Notas de Aula 1

PUC - ECEC - Escola de Ciências Exatas e da
Fundamentos de Matemática I
2017
e Física
GO, Fevereiro / 2017
Prof: Me. Samuel Lima Picanço
Notas de Aula do Professor - Expressões Algébricas
1 Expressões Algébricas e
Polinômios
iv) Qual seria a representação para o quadrado de um
número?
Levando-se em consideração que o número pode
ser representado por
1.1 Expressões Algébricas
x,
o seu quadrado seria:
O quadrado de um número
−→ x2 .
Uma expressão algébrica pode ser entendida, de modo
Todas as potências com expoentes inteiros pode-
mais fácil, como uma forma genérica para representar-
riam ser representadas como foi feito aqui nesse
mos os números. Isso mesmo! Os números que tanto
item. Use sua criatividade de bom algebrista para
causam pavor nas pessoas, podem ser representados
trabalhar esta ideia.
por letras. Vejamos isso em exemplos:
Quero enfatizar aqui que acabamos de ver que podemos representar os números por letras e isso é de
1.1.1 Primeiro Exemplo
grande utilidade na resolução de problemas em mate-
i) Como seria a representação de um número inteiro?
mática. É comum os estudantes fazerem confusões com
Certamente você pensou em algum número inteiro
isso. Tente relacionar a ideia com algo que vivencie no
(número que usamos para contar quantidades in-
seu dia a dia. Imagine um número como uma fruta, por
teiras, positivas ou negativas) certo?
exemplo. Se zer isto, não vai errar. Ao olhar para
Mas para
representarmos um número, sem saber qual é ele,
usamos uma letra. É comum usarmos o famoso
Um número
2x
você pode pensar em duas maçãs. Pronto, agora você
já sabe que cada um dos seus
x.
”x” é o equivalente a uma
unidade de maçã. Se te pedirem para representar ou-
−→ x
tro número (ou outra fruta), você terá que usar outra
ii) Qual seria o sucessor desse número?
letra, como veremos no exemplo a seguir:
A palavra sucessor quer dizer o que vem após.
Nesse caso, queremos escrever uma representação
para o número inteiro que vem logo após ao
Sucessor do número
1.1.2 Segundo Exemplo
x.
i) Como seria a representação para a soma de dois
−→ x + 1
números?
Bem, analogamente ao que zemos no Exemplo
1,
iii) Qual seria o dobro do número que você pensou no
item i?
Para obtermos o dobro de um número,
multiplicá-lo por
iremos utilizar letras (frutas, lembra?)
generalizar estes números.
2.
basta
−→
2x.
A soma de dois números
Esta é ainda
uma representação para um número par.
Quando esta ideia é introduzida, é muito comum
Lem-
as pessoas começarem a confundir as coisas. Não
x+y
x + y e nada mais. Não
2x ou 2y . Se você
brando que o sucessor de um número inteiro par
confunda:
é sempre um número inteiro ímpar, então po-
podemos somar dizendo que é
deríamos representar um número ímpar por
x
y (pêra).
−→ x + y
(maçã), o outro pode ser o
Sendo assim:
O dobro do número
para
Se um desses é o
2x+1.
é apenas
os encarar como frutas, uma maçã mais uma pêra
é apenas uma maçã mais uma pêra. A ideia para
1
a diferença é a mesma.
2 Produtos Notáveis
A diferença entre dois
números seria representada por
x − y.
O produto é o resultado de uma multiplicação. Aqui estamos nos referindo a produtos que podem ser calculaii) Qual
seria
a
representação
para
a
soma
dos
dos por meio de relações ou fórmulas pré-estabelecidas,
quadrado de dois números?
já que aparecerão com muita frequência em nossos es-
Aqui temos uma pergunta mais elaborada. Para
tudos.Saber bem os produtos notáveis pode ser a chave
escrever a soma dos quadrados de dois números,
do sucesso para que você compreenda futuramente um
é necessário antes que se conheça o quadrado
pouco do Cálculo Diferencial e Integral.
deles. Lembremo-nos aqui que, o quadrado de um
número é ele multiplicado por ele mesmo. Depois
2.0.1 O Quadrado da Soma
de conhecer os quadrados, podemos somá-los.
O quadrado de
O quadrado de
x é x2
y é y2
A soma dos quadrados
Já vimos que o quadrado da soma entre dois números pode ser representado por
2
−→ x + y
2
(x + y)2 .
