Sequências, PA e PG

Sequências, PA e PG – material teórico
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1
SEQUÊNCIA ou SUCESSÃO: é todo conjunto onde consideramos os seus elementos colocados, ou
dispostos, numa certa ordem. Considerando a sequência (2; 3; 5; 7; ...), dizemos que:
a1 = 2 (primeiro termo)
a2 = 3 (segundo termo)
a3 = 5 (terceiro termo)
Dessa forma temos uma sequência (a1, a2, a3, ... an), onde an é chamado de enésimo termo.
LEI DE FORMAÇÃO ou LEI DE RECORRÊNCIA: é uma regra pela qual podemos calcular qualquer
termo de uma sequência, em função de termos anteriores. Por exemplo:
1) Escrever a sequência em que an = 3n e n ∈ {1; 2; 3}
Para n = 1, temos: 𝑎1 = 3 ∙ 1 = 3
Para n = 2, temos: 𝑎2 = 3 ∙ 2 = 6
Para n = 3, temos: 𝑎3 = 3 ∙ 3 = 9
Então, temos a sequência finita: (3; 6; 9)
2) Dar a sequência onde an = 2n – 1 e n ∈ N*, ou seja, n ∈ {1; 2; 3; 4; 5; ...}
Para n = 1, temos: 𝑎1 = 2 ∙ 1 − 1 = 1
Para n = 2, temos: 𝑎2 = 2 ∙ 2 − 1 = 3
Para n = 3, temos: 𝑎3 = 2 ∙ 3 − 1 = 5
⋮
Onde, temos a sequência infinita: (1; 3; 5; 7; ...)
3) Na sequência (a1, a2, a3, ... ai), onde ai = 2i – 3 e i ∈ N*, calcule os termos a18 e a100.
𝑎18 = 2 ∙ 18 − 3 = 33 ⇒ a18 = 33
𝑎100 = 2 ∙ 100 − 3 = 197 ⇒ a100 = 197
4) Na sequência f = (an) tal que a1 = 5 e an + 1 = an + 3 para todo n ∈ N*, obtenha os quatro primeiros
termos.
A lei de formação a1 = 5 e an + 1 = an + 3, fornece o 1º termo e ainda fornece cada termo em função do
termo anterior. Tal lei de formação chamaremos de lei de recorrência. Dessa forma:
Para n = 1 temos a1 + 1 = a1 + 3 = 5 + 3 ⇒ a2 = 8
Para n = 2 temos a2 + 1 = a2 + 3 = 8 + 3 ⇒ a3 = 11
Para n = 3 temos a3 + 1 = a3 + 3 = 11 + 3 ⇒ a4 = 14
⋮
Portanto, a sequência em questão é: (5; 8; 11; 14; ...)
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
5) Achar uma fórmula que forneça o termo geral da sequência (𝟐 ; 𝟑 ; 𝟒 ; 𝟓 ; … )
1
1
Observando-se que: 𝑎1 = 2 = 1+1
2
2
𝑎2 = 3 = 2+1
Concluímos que: 𝒂𝒏
=
3
3
𝑎3 = 4 = 3+1
𝒏
𝒏+𝟏
6) Obter uma lei de recorrência que forneça os termos da seguinte sequência (1; 3; 7; 15; 31; ...)
a1 = 1
a2 = 2 . 1 + 1 = 2 . a1 + 1
a3 = 2 . 3 + 1 = 2 . a2 + 1
a4 = 2 . 7 + 1 = 2 . a3 + 1
a5 = 2 . 15 + 1 = 2 . a4 + 1
Logo: a1 = 1 e an + 1 = 2 . an + 1
7) (MODELO ENEM) Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos.
Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote
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por an o número de casais adultos desta colônia ao final de n meses. Se a 1 = 1, a2 = 1 e, para n ≥
2, an + 1 = an + an – 1, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês
será:
De acordo com o enunciado, temos
a1 = 1
a2 = 1
a3 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2
a4 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3
a5 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5
Portanto o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será 5.
Curiosidade: A sequência (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55;89; 144; 233; 377; 610; 987; 1597; 2584; ...)
