O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma

Questão 01
O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética ( PA) de números inteiros, de razão r ,
formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica  PG  , de razão q , com q e r  IN (natural diferente de zero).
Determine:
A) o menor valor possível para a razão r ;
B) o valor do décimo oitavo termo da PA , para a condição do item a.
Resolução:
A)
PG  a2 , a2  5r , a2  25r 
Simplificando a notação: a2  a
PG  a, a  5r , a  25r 
a  5r  a   a  25r 
 a  5r 
2
 a 2  25ar
a 2  10ar  25r 2  a 2  25ar
3a
25r 2  15ar  r 
5
Para a  5 , r  3 é o menor valor de r .
B)
a2  5, r  3
a18  a2  16r
a18  5  16  3  53
Questão 02
Os números reais positivos x1 , x2 e x3 são raízes da equação x 3  ax 2  a b 
b
x , sendo b  IN (natural), a  IR
2
(real) e a  1 . Determine, em função de a e b , o valor de log a  x1 x2 x3  x1  x2  x3  1

x 2  x22  x32
Resolução:
b
x  ab  0
2
  a 
x1  x2  x3 
a
1
b
b
x1 x2  x1 x3  x2 x3  2 
1 2
x3  ax 2 
x1 x2 x3 
  ab 
1
(1)
 ab
De (1) vem:
 x1  x2  x3 
2
 a2
x12  x22  x32  2  x1 x2  x1 x3  x2 x3   a 2


b
2
x12  x22  x32  a 2  b
b
 .

Logo:
log a  x1 x2 x3  x1  x2  x3  1

x 2  x22  x32
 log a  a b  a a

 
 log a a a
2
b
2
b
b
 

b
 

 log a a a
2
b
 a 2b
Questão 03
Os ângulos de um triângulo obtusângulo são 105o ,  e  . Sabendo que m  IR (real), determine:


A)
as raízes da equação 3sec x  m
B)
o valor de m para que  e  sejam raízes dessa equação.
Resolução:
A)
3sec x  m

3 cos x  3sen x  3cos x  3 sen x , em função de m ;

3 cos x  3sen x  3cos x  3sen x
Dividido por cos x :
3sec 2 x  m


3  3tg x  3  3 tg x
Lembrando que sec x  1  tg 2 x :
2
3  3tg 2 x  m 3 3m tg x  3  3 tg x  0


3tg 2 x  3m  3 tg x  m 3  0
3m  3  9m 2  6 3m  3  12 3m
6
tg x 
tg x 
tg x 
3m  3 
3m  3 
6

3m  3  3m  3
2

6
tg x  m ou tg x 
3
3
S   x   x  arc tg m  K  ou x 
B)


 K , K   
6

  30o e     105o  180o    45o
 tg 45o  m  m  1.
Questão 04
Seja o número complexo Z  a  bi , com a e b IR (real) e i  1 . Determine o módulo de Z sabendo que
a 3  3 1  ab 2 

.
 3
2
 b  3  a b  1
Resolução:
Z  a  bi
Z 3   a  bi   a 3  3a 2bi  3ab 2i 2  b3i 3
3
Z 3  a 3  3ab 2  i  3a 2b  b3 
Lembrando que a 3  3  3ab 2 e b3  3a 2b  3 vem:
Z 3  3  3ab 2  3ab 2  i (3a 2b  3a 2b  3)
Z 3  3  3i
Z 3  32  32  18
Como Z 
3
Z 3 vem: Z 
3
18  6 18 .
2
Questão 05
Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V . Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das
faces laterais da pirâmide em função de V , sabendo que o ângulo do vértice vale 30º .
Resolução:
A área da face lateral é S 
l l a
onde R é o raio da circunferência circunscrita.
4R
    a     sen 30º