Mas esta
será a única forma de escrever tal expressão?
.
A res-
posta é não! Podemos desenvolver este produto (sim,
(x + y)2 = (x + y).(x + y)
iii) Como seria a representação para o quadrado da
é um produto).
Vamos inicialmente desenvolver o produto usando a
soma?
propriedade distributiva:
Embora seja comum os estudantes confundirem a
(x + y)2 = (x + y).(x + y)
soma dos quadrados com o quadrado da soma, estamos falando de coisas completamente diferentes.
Multiplicando todos os números do primeiro fator
Note que aqui estamos interessados em primeiro
por todos os termos do segundo fator, temos:
somar dois valores para depois calcularmos o seu
quadrado. Sendo assim:
O quadrado da soma
(x + y)2 = x.x + x.y + y.x + y.y
−→ (x + y)2 .
Para que você não erre e não confunda os itens ii
Note que
e iii, vejamos a ilustração:
22 + 32 −→
não altera o produto).Sendo assim, podemos escrever
Aqui temos a soma dos quadrados
x.y + x.y
(2 + 3)
−→ Aqui
(aqui, pense em
xy + xy = 2xy .
Isto ilustra
e
y.y = y 2 .
Sendo
termos dentro dos parênteses. Irei enunciar a relação e
encare-a como um lindo verso de uma poesia perfeita:
"Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro
a pensar que, operar com as expressões algébricas
número vezes o segundo número, mais o quadrado do
pode não ser tão simples como operar com números.
segundo!"
(2 + 3)2
Muitas pessoas gostam de gravar fórmulas ou relações
podemos nos concentrar primeiro em somar os valores
e para estes, podemos estabelecer o seguinte:
dentro dos parênteses e depois calcular o quadrado do
resultado.
x.x = x2
Note que o resultado obtido tem uma relação com os
O último item do exemplo anterior nos motivou
ao resolver por exemplo
Óbvio que
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
13 6= 25, portanto 22 + 32 6= (2 + 3)2
2
2
2
que x + y 6= (x + y) .
Isso é um fato:
como uma maçã). Então,
assim, o produto ca:
temos o quadrado da soma
52 = 25
É claro que
x.y
uma maçã mais uma maçã é igual a duas maçãs. Logo
4 + 9 = 13
2
x.y é a mesma coisa que y.x, pois a multiplica-
ção de dois números é comutativa (a ordem dos fatores
(x + y)2 = ( )2 + 2(
Quando estamos trabalhando com letras,
)(
)+(
)2
torna-se necessário desenvolver técnicas e estratégias
para muitas vezes mudar a forma de escrever uma
Sendo que, no primeiro e no segundo parêntese você
expressão. Iremos falar agora de...
vai colocar o primeiro número da soma. No terceiro e
no quarto parêntese você irá colocar o segundo termo
2
da soma.
Não deve colocar o sinal pois, estamos es-
É super conveniente e aconselhável que você utilize
tabelecendo uma relação para a soma de dois termos.
)
Vale ressaltar que chamaremos de soma mesmo se os
multiplicação é comutativa?
dois sinais dos termos dos parênteses forem negativos.
Portanto podemos escrever
(−x − 2)2 = (
)2 + 2(
)(
)+(
x
e o segundo será o
)2
O menos antes signica que você deve.
deve
2.
1
real para uma pessoa e
soa. Sendo assim, você deve
(−x − 2)2 = (x)2 + 2(x)(2) + (2)2
isso com
−2,
mula,aqui também. Observe que a única coisa que mu-
Porque indepen-
dou no resultado foi o sinal do termo do meio.
ao substituir
(x − y)2 = ( )2 − 2(
esse valor no trinômio, o resultado será um número
Um quadrado perfeito é um nú-
x + 4x + 4 do exemplo
x = 7.
72 + 4 × 7 + 4
No triômio
escolher
Lembre-se de que
)+(
)2
drado Perfeito e irei deixar com você o teste.
anterior, vamos
A partir de agora, todas as vezes que você for desenvolver algo do tipo, poderá simplesmente recorrer à
fórmula.
49 + 28 + 4
√
)(
Vale ressaltar que este também é um Trinômio Qua-
mero que possui raiz exata. Vamos testar?
2
multi-
Assim como para o produto da soma existe uma fór-
esse trinômio é especial. Ele é chamado de Trinômio
quadrado perfeito.