é conhecida como Sequência de Fibonacci, na qual, cada termo subsequente (número de Fibonacci)
a partir do 3º, corresponde a soma dos dois anteriores. Nessa sequência, se dividirmos cada termo a
partir do 21, pelo seu antecessor, obtemos quocientes próximos do número 1,618, conhecido como
Número de Ouro. A sequência recebeu o nome do matemático italiano Leonardo de Pisa, mais
conhecido por Fibonacci (contração do italiano filius Bonacci), que descreveu, no ano de 1202, o
crescimento de uma população de coelhos, a partir desta. Em termos matemáticos, a sequência é
definida recursivamente pela fórmula dada no exercício acima. A sequência de Fibonacci tem
aplicações na análise de mercados financeiros, na ciência da computação e na teoria dos jogos.
Também aparece em configurações biológicas, como, por exemplo, na disposição dos galhos das
árvores ou das folhas em uma haste, no arranjo do cone da alcachofra, do abacaxi, ou no desenrolar
da samambaia.
8) A lei de formação de uma sequência é an = 2n + 5, n ∈ N*. Verifique se o número 47 pertence a
essa sequência.
Nesse caso, an = 47, assim: 47 = 2n + 5 ⇒ n =21
Como 21 ∈ N*, podemos afirmar que 47 pertence a sequência e é o seu 21º termo (a21).
9) (SEPEB) Considerando o conjunto de pontos a seguir:
Pode-se dizer que é uma sequência numérica cuja lei de formação correspondente é:
Observa-se que:
a1 = 1
a2 = 1 + 2 = 3
a3 = 1 + 2 + 3 = 6
a4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
a5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
⋮
(𝟏+𝒏)∙𝒏
Portanto, an = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n = 𝟐
an =
(𝟏+𝒏)∙𝒏
𝟐
Curiosidade: Os números da sequência (1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; ...) são conhecidos por números
triangulares, pois sempre podem ser dispostos de modo a formar um triângulo. Podemos também
escrevê-los através da série recursiva a1 = 1 e an = an-1 + n.
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10) Como vimos acima, “Números triangulares” são números que podem ser representados por
pontos arranjados na forma de triângulos equiláteros. E conveniente definir 1 como o primeiro
número triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares. Se Tn representa
o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. O valor de
T100 é igual a:
Usando a fórmula de recorrência do exemplo anterior, temos que T100 é igual a 5050
Curiosidade: Também existem os números quadrados perfeitos (1; 4; 9; 16; 25; ...), esses números
são chamados assim, pois tem raiz quadrada exata, além disso os pontos sempre podem ser dispostos
de modo a formar um quadrado. Essa sequência pode ser obtida pela fórmula recursiva
𝒂𝒏 =
𝒏𝟐 +𝒏
𝟐
Somatório: Na sequência (a1, a2, a3, a4, … , an), indica-se a soma dos seus n elementos por:
𝑛
∑ 𝑎𝑖
𝑖=1
Ou seja,
𝑛
∑ 𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑖=1
∑ é a letra grega sigma (maiúsculo) e lemos: “somatório dos ai termos, com i variando de 1 até n”.
Exemplos:
1) Desenvolva e calcule a soma representada abaixo:
𝟒
∑ 𝟑𝒊
𝒊=𝟏
4
∑ 3𝑖 = 3 ∙ 1 + 3 ∙ 2 + 3 ∙ 3 + 3 ∙ 4
𝑖=1
4
∑ 3𝑖 = 3 + 6 + 9 + 12
𝑖=1
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4
𝟒
∑ 𝟑𝒊 = 𝟑𝟎
𝒊=𝟏
2) Dê a notação da soma: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10².
Existe uma forma abreviada de representar esta soma, recorrendo a um símbolo, que designamos por
somatório ∑. Assim a soma anterior, é representada simplesmente por:
𝟏𝟎
∑ 𝒊𝟐
𝒊=𝟏
Que significa, somatório de 1 até 10, de i². A letra i é o índice da soma (ou do somatório) e pode ser
substituída por qualquer outra (que não intervenha na soma), como por exemplo: j, k, l, m, n, p, etc.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA): é um caso especial de sequência, pois os seus termos são
dispostos de tal forma que a diferença entre cada termo e o seu antecessor é sempre igual.
