Lista-3-4

MA13 – Exercícios das Unidades 4 e 5
2014
Lista 3
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.
1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios de seus lados
são vértices de um paralelogramo.
2) Construa o triângulo ABC conhecendo o lado BC (6,0cm), a mediana relativa ao
lado BC (3,6cm) e a mediana relativa ao lado AC (5,4cm).
3) No triângulo ABC, retângulo em A, o menor ângulo agudo é
entre a altura e a mediana relativas ao vértice A.
 . Calcule o ângulo
4) No triângulo ABC seja m a mediana relativa ao vértice A. Mostre que m 
bc
.
2
5) Prove que, em todo triângulo a soma dos comprimentos das medianas é menor que
o perímetro e maior que 3 4 do perímetro do triângulo.
6) Considere uma circunferência de centro O e diâmetro AB. Prolongue uma corda AP
de um comprimento PQ igual a AP. As retas OQ e BP cortam-se em R. Calcule a
razão entre os segmentos RQ e RO.
7) Seja ABCD o trapézio de bases AB  7 cm e CD  3 cm (e lados não paralelos AD
e BC). Os ângulos internos de vértices A e B medem respectivamente 43o e 47o.
Calcule a distância entre os pontos médios das bases do trapézio.
8) São dados no plano uma reta r e um paralelogramo ABCD tais que r não intersecta
ABCD. Sabendo que as distâncias dos pontos A, B, e C à reta r são respectivamente
iguais a 2, 3 e 6 centímetros, calcule a distância de D á r.
9) Construa com régua e compasso um trapézio conhecendo os comprimentos das
bases e os comprimentos dos lados não paralelos.
10) Um triângulo ABC retângulo em A é tal que BC  2 AB . Calcule os ângulos desse
triângulo.
11) Seja ABCD um quadrado, F o ponto médio do lado CD e E um ponto do lado CD
tal que AE  AB  EC . Mostre que EAˆ B  2  FAˆ D .
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados da seção 3.1 e 3.2, pág. 90 em diante.
12) Construa com régua e compasso um triângulo ABC conhecidos os comprimentos
c do lado AB, a do lado BC e a medida do ângulo BAC.
Discuta o número de soluções.
Faça a construção para c  6 cm, a  5 cm e BAˆ C  60 o .
13) São dados uma reta r, um ponto A e dois segmentos a e b. Determine um ponto B
do plano tal que d ( A, B )  a e d ( B, r )  b . Sob que condições há solução?
14) É dado no plano o segmento AB e um ponto P variável sobre AB. De um mesmo
lado da reta AB construa os triângulos retângulos isósceles APQ e BQR de
hipotenusas AP e BP, respectivamente. Encontre o LG do ponto M, médio do
segmento QR quando P varia sobre o segmento AB.
15) De um triângulo ABC conhecemos as posições dos vértices B e C e do
circuncentro O. Explique por que a posição de A não está determinada.
16) De um triângulo ABC conhecemos as posições dos vértices B e C e do incentro I.
Construa com régua e compasso o vértice A.
17) De um triângulo ABC conhecemos as posições dos vértices B e C e do ortocentro
H. Construa com régua e compasso o vértice A.
18) Construa por P uma reta que passe pelo ponto de interseção das retas r e s da
figura abaixo.
Problemas suplementares
19) A reta r passa pelo vértice D do paralelogramo ABCD e não corta o
paralelogramo. Sejam a, b e c as distâncias de A, B e C à reta r. Prove que b  a  c .
20) No trapézio ABCD, AB, DC, MM  e NN  são paralelas. Os pontos M e N
dividem o lado AD em três partes iguais, AB  a e DC  b . Calcule os
comprimentos dos segmentos MM  e NN  .
21) São dados: uma circunferência e um ponto P fixo. Uma reta r variável passa por P
e corta a circunferência em A e B. Determine o LG do ponto médio da corda AB.
Discuta os casos em que P é interior, exterior ou pertence à circunferência.
22) É dado um paralelogramo ABCD. Exteriormente ao paralelogramo construa os
quadrados de lados AB, BC, CD e DA. Mostre que os centros desses quadrados são
vértices de outro quadrado.
