hidráulica aplicada

IT 144 – Hidráulica Aplicada
Março/2012
HIDRÁULICA APLICADA
1. PRINCÍPIOS BÁSICOS E PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS
1.1
Definição de Fluidos (Streeter,1909)
Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a
uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa
tensão. Uma força de cisalhamento é uma componente tangencial de força que age
sobre a superfície e, dividida pela área da superfície, dá origem à tensão de
cisalhamento média sobre a área. Tensão de cisalhamento num ponto é o valor da
relação entre a força de cisalhamento e a área quando a área tende a um ponto.
Na Figura 1, uma substância é colocada entre duas placas paralelas bem
próximas e grandes de modo que as perturbações nas bordas possam ser
desprezadas. A placa inferior é fixa, e uma força F é aplicada na placa superior, a qual
exerce uma tensão de cisalhamento (F/A) na substância entre as placas. A é a área da
placa superior. Quando a força F movimenta a placa superior com uma velocidade (não
nula) constante, não importando quão pequena seja a intensidade de F, pode-se
concluir que a substância entre as duas placas é um fluido.
Figura 1 - Deformação resultante da aplicação de força de cisalhamento constante.
O fluido em contato com a superfície sólida tem a mesma velocidade que a
superfície; isto é, não há escorregamento na superfície. Este é um fato experimental
que é observado em ensaios com várias espécies de fluido e materiais de superfície. O
fluido na área abcd escoa para a nova posição ab’c’d com cada partícula fluida
movendo-se paralelamente à placa e a velocidade u variando linearmente de zero na
placa estacionária até U na placa superior. A experiência mostra que, mantendo-se
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outras grandezas constantes, F é diretamente proporcional a A e a U e inversamente
proporcional a t. Em forma de equação,
F=µ
AU
t
(1)
na qual µ é um fator de proporcionalidade que depende do fluido em estudo. Sendo a
tensão de cisalhamento ( σ = F
σ =µ
A
):
U
t
(2)
A relação U/t é a velocidade angular do seguimento ab ou é a velocidade de
deformação angular do fluido, isto é, a velocidade com que o ângulo bad diminui. A
velocidade angular também pode ser escrita du/dy, pois tanto U/t como du/dy
expressam a variação de velocidade divida pela distância ao longo da qual a variação
ocorre. Entretanto, du/dy é mais geral porque continua válida nas situações nas quais
a velocidade angular e a tensão de cisalhamento variam com y. O gradiente de
velocidade du/dy pode também ser entendido como a velocidade com a qual uma
camada se move em relação à outra adjacente. Na forma diferencial,
σ =µ
du
dy
(3)
é a relação entre a tensão de cisalhamento e a velocidade de deformação angular para
um escoamento unidimensional. O fator de proporcionalidade µ é chamado viscosidade
do fluido, e a equação 3, Lei de Newton da Viscosidade.
Para fins de análise é feita freqüentemente a hipótese de que um fluido é nãoviscoso. Com viscosidade zero, a tensão de cisalhamento é sempre zero, não
importando o movimento que o fluido possa ter. Se o fluido é também considerado
incompressível, ele é então chamado fluido perfeito ou ideal.
1.2
Viscosidade
De todas as propriedades dos fluidos, a viscosidade requer a maior
consideração no estudo dos escoamentos. Viscosidade é a propriedade pela qual um
fluido oferece resistência ao cisalhamento, ou seja, ao escoamento. A lei de Newton da
viscosidade (Eq. 3) estabelece que, para uma dada velocidade de deformação angular
de um fluido, a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à viscosidade.
Melaço e alcatrão são exemplos de líquidos muito viscosos, enquanto que água e ar
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apresentam viscosidades muito pequenas. Assim, um fluido de maior viscosidade
apresenta maior resistência ao escoamento que, por sua vez, demandará maior
energia.
Um fluido em repouso ou movendo-se de modo que não haja movimento relativo
entre camadas adjacentes, não apresentará forças de cisalhamento aparente, embora
tenha viscosidade, porque du/dy é zero em qualquer ponto do fluido. Assim no estudo
da estática dos fluidos, não se consideram as forças de cisalhamento porque as
mesmas não existem nessa condição e as únicas tensões atuantes são as tensões
normais ou pressões.
As dimensões da viscosidade são determinadas a partir da lei de Newton da
viscosidade (Eq. 3). Isolando a viscosidade µ:
µ=
σ
du / dy
(4)
Introduzindo as dimensões F, L,T de força, comprimento e tempo:
σ : F L-2
u : LT- 1
y:L
resulta µ com a dimensão F L-2 T. Com a dimensão da força expressa em função da
massa pelo uso da segunda lei da mecânica de Newton, F M L T-2, a dimensão da
viscosidade pode ser expressa como M L-1 T –1.
A unidade de viscosidade no SI, o newton-segundo por metro quadrado (N s m-2)
ou o quilograma por metro por segundo (kg m-1 s-1), não tem nome especial.
- Viscosidade cinemática
A viscosidade µ é frequentemente chamada de viscosidade absoluta ou
dinâmica para se evitar confusão com a viscosidade cinemática, que é a relação entre
viscosidade e massa específica do fluido:
ν =
µ
ρ
(5)
A viscosidade cinemática aparece em muitas aplicações, como por exemplo, no
coeficiente denominado número de Reynolds, utilizado na caracterização dos regimes
de escoamento.
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A dimensão de ν é L2T-1. A unidade SI de viscosidade cinemática é 1,0 m2 s-1, e
a unidade inglesa usual é 1 ft2 s-1.