Considere a sequências numérica (2, 4, 6, 8, 10, 12). Veja que a partir do 2º termo a diferença entre
cada termo e o seu antecessor, é constante:
a2 - a1 = 4 – 2 = 2
a3 - a2 = 6 - 4 = 2
a5 - a4 = 10 - 8 = 2
a6 - a5 = 12 - 10 = 2
Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o
nome de progressão aritmética (P.A.). A constante damos o nome de razão (r).
Quando r = 0, a P.A. é constante; r > 0 a P.A. é crescente e, r < 0 a P.A. é decrescente.
Ou seja, chama-se de Progressão Aritmética (P.A.), toda sucessão de números que, a partir do
segundo, a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.: Na sequência (a1, a2, a3, a4, … , an) de razão r, podemos
escrever:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
⋮
an = a1 + (n – 1) r
Podemos dizer ainda que:
a7 = a1 + 6r
a9 = a5 + 4r
an = a5 + (n – 5) r
Exemplos:
1) Calcular o trigésimo segundo termo da P.A. (1, 4, 7, 10, ...).
Temos que a1 = 1, r = 3 e n = 32, Logo: an = a1 + (n – 1)r ⇒ a32 = 1 + (32 – 1) . 3 ⇒
a32 = 1 + 31.3 ⇒ a32 = 94
2) Completar a PA (.....; 13; .....; .....; .....; 41; .....)
Temos que a2 = 13 e a6 = 41, Logo: an = a1 + (n – 1)r ⇒ a6 = a2 + (6 – 2) . r ⇒
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41 = 13 + 4r ⇒ r = 7, então temos a1 = a2 – r ⇒ a1 = 6
Logo, (6; 13; 20; 27; 34; 41; 48)
3) Na PA onde a1 = 18 e a razão r = -3, que lugar ocupa o elemento -54?
Temos que a1 = 18, r = -3 e an = -54, Logo: an = a1 + (n – 1)r ⇒ -54 = 18 + (n – 1) . (-3) ⇒
n = 25, ou seja, ocupa o 25º lugar, é o termo a25
4) Os lados de um triângulo retângulo formam uma P.A. de razão 2. A área desse triângulo em
unidades de área é:
Pelo Teorema de Pitágoras:
(a+ 4)² = (a + 2)² + a²
- a² + 4a + 12 = 0
= 64
a’ = -2 (não serve)
a’’ = 6
5) (MODELO ENEM) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de
vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final
de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte sequência de figuras apresenta as
populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros
minutos. Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o
número de vírus no final de 1 hora era de:
Ao final de cada minuto o número de vírus existentes na população é termo da sequência
(1;5;9;13;…), que é uma progressão aritmética de razão 4. Ao final de 1 hora, o número de vírus
existentes era de a60 = a1 + (60 – 1) . r = 1 + 59 . 4 = 237
6) Construa uma PA, inserindo 4 meios aritméticos entre 3 e 38.
3, ____,____,____,_____,38
a1 = 3; an = 38; n = 6; r = ?
an = a1 + (n – 1)r => r = 7. Logo, PA (3, 10, 17, 24,31,38).
PROPRIEDADE DE TRÊS TERMOS CONSECUTIVOS DE UMA P.A.: Cada termo, a partir do
segundo, é a média aritmética dos termos antecessor e sucessor. Em outras palavras, sendo uma P.A.
(a, b, c, ...), temos:
𝒃=
Exemplos:
𝒂+𝒄
𝟐
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6
1) Calcule x para que a sequência (...; x – 2; 5; 2x + 1; ...) seja, nessa ordem, uma P.A.
5=
(𝑥 − 2) + (2𝑥 + 1)
2
𝒙=
𝟏𝟏
𝟑
2) Calcule o décimo termo da progressão aritmética (4; x; 10; ...).
