O Tema Eletromagnetismo

Capítulo 1
O Tema Eletromagnetismo
1.1
HISTÓRICO
Fenômenos elétricos e magnéticos são conhecidos pela humanidade desde os tempos remotos. O efeito de atração
exercido pelo âmbar é um exemplo de fenômeno elétrico: ao atritar um pedaço de âmbar com a manga da camisa,
ele se eletriza, adquirindo um campo de forças que atrai objetos leves como palha e papel. Atritar um casaco de lã
com os cabelos de alguém gera faíscas que podem ser vistas no escuro. Outro exemplo familiar de fenômeno elétrico são as descargas elétricas entre nuvens (ou entre as nuvens e a terra). Os dois últimos exemplos apresentam
origem comum, ou seja, o casaco de lã e as nuvens, ambos eletrizados, geram um campo de forças elétricas nas
vizinhanças, que dão origem a faíscas e descargas elétricas. Exemplos familiares de fenômenos magnéticos são
pedras minerais, naturais ou magnetizadas que atraem metais como, por exemplo, o ferro. Conta-se que a “mágica”
força magnética até mesmo mantinha alguns objetos flutuando no ar em templos antigos.
O estudo científico e qualitativo dos fenômenos elétricos e magnéticos se iniciou nos séculos XVII e XVIII
(Gilbert, 1600, Guericke, 1660, Dufay, 1733, Franklin, 1752, Galvani, 1771, Cavendish, 1775, Coulomb, 1785,
Volta, 1800). As forças entre cargas elétricas estacionárias foram explicadas pela Lei de Coulomb. Os campos eletrostáticos e magnetostáticos (campos que não variam com o tempo) foram formulados e modelados matematicamente. Já o estudo das relações entre campos elétrico e magnético e do comportamento de campos variáveis no
tempo teve seus principais progressos ao longo do século XIX (Oersted, 1820 e 1826, Ampère, 1820, Faraday,
1831, Henry, 1831, Maxwell, 1856 e 1873, Hertz, 1893)†. Oersted observou que uma corrente elétrica produz um
campo magnético. Faraday verificou que um campo magnético variável no tempo induz um campo elétrico (fem).
Henry construiu eletroímãs e desenvolveu o conceito de indutância própria. Maxwell, pela introdução do conceito
de corrente de deslocamento, formulou os fundamentos matemáticos para análise de campos e ondas eletromagnéticas, segundo um conjunto de equações conhecidas atualmente como Equações de Maxwell. Mais tarde, Hertz
verificou, experimentalmente, a propagação de ondas eletromagnéticas, que foram previstas teoricamente pelas
Equações de Maxwell. Apesar de sua simplicidade, as Equações de Maxwell constituem a essência do eletromagnetismo e contemplam todos os fenômenos eletromagnéticos clássicos, de campos estáticos até a indução eletromagnética e a propagação de ondas. Desde a publicação histórica de Maxwell em 1873, avanços adicionais foram
realizados no tema, culminando no que é hoje conhecido como eletromagnetismo clássico (EM). Atualmente,
existem importantes aplicações do EM na radiação e propagação de ondas eletromagnéticas no espaço livre, através de linhas de transmissão, guias de ondas, fibras óticas e outro métodos. O poder de tais aplicações supera em
muito qualquer história de poderes mágicos de cura ou de objetos suspensos no ar.
Com fins de estudar o tema Eletromagnetismo, pode-se iniciar com campos eletrostáticos e magnetostáticos,
continuar com campos variáveis no tempo e Equações de Maxwell e, finalmente, passar para propagação de ondas
eletromagnéticas e radiação. Alternativamente, pode-se iniciar diretamente com as Equações de Maxwell. Este livro adota a primeira abordagem, começando com a lei de Coulomb sobre a força entre duas cargas. A álgebra e
cálculo vetoriais são brevemente introduzidos, sendo apresentados conceitos adicionais à medida que se tornam
necessários ao longo do livro.
† N. de A.: Para aqueles interessados em uma cronologia histórica do desenvolvimento do Eletromagnetismo, veja as referências no fim deste capítulo.
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ELETROMAGNETISMO
1.2
OBJETIVOS DESTE CAPÍTULO
Este capítulo pretende apresentar uma visão inicial (e de fácil compreensão para alunos de graduação em ciências
e engenharia) de alguns conceitos e métodos básicos acerca do tema eletromagnetismo. O objetivo é familiarizar o
leitor com o assunto e deixá-lo a par do que esperar dele. Este capítulo também é um breve resumo das principais
ferramentas e técnicas usadas ao longo do livro. Uma abordagem mais detalhada dos conceitos é fornecida no restante do livro.
1.3
CARGA ELÉTRICA
A fonte do campo de forças associado a um objeto eletrizado (como o âmbar atritado com a manga da camisa) é uma
grandeza chamada carga elétrica, que denotaremos Q ou q. A unidade da carga elétrica é o coulomb, representado pela
letra C (veja a próxima seção para uma definição). Há dois tipos de carga, designadas carga positiva e negativa. Cargas
de mesmo tipo ou sinal se repelem, enquanto cargas de tipo ou sinal diferente se atraem. No nível atômico temos basicamente dois tipos de partículas carregadas, encontradas em mesmo número no estado natural: elétrons e prótons. Um
elétron tem uma carga negativa de 1,60219 109 C (algumas vezes representada pela letra e), e um próton tem o
mesmo valor de carga do elétron, porém com sinal oposto. A opção por denominar de negativa e positiva as cargas do
elétron e do próton, respectivamente, é apenas acidental e possui origens históricas. A carga elétrica de um elétron é a
menor quantidade de carga que se pode encontrar. A quantização da carga, entretanto, não é um aspecto de maior interesse no eletromagnetismo clássico e, portanto, não será discutida. Em vez disso, iremos assumir a carga como uma
grandeza contínua, que pode estar concentrada em um ponto (carga pontual) ou distribuída em uma linha, em uma superfície, ou em um volume, sendo a densidade de carga normalmente denotada por ρ.
É muito mais fácil remover elétrons que prótons de um átomo. Se alguns elétrons deixam um pedaço de material que é eletricamente neutro, então este material deixa de ser neutro e torna-se carregado positivamente. Retomando nosso primeiro exemplo, elétrons são transferidos da roupa para o âmbar quando atritados. Assim, tem-se
um acúmulo de cargas negativas no âmbar, que se tornam a fonte de um campo elétrico. Algumas propriedades
numéricas dos elétrons estão indicadas na Tabela 1-1.
Tabela 1-1 Algumas propriedades numéricas dos elétrons
Carga elétrica
Massa de repouso
Razão carga/massa
Ordem do raio
Número de elétrons por 1C
1.4
19
C
1,60219 10
9,10939 1031 kg
1,75 1011 C/kg
3,8 1015 m
6,24 1018
UNIDADES
Em eletromagnetismo, usamos o Sistema Internacional de Unidades, ou SI, abreviação do francês le Système international d’unités (também chamado de sistema MKS racionalizado). O sistema SI possui sete unidades básicas.
Três unidades são advindas do sistema mecânico MKS (o metro, o quilograma e o segundo†). A quarta unidade é
o ampère para corrente elétrica. Uma corrente de um ampère corresponde à intensidade de corrente elétrica constante que, mantida em dois condutores retilíneos infinitos, ambos de diâmetro desprezível e separados por um
7
metro de distância, resulta em uma força entre eles de 2 10 newtons por metro. As quatro unidades básicas
citadas anteriormente estão resumidas na Tabela 1-2.
Tabela 1-2 Quatro unidades básicas no sistema SI
Grandeza
Símbolo
Unidade no SI
Comprimento
Massa
Tempo
Corrente
L, ᐉ
M, m
T, t
I, i
Metro
Quilograma
Segundo
Ampère
Abreviação
m
kg
s
A
† N. de T.: A sigla MKS refere-se aos termos em inglês meter, kilogram e second.
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
As outras três grandezas básicas e unidades correspondentes no SI são a temperatura em kelvin (K), a intensidade luminosa em candelas (cd) e a quantidade de uma substância em mols (mol). Essas três últimas não são de
grande interesse para nós. As unidades para todas as demais grandezas são derivadas das quatro unidades básicas
de comprimento, massa, tempo e corrente utilizando uma formulação eletromecânica. Por exemplo, a unidade de
carga elétrica é obtida a partir de sua relação com corrente e tempo dada por
Assim, um coulomb é a
quantidade de carga elétrica transportada em um segundo por uma corrente de intensidade igual a um ampère,
1 C 1 A s. As unidades derivadas do SI são apresentadas na Tabela 1-3.
Tabela 1-3 Unidades adicionais no sistema SI derivadas das unidades
básicas
Grandeza
Símbolo
Unidade no SI
Força
Energia, trabalho
Potência
Carga elétrica
Intensidade de campo elétrico
Potencial elétrico
Densidade de fluxo elétrico
Resistência
Condutância
Capacitância
Indutância
Intensidade de campo magnético
Fluxo magnético
Densidade de fluxo magnético
Frequência
F, f
W, w
P, p
Q, q
E, e
V, v
D
R
G
C
L
H
φ
B
f
Newton
Joule
Watt
Coulomb
Volt/metro
Volt
Coulomb/metro2
Ohm
Siemens
Farad
Henry
Ampère/metro
Weber
Tesla
Hertz
Abreviação
N
J
W
C
V/m
V
C/m²
Ω
S
F
H
A/m
Wb
T
Hz
Também, em algumas situações, a densidade de fluxo magnético B é medida em gauss, onde 104 gauss 1 tesla.
Os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades do SI serão utilizados sempre que possível. Os símbolos indicados na Tabela 1-4 são prefixos a serem utilizados nas unidades apresentadas nas Tabelas 1-2 e 1-3.
Tabela 1-4 Múltiplos e submúltiplos decimais
das unidades do sistema SI
Prefixo
Atto
Femto
Pico
Nano
Micro
Mili
Centi
Deci
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
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Fator
18
10
1015
1012
109
106
103
102
101
103
106
109
1012
1015
1018
Símbolo
a
f
p
n
μ
m
c
d
k
M
G
T
P
E
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ELETROMAGNETISMO
1.5 VETORES
Em eletromagnetismo, usamos vetores para facilitar as explicações e os cálculos. Um vetor é uma grandeza especificada por seu módulo e sua orientação. Forças e campos de forças são exemplos de grandezas expressas por
vetores. Para distinguir grandezas vetoriais e escalares, os vetores são indicados por símbolos em negrito. Um vetor
cujo módulo é 1 é chamado de vetor unitário. Para representar vetores no espaço de coordenadas cartesianas, empregamos três vetores unitários básicos: ax, ay e az, nas direções x, y e z, respectivamente. Por exemplo, um vetor
conectando a origem a um ponto em (x 2, y 1, z 3) é dado por A 2ax ay 3az. Seu módulo é
|A| A , e sua orientação é dada pelo vetor unitário
As três operações vetoriais básicas são:
adição ou subtração, A B (Ax Bx)ax (Ay By)ay (Az Bz)az,
produto ponto,
A ⴢ B ABcosθ, onde θ é o menor ângulo entre A e B,
produto cruzado,
A B ABsenθ an, onde an é vetor unitário normal ao plano que contém os vetores A e B.
