Universidade Estadual de Campinas - Imecc

Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP
Instituto de Matemática e Computação Científica – IMECC
Matemática - Licenciatura
Gabriel Zulian dos Santos – RA: 159716
Paulo Eduardo Reis de Moraes – RA: 156944
Números Complexos
Professor Fernando Eduardo Torres Orihuela
Campinas
2014
Sumário
Introdução ................................................................................................................ 3
Capítulo 1 – Números complexos ............................................................................ 4
1.1 - Definição .......................................................................................................... 4
1.2 – Igualdade de números complexos .................................................................. 5
1.3 – Potências de i.................................................................................................. 5
1.4 – Representação gráfica dos números complexos (plano Argand-Gauss) ........ 6
1.4.1 – Forma algébrica ........................................................................................... 6
1.4.2 – Forma cartesiana ......................................................................................... 7
1.4.3 – Forma trigonométrica ................................................................................... 7
1.5 – Módulo ou valor absoluto ................................................................................ 7
1.6 - Conjugado........................................................................................................ 8
Capítulo 2 – Propriedades ....................................................................................... 9
2.1 – Propriedades dos números reais .................................................................... 9
2.2 – Propriedades dos números complexos ........................................................... 9
2.2.1 – Algumas propriedades específicas dos números complexos ..................... 11
Capítulo 3 – Operações ......................................................................................... 13
3.1 – Adição e subtração ....................................................................................... 13
3.2 – Multiplicação ................................................................................................. 13
3.3 - Divisão ........................................................................................................... 13
Conclusão .............................................................................................................. 14
Referências ............................................................................................................ 15
Introdução
Os números complexos começaram a ser estudados em virtude da
contribuição dos matemáticos Scipione del Ferro (1465-1526), Niccolò Fontana
(1500-1557, pseudônimo Tartaglia) e Girolamo Cardano (1501-1576), com o início
nos estudos das equações de 3º grau. Até então os matemáticos não sabiam que
era possível obter a raiz quadrada de um número negativo. A partir destes
matemáticos, outros estudaram sobre esse tema na matemática, obtendo sua última
grande contribuição com Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
O conjunto dos números complexos é o conjunto que contém todos os outros
conjuntos, e é denotado por . Desta forma, para que seja estudado, é necessário
compreender as operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo
elementos desse conjunto, bem como a representação geométrica dos números
complexos.
Assim sendo, nesse trabalho serão abordadas questões básicas pertinentes
aos números complexos, bem como operações aritméticas com eles e também o
plano de Argand-Gauss.
Capítulo 1 – Números complexos
1.1 - Definição
Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z= x + yi,
em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O número i é por
definição igual a
e, portanto,
. Os números x e y são denominados,
respectivamente, parte real e parte imaginária de z.
Por exemplo, a equação:
Pelo método comum, a resposta seria x =
, porém este resultado é
impossível, pois números negativos não têm raiz quadrada.
Em virtude disso, para que houvesse solução para este tipo de equação de 2º
grau, foi criado um novo conjunto de números, o conjunto dos números complexos.
Em primeiro lugar, Leonhard Euler (1707-1783) definiu que i =
Consequentemente,
.
Para a equação acima fazemos:
Portanto, as raízes da equação
são 2i e - 2i.
1.2 – Igualdade de números complexos
Dois números complexos são iguais somente se suas partes reais e
imaginárias forem iguais. (a + bi = c + di se a = c e b = d)
Exemplo:
e
1.3 – Potências de i
As potências de i têm um caráter peculiar, a seguir demonstrado:






Note que é possível encontrar 4 valores distintos de i, de modo que eles
sempre se repetem em ciclos de 4.
Exemplo: Encontrar o valor de
.
Resolução:
, com resto =
1.4 – Representação gráfica dos números complexos (plano Argand-Gauss)
A parte real está representada
pelo eixo das abscissas (x) e a
parte imaginária pelo eixo das
ordenadas (y).
1.4.1 – Forma algébrica
Como já foi falado, a forma algébrica de um número complexo é denotada
por:
z = x + yi
1.4.2 – Forma cartesiana
Note que pelo plano Argand-Gauss, a forma cartesiana de um número
complexo é escrita na forma de par ordenado, ou seja:
z = (x, y) = x + yi
1.4.3 – Forma trigonométrica
Repare que pelo plano Argand-Gauss, depreende-se que:
e
Substituindo em z = x + xi, decorre que:
1.5 – Módulo ou valor absoluto
O módulo de um número complexo z = a + bi é definido como:
1.6 - Conjugado
O conjugado de um número complexo z = x + yi é definido como:
z = x + yi = x – yi
Esta definição será importante no momento de fazer a operação da divisão, a
qual será falada posteriormente.
Capítulo 2 – Propriedades
2.1 – Propriedades dos números reais
1) comutatividade da soma: x + y = y + x;
2) associatividade da soma: x + (y + z) = (x + y) + z;
3) comutatividade da multiplicação: x.y = y.x;
4) associatividade da multiplicação: x.(y.z) = (x.y).z;
5) distributividade: x.(y + z) = x.y + x.z;
6) elemento neutro da soma: 0
x
x, ∀x;
8) elemento neutro do produto: 1.x
x, ∀x;
7) inverso aditivo: x +
x
;
2.2 – Propriedades dos números complexos
Todas as propriedades acima são válidas também para os números
complexos, a seguir demonstradas, com x = a + bi; y = c + di; z = e + fi, onde a, b, c,
d, e, f
ℝ.
