gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU
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Conjuntos Numéricos – Naturais, Inteiros e Racionais – 2013 - GABARITO
1. Determine o número de algarismos que existem na sucessão dos números naturais, de 1 a 4321.
Solução. Os números podem ser constituídos de um, dois ou mais algarismos.
i) De 1 a 9 há (9 – 1) + 1 = 9 números de um algarismo. Total: 9 x 1 = 9 algarismos.
ii) De 10 a 99 há (99 – 1) + 1 = 90 números de dois algarismos. Total: 90 x 2 = 180 algarismos.
iii) De 100 a 999 há (999 – 1) + 1 = 900 números de três algarismos. Total: 900 x 3 = 2700 algarismos.
iv) De 1000 a 4321 há (4321 – 1) + 1 = 3322 números de quatro algarismos.
Total: 3322 x 4 = 13288 algarismos.
Logo na sucessão de 1 a 4321 há (9 + 180 + 2700 + 13288) = 16177 algarismos.
2. Quantos algarismos são utilizados na numeração de um livro com:
a) 234 páginas
b) 1499 páginas
c) 13247 páginas
Solução. Utilizando o procedimento com o cálculo dos algarismos para número de um, dois ou mais
algarismos, temos:
a) 234 páginas: 9 + 180 + (234 – 100 + 1) x 3 = 189 + 405 = 594 algarismos.
b) 1499 páginas: 9 + 180 + 2700 + (1499 – 1000 + 1) x 4 = 2889 + 2000 = 4889 algarismos.
c) 13247 páginas: 2889 + (9999 – 1000 + 1) x 4 + (13247 – 10000 + 1) x 5 =
= 2889 + 36000 + 16240 = 55129 algarismos.
3. Determine qual o último número N, escrito na sucessão dos números naturais 12345678910111213...N,
sabendo que foram escritos 3849 algarismos.
Solução. Até o número 999 são escritos (9 + 180 + 2700) = 2889 algarismos. Então a diferença entre
3849 – 2889 = 960 algarismos correspondem a números de quatro algarismos.
Dividindo, temos: 960 ÷ 4 = 240. Logo, foram escritos 240 números após 999. N = 240 + 999 = 1239.
4. Considerando o conjunto Z, quantos são os divisores de12? E de 15? Qual o MDC(12,15)?
Solução. Os divisores negativos passam a existir em Z. D(12) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12} num total
de 12 divisores. Da mesma forma, D(15) = {± 1, ± 3, ± 5, ± 15} totalizando 8 divisores. O MDC(12,15)
será o maior divisor entre ambos. Logo, MDC(12,15) = 3.
5. (UFG) Sejam os conjuntos:
I.
A B   ;
A  2n, n  Z e B  2n  1, n  Z. Analise as sentenças abaixo:
II. A e o conjunto dos números pares;
III. A  B  Z
Está correto o que se afirma em:
a) I e II, apenas
b) II, apenas
c) II e III, apenas
d) III, apenas
e) I, II e III
Solução. O conjunto A corresponde aos números inteiros pares e o conjunto B, aos inteiros ímpares.
Não há número par e ímpar simultaneamente e a união será o próprio Z. Todas são verdadeiras.
6. Quatro números inteiros positivos e distintos, m, n, p e q, satisfazem a equação:
(7 – m). (7 – n).(7 – p).(7 – q) = 4.
Calcule a soma m + n + p + q.
Solução. Para que o produto dos números inteiros seja 4, deverão estar entre os divisores inteiros
de 4: D(4) = {± 1, ± 2, ± 4,}. As possibilidades de fatores distintos são: (– 1).(1).( – 2).(2) = 4. Temos:
i) 7 – m = – 1 => m = 8; ii) 7 – n = 1 => n = 6; iii) 7 – p = – 2 => p = 9; iv) 7 – q = 2 => q = 5.
Logo a soma será: m + n + p + q = 8 + 6 + 9 + 5 = 28.
7. Seja R o conjunto dos números reais, N o conjunto dos números naturais e Q o conjunto dos números
racionais. Qual a afirmativa falsa?
a) Q  N  R
b)
Q N  R
c) Q  N  R
d) Q  N  Q
e) Q  R  { }
Solução. Analisando cada sentença, temos:
a) Verdadeira, pois N está contido em Q. Logo a união estará contida em R.
b) Verdadeira. A interseção entre Q e N será N que está contido em R.
c) Falso. A união de Q e N será Q que não possui elementos irracionais. Logo, não pode ser R.
d) Verdadeiro. União de Q com N é o próprio Q que é subconjunto de si mesmo.
e) Verdadeiro. Como Q está contido em R, a interseção entre ambos será Q.
8. (PUC) Um número racional qualquer:
a) tem sempre um numero finito de ordens (casas) decimais.
b) tem sempre um numero infinito de ordens (casas) decimais.
c) não pode expressar-se em forma decimal exata.
d) nunca se expressa em forma de uma decimal inexata.
e) nenhuma das anteriores.
Solução. Analisando cada sentença, temos:
a) Falsa. O racional 0,23333...possui infinitas casas decimais.
b) Falsa. O racional 1/2 = 0,5 possui um número finito de casas decimais.
c) Falsa. O número inteiro é um racional exato. Ex: 10/5 = 2.
d) Falso. O exemplo (a) ilustra esse fato.
e) Verdadeira.
9. Escreva na forma decimal: a)
3
8
b)
8
3
c) 
20
9
d) 
7
50
Solução. Dividindo os numeradores pelos denominadores, temos:
a)
3
 0,375
8
b)
8
 2,6666...
3
c) 
20
 2,222...
9
d) 
7
 0,14
50
10. Obtenha as frações geratrizes das seguintes dízimas periódicas:
a) 0,222...
b) 2,777...
c) 8,101010...
d) 5,1666...
e) 1,233
Solução. Utilizando as técnicas para obtenção das frações geratrizes (buscando a igualdade nas
casas decimais), temos:
x  0,222...
2
 10x  x  2,222...  0,222...  9x  2  x  .
9
10x  2,222...
a) 
x  2,777...
25
 10x  x  27,777...  2,777...  9x  25  x 
.
9
10x  27,777...
b) 
x  8,101010... 
802