Como dito anteriormente, a presença da viscosidade gera uma resistência ao
deslizamento dos fluidos, tanto no interior da massa líquida (atrito interno) quanto ao
longo de superfícies sólidas (atrito externo). Quando um líquido escoa em contato com
uma superfície sólida, junto à mesma é criada uma camada fluida, aderente, que não
se movimenta. Um exemplo importante é o que ocorre com o escoamento de um
líquido em um tubo. Forma-se junto às paredes uma película fluida que não participa do
movimento. Assim, junto à parede do tubo, a velocidade é zero, sendo máxima na parte
central (Figura 2).
Figura 2 - Perfil de velocidade em uma tubulação.
Em conseqüência dos atritos e, principalmente, da viscosidade, o escoamento
de um líquido em uma canalização somente se verifica com certa dissipação de
energia, comumente denominada por perda de carga (Figura 3).
Figura 3 – Demonstração da ocorrência da perda de carga.
A Tabela 1 apresenta os valores de viscosidade cinemática da água, em função
da temperatura.
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Tabela 1 – Valores de viscosidade cinemática da água
Temperatura (oC)
0
5
10
15
20
25
30
40
50
60
70
80
90
100
1.3
Viscosidade (x 10-6 m2 s-1)
1,79
1,52
1,31
1,14
1,01
0,90
0,80
0,66
0,56
0,48
0,42
0,37
0,33
0,30
Demais propriedades
a) Coesão e adesão
A primeira propriedade permite às partículas fluidas resistirem a pequenos
esforços de tensão. A formação de uma gota d'água deve-se à coesão.
Quando um líquido está em contato com um sólido, a atração exercida pelas
moléculas do sólido pode ser maior que a atração existente entre as moléculas do
próprio líquido. Ocorreu então a adesão.
b) Pressão de vapor
Dependendo da pressão a que está submetido, um líquido entra em ebulição a
uma determinada temperatura; variando a pressão, varia a temperatura de ebulição.
Por exemplo, a água entra em ebulição à temperatura de 100oC quando a pressão é
1,033 kgf cm-2 (1 atm), mas também pode ferver a temperaturas mais baixas se a
pressão também for menor. Portanto, pressão de vapor corresponde ao valor da
pressão em que há mudança da fase líquida para a gasosa.
Todo líquido tem temperatura de saturação de vapor (tv) (quando entra em
ebulição), que correspondem biunivocamente a pressões de saturação de vapor ou
simplesmente tensões de vapor (pv).
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Essa propriedade é fundamental na análise do fenômeno da cavitação, pois
quando um líquido inicia a ebulição, inicia-se também a cavitação.
c) Massa específica, peso específico e densidade
A massa específica (ρ) de um fluido é definida como sua massa por unidade de
volume. O peso específico (γ) de uma substância é o seu peso por unidade de
volume. É variável com a posição, dependendo, portanto, da aceleração da gravidade.
γ = ρg
(6)
É uma interessante propriedade quando se trata da estática dos fluidos ou de líquidos
com uma superfície livre.
A densidade (d) de uma substância é a relação entre seu peso e o peso de um
igual volume de água nas condições normais. Pode também ser expressa como
relação entre sua massa ou peso específico e os da água.
A Tabela 2 apresenta alguns valores de massa específica, peso específico e
pressão de vapor d´água em função da temperatura.
Tabela 2 – Valores de massa específica, peso específico e pressão de vapor d´água
Temperatura (oC)
0
2
4
5
10
15
20
25
30
40
50
60
70
80
90
100
Massa específica
(kg m-3)
999,8
999,9
1.000,0
999,9
999,7
999,1
998,2
997,1
995,7
992,2
988,1
983,2
977,8
971,8
965,3
958,4
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Peso específico
(N m-3)
9.805
9.806
9.810
9.806
9.803
9.798
9.780
9.779
9.767
9.737
9.697
9.658
9.600
9.557
9.499
9.438
Pressão de vapor
d´agua (Pa)
611
----873
1.266
1.707
2.335
3.169
4.238
7.377
12.331
19.924
31.166
47.372
70.132
101.357
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Exercício: Dois dm3 de um líquido pesam 1640 gf. Calcular o seu peso específico, sua
massa específica e sua densidade. Resposta: γ = 820 kgf m-3; ρ = 83,59 kg m-3;
d = 0,82.
1.4
Símbolos adotados e unidades usuais em Mecânica dos fluidos
As grandezas físicas são compatíveis entre si através de medidas homogêneas,
ou seja, referidas à mesma unidade. Os números sem dimensão de medidas nada
informam em termos práticos: o que é maior: 8 ou 80? A pergunta necessita de sentido
porque não há termo de comparação. Evidentemente que 8 m3 significa mais que 80
litros (80 dm3). Poderia ser de outra forma: 8 kg e 80 kg. As "unidades" de grandezas
físicas (dimensões de um corpo, velocidade, força, trabalho ou potência) permitem
organizar o trabalho científico e técnico sendo que, com apenas sete grandezas
básicas é possível formar um sistema que abranja todas as necessidades.
Tradicionalmente a Engenharia usava o denominado sistema MKS (metro, quilograma,
segundo) ou CGC (centímetro, grama, segundo), ou Sistema Gravitacional, em que
unidades básicas (MKS) são:
Tabela 3 – Grandezas e unidades do sistema gravitacional
GRANDEZAS
UNIDADE
SÍMBOLO
DIMENSIONAL
Força
Comprimento
Tempo
quilograma - força
metro
segundo
kgf
m
s
F
L
T
Entretanto, observou-se que esse sistema estabelecia uma certa confusão entre
as noções de peso e massa, que do ponto de vista físico são coisas diferentes. A
massa de um corpo refere-se à sua inércia e o peso de um corpo refere-se à força que
sobre este corpo exerce a aceleração da gravidade (g). Entre a força (F) e a massa de
um corpo existe uma relação expressa pela equação (2ª lei de Newton):
F = kma
(7)
em que
k = constante;
m = massa do corpo; e
a = aceleração.