4 + 10
𝑥=
2
𝒙=𝟕
Logo, r = 3 e a10 = 31
PROPRIEDADE DOS TERMOS EQUIDISTANTES DE UMA P.A.: A soma de dois termos equidistantes
dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos.
Dessa forma, na progressão (a1, a2, a3, …, a9, …), temos:
a4 e a6 equidistam de a1 e a9 pois: 4 + 6 = 1 + 9
a3 e a15 equidistam de a1 e a17 pois: 3 + 15 = 1 + 17
Exemplo:
1) Sabendo-se que a soma do terceiro e do décimo nono termo de uma P.A. é igual a 100,
determinar o décimo primeiro termo.
a3 e a19 = a11 + a11 ⇒ 2a11 = 100 ⇒ a11 = 50
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.: Se Sn for a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética
(a1, a2, a3, ..., an, ...) então:
𝑺𝒏 =
(𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ) ∙ 𝒏
𝟐
Exemplo:
1) Calcular a soma dos 20 primeiros termos da P.A.(7, 10, 13, ...)
O vigésimo termo da progressão em que a1 = 7 e r = 3 é a20 = 7 + (20 – 1) . 3 = 64
A soma dos vinte primeiros termos é S20 = 710, obtido pela fórmula acima.
Curiosidade: Existe uma progressão chamada Progressão Harmônica (P.H.): A definição dela é: seja
(an) uma sequência de termos não nulos. A sequência (an) é uma P.H., se e somente se, a sequência
1
(𝑎 ) é uma P.A.. Isto é, a sequência (a1, a2, a3, ..., an, ...) é uma PH, se e somente se, a sequência
𝑛
1
(𝑎 ,
1
1
,
1
,
1
𝑎2 𝑎3 𝑎4
1
, … , 𝑎 , … ) é uma PA. Também existe Progressão Aritmética de 2ª Ordem: A definição
𝑛
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de progressão aritmética utilizada até agora, é um caso particular chamado progressão aritmética de
1ª ordem, onde a subtração dos termos consecutivos é constante. No caso da PA de 2ª ordem a
segunda subtração de termos consecutivos é que será constante.
Exemplo:
Considere a sequência (1, 3, 6, 10, ...), na 1ª subtração: 3 – 1 = 2; 6 – 3 = 3; 10 – 6 = 4, .... Observe
que as diferenças não são constantes, mas os resultados (2, 3, 4,...) formam um PA de razão constante
igual a 1.
Segue abaixo outros exemplos de PA de 1ª e de 2ª ordem:
Enfim, a título de curiosidade, existe PA e PG de ordens superiores.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG): é um caso especial de sequência, pois os seus termos são
dispostos de tal forma que o quociente entre cada termo e o seu antecessor é sempre igual. Esse
termo constante é chamado de razão da PG, que é representado pela letra q, para diferenciar da razão
r da PA.
Então podemos dizer que Progressão Geométrica PG, é uma sucessão de números onde, a partir do
2º termo, cada termo é igual ao anterior multiplicado pela razão da PG.
O Termo Geral da PG, é dado por:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒒𝒏−𝟏
A Soma dos n termos da PG finita, é dado por uma das fórmulas abaixo:
𝟏 − 𝒒𝒏
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 ∙
𝟏−𝒒
𝒂𝟏 ∙ (𝒒𝒏 − 𝟏)
𝑺𝒏 =
𝒒−𝟏
𝑺𝒏 =
𝒂𝒏 ∙ 𝒒 − 𝒂𝟏
𝒒−𝟏
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA E DECRESCENTE: a soma dos infinitos termos de uma
P.G. de razão q, com – 1 < q < 1, existe e é dado por:
𝑺=
𝒂𝟏
𝟏−𝒒
A Soma de parcelas sucessivas de uma sequência infinita sem que essa operação termine após um
número finito de parcelas, é chamada de série convergente, embora a soma nunca chegue exatamente
ao valor do resultado, tende a ele.
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Exemplos:
1) Calcule a soma dos termos da PG (2; 1; ½; ¼; ...)
Aplicando a fórmula acima, temos que S = 4
2) Obtenha a fração geratriz da dízima periódica 0, 444...