−2xy .
(−y).(−y) = y 2 pois estamos
(x − y)2 = x2 − 2xy + y 2
drado da soma obtemos um trinômio (três termos) e
x,
reais e irá representar
ca assim:
É importante notar que depois de desenvolver um qua-
dente do valor que você escolher para
2
Então, você
real para outra pes-
plicando termos com mesmo sinais. Então, o produto
(−x − 2)2 = x2 + 4x + 4
Sabe por quê?
1
mas no nosso caso,
No último termo,
Desenvolvendo o lado direito da igualdade, temos:
Quadrado Perfeito.
(
Lembra que a
Então x.(−y) = −y.x.
−xy no primeiro e também
no segundo. Sendo assim, −xy − xy = −2xy . Para entender e nunca mais errar, pense em xy como 1 real.
Nesse caso, o primeiro termo (ou parcela) da soma será
o
para organizar os termos negativos.
81
81 = 9,
2.0.3 O Produto da Soma Pela Diferença
portanto é um quadrado
perfeito. Tente explicar o porquê disso!
Aqui, estamos falando em um produto entre dois fatores especiais. Esses fatores são formados por uma soma
e por uma diferença entre dois termos.
2.0.2 O Quadrado da Diferença
(x + y)(x − y) =
O que diferencia o quadrado da soma do quadrado da
diferença é simplesmente o seguinte: os sinais dos dois
Aqui o produto já está explicitado e iremos usar tam-
termos do parêntese será DIFERENTE. Não importa a
bém a propriedade distributiva.
ordem, se os termos forem diferentes, temos um Quadrado da Diferença.
(x + y)(x − y) = x.x + x(−y) + y.x + y(−y)
Veremos agora como obter uma
relação para este produto notável.
Desenvolvendo os produtos e lembrando que
−xy
2
(x − y) = (x − y).(x − y)
y.x = xy ,
x.x = x2
zemos para a soma (aqui, tome cuidado com a danada
e
x(−y) =
podemos cancelar estes dois termos
por serem opostos.
Desenvolvendo o lado direito da igualdade, assim como
da multiplicação de sinais, lembra?
e
Sendo assim irá sobrar apenas
y.(−y) = −y 2 .
(x + y)(x − y) = x2 − y 2
Multiplicando-se
dois números com sinais diferentes o resultado será ne-
O poema aqui é mais fácil. "O quadrado do primeiro
gativo, já se os sinais forem iguais, o resultado será
menos o quadrado do segundo."
positivo.)
Podemos escrever aqui a fórmula assim:
(x − y)2 = x.x + x.(−y) − y(x) + (−y).(−y)
(x + y)(x − y) = ( )2 − ( )2
3
Sendo que no primeiro parêntese você irá colocar o
Observe que os sinais negativos são dos termos que
primeiro termo da soma(ou diferença) e no segundo,
ocupam posição par (o primeiro e o segundo respecti-
o segundo termo da soma (ou diferença).
vamente).
Nada de
colocar os sinais dentro dos parênteses.
Vamos estabelecer a relação por meio de uma fórmula:
Aqui, o resultado do produto tem apenas dois termos,
logo não são trinômios.
(x + y)3 = (
Como os dois termos estão
)3 − 3(
)2 (
) + 3(
)(
)2 − (
)3
elevados ao quadrado, dizemos que há uma diferença
Que tal praticarmos agora?Deixarei alguns exercícios
entre dois quadrados.
para que você resolva, usando as relações dos produtos
Recaptulando até aqui: o resultado de um quadrado
notáveis:
da soma ou da diferença - trinômio quadrado perfeito.
O resultado de um produto da soma pela diferença -
Resolta os seguintes produtos notáveis.
Faça calmamente usando as fórmulas até ter segurança
de fazer direto:
Questão 1.
diferença entre dois quadrados.
2.0.4 O Cubo da Soma
Bem, se o quadrado da soma é obtido fazendo-se uma
soma e elevando ao quadrado, aqui estamos falando de
uma soma elevada ao cubo.
(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)
Deixarei para que você pratique a álgebra aqui e obtenha os resutados esperados.
A dica é:
3
(x + y) =
(x + y)(x2 + 2xy + y 2 ).
Ao nal, o resultado que você deve chegar é:
Note que aqui temos
4
)2 (
) + 3(
)(
)2 + (
)3
6
parênteses.