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Há dois sistemas de unidades que tornam a constante k igual a 1 (um): o SI (
Sistema Internacional) ou absoluto e o gravitacional. No absoluto, k é igual a 1 (um)
pela definição da unidade de força e no gravitacional pela definição da unidade de
massa, ou seja:
Sistema Absoluto a unidade de força é aquela que, ao agir sobre um corpo com
a massa de um quilograma, ocasiona uma aceleração de um metro por segundo, por
segundo (1m s-2), e se denomina “Newton”. A unidade de massa nesse sistema é
correspondente a um bloco de platina denominado quilograma – protótipo, guardado
em Sevres (França).
Sistema Gravitacional a unidade de força é igual a unidade de massa por
unidade de comprimento por segundo, por segundo, logo a unidade de massa neste
sistema é igual a g gramas. Melhor explicando, o Sistema Gravitacional torna o k igual
à unidade pela definição da unidade de massa. “Se um corpo de peso unitário cai
livremente, a força unitária atuará e a aceleração será g”; logo, para que a força
unitária produza uma aceleração unitária, a unidade de massa será equivalente a g
unidades de peso.
No sistema métrico seria:
1kgf = unidade de massa x 1(m s-2), logo: unidade de massa =
1(kgf )
= g (kg)
1(ms −2 )
Em outras palavras, a força gravitacional comunica à massa de 1 kg a
aceleração g: 1,0 kgf = g x 1,0 kg. O importante é entender que o peso de um corpo
pode se reduzir a zero ao sair da gravidade terrestre, mas sua massa permanecerá a
mesma.
Por convenção internacional de 1960, foi criado o Sistema Internacional de
Unidades (SI), também conhecido por Sistema Absoluto, legalmente em vigor no Brasil
e na maioria dos países do mundo, do tipo MLT (massa, comprimento, tempo) e não
FLT (força, comprimento, tempo) como era o Sistema Gravitacional.
As unidades básicas desse sistema são o quilograma (neste caso seria um
quilograma massa), o metro e o segundo. Deve-se atentar para a coincidência de
nomenclatura entre a antiga unidade peso e a atual de massa, evitando-se, assim, as
confusões daí advindas, infelizmente tão freqüentes. A Tabela 4 apresenta as
grandezas que compõe o SI.
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As abreviaturas das unidades SI são escritas com letras minúsculas nos termos
como horas (h), metros (m) e segundos (s). A exceção é o litro, que ao invés de se
abreviar por “l”, utiliza-se a letra “L”. Quando uma unidade é designada por um nome
próprio, a abreviatura (mas não o nome por extenso) é escrita com letra maiúscula.
Exemplos são o Watt (W), o Pascal (Pa) e Newton (N).
Tabela 4 – Grandezas básicas componentes do SI
GRANDEZA
Comprimento
Massa
Tempo
Intensidade de corrente
Temperatura termodinâmica
Intensidade luminosa
Quantidade de matéria
UNIDADE
Metro
Quilograma
Segundo
Ampére
Kelvin
Candela
mol
SÍMBOLO
m
kg
s
A
K
cd
mol
Os múltiplos e submúltiplos, expressos em potências de 103, são indicados por
prefixos, os quais também são abreviados. Os prefixos usuais são mostrados na
Tabela 5.
Tabela 5 – Prefixos usualmente utilizados
Múltiplo
109
106
103
10-2
Prefixo
SI
giga
mega
kilo
centi
Abreviatura
Múltiplo
G
M
k
c
10-3
10-6
10-9
10-12
Prefixo
SI
mili
micro
nano
pico
Abreviatura
m
µ
n
p
Apresenta-se a seguir (Tabela 6) as grandezas mais freqüentes, com suas
respectivas unidades para os cálculos relacionados com as atividades da hidráulica.
2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS
É a parte da Hidráulica que estuda os líquidos em repouso, bem como as forças
que podem ser aplicadas em corpos neles submersos.
2.1 Pressão e Empuxo
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Tabela 6 – Grandezas e unidades mais utilizadas
Grandeza
Símbolo
Área
Volume
Velocidade
Aceleração
Massa específica
Força
Pressão
Energia
Potência
Viscosidade dinâmica
Viscosidade cinemática
Momento de inércia
Peso específico
N
Pa
J
W
P
St
Unidades
Newton
Pascal
Joule
Watt
Poise
Stokes
Relação com as
unidades básicas
m²
m³
m s-1
m s-²
kg m-³
kg m s-²
N m-²
Nm
J s-1
0,1 N s m-²
10-4 m2 s-1
m4
N m-3
Dimensional
L²
L³
L T-1
L T-2
M L-3
M L T-2
M L-1 T-2
M L² T-2
M L² T-3
M L-1T-1
L² T-1
L4
M L-2.T-2
Quando se considera a pressão, implicitamente relaciona-se uma força à
unidade de área sobre a qual ela atua. Considerando-se, no interior de certa massa
líquida, uma porção de volume V, limitada pela superfície A (Figura 4), se dA
representar um elemento de área nessa superfície e dF a força que nela atua
(perpendicularmente), a pressão será: p =
dF
dA
Considerando-se toda a área, o efeito da pressão produzirá uma força resultante
que se chama empuxo (E), sendo, às vezes chamada de pressão total. Essa força é
dada pela integral: E = ∫ pdA
A
Se a pressão for a mesma em toda a área, o empuxo será: E = p A.