O produto ponto resulta em uma grandeza escalar; assim, ele é também chamado de produto escalar. Pode-se mostrar facilmente que A ⴢ B AxBx AyBy AzBz. O produto cruzado resulta em uma grandeza vetorial; assim, ele
é também chamado de produto vetorial. O vetor resultante do produto A B é ortogonal a A e B, e sua orientação
segue a regra da mão direita: com os dedos da mão direita girando o vetor A na direção do vetor B através do ângulo θ, o polegar indica a orientação de A B. Pode-se mostrar facilmente que
1.6
FORÇA, CAMPO, DENSIDADE DE FLUXO E POTENCIAL ELÉTRICOS
Força elétrica. Há uma força entre duas cargas pontuais. Essa força é diretamente proporcional ao valor das
cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância de separação entre elas. A força está direcionada ao
longo da linha que une as duas cargas. Para cargas de mesmo sinal a força é de repulsão, enquanto para cargas de
sinais contrários a força é de atração. O módulo da força é dado por
Esta é a lei de Coulomb, que foi desenvolvida a partir de um trabalho experimental com pequenos corpos carregados (esferas) e com uma delicada balança de torção (Coulomb, 1785). Utiliza-se o sistema de unidades do SI. A
força é medida em newtons (N), a distância em metros (m), e a unidade de medida da carga é chamada de coulomb
(C). O sistema SI está racionalizado por um fator 4π, introduzido na lei de Coulomb de modo a simplificar, posteriormente, as Equações de Maxwell. O símbolo ⑀ corresponde à permissividade do meio, cuja unidade é o
C2/(N . m2) ou, equivalentemente, farads por metro (F/m). Para o vácuo ou espaço livre,
Nos demais meios, diferentes do vácuo, tem-se ⑀ ⑀0⑀r, onde ⑀r é a permissividade relativa ou constante dielétrica
do meio. Neste livro, a menos que seja feita alguma ressalva, assume-se o vácuo como meio em todos os problemas
e exemplos.
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
Q1
F
F
5
Q2
(a)
Q1
Q2
F
F
d
(b)
Figura 1-1
Lei de Coulomb
. Em (a) as cargas Q1 e Q2 possuem sinais diferentes e em
(b) elas possuem o mesmo sinal.
Dois elétrons no vácuo estão separados por 1 A° (1 Angstrom 1010 m). Desejamos determinar
as forças eletrostática de Coulomb e gravitacional de Newton entre as cargas e comparar o módulo dessas forças.
10
m, é muito maior que o raio deles, 3,8 1015 m, eles podem
Dado que a distância entre os dois elétrons, 10
ser considerados cargas e massas pontuais. A força eletrostática de Coulomb entre as cargas é
Exemplo 1
A força gravitacional de Newton entre duas massas M1 e M2, separadas por uma distância d é Fg GM1M2/d², onde Fg
11
é dado em newtons, M1 e M2 em kg, d em metros e G, a constante gravitacional, vale G 6,674 10 Nm²/kg².
31
Considerando a massa de repouso do elétron, que vale 9,10939 10 kg, a força gravitacional entre os elétrons vale
Portanto, a força elétrica entre os dois elétrons é da ordem de 1042 vezes maior que a força gravitacional entre eles.
Princípio da superposição. A presença de uma terceira carga não altera a força mútua existente entre as outras
duas, mas acrescenta (vetorialmente) a sua própria contribuição. Essa propriedade é conhecida como princípio ou
teorema da superposição. Ela nos auxilia a definir uma grandeza vetorial chamada intensidade de campo e a usá-la
para determinar a força elétrica sobre uma carga localizada em um ponto genérico no campo.
Campo elétrico. O campo de forças associado a uma configuração de cargas é chamado campo elétrico. Ele é
um campo vetorial, sendo especificado por uma grandeza chamada intensidade de campo elétrico e representada
pelo vetor E. A intensidade de campo elétrico em um dado ponto corresponde à força resultante em uma carga
positiva unitária, chamada de carga de teste, colocada neste ponto. A intensidade de campo elétrico devido a uma
carga pontual Q a uma distância d é um vetor orientado para fora da carga (se Q é positiva) ou na direção da carga
(se Q é negativa). Seu módulo é
Em notação vetorial,
onde a é o vetor unitário dirigido da carga pontual para o ponto de cálculo do campo. A unidade da intensidade de
campo elétrico é V/m. O princípio da superposição pode ser usado para determinar o campo devido a qualquer
configuração espacial de cargas.
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ELETROMAGNETISMO
Exemplo 2
A intensidade de campo elétrico a 10 cm de distância de uma carga pontual de 0,1 μC no vácuo é
onde ar é o vetor unitário radial tendo a carga como centro. Para uma distância de 1 m, o valor do campo é reduzido
para 900 V/m. Se o meio é um dielétrico com permissividade relativa ⑀r 100 (como o dióxido de titânio), as intensidades de campo determinadas anteriormente se reduzem para 900 V/m e 9 V/m, respectivamente.
Fluxo elétrico. Um campo elétrico é completamente especificado por seu vetor intensidade. Entretanto, para facilitar a explicação de certos fenômenos, definimos também um campo escalar chamado de fluxo elétrico. O fluxo elétrico é considerado uma grandeza, ainda que imaginária, que se origina na carga positiva, se move ao longo de um fluxo
de linhas direcionadas (chamadas de linhas de fluxo) e termina na carga negativa, ou no infinito se não existirem outras cargas no campo. Assim, uma carga que encontra linhas de fluxo elétrico sofre a ação de uma força elétrica. O
conceito de fluxo elétrico é análogo ao exemplo de fluxo de um fluido, onde o fluxo se origina em uma fonte e termina em um sumidouro ou se dissipa no ambiente. Neste caso, um campo vetorial como a velocidade define a densidade
de fluxo, a partir da qual se pode determinar a quantidade de fluido passando através de uma superfície. Faraday introduziu o conceito de fluxo elétrico, representado por Ψ, como uma maneira de visualizar o campo elétrico e explicar
como uma carga positiva no interior de uma casca esférica metálica induz nesta uma carga de mesmo valor, porém de
sinal contrário. Seu experimento consistia em uma casca interna carregada dentro de uma esfera externa. Por fim, deve-se destacar que, ao contrário do fluxo, que é um campo escalar, a densidade de fluxo é um campo vetorial.
Densidade de fluxo elétrico. A densidade de fluxo D em um campo elétrico é definida por D ⑀E. No sistema
SI, a unidade de fluxo elétrico é o coulomb (C) e de densidade de fluxo elétrico é C/m². O fluxo que passa através
de um elemento diferencial de área ds é o produto escalar D ds, que é numericamente igual ao produto do elemento diferencial de área pela componente normal (a área) da densidade de fluxo.
Lei de Gauss. O fluxo elétrico total através de uma superfície fechada qualquer é igual à carga total encerrada
por essa superfície.
Exemplo 3
A densidade de fluxo elétrico através de uma superfície esférica de raio d encerrando uma carga
pontual Q é
onde a é o vetor unitário radial dirigido da carga pontual para o ponto de cálculo do campo sobre a esfera. O fluxo
total que sai da esfera é
Potencial elétrico. O trabalho realizado para movimentar uma carga unitária de um ponto B para um ponto A,
em um campo elétrico, é chamado de potencial do ponto A em relação ao ponto B e representado por VAB. Ele é
dado pela seguinte integral de linha
O valor da integral depende apenas do campo elétrico e dos pontos inicial e final. Esse valor independe do caminho
percorrido pela carga, desde que todos os caminhos escolhidos possuam os mesmos pontos inicial e final. O valor
da integral ao longo de um caminho fechado é, portanto, zero. Esta é uma propriedade de campos conservativos
como o campo eletrostático E. Quando o ponto de referência B é deslocado para o infinito, a integral define um
campo escalar chamado de campo de potenciais. A unidade do potencial é o volt (V), que corresponde ao trabalho
necessário para mover uma carga de 1 C por uma distância de 1 m ao longo de um campo elétrico de E 1 V/m.
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
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O potencial elétrico é introduzido como a integral de linha do campo elétrico. Porém, ele também pode ser
calculado a partir de distribuições de carga. De forma recíproca, a intensidade de campo elétrico e o fluxo elétrico
podem ser determinados a partir do potencial (veja o Capítulo 6).
Existe um campo elétrico estático na atmosfera dirigido para baixo que depende das condições do
tempo e decresce com a altura. Assumindo que a intensidade próxima do solo é cerca de 150 V/m e permanece com
o mesmo valor até a altura da troposfera, encontre o potencial elétrico a uma altura de 333 m em relação ao solo.
Exemplo 4
V 150 V/m 333 V/m 50kV.
1.7
FORÇA, CAMPO, FLUXO E POTENCIAL VETOR MAGNÉTICOS
Força magnética. Ímãs permanentes, sejam naturais, como as pedras-ímãs (Gilbert, 1600), ou fabricados,
como os que podem ser comprados em lojas, estabelecem um campo de forças em suas proximidades que exerce
uma força sobre alguns objetos metálicos. Essa força é chamada de força magnética, e o campo associado é chamado de campo magnético. A fonte do campo magnético é o movimento de cargas elétricas no interior da estrutura atômica de tais ímãs permanentes. Cargas elétricas livres em movimento, como uma corrente elétrica,
também são fonte de campo magnético que pode ser detectado da mesma maneira que aquele originado por um
ímã permanente. Coloque, por exemplo, a agulha de uma bússola próxima a um fio conduzindo uma corrente
contínua (CC) e a agulha irá se alinhar segundo um ângulo reto com a corrente. Modifique o sentido da corrente
e a agulha também terá sua orientação alterada. Este experimento, executado por Oersted em 1820, indica que a
corrente elétrica gera um campo magnético em suas proximidades que exerce uma força sobre a agulha da
bússola. Se a bússola for trocada por um solenoide conduzindo uma corrente CC, ele também se alinhará em uma
direção perpendicular à corrente. Com uma corrente CC, o campo magnético gerado possui natureza estática.
Em um experimento similar, um fio suspenso segundo uma direção ortogonal a um dado campo magnético e
conduzindo uma corrente alternada senoidal irá vibrar na frequência desta corrente. (Este efeito foi usado nos
primeiros exames de eletrocardiograma. A passagem de pulsos elétricos do coração por um fio suspenso em um
campo magnético gerado por um ímã permanente fazia com que o fio vibrasse. Com esse fio conectado a uma
caneta, tais vibrações eram gravadas e, assim, podiam-se avaliar as atividades elétricas do coração.) As observações anteriores indicam que o campo magnético exerce uma força sobre a bússola, sobre outro ímã ou sobre um
fio ou solenoide conduzindo uma corrente elétrica. Ainda, tais observações mostram que um fio conduzindo uma
corrente elétrica gera um campo magnético em suas proximidades que exerce uma força magnética sobre outro
fio percorrido por uma corrente elétrica que esteja localizado nas vizinhanças.