R  a .
4R
2
Basta obter a em função do volume V .
a


sen 75º sen 30º
Mas,
 6 2

a
    a  

2
6 2 1


2
4
a 3
 2  h 2  

 3 
2
84 3 2
a2
a  h2 
4
3
a2
2
2
2 3 a  h 
3
1


h2  a2  2  3  
3



 18  9 3  3 
h 2  a 2 

9


ha
15  9 3
3
V
1 a 2 3 a 15  9 3

3 4
3
V
a 3 45  27 3
 Ra
36
3
36 V
45  27 3

3
12 V
53 3
3
Questão 06
É dada uma parábola de parâmetro p . Traça-se a corda focal MN , que possui uma inclinação de 60º em relação ao
eixo de simetria da parábola. A projeção do ponto M sobre a diretriz é o ponto Q , e o prolongamento de corda MN
intercepta a diretriz no ponto R . Determine o perímetro do triângulo MQR em função do p , sabendo que N encontrase no interior do segmento MR .
Resolução:
x
N
F
M
b
P
60º
p
a
R
d
A
Q
FA  p
  60º  90 180º    30º
FA
p
 sen 30º 
 FR  2 p
FR
FR
FA
p
tg  
 tg 30º 
 AR  p  3
AR
AR
Como M está sobre a parábola, MQ  MF  x .
Por F tracemos uma paralela à diretriz d :
  90º   180º e   30º , logo   60º .
sen  
MP  MQ  PQ  x  p
MP
x p 1 x p
cos  
 cos 60º 
 
x  2p
MF
x
x
2
sen  
FP
FP
3 FP
 sen 60º 


 FP  p 3
2p
2 2p
MF
Como FPQA é retângulo, AQ  FP  p 3
Seja y o perímetro do triângulo MQR :
y  MQ  AQ  AR  FR  MF
y  2p  p 3  p 3  2p  2p

y  6p  2p 3  2p 3 3

Questão 07
Sejam r e s   (inteiro). Prove que  2r  3s  é múltiplo de 17 se e somente se  9r  5s  é múltiplo de 17 .
Resolução:
Prova da ida:
Se  2r  3s  é múltiplo de 17 , somar ou subtrair múltiplos de 17 gera outros múltiplos.
2r  3s  0 mod 17
2r  34r  3s  17 s  0 mod 17
36r  20s  0 mod 17
 4 
9r  5s  0 mod 17
Prova da volta:
9r  5s  0 mod 17
 4 
36r  20s  0 mod 17
36r  34r  20 s  17 s  0 mod 17
2r  3s  0 mod 17
c.q.d
4
Questão 08
x a b c
a x c b
Calcule as raízes de f  x  em função de a , b e c , sendo a , b , c e x   (real) e f  x  
.
b c x a
c b a x
Resolução:
x a b c
1 1 1 1 
a x c b 


 e M  1 1 1 1 .
Seja A  
1 1 1 1
b c x a 




c
b
a
x


1 1 1 1 
Notemos que det M  0 .
 det A  0  det  AM   0
Calculando A  M :
xabc
xabc 
x  a  b  c x  a  b  c
 x  a  b  c x  a  b  c x  a  b  c x  a  b  c

A M  
 x  a  b  c x  a  b  c x  a  b  c x  a  b  c


x  a  b  c x  a  b  c x  a  b  c x  a  b  c 
Logo a função polinomial do quarto grau f  x   det A tem como raízes  a  b  c , b  c  a , a  c  b e a  b  c , valores de x que
anulam as colunas 1, 2, 3 e 4 respectivamente.
Questão 09
Considere uma reta r que passa pelo ponto P(2, 3). A reta r intercepta a curva x 2  2 xy  y 2  0 nos pontos A e B.
Determine:
a) o lugar geométrico definido pela curva;
b) a(s) possível(is) equação(ões) da reta r, sabendo que PA  PB  17.
Resolução:
a)
x 2  2 xy  y 2  0
y 2  2 xy  x 2  0
y
2 x  4 x 2  4 x 2
2
y
2 x  2 x  2
2
y


2  1 x ou y  


2 1 x
Equações de duas retas perpendiculares, pois
2  1    2  1   1.