Figura 4 - Massa líquida em repouso, com área “A”.
2.2 Lei de Pascal
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Seja um líquido homogêneo e em equilíbrio, no interior do qual isola-se um
prisma com altura dy, largura dx e comprimento unitário (Figura 5). Se o prisma estiver
em equilíbrio, a somatória das forças atuantes na direção “X” será nula. (ΣFx = 0).
px dy.1 = ps . sen θ ds .1 ; sen θ =
px dy = ps ds
dy
ds
dy
dy
dy
; px
= ps
; px = ps
ds
ds
ds
Figura 5 – Forças atuantes em um prisma.
Na direção “Y” deve ocorrer o mesmo: ΣFy = 0, havendo o equilíbrio. Logo:
py dx.1 = ps ds . 1cos θ + dw
py dx = ps ds . cos θ + γ
dxdy . 1
2
Sendo o prisma elementar, suas dimensões são infinitesimais e, portanto, a
força resultante de seu peso é desprezível. Portanto:
py dx = ps ds
dx
;
ds
py
dx
dx
= ps
; py = ps
ds
ds
Então, px = py = ps.
Este é o princípio de Pascal, que se anuncia: “Em qualquer ponto no interior de
uma massa líquida em repouso e homogênea, a pressão é a mesma em todas as
direções”.
A prensa hidráulica é uma importante aplicação desta lei. Na Figura 6, considere
que o diâmetro do êmbulo maior seja de 4 vezes o diâmetro do êmbulo menor. Se for
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aplicada uma força F1 = 50 N, a pressão do fluido transmitirá, ao êmbulo maior, uma
força F2 de 16 x 50 N, ou seja, F2 = 800 N. (p1 = p2 F1 A2 = F2 A1 )
Figura 6 – Desenho esquemático de uma prensa hidráulica.
A Figura 7 ilustra uma solução real para obtenção da movimentação de uma
carga, onde estão adicionados um reservatório e duas válvulas de retenção que
viabilizam o movimento alternativo do cilindro 1, provocando um movimento contínuo
do cilindro 2. O cilindro 1 e as duas válvulas caracterizam uma bomba de pistão de
simples ação, ou seja, que produz vazão apenas em um sentido de movimentação do
êmbulo.
Figura 7 – Exemplo de aplicação da Lei de Pascal
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2.3 Lei de Stevin
Na Figura 8, A é a área das faces, P é o peso da massa líquida e h é a diferença
de nível entre os pontos considerados. Como P = γ.V e V = A.h então P = γ.A.h .
Se o sistema estiver em equilíbrio, ΣFy = 0 e, portanto:
Figura 8 – Demonstração da Lei de Stevin.
p1A + P − p 2 A = 0
p1A + γAh − p 2 A = 0
p 2 A − p1A = γAh
p 2 − p1 = γh ou
p 2 p1
−
=h
γ
γ
“A diferença de pressão entre dois pontos da massa de um líquido em equilíbrio
é igual à diferença de nível entre os pontos, multiplicada pelo peso específico do
líquido”.
Exercício: calcular a força P que deve ser aplicada no êmbolo menor da prensa
hidráulica da Figura 9, para equilibrar a carga de 4.400 kgf colocada no êmbolo maior.
Os cilindros estão cheios de um óleo com densidade 0,75 e as seções dos êmbolos
são, respectivamente, 40 e 4000 cm2. Resposta: 42,8 kgf.
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Figura 9 – Desenho esquemático de uma prensa hidráulica
2.4 Manometria
As pressões são grandezas físicas muito importantes no trabalho com fluidos,
haja vista a equação fundamental da Estática dos fluidos, que é expressa em termos
de pressões e esforços.
No século XVII Torricelli executou sua conhecida e célebre experiência ao nível
do mar, quando, ao emborcar uma proveta cheia de mercúrio em uma cuba, o líquido
fluiu da proveta para a cuba permanecendo apenas uma coluna de 762 milímetros de
altura.
A conclusão lógica era de que o ar atmosférico tinha peso, por conseguinte
exercia pressão. Esta pressão, medida ao nível do mar, correspondia a uma coluna de
mercúrio de 762 mm de altura. Este valor de pressão foi chamado de "uma atmosfera
Física". Como o peso específico do mercúrio é 13.600 kgf m-3, vem:
13.600 kgf m-3 x 0,762 m = 10.363 kgf m-2 = 1,036 kgf cm-2
Como a densidade do mercúrio é 13,6, a mesma pressão atmosférica
equilibraria uma coluna de água de: 13,6 x 0,762 = 10,36 m.
Na prática da hidráulica se utiliza a atmosfera "técnica" que vale 735 mm Hg.
735 mmHg = 10 mca = 10.000 kgf m-2 = 1,0 kgf cm-2 = 1,034 atm.
A pressão atmosférica é medida por barômetros ou por barógrafos, que são
barômetros registradores. A pressão atmosférica varia com a altitude; para cada 100
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metros de elevação de altitude ocorre um decréscimo na pressão atmosférica de 0,012
atm (0,12 mca); desta forma, em um local de altitude igual a 920 metros, a pressão é:
patm = 1,034 atm - (0,012 . 9,2) = 1,034 - 0,110 = 0,92 atm
Exercício: A Figura 10 reproduz a experiência de Torricelli em uma certa localidade,
quando foi utilizado o mercúrio como líquido manométrico. Se, ao invés de mercúrio,
tivesse sido utilizado um óleo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna
de óleo? Resposta: 11,20 mco (metros de coluna de óleo)
Figura 10 – Exemplo da experiência de Torricelli.