Força entre dois fios. Dois fios infinitos paralelos, conduzindo correntes I1 e I2 e separados por uma distância d
experimentam uma força mútua. Eles se atraem quando as correntes estão no mesmo sentido, ou se repelem quando
as correntes estão em sentidos opostos. O módulo da força magnética entre os dois fios, no espaço livre, é dado por
7
onde μ0 4π 10 (H/m) é a permeabilidade magnética do espaço livre (vácuo). A força é dada em newtons (N),
a distância em metros (m) e a corrente em ampères (A).
Intensidade de campo magnético. A intensidade de campo magnético é um vetor, especificado por um módulo
e uma orientação. Neste livro, trabalhamos com campos magnéticos cujas fontes são correntes elétricas e cargas em
movimento. O módulo da diferencial da intensidade de campo magnético devido a um elemento infinitesimal de
corrente I dl é dado por
onde R é a distância do elemento de corrente ao ponto de cálculo de campo e θ é o ângulo entre o elemento de
corrente e a linha que o conecta ao ponto de cálculo. A orientação do campo é normal ao plano formado entre o
elemento de corrente e a linha que o conecta ao ponto de cálculo e segue a regra da mão direita: com o polegar
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apontando na direção da corrente, os outros dedos dobrados em torno do fio indicam a orientação do campo. Tendo
em conta esse caráter vetorial, temos a lei de Biot-Savart, dada por
onde I dl é o vetor diferencial de corrente e aR é o vetor unitário orientado do elemento de corrente para o ponto de
cálculo de campo.
Z
dH
R
dI
Figura 1-2
Campo magnético diferencial dH à distância R devido ao elemento de corrente diferencial dI.
A unidade da intensidade de campo magnético é A/m. O princípio da superposição é usado para calcular o campo
magnético devido a uma configuração de corrente qualquer, assumindo que o meio seja linear.
Intensidade de campo magnético de um fio longo. Pela utilização do princípio da superposição, podemos integrar a diferencial de campo anterior para encontrar a intensidade de campo magnético devido a uma dada configuração de corrente. Por exemplo, a intensidade de campo magnético a uma distância radial r de um fio retilíneo
longo, conduzindo uma corrente I, é dada por
A direção de H, dada pelo vetor unitário aφ, também segue a regra da mão direita: segure o fio com a mão direita
de tal forma que o polegar aponte na direção da corrente, os outros dedos dobrados em torno do fio indicam a orientação do campo. Como exemplo, o módulo do campo magnético a 1 m de um fio longo conduzindo uma corrente
de 10 A é H 10/(2π) 1,6 A/m.
Lei de Ampère. A integral de linha da componente tangencial da intensidade de campo magnético em torno de
um caminho fechado é igual à corrente total envolvida pelo caminho.
Exemplo 5 Considere um caminho circular de raio r circundando um fio retilíneo infinito, conduzindo uma corrente I. A intensidade de campo magnético no entorno do círculo é um vetor H tangente ao círculo. Seu módulo é
H I/(2πr) e a integral de linha em torno do caminho é 2πr H 2πr I/(2πr) I, confirmando assim a lei de
Ampère.
Fluxo magnético e sua densidade. Associado ao campo magnético H temos o campo B μH, chamado de
densidade de fluxo magnético (também conhecido como indução magnética). Assim como H, B é um campo vetorial, isto é, uma grandeza com módulo e orientação. Porém, diferentemente de H, que independe do meio, o campo
B depende do meio através do fator μ, chamado de permeabilidade. Para o espaço livre (vácuo), a permeabilidade
é μ0 4π 107 H/m.
Uma vez definida a densidade de fluxo, podemos obter o fluxo magnético Φ através de uma superfície pela integração da densidade de fluxo através de um elemento diferencial de área ds:
. Nessa equação, o pon-
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to () denota o produto escalar entre o vetor densidade de fluxo magnético e o elemento vetorial de área, resultando
na contribuição para o fluxo da componente de B normal à área ds. No sistema SI, a unidade de fluxo magnético é o
weber, representado por Wb, e a unidade de densidade de fluxo é o tesla, representado por T (onde Wb/m2 T).
A densidade de fluxo magnético a 10 m de distância de um fio longo, conduzindo uma corrente CC
de 100 A no espaço livre, é
Exemplo 6
O fluxo magnético através de uma área retangular (1 m 10 cm) coplanar com o fio e situada ao longo dele a uma
distância de 10 m é
B S 2 μT 101 m2 2 107 Wb. O fluxo, neste caso, é constante.
Força sobre uma carga em movimento. Uma partícula carregada em movimento em um campo magnético sofre a ação de uma força. O módulo dessa força é proporcional à carga Q, à densidade de fluxo magnético B, à velocidade de movimento v e ao seno do ângulo θ entre os vetores velocidade e densidade de fluxo, ou seja, F QvB
sen θ. A força está orientada perpendicularmente a ambos os vetores de velocidade v e densidade de fluxo magnético B. Em notação vetorial, a força é expressa pelo seguinte produto vetorial
Fmagnética Qv B
Para uma carga Q em movimento, na presença de um campo elétrico e de um campo magnético, simultaneamente,
a força total sobre a carga é dada por
Ftotal Q(E v B)
Potencial vetor magnético. Na Seção 1.6, introduzimos a grandeza escalar chamada potencial elétrico, que pode
ser útil como uma grandeza intermediária no cômputo do campo elétrico. Similarmente, para os campos magnéticos definimos um potencial vetor magnético A de forma que
∇ A B
onde ∇ A é um vetor chamado de rotacional de A (veja a Seção 1.9 para a definição de rotacional). O potencial
vetor magnético pode ser obtido para uma distribuição de corrente no meio e, após, ser utilizado como uma grandeza intermediária para cálculo dos campos B e H (veja o Capítulo 10). A unidade do potencial vetor magnético é
o weber por metro (Wb/m).
1.8
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Campos elétricos e magnéticos estáticos estão desacoplados um do outro. Desta forma, cada campo existe por si
só (ou seja, a fonte de campo elétrico independe do campo magnético e vice-versa) e pode ser tratado separadamente. Por outro lado, campos variáveis no tempo estão acoplados. Uma primeira descoberta de acoplamento
eletromagnético foi feita por Faraday, que observou que um campo magnético variável no tempo gera um campo
elétrico variável no tempo, que, por sua vez, produz uma tensão induzida e uma corrente resultante em um caminho condutor fechado colocado neste campo. Este fenômeno é conhecido como lei de Faraday da indução. Este
efeito foi verificado experimentalmente pela primeira vez por Faraday em 1831. (Faraday também sugeriu a hipótese de que, de forma similar, um campo elétrico variável no tempo deveria ser fonte de um campo magnético,
porém não chegou a deduzir tal proposição teoricamente nem apresentar uma demonstração experimental dela.
Tais feitos couberam, respectivamente, a Maxwell em 1873 e a Hertz em 1893.) Dizemos que uma densidade de
fluxo magnético variável no tempo produz uma tensão induzida. Tal tensão é chamada de força eletromotriz ou
simplesmente fem. Uma fem também pode ser produzida por um campo magnético em movimento ou por um
condutor se movendo em um campo magnético, mesmo quando o campo é constante. Usando o conceito de fluxo
magnético enlaçado φ (fluxo magnético total enlaçando o circuito), podemos escrever matematicamente a lei de
Faraday como
onde φ é o fluxo magnético total enlaçando o circuito, sendo também chamado de fluxo magnético enlaçado.
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ELETROMAGNETISMO
Exemplo 7 Um fio retilíneo longo, localizado no espaço livre, conduz uma corrente de frequência 60 Hz e valor
rms I0. Para a determinação de I0, uma espira de teste retangular (1 m 10 cm) é posicionada coplanar com o fio
e a uma distância de 10 m. O valor rms da fem induzida na espira é 95 μV. Determine I0.
A partir do valor medido de fem 95 μV, obtemos I0 95/0,754 126 A.
Aumentando o fluxo enlaçado. O fluxo enlaçado é aumentado de um fator n se a espira de teste tem n voltas. Se
a espira do Exemplo 7 tiver 100 voltas (como se o fluxo magnético atravessasse 100 espiras quadradas idênticas à
do exemplo), por exemplo, a fem induzida seria 9,5 mV.
1.9
OPERADORES MATEMÁTICOS E IDENTIDADES
Campos e forças eletromagnéticas são grandezas vetoriais especificadas por seu módulo e sua orientação e representadas por símbolos em negrito, como visto nas seções anteriores. Até agora, nos contentamos com casos e
exemplos simples, que são tratados sem recorrer à álgebra e cálculo vetoriais. Contudo, na análise rigorosa de
problemas mais gerais em eletromagnetismo, precisamos da álgebra vetorial e de operadores como o gradiente, a
divergência, o rotacional e o laplaciano. Tais operadores em particular serão discutidos no Capítulo 5 e ao longo
de todo o livro à medida que for necessário. Alguns operadores e identidades vetoriais importantes utilizados em
eletromagnetismo estão resumidos na Tabela 1-5. Por simplicidade, são apresentadas as expressões para os operadores apenas em coordenadas cartesianas (expressões similares para os outros sistemas de coordenadas são apresentadas no Capítulo 5). Os vetores unitários nas direções x, y e z são dados, respectivamente, por ax, ay e az.
Tabela 1-5 Alguns operadores e identidades vetoriais úteis
(1) Vetor em coordenadas cartesianas
A Axax Ayay Azaz
(2) Derivada de um vetor em relação ao tempo
(3) Produto escalar entre dois vetores
A ⴢ B Ax Bx Ay By Az Bz
(4) Produto vetorial entre dois vetores
A B (Ay Bz Az By)ax (Az Bx Ax Bz) ay (Ax By Ay Bx) az
(5) Operador Del
(6) Gradiente de um campo escalar
(7) Divergência de um campo vetorial
(8) Rotacional de um campo vetorial
(9) Laplaciano (divergência do gradiente) de um
campo escalar
(10) Rotacional do rotacional de um campo vetorial
∇ (∇ A) ∇(∇ ⴢ A) ∇2 A
(11) Identidades vetoriais
(a) A divergência do rotacional é zero
(b) O rotacional do gradiente é zero
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∇ ⴢ (∇ A) 0
∇ (∇F) 0
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
1.10
11
EQUAÇÕES DE MAXWELL
James Clerk Maxwell (1831-1879) inspirou-se na descoberta de Faraday em 1831, de que um campo magnético
variável no tempo gerava um campo elétrico e, também, em sua hipótese de que um campo elétrico variável no
tempo produziria de maneira similar um campo magnético (hipótese esta que Faraday não previu teoricamente nem
demonstrou experimentalmente).