(x − 1)2 =
c)
(2x + 1)2 =
d)
(−3x + 4)2 =
e)
(2x2 + 5)2
f)
(2x + 5)(2x − 5) =
g)
(2x − 1)(2x + 1) =
h)
(2x + 3)3 =
3 Fatoração de Polinômios
termos ao nal do desenvol-
vimento e ao todo aparecem
b)
(3x − 1)3
2
1
=
j)
2x −
2
Vamos estabelecer a relação por meio de uma fórmula:
)3 + 3(
(x + 1)2 =
i)
(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
(x + y)3 = (
a)
Nos três
Na seção anterior vimos como desenvolver produtos por
primeiros você deve colocar o primeiro termo da soma
meio de relações, os chamados produtos notáveis. Vi-
e nos três últimos, o segundo termo da soma. Nada de
mos
sinal hein!
tras relações que você irá descobrindo ao longo de seus
5 relações e é bom que que claro que existem ou-
estudos.Vamos agora aprender a fatorar os Polinômios.
Fatorar signica escrever um polinômio como produto
de fatores mais simples.
2.0.5 O Cubo da Diferença
Analogamente, para o cubo da diferença temos:
os fatores
(x − y)(x − y)
e
Lembra que foi dito que, um polinômio é uma forma de
representar números? Portanto as coisas que fazemos
Também é bom que você pratique suas habilidades de
2
20 obtemos
5 (Teorema Fundamental da Aritmética,
2
sobre isso). Logo 20 = 2 × 5.
22
depois leia
(x − y)3 = (x − y)(x − y)(x − y)
bom algebrista aqui. A dica do momento é:
Fazemos isso o tempo todo
com números. Por exemplo, ao decompor o
com números podemos fazer também com os polinô-
3
(x − y) =
mios, e iremos agora aprender a fatorar um.
.
Iremos
trabalhar os processos mais comuns de fatoração, os
No m você deve chegar em:
que aparecem mais, e os outros que forem surgindo du-
(x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3
rante seus estudos, tiramos as dúvidas em sala.
4
(TQP) é o resultado de um produto notável (o qua-
3.0.1 Fator Comum em Evidência
drado da soma ou quadrado da diferença). Sendo as-
Obseve a expressão polinomial a seguir:
sim, ao detectarmos um TQP, podemos escrevê-lo de
forma fatorada. Vejamos como:
3x − 15
x2 + 4x + 4
O que ela tem de especial? Aparentemente nada,mas
Primeira coisa:
você vai passar a observar estas coisas com mais carinho e verá que, nesta pequena expressão, o
3 é um fator
termo forem diferentes, então o trinômio não é um
"E o que isso acrescente em minha vida?"Você deve
TQP.
ter pensado.No momento isso talvez não sirva para
Terceira coisa: se os sinais dos termos mencionados an-
nada mas certamente num futuro bem próximo você
tes forem iguais as chances do trinômio serem um TQP
vai precisar desse "truque"
aumentaram.
Calcule a raiz quadrada do primeiro termo e do ter-
3x − 15 = 3(x − 5)
ceiro.
guinte forma: dividimos todos os termos por
camos no parêntese o resultado da divisão.
3
Se, ao multiplicar estas raízes uma pela outra
e em seguida por
Note que o lado direito da igualdade foi obtido da se-
2,
o resultado for o termo do meio,
então o trinômio é um TQP.
e indi-
Vamos testar?
Caso de-
√
x2 = x
√
4=2
senvolvamos o lado direito, voltamos para resultado de
antes, o lado esquerdo.
Olha agora este polinômio:
x
(raiz do primeiro) vezes
igual a
2
x − 5x
4x
2
(raiz do terceiro) vezes
2
é
(termo do meio). Portanto este trinômio é
um TQP. Sua forma fatorada será:
(x + 2)2 ,
sendo os
termos de dentro do parêntese as raízes do primeiro e
O que todos os termos têm em comum? Isso mesmo,
x.
Agora,
Segunda coisa: se os sinais do primeiro e do terceiro
expressão (as parcelas da soma) podem ser dividas por
o fator
3 termos.
o que torna tão especial? Vejamos já já.
comum. O que isto signica? Que todos os termos da
3.
é claro para que isto é um trinômio
pois é uma expressão polinomial com
do terceiro termo do trinômio.
Ele é o fator comum e como tal, pode ser
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
colocado em evidência.