2.4.1 Tipos de pressão
A um fluido com pressão atmosférica pode-se “acrescentar” ou "retirar” pressão.
Tais pressões são denominadas “efetivas" ou manométricas, por que são medidas por
manômetros e podem ser positivas ou negativas.
Imaginem uma vasilha hermeticamente fechada contendo ar à pressão
atmosférica local. Ligando-se o compressor indicado pelo sinal (+), mais ar será
injetado dentro do recipiente e a pressão irá subindo concomitantemente, o que será
mostrado pelo manômetro. O ponteiro girará para a direita (área positiva) partindo do
valor zero.
Suponha que o compressor tenha sido desligado quando a pressão
manométrica era de 1,2 kgf cm-2. Em seguida, ligando-se a bomba de vácuo, ilustrada
com o sinal (-), a pressão irá caindo (o ar esta sendo retirado) voltando ao valor inicial
(zero). Neste ponto a pressão reinante no interior do recipiente é somente a pressão
atmosférica, a qual não é acusada por manômetros.
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Com a continuação do processo, a pressão passará a ser negativa, com o
ponteiro do manômetro girando para a esquerda; estará ocorrendo o que denomina-se
"vácuo" ou depressão. Desligando-se o conjunto, o manômetro estará marcando uma
pressão negativa (efetiva) de, por exemplo, -0,2 kgf cm-2.
Praticamente um fluido está sujeito, portanto, a dois tipos de pressão: a
atmosférica e a efetiva. A somatória dos valores das duas pressões dará o que
denomina-se pressão absoluta. No exemplo considerado, sendo por hipótese a
pressão igual a 0,9 atm, as pressões absolutas serão:
a) para pressão efetiva nula (ar à pressão atmosférica no interior do recipiente)
Pabs = Patm + Pef = 0,9 + 0,0 = 0,9 atm
b) para pressão efetiva de 1,2 atm
Pabs = Patm + Pef = 0,9 + 1,2 = 2,1 atm
c) para pressão efetiva de -0,2 atm.
Pabs = Patm + Pef = 0,9 + (-0,2) = 0,7 atm
Pode-se verificar que na situação do caso c, a pressão absoluta é menor que a
pressão atmosférica local; logo, há depressão ou vácuo, no interior do recipiente.
Como já mencionado a pressão efetiva é medida por manômetros. Vacuômetro
é o manômetro que mede pressões efetivas negativas.
Exercício: tomando como referência a Figura 11 e sabendo que a pressão da água
numa torneira fechada (A) é de 0,28 kgf cm-2, calcule:
a) a altura da água (H) na caixa;
b) mantendo a pressão no ponto A, qual seria a densidade do líquido se H fosse
igual a 3,2 m?
Resposta: a) H = 0,8 m; b) d = 0,538
2.4.2 Classificação dos medidores de pressão
a) Manômetro de líquido ou de coluna líquida
São aqueles que medem as pressões em função das alturas da coluna dos
líquidos que se elevam ou descem em tubos apropriados. Nesta categoria se agrupam:
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Figura 11 – Reservatório e canalização.
a1) Tubo Piezométrico, Piezômetro simples ou Manômetro Aberto
É o tipo mais simples desses aparelhos. Consiste de um tubo transparente
inserido no interior do ambiente onde se deseja medir a pressão (Figura 12). O líquido
circulante no conduto se elevará no tubo piezométrico a uma altura h, que corrigida do
efeito da capilaridade, dá diretamente a pressão em altura de coluna líquida.
PA = γ h
Figura 12 – Esquema de um tubo piezométrico.
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A pressão no ponto A será: PA = γ h (Lei de Stevin), em que PA é a pressão em
A (N m-2 ou kgf m-2); γ é o peso específico do líquido (N m-3 ou kgf m-3) e h é a altura de
coluna líquida acima do ponto A (m).
Observações: o diâmetro do tubo piezométrico deve ser maior que 1,0 cm, quando o
efeito da capilaridade é desprezível. O tubo piezométrico pode ser inserido em
qualquer posição em torno de uma tubulação que o líquido atingirá a mesma altura h,
acima de A.
a2) Manômetro de tubo em U
É usado quando a pressão a ser medida tem um valor grande ou muito pequeno.
Para tanto é necessário o uso de líquidos manométricos que permitam reduzir ou
ampliar as alturas da coluna líquida. Esta redução ou ampliação da coluna é obtida
utilizando-se um outro líquido que tenha maior ou menor peso específico, em relação
ao líquido escoante (Figura 13).
y
h
Figura 13 – Esquema de um tubo em U.
Este outro líquido é denominado líquido manométrico, e deve apresentar algumas
características, como:
-
não ser miscível com o líquido escoante;
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-
formar meniscos bem definidos;
-
ter densidade bem determinada.
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Para pequenas pressões os líquidos manométricos mais comuns são: água,
cloreto de carbono, tetracloreto de carbono, tetrabrometo de acetileno e benzina. Para
grandes pressões, o líquido mais usado é o mercúrio.
Nos manômetros de tubo em U, a pressão já não é dada diretamente pela altura
da coluna líquida, mas através de equações que caracterizam o equipamento.
Para se conhecer a pressão em A, deve-se proceder da forma seguinte:
1) Demarque os meniscos separando assim as diferentes colunas líquidas e
cancele as colunas equivalentes;
2) Começando em uma das extremidades escreva o valor da pressão nesse
ponto; sendo incógnita use um símbolo;
3) Escreva em continuação o valor da pressão representada por uma a uma
das colunas líquidas; para isto, multiplique a altura da coluna pelo peso
específico do fluido; cada parcela será precedida do sinal (+) se a coluna
tender a escoar para adiante sob a ação da gravidade e (-) em caso
contrário;
4) Atingindo-se o último menisco a expressão será igualada à pressão nesse
ponto, seja ela conhecida ou incógnita.