Em suas tentativas teóricas de formular o acoplamento entre campos elétrico e magnético variáveis no tempo,
Maxwell verificou a inadequação da lei de Ampère quando aplicada a campos variáveis no tempo, uma vez que,
nesses casos, o princípio de conservação da carga elétrica era violado (veja o Problema 1.17). Em seus estudos,
Maxwell introduziu o conceito fundamental de densidade de corrente de deslocamento na lei de Ampère, como
um complemento à densidade de corrente devido ao movimento de cargas elétricas. A introdução da corrente de
deslocamento eliminou a contradição na lei de Ampère citada anteriormente e, ainda, permitiu prever, teoricamente, que um campo elétrico variável no tempo também produziria um campo magnético. A contribuição de
Maxwell para o eletromagnetismo clássico foi tão fundamental que as quatro equações a seguir, que contemplam
todos os fenômenos eletromagnéticos clássicos, levam o nome de Equações de Maxwell.
(Lei de Faraday)
(Lei de Ampère complementada pela corrente de deslocamento de Maxwell)
(Lei de Gauss para o campo elétrico)
(Lei de Gauss para o campo magnético)
3
2
Nestas equações, ρ é a densidade de cargas (C/m ) e J é o vetor densidade de corrente (A/m ). As Equações de
Maxwell constituem a essência do eletromagnetismo clássico. Elas fornecem uma visão completa e geral do comportamento de campos eletromagnéticos variáveis no tempo, e a partir delas podem ser deduzidos os casos especiais relativos a campos estáticos. Ainda, tais equações preveem as importantes ondas eletromagnéticas que se
propagam no vácuo com a velocidade da luz.
No caso de campos que variam sinusoidalmente com o tempo (campos que apresentam dependência temporal
segundo o termo ejωt, também chamada variação harmônica no tempo), as Equações de Maxwell podem ser escritas
na forma fasorial.
No domínio fasorial (ou da frequência), os campos E e B são vetores complexos (ou seja, apresentam parte real e
imaginária) e função apenas das coordenadas espaciais (x, y e z). Neste caso, os campos compartilham a mesma
variação temporal dada pelo termo ejωt. A representação fasorial das Equações de Maxwell não impõem qualquer
tipo de limitação e podem ser utilizadas sem perda de generalidade†.
Equações de Maxwell em um meio livre de fontes. As Equações de Maxwell em um meio linear com permeabilidade μ, permissividade ⑀ e que não contém cargas ou correntes (ρ 0 e J 0) se tornam
† N. de T.: Deve-se ter em mente que, ao utilizar as Equações de Maxwell na forma fasorial, assume-se que os campos possuem
variação harmônica no tempo. Por outro lado, dado que qualquer função periódica contínua pode ser representada por uma soma de
senos e cossenos pela aplicação da Série de Fourier, pode-se inferir que a forma fasorial das Equações de Maxwell é bastante geral.
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ELETROMAGNETISMO
As equações que envolvem o rotacional fornecem duas equações diferenciais parciais de primeira ordem em termos de E e H, que incluem derivadas em relação ao espaço e ao tempo. Note também que nessas equações diferenciais as grandezas E e H estão acopladas. Para determinação das equações de onda para E e H, tomamos as derivadas (espacial e temporal) de ambas as equações diferenciais parciais citadas e, após algumas manipulações,
obtemos duas novas equações diferenciais parciais em E e H, nas quais tais campos estão desacoplados (veja a
Seção 1.11). Algumas equações de onda para situações especiais e importantes são derivadas na próxima seção.
1.11
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
Ondas eletromagnéticas são padrões de campo variáveis no tempo que viajam através do espaço. Um exemplo é a
onda plana senoidal no espaço livre com os seguintes campos constitutivos:
onde ax e ay são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. O campo elétrico tem uma componente apenas na direção x, e o campo magnético é ortogonal a ele. Os campos são função de
, com um defasamento no tempo dado por
segundos a partir de z 0. Dessas informações e das equações dos campos, podemos inferir que os padrões de campo se propagam na direção positiva de z e com velocidade
, que
corresponde à velocidade da luz (no vácuo). Note que E, H e a direção de propagação da onda eletromagnética (direção z) formam um sistema de coordenadas que respeita a regra da mão direita. Em conformidade com as Equações de
(veja o Problema 1.18).
Maxwell, temos a seguinte relação entre as amplitudes dos campos E e H:
Neste livro, também estudaremos a propagação de ondas eletromagnéticas em outros meios, diferentes do vácuo; por exemplo, meios dielétricos, meios com perdas, meios dispersivos, linhas de transmissão, guias de onda e
antenas. As equações que governam as ondas e a propagação delas são chamadas equações de onda. Elas são derivadas diretamente das Equações de Maxwell e possuem a forma de equações diferenciais parciais. A partir da solução de tais equações, são obtidas expressões para os campos E e H em função do espaço e do tempo (x, y, z e t).
Nesta seção, vamos apresentar as equações de onda para vários casos simples, começando com ondas planas em
um meio livre de fontes. Deduções e soluções mais detalhadas para as equações de onda serão exploradas posteriormente no Capítulo 14.
Ondas planas em um meio livre de fontes. Em uma onda plana, os campos elétrico e magnético dependem do
tempo e de apenas uma coordenada espacial: a coordenada z. A direção associada a essa coordenada corresponde à
direção de propagação da onda eletromagnética e de transmissão de energia. Os campos também são perpendiculares entre si. Considerando a direção de propagação em z, o campo elétrico tem apenas uma componente x Ex(z, t)
e o campo magnético tem apenas uma componente y Hy(z, t). As leis de Faraday e Ampère fornecem duas equações
diferenciais parciais que acoplam as derivadas de Ex e Hy com relação à z e t. Os passos para desacoplar† essas
equações e para obter as equações de onda estão detalhados na Tabela 1-6.
A equação de onda na forma fasorial pode ser obtida a partir da equação correspondente no domínio do tempo. Veja
o Problema 1.19.
As equações de onda têm a forma da seguinte equação escalar geral (unidimensional):
onde F é o módulo da intensidade de campo na posição z e instante de tempo t, e u é a velocidade de propagação da
onda. As soluções da equação acima têm a forma F f(z ut) e F g(z ut), que correspondem, fisicamente, a
duas ondas se propagando nas direções z e z, respectivamente. No campo de uma onda eletromagnética plana,
† N. de T.: Aqui desacoplar significa obter equações diferenciais que dependem apenas de Ex ou que dependem apenas de Hy.
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
13
Tabela 1-6 Derivação da equação da onda plana
Lei de Faraday
para ondas planas
diferenciação
em relação
az
Lei de Ampère
para ondas planas
diferenciação
em relação
at
os campos elétrico e magnético são normais à direção de propagação, e as ondas são ondas planas viajando nas
direções z e z. Para ondas harmônicas (que possuem dependência com o tempo segundo ejωt), a equação geral
de onda fica
As soluções desta equação são da forma F Cej(ωt βz) e F Dej(ωt βz), ou qualquer uma das partes real ou imaginária, como, por exemplo, F C sen(ωt βz), que foi introduzida como uma onda plana senoidal no início
desta seção. O termo ω corresponde à frequência angular e β ω/u corresponde à constante de fase. A forma de
onda se repete quando z varia de um comprimento de onda dado por λ 2π/β. A frequência da onda é f ω/(2π).
O comprimento de onda e a frequência estão relacionados por f λ u.
Equações de onda em um meio livre de fontes. A partir das Equações de Maxwell, podem-se obter as equações
diferenciais parciais de segunda ordem para E e H em um meio livre de fontes. Tais equações são chamadas de
equações de onda clássicas ou equações de Helmholtz. Veja a Tabela 1-7 a seguir.
Tabela 1-7 Equações de onda clássicas nos domínios do tempo e fasorial
Domínio do tempo
Domínio fasorial
onde ∇2 é o laplaciano
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ELETROMAGNETISMO
Essas ondas se propagam com velocidade dada por
, que é a velocidade da luz em um dado meio. Para
derivar as equações de onda, vamos iniciar com as Equações de Maxwell em um meio de permeabilidade μ e permissividade ⑀, desprovido de cargas e correntes (ρ 0 e J 0). O procedimento de dedução está apresentado na
Tabela 1-8 para o caso do campo elétrico E.
Tabela 1-8 Dedução da equação de onda para o campo elétrico em um meio livre de fontes
Passo 1. Tome o rotacional de ambos os lados da Lei de Faraday
Passo 2. Substitua ∇ H a partir da Lei de Ampère
Passo 3. Note que o rotacional do rotacional de E é
Passo 4. Note, também, que a divergência de E é nula
Passo 5. Portanto,
Passo 6. Substitua o resultado do Passo 5 no Passo 2 para encontrar
A equação de onda para o campo H pode ser obtida de maneira similar. Para isso, comece no Passo 1 tomando
o rotacional de ambos os lados da Lei de Ampère e, após, proceda como na Tabela 1-8 (no Passo 2, deve-se substituir o ∇ E a partir da Lei de Faraday). Veja o Problema 1.20.
Fluxo de potência e vetor de Poynting. Ondas eletromagnéticas, se propagando a partir de uma fonte como uma
estação de rádio ou irradiadas pelo sol, transportam energia. A densidade instantânea do fluxo de potência, em um
dado ponto no espaço e instante de tempo, é dada pelo vetor de Poynting S E H, onde E e H são funções reais
do espaço do tempo. Para ondas planas, o fluxo de potência está na direção de propagação da onda. No sistema SI,
2
a unidade de S é (V/m) (A/m) (W/m ).
Exemplo 8 Considere uma onda eletromagnética se propagando na direção z, com campos associados dados
por E E0 sen(ωt βz)ax e H H0 sen(ωt βz)ay, onde
e
O vetor de Poynting
é
sen2(ωt βz)az [1 sen 2 (ωt βz)] az. O fluxo de potência médio é obtido
pela integração da potência instantânea ao longo de um período e dividindo o resultado pelo período. Neste exemplo,
Para ondas harmônicas, os campos são dados por RE{Eejωt} e RE{Hejωt}, onde os vetores complexos E e H
são os fasores associados aos campos elétrico e magnético, respectivamente. O vetor de Poynting complexo é definido como S E H*/2. A potência média é
O campo elétrico em um sinal de rádio FM, no espaço livre, é dado por 5 μV/m (rms). Determine a
potência média do sinal para cada 1 m2.
Exemplo 9
De acordo com a lei de Faraday, H0 E0
2,6526 103 E0 13,263 109 T (rms). O fluxo médio
15
de potência é Pmédia E0 H0 (5 10 ) (13,263 109) 66,214 1015 W/m2 66,214 fW/m2.
1.12 TRAJETÓRIA DE UM MOVIMENTO SINUSOIDAL EM DUAS DIMENSÕES
Considere o vetor campo elétrico variável no tempo E Ex cos ωt ax Ey cos (ωt θ) ay, desenhado da origem
até a ponta (do vetor), de acordo com a seguinte definição dos eixos cartesianos
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
Assuma que Ex, Ey e θ sejam constantes positivas. À medida que o tempo passa, a ponta do vetor se move no plano
xy. A trajetória da ponta é determinada pela eliminação da variável t das equações acima, como mostrado a seguir.
