  2
2
4
1
1
8
−
2
 





 
 

3 3
3
5
1
RESPOSTA: ALTERNATIVA 04.
detX = − 1 = −
6
6
3

2⇒
3

3
14. De quantos modos podemos dividir um grupo de 9 pessoas em 3 grupos, tendo quatro, três e duas
pessoas?
01)1260
02) 1320
03) 976
04) 1224
05) 964
RESOLUÇÃO:
C 9,4 × C 5,3 × C 2,2 =
9×8× 7 × 6 5× 4×3
×
× 1 = 126 × 10 = 1260 .
4 × 3 × 2 ×1 3 × 2 ×1
RESPOSTA: ALTERNATIVA 01.
15. A probabilidade de um atirador acertar um alvo é de 70%. Dando 3 tiros, qual a probabilidade dele acertar
um único tiro?
01) 17,1%
02) 17,8%
03) 18,2%
04)18,9%
05) 20,2%
RESOLUÇÃO:
0,7×0,3×0,3 + 0,3×0,7×0,3 + 0,3×0,3×0,7 = 3 × 0,063 = 0,189 = 18,9%.
RESPOSTA: ALTERNATIVA 04
16. No lançamento de dois dados qual a probabilidade de ocorrer somente números pares iguais ou soma dos
números obtidos maior que 9?
01)
5
36
02)
7
36
03)
1
4
04)
3
4
05)
2
9
RESOLUÇÃO:
Considerando como E o espaço amostral das ocorrências resultantes do lançamento de dois dados, o
2
número de E é: n(E) = 6 =36.
E seja A o conjunto formado por pares de ocorrer números somente números pares iguais ou soma dos
números obtidos maior que 9 : A = {(2,2), (4,4), (6,6), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5)}.
O número de elementos de A é: n(A) = 8 ⇒ p(A) =
8 2
=
36 9
RESPOSTA: Alternativa 05.
08-3480(S)5148_Aval_Final_Matem_3EM_01-10_marb
10
17. A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A. é 6 e a soma dos 6 primeiros termos é 10. Calcule a razão
dessa P.A.
01)
7
15
02) −
1
3
03) −
8
15
04)
1
4
05) −
1
2
RESOLUÇÃO:

(
a1 + a10 )× 10

8a1 = 24
= 5(2a1 + 9r ) = 6
S10 =
10a1 + 45r = 6 
2
⇒
⇒ a1 = 3

6a1 + 15r = 10
S = (a1 + a6 ) × 6 = 3(2a + 5r ) = 10

8
1
 6
r = −
2
15

RESPOSTA: ALTERNATIVA 03
18. O pagamento de uma compra foi feito em 10 parcelas, sendo a primeira igual a R$ 100,00 e cada uma das
demais igual à anterior acrescida de 5%.
10
O pagamento total efetuado foi, considerando 1,05
01) 960,00
02) 1 100,00
04) 1 260,00
= 1,63, igual, em reais, a:
03) 1 180,00
05) 1 320,00
RESOLUÇÃO:
p1 = 100 e S10 =
(
)
(
)
a1 q10 − 1 100 1,0510 − 1 100 × 0,63 63
=
=
=
= 1260
q −1
1,05 − 1
0,05
0,05
RESPOSTA: ALTERNATIVA 04
19.
Na figura, vemos o histograma de uma distribuição de freqüência em classes.
Calcule, aproximadamente, o valor do desvio-padrão. Para facilitar os cálculos, aproxime o valor da média
para o inteiro mais próximo.
01) 1,2
02) 1,4
08-3480(S)5148_Aval_Final_Matem_3EM_01-10_marb
03) 1,5
04) 1,8
11
05) 2,1
RESOLUÇÃO:
notas
xi
f
fi.xi
d
d
2
fi.d
0
2
1
2
2
3
9
18
2
4
3
3
9
1
1
3
4
6
5
4
20
-1
1
4
6
8
7
1
7
-3
9
9
8
10
9
0
0
-5
25
0
10
38
45
34
total
x=
∑x
i
n
=
2
38
10
= 3,8 . Tome-se x = 4
A fórmula do desvio padrão é ρ =
∑ (x
i
−x
)
2
. fi
n
=
34
10
=
3 , 4 = 1 , 84 .
RESPOSTA: ALTERNATIVA 04
20. A tabela do Imposto de Renda é:
Rendimento (R$)
Alíquota (%)
Até 1.372,81
Deduzir (R$)
Isento
De 1.372,81 até 2.743,25
15
205,92
Acima de 2,743,25
27,5
548,82
Certa pessoa entrou na tabela com o salário x, aplicou a alíquota de 15% e a dedução de 205,92.
Verificou que tinha cometido um engano, pois deveria, com o salário x, ter utilizado a alíquota 27,5% com
dedução de R$ 548,82.
Constatou, então, que deveria pagar mais R$ 32,10 de imposto.
O valor de x, em reais, é:
01) 2.900
02) 3.000
03) 3.200
04) 3.300
05) 3.500
RESOLUÇÃO:
0,15x – 205,92 + 32,10 = 0,275x – 548,82 ⇒ 0,125x = 375 ⇒ x = 3.000.
RESPOSTA: ALTERNATIVA 02
08-3480(S)5148_Aval_Final_Matem_3EM_01-10_marb
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