Baseando-se nestes preceitos, chega-se a dois pontos: 1 e 2, onde:
PA+ γ1y - γ2h = Patm = 0
O índice 2 se refere às características do líquido manométrico.
Quando o manômetro é em forma de duplo U (Figura 14) ou mais (triplo U), é
preferível começar por um dos ramos até chegar ao outro.
P1 ≠ P2 ≠ P3 ; PB = PC ; PD = PE
PA + γ 1( x + h1 ) − γ 2h1 + γ 1y − γ 2h 2 = 0
PA + ( x + y + h1 )γ 1 − (h1 + h 2 )γ 2 = 0
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Figura 14 – Esquema de um manômetro de duplo U.
Exercício: a Figura 15 representa um manômetro instalado em uma tubulação. Calcule
a pressão no Ponto A, expressando-a em kgf m-2, kgf cm-2 e Pa (atmosfera técnica).
Considere:
- líquido escoando na tubulação: água;
- líquido manométrico: mercúrio;
- x = 15 cm; y = 20 cm; z = 8 cm; h = 22 cm; j = 20 cm.
Resposta: 4.204 kgf m-2; 0,4204 kgf cm-2; 42.040 Pa
Figura 15 – Manômetro de duplo U.
- Com base no tensiômetro de mercúrio da Figura 16, mostre que o potencial
matricial no ponto A é ψ A = −12,6 h + h 2 + h1
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Figura 16 – Desenho esquemático de um tensiômetro de mercúrio.
a3) Manômetro Diferencial
É o aparelho usado para medir a diferença de pressão entre dois pontos (Figura
17).
Figura 17 – Esquema de um manômetro diferencial.
PA + ( x + y + h)γ 1 − γ 3 h − γ 2 y = PB
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PA − PB = γ 3h + γ 2 y − ( x + y + h)γ 1
Outro método:
P1 = P2
P1 = PA + ( x + y + h)γ 1 e P2 = PB + γ 2 y + γ 3h
PA + ( x + y + h)γ 1 = PB + γ 2 y + γ 3h
PA − PB = γ 2 y + γ 3h − ( x + y + h)γ 1
em que PA – PB é a diferença de pressão entre A e B.
a4) Manômetro inclinado
Aparelho usado para medir pressões ou diferenças de pressões muito pequenas.
A inclinação do tubo em por finalidade ampliar a escala de leitura.
Conforme Figura 18, PA = γ h . Mas h = L senθ . Portanto: PA = γ L sen θ .
Figura 18 – Esquema de um manômetro inclinado.
Figura 19 – Esquema de um manômetro inclinado diferencial.
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PA + γ 1y + γ 2h − γ 1x = PB
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→
PB − PA = γ 1( y − x ) + γ 2h
Exercício: considere o manômetro conectado a uma tubulação, como mostra a Figura
20. Sabendo que a densidade do óleo é 0,83, calcule a diferença de pressão entre os
pontos 1 e 2. Resposta: 90,10 kgf m-2
Figura 20 – Exemplo de um manômetro diferencial.
b) Manômetro metálico ou de Bourdon
São os manômetros metálicos os mais utilizados na prática, pois permitem
leitura direta da pressão em um mostrador (Figura 21).
a
b
Figura 21 – Manômetro (a) e vacuômetro (b) metálicos.
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As pressões são determinadas pela deformação de uma haste metálica oca,
provocada pela pressão do líquido na mesma. A deformação movimenta um ponteiro
que se desloca em uma escala.
É constituído de um tubo metálico transversal (seção reta) elíptica que tende a
se deformar quando a pressão P aumenta. Com isso a seção reta tende a ser circular
que por sua vez acarreta um aumento no raio de curvatura do tubo metálico e
movimenta o ponteiro sobre a escala graduada diretamente para medir a pressão
correspondente à deformação. Geralmente são utilizados para medir grandes
pressões.
Os manômetros metálicos devem adquiridos levando em consideração algumas
características importantes, como: tamanho, fundo de escala, material de fabricação e
necessidade da presença de glicerina.
2.4.3 Relações entre as unidades de pressão
Atmosfera padrão
1 atm = 760 mmHg = 1,033 kgf cm-2 = 10,33 mca = 14,7 psi = 101.337 Pa =
10330 kgf m-2 = 1,013 bar = 1013 mbar
Atmosfera técnica
1 atm = 735 mmHg = 1,0 kgf cm-2 = 10,0 mca = 14,7 psi = 105 Pa = 104 kgf m-2 =
1,0 bar = 1000 mbar
2.5 Empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície plana imersa
Freqüentemente, o engenheiro encontra problemas relativos ao projeto de
estruturas que devem resistir às pressões exercidas por líquidos. Tais são os projetos
de comporta, registros, barragens, tanques, canalizações e outros.
2.5.1 Grandeza e direção do empuxo
A Figura 22 mostra uma área de forma irregular, situada em um plano que faz
um ângulo θ com a superfície livre do líquido.
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Para a determinação do empuxo que atua em um dos lados da mencionada
Figura, essa área será subdividida em elementos dA, localizada em profundidade
genérica h e a uma distância de y da interseção 0.
Figura 22 – Representação do empuxo.
A força agindo em dA será: dF = pdA = γhdA = γy sen θdA
Cada uma das forças dF será normal às respectivas áreas.
A resultante ou empuxo (total) sobre total área, também normal, será dado por
F = ∫ dF =
∫
A
∫
A
γysenθdA = γsenθ∫ ydA.