(a) Trajetória linear. Para θ 0 (em fase) ou θ π (fora de fase), temos:
e a ponta do vetor descreve uma trajetória linear definida por
Veja a Fig. 1-3(a). Girando os eixos x
e y de um ângulo φ, onde tan φ Ey/Ex e 0 φ π/2, (no sentido horário para θ 0 e no sentido anti-horário
e ax é o vetor unitário na nova direpara θ π), o vetor total é dado por E E cos ωt ax, onde
ção x.
(b) Trajetória circular. Para Ey Ex E e θ π/2 ou π/2, temos:
Neste caso, a ponta do vetor descreve uma trajetória circular x2 y2 E2. Para θ π/2 o movimento se dá no
sentido horário e, para θ π/2, o movimento se dá no sentido anti-horário. Veja a Fig. 1-3(b).
(c) Trajetória elíptica. Para o caso geral (mas ainda considerando valores constantes de Ex, Ey e θ), temos
Mas cos2 ωt sen2 ωt 1. Assim,
Neste caso, a ponta do vetor descreve uma trajetória elíptica. Veja a Fig. 1-3(c).
O produto xy na equação acima pode ser eliminado alinhando os eixos maior e menor da elipse na Fig. 1-3(c)
com as direções horizontal e vertical. Isso é feito girando os eixos x e y de um ângulo γ no sentido anti-horário,
onde cot(2γ) (k2 1)/2k cos θ, k Ex/Ey e 0 γ π/2.
Ey
E
E
Ey
PCD
E
PCE
Ex
(a) Polarização linear.
Figura 1-3
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E
(b) Polarização circular: PCE indica
polarização circular à esquerda e PCD
indica polarização circular à direita.
PED
E
PEE
Ex
(c) Polarização elíptica: PEE indica
polarização elíptica à esquerda e PED
indica polarização elíptica à direita.
Três tipos de polarização e trajetórias da ponta do vetor E em uma onda plana se propagando na
direção z (para fora da página).
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ELETROMAGNETISMO
1.13
POLARIZAÇÃO DA ONDA
Todas as ondas planas compartilham a propriedade que os campos E e H são perpendiculares à direção de propagação (por exemplo, o eixo z). Em geral, o campo elétrico (assim como o campo magnético) possui duas componentes: uma na direção x e outra na direção y. No caso de variação senoidal com o tempo (variação harmônica no
tempo) e meios dielétricos (por exemplo, o espaço livre ou vácuo), os campos são função do termo ej(ωt βz). Para
qualquer valor de z, o campo elétrico é dado pelo seguinte vetor variável no tempo
onde ax e ay são vetores unitários nas direções x e y, respectivamente, e θ é a diferença de fase entre as componentes
x e y do campo. Em uma forma mais simples, o campo elétrico é um vetor E com componentes x e y (cada uma
variando senoidalmente com o tempo) expressas por
Note que este é o mesmo vetor discutido na Seção 1.12 com três trajetórias possíveis para sua ponta (considerando
a origem do vetor fixa). Cada trajetória está associada a um tipo de polarização de onda como resumido a seguir.
(a) Polarização linear. Em uma onda linearmente polarizada, a ponta do vetor campo elétrico se move para trás e
para frente ao longo de uma linha no plano xy à medida que o tempo passa. Veja a Fig. 1-3(a). As componentes x
e y do campo podem ser combinadas, representando E por um vetor unidimensional que oscila no tempo, como
foi considerado anteriormente no caso de ondas planas com campo elétrico contendo apenas uma componente.
Ainda, é importante mencionar que a soma de várias ondas linearmente polarizadas resulta em uma onda também linearmente polarizada. Ondas linearmente polarizadas são também chamadas de ondas planas uniformes.
(b) Polarização circular. Em uma onda circularmente polarizada, a ponta do vetor campo elétrico se move ao
longo de um círculo à medida que o tempo passa. Considerando a direção de propagação z, se o movimento
da ponta é no sentido anti-horário (ou seja, na direção dos dedos da mão direita com o polegar apontando na
direção de propagação), a onda possui polarização circular à direita. Se o movimento da ponta é no sentido
horário (ou seja, na direção dos dedos da mão esquerda com o polegar apontando na direção de propagação), a
onda possui polarização circular à esquerda. Veja a Fig. 1-3(b).
(c) Polarização elíptica. Em uma onda elipticamente polarizada, a ponta do vetor campo elétrico se move ao
longo de uma trajetória elíptica à medida que o tempo passa. Veja a Fig. 1-3(c). Aqui, assim como no caso de
polarização circular, o movimento da ponta do vetor pode ser para a esquerda ou para a direita, resultando,
respectivamente, em polarizações elípticas à esquerda ou à direita.
(d) Alguns efeitos práticos da polarização. Há alguns aspectos, e benefícios, práticos em se reconhecer a polarização de uma onda plana. Alguns exemplos são apresentados a seguir. A polarização de uma antena e a energia
irradiada por ela são parâmetros relacionados. De modo similar, a energia absorvida por uma antena receptora
a partir de uma onda incidente está relacionada com a polarização da onda. Por outro lado, em alguns casos,
a orientação, por exemplo, de uma antena dipolo, não é um fator crítico na recepção de sinais, se são consideradas ondas com polarização circular. Por fim, vale salientar que em eletromagnetismo o termo “polarização”
também é usado na caracterização de um fenômeno típico de meios dielétricos. O termo polarização em dielétricos diz respeito a um fenômeno físico distinto do analisado nesta seção. Contudo, apesar dessa diferença,
a polarização de um meio pode alterar sua permissividade relativa (veja a Seção 8.1) e também influenciar na
polarização de uma onda eletromagnética que atravessa esse meio.
1.14
ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO
Uma onda plana no espaço livre se propagando na direção z tem a forma dada por sen(ωt βz), onde f ω/(2π) é
a frequência da onda e λ 2π/β é o comprimento de onda associado. Em qualquer instante de tempo, a forma de
onda se repete quando z varia de λ. O comprimento de onda e a frequência estão relacionados por f λ u, onde
u é a velocidade da luz. O espectro eletromagnético se estende desde frequências extremamente baixas (ELF, 3-30
Hz) até frequências mais elevadas, por exemplo, aquelas associadas aos raios gama (até cerca de 1023 Hz). Um resumo do espectro eletromagnético é apresentado na Tabela 1-9(a). Um resumo das bandas de frequência e aplicações é apresentado na Tabela 1-9(b).
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
Tabela 1-9(a) Espectro eletromagnético
1000 m 1 mm
Ondas de rádio e microondas
300 kHz 300 GHz
1 mm
750 nm
Infravermelho Luz visível
300 GHz
400 THz
380 nm
Ultravioleta
760 THz
600 pm
Raios X
500 PHz
3 fm
Raios gama
1023 Hz
Tabela 1-9(b) Bandas de frequência
Nome
Frequência
Comprimento de onda
ELF
SLF
ULF
VLF
LF
MF
HF
VHF
UHF
SHF
EHF
330 Hz
30300 Hz
3003000 Hz
330 kHz
30300 kHz
3003000 kHz
330 MHz
30300 MHz
3003000 MHz
330 GHz
30300 GHz
100 Mm até 10 Mm
10 Mm até 1 Mm
1 Mm até 100 km
100 km até 10 km
10 km até 1 km
1 km até 100 m
100 m até 10 m
10 m até 1 m
1 m até 10 cm
10 cm até 1 cm
1 cm até 1 mm
Aplicações
Redes de potência
Transmissão AM
Ondas curtas
FM, TV
TV, celular
Radar, dados
Radar, dados
As siglas dos nomes das faixas de frequência advêm de termos em inglês: E Extremely (Extremamente), S Super (Super), U Ultra (Ultra), V Very (Muito), L Low (Baixa), M Medium (Média), H High (Alta), F Frequency (Frequência). Assim,
por exemplo, as faixas ELF e VHF indicam, respectivamente, frequências extremamente baixas e frequências muito altas.
1.15
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Linhas de transmissão são estruturas compostas por dois (ou mais) condutores que guiam ondas eletromagnéticas
entre dois dispositivos (por exemplo, entre uma fonte geradora e uma carga) separados por uma distância. São
exemplos de linhas de transmissão: linhas de alta tensão, linhas telefônicas, cabos coaxiais e microfitas. Uma linha
de transmissão tem resistência, indutância, condutância e capacitância, todos esses parâmetros distribuídos ao longo de todo seu comprimento. As equações de onda e o comportamento de uma linha de transmissão podem ser
obtidos a partir de um modelo com parâmetros distribuídos, conforme apresentado a seguir.
Equações das linhas de transmissão. Considere uma porção incremental Δx de uma linha de transmissão e um
modelo dessa porção formado por um circuito de dois terminais constituído por elementos (resistência, indutância,
condutância e capacitância) concentrados, como ilustrado na Fig. 1-4.
i(x, t)
v(x, t)
Figura 1-4
R
L
G
C
ΔX
Modelo com parâmetros concentrados de uma porção incremental de uma linha de transmissão.
Pela aplicação da lei de Kirchhoff das tensões à malha fechada do circuito da Fig. 1-4 e da lei de Kirchhoff das correntes ao nó principal desse mesmo circuito e, após, dividindo ambos os lados por Δx, obtemos as seguintes equações
onde os parâmetros R e L são a resistência e a indutância por unidade de comprimento associadas aos condutores
da linha. De modo similar, os parâmetros G e C são a condutância e a capacitância por unidade de comprimento
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ELETROMAGNETISMO
associadas ao dielétrico que separa os condutores da linha. No limite Δx → 0, as equações anteriores tornam-se
equações diferenciais parciais de primeira ordem:
Regime permanente senoidal (CA). Em regime permanente senoidal (CA), as tensões e as correntes podem ser
expressas como fasores, resultando nas equações derivadas na Tabela 1-10.
Tabela 1-10 Derivação das equações das linhas de transmissão na forma fasorial
onde Z R jLω, Y G jCω e
é chamado de constante de propagação. As equações na forma fasorial apresentadas têm a mesma forma que as equações de onda. As soluções são:
onde os números complexos V0, V0, I0 e I0 são constantes de integração (obtidas das condições de contorno
da linha, como ilustrado no Exemplo 10 mais adiante). Essas constantes também estão relacionadas pela equação
da linha
(Tabela 1-10). Assim,
onde
, chamada de impedância característica da linha. Os fasores de tensão e corrente podem imediatamente serem transformados para as grandezas correspondentes no domínio do tempo. Por exemplo, uma representação da tensão ao longo da linha no domínio do tempo é
onde
As equações de tensão e corrente podem ser interpretadas como ondas senoidais (frequência angular ω) se propagando ao longo da linha, com redução da amplitude na direção de propagação. Uma onda, chamada de onda inciαx
dente
, viaja para a direita (na direção x) com redução da amplitude governada pelo termo V0e . A outra
onda, chamada de onda refletida
, viaja para a esquerda (na direção x) com redução da amplitude governada
αx
pelo termo V0e . Os seguintes parâmetros (válidos para cada ponto da linha) são definidos para uma linha de
transmissão e utilizados em sua análise.