 

b)
Coordenadas de A:
 y  2  1 x

 y  mx  2m  3


5
x
3  2m
2 1 m
e y
3 2  3  2 m 2  2m
2 1 m
Coordenadas de B:
 y   2  1 x

 y  mx  2m  3


3 2  3  2m 2  2m
2m  3
e y
2 1 m
2 1 m
PA  PB  17
x
2

 3  2m
  3 2  3  2m 2  2 m

2
 3 

  
2 1 m
 2 1 m
 

 5  2 2    5m  2 m 2 
 2  1  m
2
2
2
2
2
2

 2m  3
  3 2  3  2m 2  2m

 3   17
2

  
2 1 m
 2 1 m
 

 5  2 2    5m  2m 2 
 2  1  m
2

2
2
 17
5  2 2  1  m   5  2 2  1  m   17
 2  1  m
 2  1  m
5  2 2 5  2 2  1  m   17
2
2
2
2
2
2
2
2 1 m
1 m 
2
2 1 m
2 1 m
2 1 m
1  m 2   2  1  m     2  1  m  
1  m 2  2  1  m 
2
1  m 2  2  1  2m  m 2
1  m 2  1  2m  m 2
1  m 2  1  2m  m 2 ou 1  m 2  1  2m  m 2
m 2  m  0 ou m  1
m  0 ou m  1 ou m  1
 As possíveis retas seriam:
y  3  0  x  2  y  3
y  3  1 x  2   y   x  5
y  3  1 x  2   y  x  1
Questão 10
Os nove elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 são preenchidos aleatoriamente com os números 1 ou –1,
com a mesma probabilidade de ocorrência. Determine:
a) o maior valor possível para o determinante de M;
b) a probabilidade de que o determinante de M tenha este valor máximo.
Resolução:
a) O determinante genérico é:
a b c
d e f  aei  bfg  cdh  gec  hfa  idb
g h i
Com cada termo: aei, bfg , cdh,..., idb valendo 1.
É possível o determinante ter valor 4, por exemplo,
1 1 1
1 1 1  4.
1 1 1
É impossível valer 6, porque seria possível que:
aei  1 

bfg  1   multiplicando: abcdefghi  1
cdh  1
6
gec  1

hfa  1   multiplicando: abcdefghi  1
idb  1 
Absurdo.
Também é impossível o resultado valer 5, porque sendo qualquer dos termos:
aei, bfg , cdh,  gec,  hfa,  idb
igual a 1 , o máximo da soma já será 4.
b)
Considere os quatro vetores-linha v1 , v2 , v3 , v4 :
1, 1, 1 , 1, 1,  1 , 1,  1, 1 ,  1, 1, 1 .
Qualquer matriz M pode ser representada escolhendo algum vetor para cada linha (com repetição), e escolhendo o sinal da linha
(vi ou –vi, para 1  i  4 ).
São possíveis, assim,
4
4
4
2
2
2





 512
linha 1 linha 2 linha 3 sinal
sinal
sinal
linha 1 linha 2 linha 3
matrizes diferentes.
Para que detM seja diferente de zero, devem-se escolher 3 vetores quaisquer, sem repetição, porque quaisquer 3 são linearmente
independentes. Assim, as matrizes com detM ≠ 0 são:
  C4, 3  3!  2
2
 2  4  3!  23
sinais
A probabilidade de detM não ser nula é:
4  3!  23
6 3
P

 .
3
4  4  4  2 16 8
Note-se agora que o determinante não pode valer 2.
Caso isso ocorresse, seria possível:
aei  1 

bfg  1   abcdefghi  1
cdh  1
gec  1 

hfa  1   abcdefghi  1
idb  1
Absurdo.
E também, a soma de 6 parcelas (1) ou (–1) não pode resultar ímpar.
Os resultados possíveis e não nulos são apenas 4 e –4, equiprováveis por simetria. Assim, P ' 
7
P 3
 .
2 16
Professores
Douglas
Lafayette
Marcelo Moraes
Colaboradores
Aline Alkmin
José Diogo
Mateus Grangeiro
Rubem Jade
Thays de Freitas
Digitação e Diagramação
Cristiane Santos
Daniel Alves
Érika Rezende
João Paulo de Faria
Valdivina Pinheiro
Desenhistas
Luciano Lisboa
Rodrigo Ramos
Vinicius Ribeiro
Projeto Gráfico
Vinicius Ribeiro
Assistente Editorial
Valdivina Pinheiro
Supervisão Editorial
José Diogo
Rodrigo Bernadelli
Marcelo Moraes
Copyright©Olimpo2011
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