A
ydA é o momento da área em relação à interseção 0. Portanto
∫
A
ydA = A y ,
expressão onde y é a distância do centro de gravidade da área até 0, e A área total.
F = γ y sen θA
Como
y sen θ = h F = γ h A
O empuxo exercido sobre uma superfície plana imersa é uma grandeza tensorial
perpendicular à superfície e é igual ao produto da área pela pressão relativa ao centro
de gravidade da área.
2.5.2 Determinação do centro de pressão
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A Figura 23 representa a posição do centro de pressão que pode ser
determinada aplicando-se o teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante
em relação à interseção 0 deve igualar-se aos momentos das forças elementares dF.
F yp= ∫ dF y
Na dedução anterior,
dF = γysenθdA
F = γ ysenθA .
e
Substituindo,
γ y sen θAy p = ∫A γy sen θdAy = γ sen θ ∫A y 2dA
Logo:
yp
∫ Ay
=
2
dA
Ay
=
I
Ay
,
Figura 23 - Determinação do centro de pressão
Nesta expressão, “I” é o momento de inércia em relação ao eixo-interseção.
Mais comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo
centro de gravidade (Tabela 7), sendo conveniente a substituição.
I = Io + Ay 2 (Teorema de Huygens)
yp =
I0 + Ay 2
Como
Ay
∴ yp = y +
I0
Ay
I0
= k 2 , quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo, passando
A
pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, y p = y +
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k2
y
.
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O centro de pressão está sempre abaixo do centro de gravidade a uma distância
igual a
k2
y
, medida no plano da área.
Tabela 7 – Momento de inércia de algumas figuras
Figura
Retângulo
Triângulo
Círculo
I0
1
bh 3
12
1
I0 =
bh 3
56
πh 4
I0 =
64
I0 =
Exercício: numa barragem de concreto vertical está instalada uma comporta circular
de ferro fundido com 0,20 m de raio, situada a 4,0 m abaixo do nível da água.
Determine o empuxo que atua na comporta e a profundidade relativa ao seu centro de
pressão. Respostas: 527,78 kgf e 4,202 m
3. HIDRODINÂMICA (Princípios gerais do movimento e Teorema de Bernoulli)
3.1 Movimento dos fluidos
A Hidrodinâmica tem por objetivo o estudo dos movimentos dos fluidos.
Consideremos um fluido perfeito em movimento, referindo as diversas posições dos
seus pontos a um sistema de eixos retangulares 0x, 0y, 0z.
O movimento desses fluidos ficará perfeitamente determinado se, em qualquer
instante t, forem conhecidas a grandeza e a direção da velocidade v, relativa a
qualquer ponto; ou, então, o que vem a ser o mesmo, se forem conhecidas as
componentes vx, vy, e vz, dessa velocidade, segundo os três eixos considerados.
Além disso, há de se considerar também, os valores da pressão p e da massa
específica ρ, que caracterizam as condições do fluido em cada ponto considerado.
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O problema relativo ao escoamento dos fluidos perfeitos comporta, portanto,
cinco incógnitas, vx, vy, vz, p e ρ, que são funções de quatro variáveis independentes, x,
y, z, e t. A resolução do problema exige um sistema de cinco equações.
As cinco equações necessárias compreendem: as três equações gerais do
movimento, relativas a cada um dos três eixos; a equação da continuidade, que
exprime a lei de conservação das massas; e uma equação complementar, que leva em
conta a natureza do fluido.
São dois os métodos gerais para a solução de problema: o método de Lagrange,
que consiste em acompanhar as partículas em movimento, ao longo da suas
trajetórias; e o de Euler, que estuda, no decorrer do tempo e em determinado ponto, a
variação das grandezas mencionadas.
3.2 Vazão ou descarga
Chama-se vazão ou descarga, numa determinada seção, o volume de líquido
que atravessa essa seção na unidade de tempo.
Na prática, a vazão é expressa em m³ s-1 ou em outras unidades múltiplas ou
submúltiplas. Assim, para o cálculo de canalizações, é comum empregarem-se litros
por segundo (L s-1); os perfuradores de poços e fornecedores de bombas costumam
usar litros por hora (L h-1) ou metros cúbicos por hora (m3 h-1).
3.3 Classificação dos movimentos

Uniforme


Acelerado
Permanente

Movimento 
Nao
uniforme


Re tardado


Nao permanente

Movimento permanente é aquele cujas características (força, velocidade,
pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo. Com o movimento
permanente, a vazão é constante em um ponto da corrente. Matematicamente:
∂v
∂p
∂ρ
= 0;
= 0;
=0
∂t
∂t
∂t
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As características do movimento não permanente, além de mudarem de ponto
para ponto, variam de instante em instante, isto é, são função do tempo. De maneira
semelhante:
∂v
∂p
∂ρ
≠ 0;
≠ 0;
≠0
∂t
∂t
∂t
O movimento permanente é uniforme quando a velocidade média permanece
constante ao longo da corrente (
∂v
= 0 ). Neste caso, as seções transversais da
∂L
corrente são iguais. No caso contrário, o movimento permanente pode ser acelerado
ou retardado (
∂v
≠ 0 ), ou seja, não uniforme.
∂L
Um rio pode servir para ilustração (Figura 24). Há trechos regulares em que o
movimento pode ser considerado permanente e uniforme. Em outros trechos
(estreitos, corredeiras, etc.), o movimento, embora permanente (vazão constante),
passa a ser acelerado. Durante as enchentes ocorre o movimento não permanente: a
vazão altera-se.
Figura 24 - Movimento permanente uniforme (a), acelerado (b) e não permanente (c).