Vale ressaltar que se, o sinal do termo do meio for igual
x2 − 5x = x(x − 5)
ao sinal dos demais termos, então na forma fatorada
usaremos sinais iguais. Nesse caso todos os termos são
Novamente o lado direito foi obtido da forma como
mencionado no caso anterior. Dividimos tudo por
x
positivos.
e
Vejamos outros casos:
indicamos o resultado da divisão dentro do parêntese.
Como já disse, isto lhe será útil e não vai demorar
x2 − 2x + 1
muito para você perceber. Toda expressão polinomial
em
que
um
fator
comum
é
percebido
poderá
Temos
ser
um
trinômio
e
queremos
reescrita como um produto entre o fator comum e o
quadrado perfeito ou não.
resultado da divisão da expressão por ele.
vamos fatorá-lo.
√
e
3.0.2 Fatoração do Trinômio Quadrado Perfeito
Um trinômio é simplesmente uma expressão algébrica
polinomial com
3
como
x2 = x
√
1=1
O produto das raízes entre si e depois por
termos. Dentre todos os polinômios
2
resulta no
termo do meio, portanto este é um TQP. Sua forma
que você imaginou no momento, há um tipo super es-
fatorada será:
pecial: o Trinômio Quadrado Perfeito. Já falei sobre
ele antes, lembra?
classicá-lo
Se for quadrado perfeito
x2 − 2x + 1 = (x − 1)2
Um Trinômio Quadrado Perfeito
5
Nesse caso temos o quadrado da diferença pois o sinal
{−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}.Agora,
do termo do meio é diferente dos demais sinais.√
números desse conjunto e veja qual é o par deles cuja
Uma observação importante aqui é a seguinte:
|x|,
mas estamos considerando que
x≤0
x2 =
soma é
por questões
−5
aos pares, separe os
(termo do meio do trinômio).
Percebemos que os números que multiplicados resultam
6 somados resultam em −5 são −2 e −3.
práticas.
em
O fundamental para você aprender a diferenciar as for-
sim, podemos escrever o trinômio da seguinte forma:
mas de se fatorar um polinômio é fazendo muito exerí-
Sendo as-
x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
cio. A seguir veremos mais uma regra.
Note que
3.0.3 Fatoração da Diferença Entre Dois
−5 é a soma de dois
−2 e −3.
números e
6 é o produto
deles, nesse caso,
Quadrados
Existem outras formas de fatorar polinômios e con-
Esta é uma regra muito simples de ser usada, bem como
forme elas aparecerem iremos discutindo. As mais usu-
reconhecer quando usá-la.
ais são estas que vimos. Hora de praticar.
Use uma regra conveniente para fatorar
os seguintes polinômios:
x2 − 4
Questão 2.
Note que estamos trabalhando com uma expressão polinomial de apenas dois termos (um binômio) e que os
sinais dos termos são diferentes. Devemos lembrar que
esta expressão é o resultado de um produto da soma
pela diferença e queremos fazer o processo contrário:
voltar para a forma fatorada.
Tome a raiz dos termos que aparecem na expressão:
√
e
x2 = x
√
4=2
Agora basta escrever uma soma e uma diferença com
esses termos, assim:
x2 − 4 = (x + 2).(x − 2)
É bem simples de se aplicar esta regra de fatoração,
exercite bastante para não errar.
x2 + Sx + P
x2
é
1,
o termo do
termo independente é o produto desses mesmos termos.
Vejamos isso na prática:
x2 − 5x + 6
(termo
quais
são
os
independente)?
x2 − x +
d)
x2 − 7x + 10
e)
4x2 + 4x + 1
f)
25x2 − 16
g)
x3 − 2x2 + x
h)
−9x2 + 6x − 1
i)
x2 − 2
j)
x2 + 12x + 20
D1CZ10o4
meio pode ser escrito como a soma de dois números e o
assim:
c)
1
4
divisores
A
inteiros
resposta
x2
não for
1?
e quando o termo que
Nesse caso iremos estudar
Sugestão de vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=Ql-
de escrevê-los de forma fatorada. Em alguns trinômios
6
x2 − 4x
adiante como proceder.
claro que nem todos permitirão a você esta facilidade,
do
b)
multiplica o
Como fazer para fatorar trinômios que não são TQP? É
Pense
x2 + 8x + 16
Você deve se perguntar:
3.0.4 Fatoração de Trinômios do Tipo
em que o termo que multiplica o
a)
é:
6