Coeficiente de reflexão:
Impedância (vista pela carga em qualquer ponto da linha):
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
Regime permanente senoidal (CA) em uma linha sem perdas. Se R G 0 (ou em altas frequências, quando a contribuição desses dois parâmetros para γ pode ser ignorada), a constante de propagação torna-se um número puramente imaginário, γ jβ. Nestes casos, a solução das equações de linhas de transmissão fica
. As constantes V0 e V0 são determinadas a partir das condições de contorno (veja
onde
e
o Exemplo 10).
Exemplo 10 Uma linha de transmissão conecta um gerador CA (Vg 10 Vrms, frequência 750 MHz e impedância
interna Zg 10 Ω) a uma carga ZR 150 Ω (veja a Fig. 1-5). A linha tem comprimento de 20 cm e parâmetros
distribuídos L 0,2 μH/m e C 80 pF/m. Determine a tensão e a corrente na linha.
I
Zg
Vg
ZR
V
x
Zent
Figura 1-5
x0
Linha de transmissão conectando um gerador a uma carga.
As expressões desenvolvidas para
e
em regime permanente senoidal serão utilizadas. A partir dos valores
dados para a linha, temos
,
e
Vamos considerar a carga localizada em x 0 e o gerador em x ᐉ. As constantes V0 e V0 podem ser obtidas aplicando as condições de contorno para essas duas extremidades da linha conforme a seguir.
(a) Em x 0 (extremidade ou terminal da carga)
Porém, a característica i v da carga requer que
Assim,
de onde
(b) Em x ᐉ (extremidade ou terminal do gerador)
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ELETROMAGNETISMO
Porém, a aplicação da lei de Kirchhoff das tensões em x ᐉ resulta em
Assim,
de onde
, Z0 50, βᐉ 1,2π, Γ 0,5 e Zg 10 nas equações anteriores,
. Finalmente, as ondas de tensão e corrente ao longo da linha (0,2
Substituindo os dados numéricos
obtemos
e
x 0) são
onde o ângulo de fase de 160° foi convertido para 160π/180 2,7925 radianos. Um deslocamento para a direita (atraso) de 2,7925/ω 593 ps na origem de tempo produz
, e as equações de tensão e corrente ficam
Impedância de entrada em uma linha sem perdas. A impedância de entrada de uma linha sem perdas é definida como a razão entre os fasores de tensão e corrente em x ᐉ. Ela pode ser expressa em termos do coeficiente de reflexão:
onde
é o coeficiente de reflexão na extremidade da carga. A impedância de entrada também pode ser ex-
pressa em termos da impedância da carga pela substituição de
Exemplo 11
na expressão anterior. O resultado é
Substitua o circuito da Fig. 1-5 pelo circuito equivalente da Fig. 1-6 e utilize-o para obter V0.
Zg
I(ᐉ)
Vg V(ᐉ)
Zent
Figura 1-6
Circuito equivalente da linha de transmissão da Fig. 1-5.
Da Fig. 1-5,
Da Fig. 1-6,
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
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A partir das expressões anteriores,
Exemplo 12 No circuito do Exemplo 10, (a) determine a impedância de entrada da linha (no terminal do gerador,
olhando em direção à carga), e (b) use o circuito equivalente da Fig. 1-6 para calcular V0.
(a) Dados os parâmetros Z0 50, ZR 150, βᐉ 1,2π e tan βᐉ 0,7265, podemos calcular Zent:
(b) Dados os parâmetros
, Zg 10,
, βᐉ 1,2π e Γ 0,5, podemos calcular V0:
Alguns parâmetros de linhas sem perdas. A frequência angular é ω [frequência f ω/(2π) Hz e período T 1/f
segundos]. As ondas incidentes e refletidas são senoides com amplitudes V0 e V0, respectivamente (considerando
ondas de tensão). Cada onda se repete após viajar uma distância de λ 2π/β, que é chamada de comprimento de
Para linhas a dois
onda. A velocidade de fase da onda viajante em uma linha sem perdas é
fios (bifilar) ou coaxial (considerando que os condutores são ideais e que o meio que os separa é um dielétrico perfeito), LC μ⑀, que resulta em uma velocidade de fase
, onde μ e ⑀ são, respectivamente, a permeabilidade
e a permissividade do meio entre os condutores da linha. Uma vez que, em geral, a permeabilidade e a permissividade de um meio são especificadas em termos de seus valores relativos àqueles do vácuo (espaço livre), μ μrμ0 e ⑀ ⑀r⑀0, a velocidade de fase pode ser expressa como
, onde
é a velocidade da luz no vácuo.
A amplitude da onda de tensão tem um valor máximo e um valor mínimo, sendo a razão entre tais valores
chamada de razão de onda estacionária, ROE, e definida como
onde
é o coeficiente de reflexão de tensão.
Linha em curto. Se a linha tem a extremidade da carga terminada em curto-circuito (ZR 0 na Fig. 1-5), então
A impedância de entrada da linha é reativa (indutiva, quando tan βᐉ 0, e capacitiva, quando tan βᐉ 0). Observe que βᐉ 2πᐉ/λ. Para ᐉ kλ/2, sendo k um inteiro (ou seja, uma linha cujo comprimento é múltiplo da metade
do comprimento de onda), βᐉ kπᐉ, que implica em tan βᐉ 0, e a linha é vista como um curto-circuito.
Linha em aberto. Se a linha tem a extremidade da carga terminada em um circuito aberto (ZR na Fig. 1-5), então
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ELETROMAGNETISMO
A impedância de entrada da linha é reativa. Novamente, note que para ᐉ (2k 1)λ/4, sendo k um inteiro, βᐉ (2k 1)π/2, que implica em cot βᐉ 0, e a linha é vista como um curto-circuito.
Linha casada. Se a linha tem a extremidade da carga terminada em uma impedância igual à impedância característica da linha (ZR Z0 na Fig. 1-5), então
Em qualquer ponto da linha, as ondas de tensão e corrente estão em fase com uma razão constante e igual à impedância característica da linha. Neste caso, temos que a impedância de entrada é igual a Z0.
Potência em uma linha sem perdas. A potência instantânea entregue à carga é p(t) v(t)i(t), onde v(t) e i(t) são
a tensão e a corrente instantâneas na carga, respectivamente. A potência média durante o período de t até t T é
Em regime permanente senoidal,
No domínio fasorial,
onde é o fasor de tensão na carga, é o complexo conjugado do fasor de corrente na carga e θ é o ângulo de fase
do fasor de corrente, considerando o fasor de tensão como referência (ângulo de fase nulo). Assim, em uma linha
de transmissão sem perdas, a potência média entregue à carga pela onda incidente e a potência média refletida da
carga, considerando a onda refletida, são, respectivamente,
A potência líquida entregue à carga é
(A superposição das potências se aplica, pois as ondas incidente e refletida possuem a mesma frequência.)
Problemas Resolvidos
Observação: Considera-se o sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) com vetores unitários ax, ay e az nos problemas a seguir. Assim, (a, b, c) indicam um ponto tridimensional no espaço com x a, y b e z c. De modo
similar, um ponto no plano xy é indicado por (a, b).
1.1 Duas cargas pontuais idênticas Q estão separadas por uma distância d em um meio homogêneo. Determine
a intensidade de campo elétrico em um ponto distante de r de cada carga (veja a Fig. 1-7). Encontre as intensidades de campo próximo e distante.
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
Pelo princípio da superposição, E E1 E2, onde E1 e E2, cada um com módulo Q/(4π⑀r2), correspondem às intensidades de campo devido a cada carga. Vamos considerar a linha conectando as duas cargas como o eixo x e o ponto
médio entre elas como a origem do sistema de coordenadas. Tendo isso em conta, a carga de teste estará localizada em
Observando a Fig. 1-7, pode-se notar que as componentes x de E1 e E2 se cancelam mutuamente, enquanto as componentes y se adicionam. A partir da lei de Coulomb e da geometria do problema, temos que a intensidade
de campo elétrico em um ponto sobre o eixo y é
onde ay é o vetor unitário na direção y. Considerando a origem (ponto médio entre as cargas, r d/2) como a região de
campo próximo, temos que o campo elétrico é nulo. Para regiões distantes, r d, o campo é
ou seja,
aproximadamente o campo devido a uma carga pontual de valor 2Q localizada na origem.
1.2 Repita o Problema 1.1 para duas cargas de mesmo valor, porém de sinal contrário.
Aqui, as componentes y de E1 e E2 se cancelam mutuamente, enquanto as componentes x se adicionam (veja a Fig. 1-8).
Da geometria do problema, temos
E
E2
E1
E1
E
r
r
Q
r
Q
E2
r
Q
Q
d
d
Figura 1-7 Intensidade de campo elétrico ao
longo da bissetriz ortogonal à linha que conecta as
duas cargas de mesmo sinal Q.
Figura 1-8 Intensidade de campo elétrico ao
longo da bissetriz ortogonal à linha que conecta as
duas cargas de sinais opostos Q.
Da expressão anterior, podemos observar que o campo é inversamente proporcional a r3, ou seja, tende a zero para regiões
mais distantes. Na origem r d/2, o campo é
que corresponde ao campo devido a uma carga pontual 2Q.
1.3 Duas cargas pontuais, de valor 0,1 μC e sinais opostos, estão localizadas no vácuo sobre o eixo x, estando
a carga positiva em x 1 e a negativa em x 1. (a) Calcule a intensidade de campo no ponto (0, 1) m.
(b) Aproxime o valor da intensidade de campo em um ponto 10 cm distante de uma das cargas ignorando a
contribuição da outra carga e determine o erro percentual associado a essa aproximação.
(a) Assim como na Fig. 1-8, as componentes y dos campos produzidos por cada carga pontual se cancelam mutuamente,
enquanto as componentes x se adicionam, resultando em
obtemos E 636,4 ax V/m.
. Com Q 0,1 μC, d 2 m e
m,
(b) Cada carga pontual tem influência predominante no campo total, se considerada a região em seu entorno até um
raio de 10 cm, resultando em E 180 ar kV/m, onde ar é o vetor unitário radial, tendo as cargas como centro. O
campo aponta radialmente para fora em x 1 e radialmente para dentro em x 1. Os maiores erros ocorrem
quando o ponto de cálculo está em (0,9; 0), com um erro relativo percentual de 100 1/(1 192) 0,275%.
1.4 Três cargas pontuais Q, Q1 e Q2 estão dispostas na forma de um triângulo equilátero de lado d. Considerando o meio homogêneo, determine a força elétrica sobre Q.
Vamos considerar a linha conectando Q1 e Q2 como o eixo y e o ponto médio entre elas como a origem do sistema de coordenadas (veja a Fig. 1-9). As forças exercidas por Q1 e Q2 sobre Q são dadas, respectivamente, pelos vetores F1 e F2.