3.4 Regimes de movimento
A observação dos líquidos em movimento leva- nos a distinguir dois tipos de
movimento, de grande importância:
a) regime laminar;
b) regime turbulento.
Figura 25 - Regimes laminar e turbulento.
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Com o regime laminar, as trajetórias das partículas em movimento são bem
definidas e não se cruzam. Já o regime turbulento caracteriza-se pelo movimento
desordenado das partículas.
3.5 Linhas e tubos de corrente
Em um líquido em movimento, consideram-se linhas de corrente as linhas
orientadas segundo a velocidade do líquido e que gozam da propriedade de não
serem atravessadas por partículas do fluido.
Figura 26 - Linhas e tubo de corrente.
Em cada ponto de uma corrente passa, em cada instante t considerado, uma
partícula de fluido animada de uma velocidade v. As linhas de corrente são, portanto,
as curvas que no mesmo instante t considerado, se mantém tangentes em todos os
pontos à velocidade v. Pelo próprio conceito, essas curvas não podem cortar-se.
Admitindo-se que o campo de velocidade v seja contínuo, pode-se considerar
um tubo de corrente como uma figura imaginária, limitada por linhas de corrente. Os
tubos de corrente, sendo formados por linhas de corrente, gozam da propriedade de
não poderem ser atravessados por partículas de fluido: as suas paredes podem ser
consideradas impermeáveis. Esses conceitos são de grande utilidade no estudo do
escoamento de líquidos.
3.6 Equações Gerais do Movimento
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Seja no interior da massa líquida (em movimento) um ponto M, fixo, de
coordenadas x, y, e z, ao redor do qual tomamos um cubo infinitesimal de arestas dx,
dy e dz. A massa contida no cubo é ρdxdydz (Figura 27).
Sejam vx, vy, vz, as componentes da velocidade V com que as partículas
atravessam nos sucessivos instantes de tempo o cubo em questão. Sejam ainda P e ρ
as pressões e massas específicas, grandezas que são funções contínuas e uniformes
das coordenadas.
Figura 27 - Volume líquido elementar.
Sobre o prisma, agem os seguintes esforços:
-
as forças externas que dependem do volume considerado, como o peso, por
exemplo, e que podem ser expressas por suas componentes segundo cada eixo e
por unidade de massa: X, Y e Z; e
-
os esforços decorrentes das pressões atuantes nas faces do prisma
3.7 Equação da conservação das massas – Equação da continuidade
Se no interior do cubo não há vazios (Figura anterior), ou seja, se ele permanece
cheio de fluido durante o movimento, segue-se que a diferença entre a massa que
entrou e a que saiu durante o tempo dt é igual à variação da massa no interior do
mesmo.
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A massa fluida que durante o intervalo de tempo dt entra pelas três faces do
prisma é:
ρv x dydzdt + ρv y dxdzdt + ρv z dxdydt
De outra forma, considere o tubo de corrente da Figura 28. A quantidade de fluido com
massa específica ρ1 que passa pela seção A1, com velocidade média v1, na unidade de
tempo é:
m1
= ρ1 v1 A1
t
Figura 28 - Tubo de corrente utilizado para demonstração do Teorema de Bernoulli.
Por analogia, na seção 2 tem-se:
m2
= ρ2 v 2 A 2
t
Em se tratando de regime permanente a massa contida no interior do tubo é invariável,
logo:
ρ1 v1 A 1 = ρ 2 v 2 A 2 = cons tan te = M
Esta é a equação da conservação da massa. Tratando-se de líquidos, que são
praticamente incompressíveis, ρ1 é igual a ρ2. Então:
v1 A1 = v 2 A 2 = v n A n
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ou
Q=v A
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A equação da continuidade mostra que, no regime permanente, o volume de
líquido que, na unidade de tempo, atravessa todas as seções da corrente é sempre o
mesmo.
3.8 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos
Aplicando-se a equação de Euler (equações gerais do movimento) aos líquidos
em movimento permanente, sob a ação da força gravitacional, e em dois pontos de
uma tubulação, por exemplo, tem-se:
p2
v2
p
v2
+ 2 + z2 = 1 + 1 + z1 = constante
γ
2g
γ
2g
Este é o importante Teorema de Bernoulli que pode ser anunciado:
v2
“Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das alturas cinética (
),
2g
p
γ
piezométrica ( ) e geométrica ou potencial (Z)”. Este teorema é o próprio princípio da
conservação da energia. Cada um dos termos da equação representa uma forma de
energia. É importante notar que cada um dos termos pode ser expresso em metros,
constituindo o que se denomina carga.
3.9 Demonstração experimental do Teorema de Bernoulli
Em 1875, Froude apresentou importantes experiências sobre o teorema de
Bernoulli. Uma delas consiste numa canalização horizontal e de diâmetro variável,
conectada a um reservatório de nível constante (Figura 29).
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Figura 29 - Ilustração do Teorema de Bernoulli.
Instalando-se piezômetros nas diversas seções, verifica-se que a água sobe à
alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é maior e, portanto,
também é maior a carga cinética, resultando menor carga de pressão. Como as seções
são conhecidas, podem-se verificar a distribuição e a constância da carga total (soma
das alturas).
Exercício: Um líquido incompressível de massa específica igual a 800 kg m-3 escoa
pelo duto representado na Figura 30 com vazão de 10 L s-1. Admitindo o escoamento
como ideal e em regime permanente, calcule a diferença de pressão entre as seções 1
e 2 (1 N = 1 kg m s-2). Resposta: 3.058,10 kgf m-2 ou 30.000 N m-2 = 30.000 Pa = 30
kPa
Figura 30 – Exemplo da aplicação da equação de Bernoulli.
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