Demonstração:
(1) x + y = (a + bi) + (c+di)
= (a + c) + (b + d)i
= (c + a) + (d + b)i
= (c + di) + (a + bi)
=y+x
(2) x + (y + z) = (a + bi) + [(c + di) + (e + fi)]
= (a + bi) + [(c + e) + (d + f)i]
= [a + (c + e)] + [b + (d + f)]i
= [(a + c) + e] + [(b + d) + f]i
= [(a + c)+(b + d)i] + (e + fi)
= [(a + bi) + (c + di)] + (e + fi)
= (x + y) + z
(3) xy = (a + bi)(c + di)
= (ac – bd) + (ad + cb)i
= (ca – db) + (cb + ad)i
= (c + di)(a + bi)
= yx
(4) x(yz) = (a + bi){(c + di)(e + fi)}
= (a + bi){(ce + cfi)(die + difi)
= (a + bi){c(e + fi)di(e + fi)}
= (a + bi)
(5) x(y + z) = (a + bi)[(c + di) + (e + fi)]
= (a + bi)[(c + e) + (d + f)i]
= [a
b d
= (ac + ae – bd
= [(ac
f ]
[a(d + f ) + b(c + e)]i
bf) + (ad + af + bc + be)i
bd) + (ad + bc)i] + [(ae
bf) + (af + be)i]
= [(a + bi)(c + di)] + [(a + bi)(e + fi)]
= xy + xz
(6) 0 = 0 + i:
x + 0 = (a + bi) + (0 + 0i)
= (a + 0) + (b + 0)i
= a + bi
=x
(7) –x
x
a
x = a
= a
bi
a – bi:
bi
a
a
b
bi
b i
= 0 + 0i = 0
(8) 1 = 1 + 0i:
1x = (1 + 0i)x
= (1 + 0i)(a + bi)
= (1a + 0b) + (1b + 0a)i
= a + bi = x
(9)
2.2.1 – Algumas propriedades específicas dos números complexos
Considere que: z = a + bi, w = c + di.
1) Re(z) = (z + z ) / 2:
(z + z )/2 = [(a + bi) + (a - bi)]/2
= [(a + a) + i(b - b)]/2
= (2a + 0i)/2
= 2a/2 = a = Re(z)
2) Im(z) = (z - z ) / 2i:
(z - z )/2i = [(a + bi) - (a - bi)]/2i
= [(a - a) + i(b + b)]/2i
= (0 + 2bi)/2i
= 2bi/2i = b = Im(z)
3) z + z = 2 Re(z):
z + z = (a + bi) + (a - bi)
= (a + a) + i(b - b)
= 2a + i0
= 2a = 2Re(z)
4) z + w
:
z + w = (a + bi) + (c + di)
= (a + c) + (bi + di)
= (a + c) – (b + d)i
= (a – bi) + (c – di)
=
5) zw = (a + bi) + (c + di)
= (ac - bd)(ad + bc)i
= (ac - bd) - i(ad+ bc)
= (a - bi)(c - di) = zw
Capítulo 3 – Operações
3.1 – Adição e subtração
Para se proceder a soma ou a subtração de números complexos, deve-se
somar a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária.
3.2 – Multiplicação
Para a multiplicação, deve-se aplicar a distributiva.
3.3 – Divisão
Para fazer a operação da divisão entre números complexos (
deve-se multiplicar
por
e dividir o resultado pela multiplicação de
por
e
.
),
Conclusão
Este trabalho teve por objeto o estudo dos números complexos, um conjunto
de números que possibilitou que inúmeras questões pudessem ser resolvidas, como
por exemplo às pertinentes a equações de 2º grau com valores negativos dentro de
raízes.
Muitos matemáticos brilhantes tiveram que trabalhar nesse assunto por vários
anos para que todas as questões suscitadas pudessem ser resolvidas.
Esta monografia apenas apresentou esses números, já que as aplicações
desses números são muito extensas, como por exemplo, análise complexa, álgebra
linear complexa, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos.
Referências
Pet-Matemática. Números complexos.
Disponível em:
<http://pt.scribd.com/doc/68402756/Numeros-Complexos>
Acesso em: 02/07/2014.
InfoEscola. Números complexos.
Disponível em:
<http://www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/>
Acesso em: 02/07/2014.
Aprender Matemática. Números complexos.
Disponível em:
<http://aprendermmatematica.blogspot.com.br/p/numeros-complexos.html>
Acesso em: 02/07/2014.
Wikipédia. Número complexo.
Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo#Defini.C3.A7.C3.B5es>
Acesso em: 02/07/2014.
UOL Educação. Números complexos (5): Igualdade e conjugado.
Disponível em:
<http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/numeros-complexos-5igualdade-e-conjugado.htm>
Acesso em: 02/07/2014.