0,444 ... = 0,4 + 0,04 + 0,004 + ...
A sequência (an) = (0,4; 0,04; 0,004; ...) é uma P.G. de primeiro termo a1 = 0,4 e razão q = 0,1
A soma da série gerada por (an) é S = 4/9
PROPRIEDADE DE TRÊS TERMOS CONSECUTIVOS DE UMA P.G.: cada termo de uma P.G., a partir
do segundo, é a média geométrica entre o termo antecessor e o sucessor. Ou seja, dado uma P.G. (a,
b, c, ...), temos:
𝒃𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒄
PROPRIEDADE DOS TERMOS EQUIDISTANTES DE UMA P.G.: o produto de dois termos
equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
Na progressão geométrica (a1, a2, a3, ...) temos:
a1 . a9 = a2 . a8 pois 1 + 9 = 2 + 8
a4 . a6 = a2 . a8 pois 4 + 6 = 2 + 8
PROPRIEDADE DO PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P.G.: se Pn for o produto dos n primeiros
termos da P.G. (a1, a2, a3, ..., an, ...) então:
|𝑷𝒏 | = √(𝒂𝟏 ∙ 𝒂𝒏 )𝒏
Exemplo:
1) Calcule o produto dos vinte primeiros termos da P.G.(1, 2, 4, 8, ...)
a1 = 1 e q = 2 ⇒ an = a1 . qn-1 ⇒ a20 = a1 . q20-1 ⇒ a20 = 1 . 219 ⇒ a20 = 219
|𝑷𝒏 | = √(𝒂𝟏 ∙ 𝒂𝒏 )𝒏 ⇒ |𝑷𝟐𝟎 | = √(𝒂𝟏 ∙ 𝒂𝟐𝟎 )𝟐𝟎 ⇒ |𝑷𝟐𝟎 | = √(𝟏 ∙ 𝟐𝟏𝟗 )𝟐𝟎 ⇒ |𝑷𝟐𝟎 | = (𝟐𝟏𝟗 )𝟏𝟎
|𝑷𝟐𝟎 | = 𝟐𝟏𝟗𝟎
EXERCÍCIOS
RESOLVIDOS
1) O preço de um carro é de R$ 15 000,00 e diminui de R$1 000,00 a cada ano de uso. Qual será
o preço com 4 anos de uso?
Chamando o preço com n anos de uso de an, temos a0 = 15000 e queremos calcular a4. Como a
desvalorização anual é constante, (an) é uma PA. Logo, a4 = a0 + 4r = 15000 + 4 (-1000) = 11000, ou seja, o
preço será de R$11 000,00.
2) O cometa Halley visita a Terra a cada 76 anos. Sua última passagem por aqui foi em 1986.
Quantas vezes ele visitou a Terra desde o nascimento de Cristo? Em que ano foi sua primeira
passagem na era cristã?
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Os anos de passagem do cometa foram 1986, 1910, 1834,... e formam uma progressão aritmética de razão
r = -76. O termo de ordem n dessa progressão é an = a1 + (n - 1)r  an = = 1986 + (n - 1) (-76)  an = 1986
– 76n + 76 an = 2062 – 76n.
Como an > 0 (era cristã), e an = 2062 – 76n, substituindo temos:
an > 0  2062 – 76n > 0  n < 27,13, logo o cometa visitou a Terra na era cristã, 27 vezes.
a27 = a1 + (27 - 1)r  a27 = a1 + 26r  a27 = 1986 + 26(-76)  a27 = 10, sua primeira passagem pela
Terra na era cristão, foi no ano 10.
3) Uma vitória régia encontra-se em um tanque de água. Sabendo que ela dobra de área a cada
dia e que no final do vigésimo dia, ocupa toda a superfície do tanque em qual dia ela ocupará a
metade da superfície do tanque? Qual o tamanho original da vitória régia no momento em que ela
foi introduzida no tanque de água?