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ELETROMAGNETISMO
y
Q2
d
F1
Q
d
x
F
d
F2
Q1
Figura 1-9
Forças sobre a carga Q devido às cargas Q1 e Q2.
onde a1 e a2 são os vetores unitários apontando, respectivamente, de Q1 e Q2 para Q e k Q/(4π⑀d2). A força total sobre
Q é a soma vetorial F F1 F2 obtida a partir da soma individual das componentes x e y das duas forças. Assim,
1.5 Considere uma carga Q1 localizada no ponto (0, d) e outra carga Q2 localizada no ponto (0, d). Desenvolva
uma expressão para o vetor intensidade de campo elétrico em um ponto de teste (x, y) em função de d, Q1,
Q2, x e y.
Sejam R1 e R2 os vetores conectando respectivamente Q1 e Q2 ao ponto (x, y).
1.6 As linhas de fluxo em um ponto qualquer no interior de um campo elétrico em um meio homogêneo são
tangentes ao vetor intensidade de campo elétrico neste ponto. Tendo isso em mente, considere o campo
elétrico em um meio homogêneo gerado por duas cargas pontuais Q localizadas em d sobre o eixo x,
respectivamente. Determine a orientação das linhas de fluxo nos pontos (d, 0) e (0, y).
Cada carga pontual tem influência predominante sobre o campo em suas vizinhanças, resultando em uma direção
radial para o vetor intensidade de campo elétrico e para as linhas de fluxo (que se originam de x d e terminam em x
d). Já ao longo do eixo y, as linhas de fluxo se tornam horizontais (apontando da direita para a esquerda), pois as
componentes y dos campos de cada uma das cargas se cancelam mutuamente, enquanto as componentes x se adicionam.
1.7 Duas pequenas esferas, cada uma com massa m 1 grama, estão suspensas próximas uma da outra por duas
cordas de comprimento l 10 cm, como ilustrado na Fig. 1-10(a). Considere que as esferas estão colocadas
no vácuo e que experimentam uma atração gravitacional (g 9,81 m/s2). Quando cada esfera é carregada
com uma carga Q, elas se separam por uma distância de d 1 cm, como ilustra a Fig. 1-10(b). Encontre Q.
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
F
Θ Θ
Q
Q
d
mg
(a)
Figura 1-10
F
mg
(b)
Dois corpos carregados se repelem com uma força de módulo
.
A carga pode ser calculada a partir da distância de separação d. A força gravitacional em cada esfera tem módulo igual
2
2
a mg e aponta para baixo. Já a força de Coulomb tem módulo dado por F Q /(4π⑀d ) e aponta na direção horizontal, afastando uma esfera da outra. No equilíbrio, cada corda tem seu eixo alinhado com a direção da força total, que
corresponde à soma vetorial da força gravitacional com a força elétrica de Coulomb. A partir da semelhança entre os
triângulos formados pelas forças e pelas cordas, temos
Substituindo F por Q2/(4π⑀d2) e resolvendo a equação anterior para Q, temos
Com ⑀0 8,854 1012 F/m, d 0,01 m, ᐉ 0,1 m e m 103 kg, obtemos Q 2,3376 nC.
1.8 Uma linha retilínea, infinitamente longa, tem uma distribuição uniforme de cargas de densidade ρ C/m. Use
a lei de Gauss para determinar o campo elétrico em um ponto a uma distância radial r da linha.
Para solucionar este problema, vamos considerar uma superfície fechada cilíndrica de comprimento ᐉ, com seção reta
circular uniforme de raio r e cujo eixo coincide com a linha de cargas. No interior dessa superfície fechada, temos uma
carga total de Q ρᐉ. Devido à simetria da distribuição de cargas, o campo E aponta na direção radial e tem o mesmo
módulo sobre a superfície lateral do cilindro. O fluxo total através da superfície é Ψ D A, sendo D o módulo da
densidade de fluxo elétrico e A a área total que o fluxo corta, ou seja, Ψ ⑀E ᐉ 2πr. Mas, pela lei de Gauss, Ψ Q,
então
E ρ/(2π⑀r), onde ρ Q/ᐉ.
2
1.9 Um plano infinito está uniformemente carregado com uma densidade ρ C/m . Use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico em um ponto a uma distância r do plano.
Para solucionar este problema, vamos considerar uma superfície fechada cilíndrica com seção reta de área S, paralela
ao plano, e de tal forma que o plano secciona o cilíndrico em duas partes de comprimentos iguais. No interior dessa superfície fechada, temos uma carga total de Q ρS. Devido à simetria, o campo E é normal ao plano e aponta para fora
dele (considerando o plano positivamente carregado), além de apresentar o mesmo módulo sobre as seções transversais
do cilíndrico (seções superior e inferior). O fluxo total sobre as seções do cilíndrico é Ψ ⑀E 2 S. Mas, pela lei
de Gauss, Ψ Q, de onde E ρ/(2⑀), ou seja, o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado
independe da distância do ponto de cálculo ao plano.
2
1.10 Uma distribuição uniforme de cargas com densidade ρ C/m é estabelecida sobre o plano infinito xy (z 0).
Determine o potencial elétrico em pontos acima e abaixo do plano.
Para z 0, o vetor intensidade de campo elétrico é E ρ/(2⑀) az e V E z ρz/(2⑀). Para z 0, E ρ/(2⑀) az
e V ρz/(2⑀).
1.11 Um plano infinito em z d está uniformemente carregado com uma densidade ρ C/m2, e um segundo plano
em z 0 também está uniformemente carregado com ρ C/m2. Determine a intensidade de campo elétrico E
e o potencial V para a região z , considerando a referência de potencial nulo localizada em z 0.
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ELETROMAGNETISMO
Sejam E1 e E2 os vetores intensidade de campo elétrico devido ao primeiro e segundo planos, respectivamente. A partir
do resultado do Problema 1.10 e utilizando o princípio da superposição, temos
Pela integração do campo E ao longo do eixo z, tendo como referência de potencial zero o plano z 0, obtemos
1.12 Dois planos paralelos possuem distribuições uniformes de cargas com densidades de ρ0 cos(ωt), respectivamente. Determine o módulo do vetor intensidade de campo elétrico, o potencial escalar elétrico e a
corrente de deslocamento na região entre os planos, considerando que essa região é preenchida com (a) ar e
(b) um material dielétrico com ⑀r 100.
(a)
(b)
Note que a corrente de deslocamento permanece a mesma em (a) e (b). Por outro lado, a intensidade de campo elétrico
e o potencial elétrico são reduzidos por um fator de 100 em (b).
1.13 Determine os valores médio e rms da força por unidade de comprimento entre dois fios infinitos paralelos,
localizados no ar e separados por uma distância de 1 m, cada um conduzindo uma corrente CA (60 Hz) de
100 amperes (rms) em sentidos opostos.
O valor médio de F é 2 103 N. Seu valor rms é 2 103
2,45 103 N.
1.14 Dois fios infinitos paralelos, separados por uma distância de 1 m, estão 6 m acima do solo. Cada um conduz uma
corrente alternada (CA) (60 Hz) de 100 amperes (rms), porém, em sentidos opostos. Encontre a densidade de
fluxo magnético B em um ponto sobre o solo e localizado a uma distância igual dos dois fios (veja a Fig. 1-11).
d
h
B
B2
B1
Figura 1-11 Densidade de fluxo magnético B B1 B2 devido a um par de
fios aéreos conduzindo correntes em sentidos opostos.
A corrente instantânea nos fios é
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sen (377t). A densidade de fluxo magnético devido a cada fio tem magnitude
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
e faz um ângulo reto com a linha que conecta o ponto de cálculo ao fio. Pela geometria do problema, as componentes
horizontais de B1 e B2 se cancelam, enquanto as componentes verticais se adicionam. A partir da semelhança entre os
triângulos formados pelos vetores e pelas distâncias, obtemos B 0,78 ay μT.
1.15 Um corrente alternada em um fio aéreo gera um campo magnético alternado dado por BCA 50 sen(377t) μT em
um ponto localizado abaixo do fio. O campo magnético terrestre estático nas proximidades vale BCC 50 μT
e aponta em direção ao norte. Determine o campo total (valores instantâneo, médio e rms) nas proximidades
do fio se a corrente circula no sentido (a) oeste-leste ou (b) sul-norte.
Vamos considerar a direção oeste-leste como sendo o eixo x e a direção sul-norte como sendo o eixo y, com vetores
unitários ax e ay, respectivamente. Então, B BCC BCA, onde BCC 50ay μT.
(a)
(b)
Todos os valores de campo magnético estão em μT.
1.16 Uma pequena espira quadrada (1 m 10 cm) é colocada paralelamente a um fio retilíneo muito longo, e a
uma distância de 10 m dele. O fio está localizado no espaço livre (vácuo) e conduz uma corrente senoidal
de 50 A (rms) e frequência f Hz. Obtenha a fem induzida na espira em função de f e determine seu valor rms
para as frequências 60 Hz e 60 kHz.
O valor rms da fem induzida é 0,2πf (μV). Para 60 Hz, o valor é 37,7 μV e, para 60 kHz, torna-se 37,7 mV.
1.17 Prove a necessidade da corrente de deslocamento introduzida por Maxwell na lei de Ampère.
Primeiro, considere a lei de Ampère em sua forma original, ∇ H J e, então, tome a divergência de ambos os lados: ∇ (∇ H) ∇ J. Mas ∇ (∇ H) 0 (a divergência do rotacional é sempre zero, de acordo com a linha
11a na Tabela 1-5). Isso implica em ∇ J 0, o que contraria, no caso de campos variáveis no tempo, a conservação
da carga, que estabelece que
Considere, agora, a lei de Ampère na forma modificada, com a inclusão
da corrente de deslocamento introduzida por Maxwell,
, e tome a divergência de ambos os lados:
Pela lei de Gauss,
Assim,
que corres-
ponde à equação de conservação da carga para campos variáveis no tempo. Desse modo, a inclusão da corrente de
deslocamento na lei de Ampère resolve a contradição da conservação da carga.
1.18 Considere o par de vetores
e
, onde ax e ay são
os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Mostre que, de modo a obedecer as Equações de
Maxwell (i.e., de modo que tais campos estejam fisicamente associados a uma onda eletromagnética em um
meio homogêneo), devemos ter
A lei de Faraday estabelece que
e
Neste problema temos
. De modo a satisfazer a lei de Faraday, devemos ter
ou
3
No espaço livre, H0 2,65258 10 E0.
1.19 Considerando um meio livre de fontes, derive a equação de onda para o campo E no domínio fasorial a
partir da equação no domínio do tempo.
A equação de onda para o campo E no domínio do tempo é
nica no tempo temos
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. Considerando ondas com variação harmô-
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ELETROMAGNETISMO
Substituindo as expressões anteriores na equação no domínio do tempo e cortando o termo comum ejωt de ambos os
lados obtemos
, que corresponde à equação de onda para E no domínio fasorial.
1.20 Considerando um meio livre de fontes, derive a equação de onda para o campo magnético a partir das Equações de Maxwell.
Vamos iniciar com as Equações de Maxwell para um meio sem fontes, como apresentadas a seguir, e, após, aplicar os
Passos 1, 2 e 3, indicados em seguida.
Passo 1.
