SISTEMAS DINÂMICOS, EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E ÁLGEBRA

SISTEMAS DINÂMICOS, EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E ÁLGEBRA LINEAR.
Beatriz Marques Biazin, Angela Marta Pereira das Dores Savioli, e-mail:
[email protected]
Universidade Estadual de Londrina/Departamento de Matemática/CCE.
Área e sub-área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra/Matemática.
Palavras-chave: Sistemas dinâmicos, Equações Diferenciais; Álgebra Linear.
Resumo
Estudamos, pesquisamos e descrevemos alguns aspectos dinâmicos de
equações diferenciais ordinárias, bem como possíveis relações entre os
sistemas dinâmicos e campos fora da matemática. Iniciamos estudos de
sistemas dinâmicos discretos caóticos e da teoria da estrutura de operadores
lineares em espaços vetoriais de dimensão finita.
Introdução
O comportamento de alguns sistemas ocorre de maneira aleatória,
imprevisível, como sistemas ecológicos, químicos, econômicos, biológicos,
circuitos elétricos, dinâmicas de populações, entre outros. A teoria do caos
estuda o comportamento no qual uma insignificante perturbação em suas
condições iniciais pode ocasionar grandes diferenças em um instante de tempo
futuro. A esse comportamento designamos sensibilidade às condições iniciais.
Um sistema que possui um estado específico em cada instante de tempo,
como os exemplos citados, é chamado um sistema dinâmico. Constituiria uma
família a um parâmetro de um espaço abstrato para si mesmo. Se a
parametrização é realizada dentro do conjunto dos números inteiros,
denominamos de sistema discreto. A função caótica aparece no estudo de
sistemas dinâmicos. Utilizamos os sistemas dinâmicos para prever estados
futuros a partir de dados iniciais.
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Participantes e Métodos
As atividades deste trabalho englobaram os seguintes procedimentos:
1. Levantamento bibliográfico sobre equações diferenciais, sistemas
dinâmicos e álgebra linear;
2. Estudo dos textos visando uma compreensão dos mesmos com
realização de seminários semanais e debates sobre o assunto abordado;
3. Resolução e discussão dos exemplos e exercícios dos textos;
4. Análise computacional de alguns exemplos;
5. Análise dos resultados obtidos nos debates e seminários;
6. Fechamento dos resultados obtidos.
Resultados e Discussões
Sistemas Lineares com coeficientes constantes e autovalores reais
Iniciamos nosso estudo com um resumo de álgebra linear básica contemplando
alguns resultados de espaços vetoriais, bases, transformações lineares,
operadores lineares, decomposição em soma direta de espaços e operadores,
autovetores, autovalores e diagonalização de operadores. Focamos em como
diagonalizar um operador que tem autovalores reais e distintos para resolver
um sistema linear com coeficientes constantes (DEVANEY, Robert.1989)
x’ = Ax,
em que A é um operador linear que tem autovalores reais e distintos.
Provamos o seguinte resultado:
Teorema 1
Consideremos A um operador linear sobre Rn que possui n autovalores reais
distintos. Então, para todo x0 em Rn, a equação diferencial linear x’ = Ax com
x(0) = x0, tem solução única (ANTON, Howard; RORRES, Chris.2001.).
Demonstração:
Considerando as hipóteses do teorema[3], quais sejam, que A é um operador
linear com n autovalores reais distintos, temos que existe uma matriz invertível
P tal que a matriz PAP-1 é diagonal, ou seja,
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PAP-1 = diag{λ1,..., λn} = B,
em que λ1,..., λn são autovalores de A. Assim, consideremos y = Px em Rn, com
x = P-1y. Logo, y’ = Px’ = PAx = PA(P-1y) e, portanto, y’ = By.
Agora, B é uma matriz diagonal. Portanto, yi’ = λi yi, em que i = 1,...,n, e terão
soluções únicas para cada condição inicial yi(0):
yi(t) = yi(0) exp(t λi).
Seja agora y(0) = Px0. Se y(t) é a solução de y’ = By, então a solução de
x’ = Ax com x(0) = x0
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é x(t) = P y(t). Isto é,
x(t) = P-1(y1(0)exp(λ1t), ..., yn(0)exp(λnt)).
Derivando, temos que x’ = P-1y’ = P-1By = P-1 (PAP-1)y = AP-1y. Logo, x’ = Ax.
Além disso, x(0) = x0.
Como B é uma matriz diagonal é impossível termos soluções diferentes de y’ =
By, y(0) = Px0. Assim, não há outras soluções de x’ = Ax com x(0) = x0.
Como consequência desse resultado, temos o teorema (PALIS JUNIOR,
Jacob,1977.):
Teorema 2
Consideremos A uma matriz n x n com n autovalores reais distintos λ1,..., λn .
Então toda solução da equação diferencial x’ = Ax com x(0) = u, é da forma x i(t)
= ci1exp(λ1t) +...+ cim exp(λnt), i = 1,...,n, para constantes ci1,..., cim determinados
por u univocamente.
Além desses teoremas estudamos alguns outros resultados e aplicações
referentes a sistemas de equações diferenciais. Apresentamos a seguir alguns
resultados sobre sistemas dinâmicos que são importantes para o estudo das
equações diferenciais ordinárias(MONTEIRO, Luiz Henrique Alves, 2006.).
Conclusões
Sistemas dinâmicos e campos vetoriais
Consideramos um sistema dinâmico um modo de descrever o que ocorre ao
longo do tempo com todos os pontos de um espaço dado S, o qual pode ser
matematicamente, um espaço euclidiano ou um subespaço aberto de um
espaço euclidiano.
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Um sistema dinâmico sobre um espaço S nos informa para cada elemento x de
S, em que lugar está x uma unidade de tempo mais tarde, duas unidades de
tempo mais tarde, etc.. Assim, um sistema dinâmico é uma função µ de R x S
em S, em que R é o conjunto dos números reais, de classe C 1, em que S é um
conjunto aberto de um espaço euclidiano, tal que µ(t,x) = µ t(x), a função µt vai
de S em S e satisfaz as seguintes condições:
µ0 de S em S é a identidade de S e
µt ₒ µs = µt+s, para todo par t,s pertencente a R.
É importante destacar que a função µt de S em S ser de classe C1 para cada t
implica ter inversa de classe C1.
Teorema 3: Teorema Fundamental das Equações Diferenciais Ordinárias
(MONTEIRO, Luiz Henrique Alves,2006.)
Seja W um conjunto aberto contido em um espaço vetorial normado V, f uma
função de classe C1 (função continuamente diferenciável) de W em V e x0
pertencente a W. Então, existe um a > 0 e uma única solução x de (-a,a) em W
da equação diferencial x’ = f(x) que satisfaz a condição inicial x(0) = x0.
Agradecimentos
Ao CNPq pelo apoio financeiro e à Fundação Araucária pelo apoio financeiro
via convênio 288/12, protocolo 19.179.
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com Aplicações. 8.ed.
Tradução Claus Ivo Doering Porto Alegre: Bookman, 2001.
DEVANEY, Robert. An introduction to chaotic dynamical systems. Reading :
Addison-Wesley, 1989.
HIRSCH, Morris W.; SMALE, Stephen. Equaciones diferenciales, sistemas
dinámicos y algebra lineal. Madrid: Alianza Editorial, 1983.
MONTEIRO, Luiz Henrique Alves. Sistemas dinâmicos. 2 ª edição. São Paulo:
Livraria da Física, 2006.
PALIS JUNIOR, Jacob. Introdução aos sistemas dinâmicos. Rio de Janeiro:
IMPA, 1977.
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