O primeiro passo é pensar intuitivamente para ver como é fácil entender a Matemática. Analisandose de trás para frente. Uma vitória régia ocupa toda a superfície do tanque em 20 dias, mas se ela
duplica de tamanho a cada dia, então, no 19º dia ela terá preenchido metade do tanque e quando
passar mais um dia ela se duplicará e preencherá o tanque todo. Logo, ela ocupará metade da
superfície do tanque no 19º dia.
Quanto a 2ª pergunta, temos que a razão da PG é q = 2, a n = x e n = 20, logo
𝑥 19
𝑎1 = ( )
2
Ou seja, quando a vitória régia foi posta no tanque ela tinha o tamanho do tanque dividido por
524.288 que representa a potência de base 2 e expoente 19. Percebe-se que ela era minúscula,
524.288 vezes menor que a superfície do tanque.
Se quisermos tirar a prova real da resposta da pergunta 1, podemos novamente usar o termo geral
𝑥
𝑥 19
da PG, onde, 𝑎𝑛 = (2) , 𝑎1 = (2)
e q = 2, obtendo n = 19 dias.
4) (UERJ) João propôs a seu filho Pedro que, a partir do primeiro dia daquele mês, lhe daria diárias da seguinte maneira:
R$100,00 no primeiro dia, R$110,00 no segundo, R$120,00 no terceiro e assim por diante, ou seja, aumentando
R$10,00 a cada dia. Pedro pensou e fez uma contraproposta a seu pai: receberia R$2,00 no primeiro dia, R$4,00 no
segundo, R$8,00 no terceiro e assim sucessivamente, ou seja, a cada dia a quantia seria o dobro da recebida no dia
anterior. João aceitou a proposta, pensando ser vantajosa. No entanto, na realidade, tal fato não ocorreu. Realizados
os cálculos necessários, pode-se afirmar que Pedro acumulou um total superior ao total que teria recebido, até então,
pela proposta de seu pai, a partir do seguinte dia:
a) sexto
b) oitavo
c) décimo
d) décimo segundo
e) décimo quarto
A proposta de João indica uma PA de razão 10 e a de Pedro, uma PG de razão 2. Calculando as somas e comparando, temos:
a 1  100
100  90  10n.n  190  10n.n  5n 2  95n

i) João : r  10
 S(João) 
2
2
a  100  10(n  1)  90  10n
 n
.
a 1  2
2. 1  2 n
2. 2 n  1

ii) Pedro : q  2
 S(Pedro) 

 2 n 1  2
1 2
2 1
a  2.2 n 1  2 n
 n

Calculado os valores das somas para n = 6, 8, 9 e 10, temos:
N
Soma (João)
6
5.(6)2 + 95.(6) = R$750,00
8
5.(8)2 + 95.(8) = R$1080,00
9
5.(9)2 + 95.(9) = R$1260,00
10 5.(10)2 + 95.(10) = R$1450,00



Soma (Pedro)
26+1 – 2 = 27 – 2 = 128 – 2 = R$126,00
28+1 – 2 = 29 – 2 = 512 – 2 = R$510,00
29+1 – 2 = 210 – 2 = 1024 – 2 = R$1022,00
210+1 – 2 = 211 – 2 = 2048 – 2 = R$2046,00
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10
5) (UERJ) Considere o número irracional (0,1010010001...) onde a parte decimal foi construída justapondo-se os
termos da progressão geométrica (10, 100, 1000,...). A quantidade de algarismos da parte decimal até o milésimo 1
(um) inclusive é:
a) 500000
b) 500001
c) 500499
d) 500500
e) 500501
a1  10

Solução. O milésimo 1 será encontrado no milésimo termo da PG: q  10
.
a
999
1000
 1000  10.10  10
O número de zeros das potências de 10 dos termos da progressão (10), (100), (1000),... formam uma PA de
razão 1. O último termo possui 1000 zeros. A soma dos termos é:
S( zeros) 
1  1000.1000  1001.500  500500.
2
Somando com os 1000 1’s antes dos zeros, teríamos 5001500 algarismos. Mas como a contagem é até o
milésimo 1, os 1000 zeros após eles não serão contados. Logo, há 5001500 – 1000 = algarismos 1’s.