Lei de Faraday:
Lei de Gauss para o campo elétrico:
Lei de Ampère:
Lei de Gauss para o campo magnético:
Tome o rotacional de ambos os lados da lei de Ampère
Da lei de Faraday, temos
Substituindo na primeira equação resulta em
Passo 2.
Aplicando uma identidade vetorial, temos
Mas a divergência de H é zero,
Então,
Passo 3.
Igualando os resultados dos Passos 1 e 2, obtemos
Problemas Complementares
1.21 Duas cargas pontuais idênticas de mesmo sinal e valor Q estão localizadas no plano xy nos pontos (d/2, 0) e (d/2, 0).
(a) Determine o campo elétrico sobre o eixo z, a uma distância z da origem. (b) Obtenha o valor desse campo considerando Q 0,5 nC, d 2 m e z 1 m.
1.22 Quatro cargas pontuais idênticas, de valor 0,25 nC, estão localizadas no plano xy nos vértices de um quadrado de lado
m, centrado na origem. Determine o vetor intensidade de campo elétrico em z 1 m.
1.23 Uma carga total de 1 nC está igualmente distribuída em 2n pontos igualmente espaçados ao longo de um círculo de raio
de 1 m, localizado no plano xy e centrado na origem. Determine o vetor intensidade de campo elétrico sobre o eixo do
círculo nos pontos z 1 m.
1.24 Considere que uma carga total de 0,5 nC está igualmente distribuída em n pontos dispostos aleatoriamente sobre um
circulo unitário, localizado no plano xy e centrado na origem. Agora, considere outro conjunto de cargas idênticas distribuídas nesse mesmo círculo em localizações que correspondem à imagem especular do primeiro conjunto de cargas,
em relação à origem. Determine a intensidade de campo elétrico sobre o eixo do círculo nos pontos z 1 m.
1.25 Uma carga Q está uniformemente distribuída sobre um anel circular com raio r e centrado na origem do plano xy. (a)
Determine o campo elétrico em um ponto z qualquer ao longo do eixo do anel (eixo z). (b) Obtenha o valor desse campo
para Q 1 nC e r z 1 m.
1.26 Nove anéis concêntricos possuem distribuições de cargas com densidades definidas por
nC/m, onde k 1, 2,...,
9 m é o raio de um anel. (a) Determine a carga total Q sobre o conjunto. (b) Determine a intensidade de campo elétrico
sobre o eixo dos anéis a uma distância de 5 m do centro. (c) Determine o raio m do anel equivalente com uma densidade
de cargas uniforme Q/(2πm), que produziria o mesmo campo E sobre seu eixo a uma distância de 5 m do centro.
1.27 Duas cargas pontuais de 0,5 nC estão localizadas no plano xy nos pontos (1, 1) e (1, 1). Duas outras cargas de 0,5 nC
estão localizadas no mesmo plano e nos pontos (1, 1) e (1, 1). Determine o campo elétrico sobre o eixo z em z 1.
1.28 Duas cargas pontuais de 0,5 nC estão localizadas no plano xy nos pontos (1, 0) e (0, 1). Duas outras cargas de 0,5 nC
estão localizadas nos pontos (1, 0) e (0, 1). Determine o campo elétrico sobre o eixo z em z 1.
1.29 Vinte cargas pontuais estão dispostas em posições equidistantes ao longo de um círculo unitário, localizado no plano xy
e centrado na origem. As primeiras 10 cargas pontuais (localizadas no semicírculo superior, y 0) são de 50 pC cada,
e as 10 cargas restantes (localizadas no semicírculo inferior, y 0) são de 50 pC cada. Determine o campo elétrico a
uma distância vertical de 1 m do centro do círculo.
1.30 Uma lâmina infinita em z 0 está uniformemente carregada com densidade de 2 nC/m2. Sobre o lado z 0, a lâmina
está coberta com uma camada de 1 cm de um material dielétrico com ⑀r 100. Determine a densidade de fluxo elétrico
D e a intensidade de campo elétrico E para z 0.
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CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO
1.31 A diferença de potencial entre duas placas paralelas infinitas, separadas por 10 cm, é 100 V. Determine o campo elétrico
no espaço entre elas.
1.32 Seja uma diferença de potencial v(t) 100 cos(36000πt) aplicada entre duas placas paralelas infinitas, separadas por
uma distância de 1 cm. Determine a corrente de deslocamento no espaço entre as placas se ele é preenchido com (a) ar
ou (b) material dielétrico com ⑀r 100.
1.33 Uma esfera, centrada na origem e definida por r 1 cm (ou seja, raio de 1 cm), tem uma distribuição uniforme de cargas com densidade de 0,25 nC/cm3. Essa esfera é envolvida por uma casca dielétrica com ⑀r 10 e delimitada por 1 r 2 cm. Determine D e E para 1 r .
1.34 Determine a densidade de fluxo magnético a uma distância radial de 8 m a partir de um fio retilíneo infinito no ar, conduzindo uma corrente alternada (60 Hz) de 60 A (rms).
1.35 Derive a equação de onda para o campo magnético de uma onda plana usando o método indicado na Tabela 1-6.
1.36 Uma linha de transmissão sem perdas, com impedância característica de 75 Ω, termina em uma carga de 33,33 Ω. Para
efetuar o casamento da carga com a linha, interpomos um segmento de linha de transmissão de 50 Ω entre a carga e a
linha de 75 Ω. Determine o comprimento da linha de 50 Ω.
1.37 Determine a impedância característica de uma linha sem perdas a partir de duas medições da impedância de entrada,
e
, com a linha sob condições de curto-circuito e circuito aberto, respectivamente.
1.38 Um gerador de sinais senoidal alimenta uma carga distante através de uma linha de transmissão. Determine o comprimento da linha de tal forma que a impedância de entrada vista nos terminais do gerador permaneça a mesma vista nos
terminais da carga, independentemente da impedância característica da linha.
1.39 Um gerador de sinais senoidal (Vg 10 Vrms, Zg 25 Ω) alimenta um resistor de 100 Ω, como ilustrado na Fig. 1-12(a). (a)
Determine a potência média entregue ao resistor. (b) Com o objetivo de maximizar a potência entregue ao resistor, uma linha
de transmissão sem perdas é conectada entre o gerador e o resistor, como ilustrado na Fig. 1-12(b). Determine o comprimento e a impedância característica da linha. Com a linha conectada, determine a potência entregue ao resistor de 100 Ω.
25 Ω
10 Vrms 1 GHz 25 Ω
100 Ω
10 Vrms 1 GHz (a)
Z0
Zent25Ω
100 Ω
(b)
Figura 1-12 Empregando uma seção de quarto de onda de uma linha de transmissão sem perdas com um valor
apropriado de impedância característica, podemos efetuar o casamento de uma carga com a fonte, resultando na
máxima transferência de potência. Em (a) a potência entregue à carga de 100 Ω é 640 mW. Pela conexão de uma
seção de um quarto de onda (ᐉ λ/4) de uma linha sem perdas, como em (b), com impedância característica
dada por
, a impedância de entrada vista pelo gerador torna-se 25 Ω, e a potência entregue é maximizada para o valor de 4 W.
1.40 Usando as expressões no domínio do tempo para tensão e corrente na linha, obtidas no Exemplo 10, determine as potências média e instantânea entregues à carga.
Respostas dos Problemas Complementares
1.21 (a) E Qz az/[2π⑀(z2 d2/4)3/2], (b) 3,18 az V/m
1.22 Sugestão: Use a resposta do Problema 1.21 e aplique o princípio da superposição.
E 3,18 az V/m
1.23 E 3,18 az V/m
1.24 E 3,18 az V/m
1.25 (a) E Qz az/[4π⑀(z2 r2)3/2], (b) 3,18 az V/m
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ELETROMAGNETISMO
1.26 (a) Q 153,9 nC, (b) E 8,078 az V/m, (c) m 8,753 m
1.27 Sugestão: Use a resposta do Problema 1.2 e aplique o princípio da superposição.
E 3,46 ay V/m
1.28 E 3,18(ax ay) V/m
1.29 E 0,318ax 2,009ay V/m
1.30 D 10
9
az C/m2,
1.31 E 1 kV/m apontando da placa positiva para a placa negativa.
1.32 (a)
sen(36000πt) mA/m2, (b)
1.33
C/m2,
sen(36000πt) A/m2
onde ar é o vetor unitário radial, apontando do centro da esfera para fora.
1.34 B 2,12 sen(377t) (μT)
1.35 Sugestão: Em ambas as colunas da Tabela 1-6, troque as diferenciações com relação a z e a t.
1.36 ᐉ λ/4
1.37
1.38 ᐉ nλ/2
1.39 (a) 640 mW, (b) Z0 50 Ω, ᐉ λ/4, P 4 W
1.40 p(t) v(t)i(t) (15,4 cos ωt) (0,1025 cos ωt) 1,5785 cos2 ωt 0,78925(1 cos 2ωt). Pmed 789,25 mW
Algumas referências sobre aspectos históricos
As referências a seguir correspondem a alguns trabalhos sobre o tema eletromagnetismo, publicados antes do século XX:
Gilbert, William (1540–1603), De magnete, 1600, traduzido para o inglês em 1893 por P. Fleury Mottelay, Dover
Publications, New York, 1958.
Cavendish, Henry (1731–1810), The electrical researches of the Honourable Henry Cavendish written between 1771 and
1781, editado por J. Clerk Maxwell, Cambridge, 1879. Uma nova impressão da primeira edição foi publicada pela Frank Cass
& Co., London, 1967.
Henry, Joseph (1797–1878), On a reciprocating motion produced by magnetic attraction and repulsion, publicado
primeiramente no Silliman’s Journal, 1831. O artigo foi reimpresso no Turning Points in American Electrical History, pp. 3134, IEEE Press, New York, 1977.
Maxwell, James Clerk (1831–1879), A dynamical theory of electromagnetic field, Royal Society Transactions, Vol. CLV,
1864. Reproduzido em The scientific papers of James Clerk Maxwell, pp. 527-597, editado por W. D. Niven (1890), Dover
Publications, New York, 1965.
Maxwell, James Clerk (1831–1879), A treatise on electricity and magnetism, Oxford, Clarendon, 1892, 3d ed., Oxford
University Press (Vol. I e II, 1873), 1955.
Aqueles que tiverem interesse nos aspectos e desenvolvimentos históricos relativos ao tema podem consultar as referências a
seguir:
Appleyard, Rollo, Pioneers of electrical communication, Books for Libraries Press, Freeport, New York, 1930, reimpresso em
1968.
Dibner, Bern, Oersted and the discovery of electromagnetism, Blaisdell Publishing Company, New York, London, 1862.
Dunsheath, Percy, A history of electrical engineering, Faber and Faber Publishing, London, 1962.
Heilbron, J. L., Electricity in the 17th and 18th centuries: a study of early modern physics, University of California Press,
Berkeley, 1979.
Meyer, Herbert W., A history of electricity and magnetism, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1971.
National Electrical Manufacturers Association, A chronological history of electrical development from 600 B.C., New York, 1946.
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