MA13 – Exercícios das Unidades 6 e 7
2014
Lista 4
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados das seções 3.3, 3.4 e 3.5, pág. 112 em diante.
1) São dadas as retas a, b e c com a || b e c concorrente com as outras duas. Descreva
como construir as circunferências tangentes a essas três retas.
2) As retas AP e AQ tangenciam uma circunferência nos pontos P e Q e os segmentos
AP e AQ medem 5cm cada. Os pontos B e C dos segmentos AP e AQ respectivamente
são tais que BC é tangente a essa circunferência. Calcule os valores possíveis para o
perímetro do triângulo ABC.
3) Seja ABCD um quadrado de lado A e seja  a circunferência de centro A e raio a.
Marcamos os pontos M e N sobre BC e CD de forma que MN tangencia  . Quais são
os valores possíveis do ângulo MAN?
4) As cordas AB e CD de uma circunferência são perpendiculares em E, interior à
circunferência. A reta perpendicular a AC por E intersecta o segmento BD em F.
Prove que F é o ponto médio de BD.
5) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência  tais que os arcos menores AB, BC
e CD medem todos 120o. Se P é um ponto em  situado no menor arco BC, prove
que PA  PB  PC .
6) Construa o triângulo ABC conhecendo os comprimentos do raio R da
circunferência circunscrita e dos lados BC e AC.
7) Sejam ABC um triângulo qualquer e M e N, respectivamente, os pontos onde as
bissetrizes externa e interna relativas ao vértice A intersectam a circunferência
circunscrita a ABC. Prove que MN é um diâmetro dessa circunferência.
8) Seja ABC um triângulo de ortocentro H e circuncentro O. Prove que a bissetriz
interna relativa ao lado BC também bissecta o ângulo HAO.
9) Prove que em todo triângulo os simétricos do ortocentro em relação às retas
suportes dos lados do triângulo estão situados sobre a circunferência circunscrita ao
triângulo.
10) Sejam ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O e H a , H b e H c os pés
das alturas relativas aos lados BC, CA e AB, respectivamente. Prove que:
a) AHˆ b H c  ABˆ C e AHˆ c H b  ACˆ B .
b) OA  H b H c .
11) Seja ABCD um quadrilátero circunscritível. Mostre que os círculos inscritos nos
triângulos ABC e ACD e a diagonal AC têm um ponto comum.
Problemas suplementares
12) No triângulo ABC o lado BC é fixo e o ângulo A é constante e dado. Determine o
LG do ortocentro do triângulo ABC.
13) Duas circunferências cortam-se em A e B. Uma reta variável passa por A corta
uma circunferência em M e a outra em N de forma que A está entre M e N. Mostre que
o ângulo BMN é constante.
14) O ponto A é variável sobre uma circunferência de diâmetro BC. Prolongue CA de
um comprimento AP igual a AB. Determine o LG de P.
15) Construa o triângulo ABC conhecendo a hipotenusa AB  5 cm e sabendo que
AB  AC  6,2 cm.
16) No triângulo o lado BC é fixo e o ângulo A é constante e igual a 50o. Determine o
LG do incentro do triângulo ABC.
17) No triângulo acutângulo ABC, o ângulo A mede 66o. A circunferência de diâmetro
BC corta os lados AB e AC em E e D, respectivamente. Determine, nessa
circunferência, a medida do arco DE.
18) O lados AB, BC, CD, e DA do quadrilátero circunscritível ABCD medem x, x  1 ,
2 x  3 e x  2 , respectivamente. Determine o perímetro desse quadrilátero.
19) Considere o triângulo acutângulo ABC e as alturas AD, BE e CF. O triângulo
DEF chama-se triângulo órtico do triângulo ABC.
L04-1
Seja H o ortocentro do triângulo ABC.
a) Mostre que os quadriláteros BDHF e CDHE são inscritíveis.
ˆ F e HD
ˆ E são ambos iguais a 90o  Â
b) Mostre que os ângulos HD
c) Conclua que H é o incentro do triângulo órtico.