c) 10x  81,01010...
.
 100x  x  810,1010...  8,101010...  99x  802  x 
99
100x  810,1010... 

x  5,1666...
465 31

d) 10x  51,666...   100x  10x  516,66...  51,666...  90x  465  x 
.

90
6
100x  516,66... 

x  1,23 3  1,233...
111 37

e) 10 x  12,33...   100 x  10 x  123,3...  12,33...  90 x  111  x 
.

90 30
100 x  123,3... 

11. Preencha os espaços com > ou <.
33 33

22 24
a)
b)
3 4 5
 
4 5 6
c) 
2
7

4
5
Numeradores iguais. A maior
fração será a de menor
denominador.
0,75 < 0,80 < 0,833...
– 0,5 > – 1,4
d) 2,3243 > 2,323456
e) 2,3444... > 2,34
f) – 3,94478 > - 3,94587
2,324300 > 2,323456
2,3444... > 2,3400
– 3,94478 > - 3,94587
g) 6,888... > 6888
1000
6,888... > 6,88800
h) 
2
> - 0,7
3
– 0,666... > – 0,7
8 3  0,333...  (30) 1
1
2
3 3
1,5
3

1
15
4
> 0,5
7
0,5417... > 0,5




2
,
133
...

b) 
 3 1 
5  
3

1
12. Resolva: a)
i) j)

3
2
Solução. Utilizando as propriedades das potências e hierarquias das operações, temos:
1
8 3  0,333...  (30) 1
1
2
3 3
a)
1,5
3
19
 30 
45  1
15




2
,
133
...


 3 1 
5  
b) 
3


1
15
1 1
1 1
2 1
20  1

2 

3 30 
3 30 
3 30

 30 
1
1
1
1
1
3  3 0,5 
3 3
3
3 32 
15
15
15
15
3
8
19
30  19 . 15  19 . 1  19
44 30 44 2 44 88
15
3
2
 213  21 


  90 
1
 1
 

 125 3 

3
2
 192 


  90 
 3  125 


 375 
3

3
2
3
 128  2
3
3


2
128
15
4
1



2
  375   
.   .  
 32 
 375 32 
 25 1


.
 15 
2
3
3
 2  2 
 2  3 
 22 
8
 4 
2
     2             
125
 25 
5
5 
 5  
 5  
3
.