CF903 – Fundamentos de Mecânica Lista de Problemas 2 Cinemática

CF903 – Fundamentos de Mecânica
1S-2016
Lista de Problemas 2
Evaldo
Cinemática
1) Um corpo se desloca segundo a equação x(t) = 50 + 10 t + (t – 20)3 [ver observação
sobre unidades no final da lista!]. (a) Qual sua velocidade e sua aceleração em
função do tempo? (b) Qual sua velocidade e aceleração no instante t = 0?
2) A velocidade de um outro corpo varia segundo a equação v(t) = 6 + 2 t 2 - 0.2 t4. (a)
Qual a aceleração do corpo no instante t = 2 s? (b) Qual seu deslocamento no
intervalo entre t = 2 s e t = 4 s?
3)
A figura ao lado mostra a
variação de velocidade de um
objeto. (a) Faça um gráfico da
aceleração do objeto. (b) Calcule
o deslocamento do objeto no
intervalo entre 0 e 20 s. (c)
Calcule a aceleração média no
intervalo entre 0 e 10 s. (d)
Calcule a velocidade média no
intervalo entre 10 s e 20 s. (e)
Imagine que na figura o eixo
vertical representasse a posição x(t) em vez da velocidade. Você veria algum
absurdo na figura?
4) A figura ao lado representa a variação
da posição de um corpo. (a) Em que
instante o corpo tem velocidade nula?
(b) Em que instante o corpo tem
velocidade máxima? (c) Qual a
velocidade média do corpo nos
intervalos 0 a 10 s e 0 a 20 s? (d) Em
que intervalo de tempo o corpo possui
aceleração positiva? (e) Em que
intervalo de tempo o corpo possui
aceleração negativa? (f) Esboce
gráficos da velocidade e da aceleração
em função do tempo para o
movimento representado na figura.
5) Um automóvel acelera do repouso com 2 m/s 2 por 20 s. A velocidade é então
mantida constante por mais 20 s, quanto então o motorista freia até o repouso com
-3 m/s2. Qual a distância total percorrida no trajeto?
6) Num certo jogo de futebol há uma cobrança de um pênalti. A bola é chutada rente
ao solo de uma posição a 11 metros do gol e a velocidade típica da bola é 100
km/h. O tempo que o goleiro gasta para cair é aproximadamente igual ao tempo
que um objeto gasta para cair de uma altura h/2, onde h é a altura do goleiro.
Calcule (a) o tempo que a bola leva no trajeto até o gol; (b) o tempo que o goleiro
gasta para cair. (c) É possível que o goleiro pegue uma bola rasteira sem pular
antes do chute?
7) Alguns jogadores de futebol, como o lateral Roberto Carlos e o ponta Éder
(canhotos que passaram por um glorioso time nacional) conseguiam chutar a bola
com uma velocidade de 130 km/h. Se a bola fosse chutada verticalmente para cima,
(a) qual seria a altura máxima atingida e (b) quanto tempo a bola permaneceria no
ar após o chute?
8) Um corpo cai da altura de 50 m partindo do repouso. Qual a distância percorrida no
último segundo de queda?
9) Um parafuso escapa da base de um elevador que se move para cima com
velocidade constante de 6 m/s. O parafuso atinge o fundo do fosso do elevador em
3 s. (a) Qual a altura em que o elevador se encontrava quando o parafuso se soltou?
(b) Qual a velocidade do parafuso quando atinge o chão do fosso?
10)Quanto tempo leva para um carro percorrer 100 m se ele começa do repouso e
acelera a 10 m/s2? Qual a velocidade final atingida ao final do percurso? Qual a
velocidade média no trajeto?
11)Se uma malabarista sabe que o intervalo de tempo mais curto que necessita entre o
arremesso sucessivo de bolas no ar é de 0,3 s, qual o número máximo de bolas que
ela pode manter no ar numa sala em que o teto está 3 m acima de suas mãos?
12)Dois carros partem simultaneamente do repouso e de pontos separados por 300 m,
indo um em direção ao outro. Um deles possui aceleração constante de 2 m/s 2 e o
outro aceleração constante de -3 m/s 2. (a) Quanto tempo os carros levam para
passar um pelo outro? (b) Quanto o carro mais rápido se desloca até esse ponto de
encontro?
13)Um carro viajando com velocidade constante de 20 m/s passa por uma interseção
no tempo t = 0, e 5 s depois um outro carro passa pelo mesmo ponto com
velocidade constante de 30 m/s. (a) Faça um esquema das funções posição x 1(t) e
x2(t) para os dois veículos. (b) Encontre o instante para o qual o segundo carro
emparelha com o primeiro. (c) A que distância da intersecção esse emparelhamento
acontece?
14)Descobriu-se que as galáxias estão se movendo para longe da Terra a uma
velocidade que é proporcional à suas distâncias com relação ao nosso planeta. Esta
descoberta é conhecida como lei de Hubble, que é escrita como v = Hr, onde H é a
constante de Hubble, que vale H = 1.58 10-18 s-1. Qual a velocidade de uma galáxia
que está a (a) 5 1018 km e (b) 5 1022 km da Terra? (c) Se elas viajaram com
velocidade constante, há quanto tempo atrás elas estavam na mesma posição que a
Terra?
15)Um carro de polícia inicia a perseguição a um apressadinho que passa pelo posto
policial a 125 km/h (constante). O carro de polícia parte do repouso com aceleração
constante de 8 m/s2 até atingir a velocidade de 160 km/h, quanto então continua
com velocidade constante. (a) Quando o carro de polícia emparelha com o
apressadinho supondo que o primeiro parte no mesmo instante em que o segundo
passa pelo posto policial? (b) A que distância do posto isto vai acontecer?
16)Um automóvel típico possui desaceleração máxima por volta de 7 m/s 2. O tempo
típico de reação para o motorista pisar no freio é de 0.5 s. O conselho de ensino de
uma certa cidade coloca um limite de velocidade nas imediações das escolas do
município de maneira que todos os carros consigam parar totalmente percorrendo
uma distância máxima de 4 m. (a) Qual a velocidade máxima permitida escolhida
pelo conselho para a área escolar? (b) Que fração dos 4 m é devida ao tempo de
reação?
17)Uma viajante cotidiana indo para casa usualmente chega à estação de trens de sua
cidade natal às 17 horas, exatamente quando seu marido está chegando de carro
para buscá-la. Um dia ela sai do trabalho mais cedo, toma um trem que a deixa na
estação às 16 horas. Ela decide caminhar para casa e imediatamente parte pelo
mesmo caminho utilizado pelo marido. O marido sai de casa na hora de costume,
dirigindo com sua velocidade usual de 50 km/h. Eles se encontram no caminho,
dirigem-se para casa na mesma velocidade, chegando 15 minutos mais cedo do que
de costume. (a) Que distância a viajante caminhou? (b) Quando se encontraram o
marido e a esposa? (c) Qual a velocidade da viajante ao caminhar? (d) É possível
determinar a distância total entre a casa da viajante e a estação de trens? Justifique.
18)Encontre a magnitude e a direção dos seguintes vetores: (a) A = 5i + 3j; (b) B =
10i – 7j; (c) C = -2i -3j + 4k. [ver observação sobre vetores no final da lista]
19)Encontre a magnitude e a direção do vetor A + B para (a) A = -4i – 7j e B = 3i –
2j; (b) A = i – 4j e B = 2i + 6j.
20)Um avião a jato voa para o Norte, de Brasília até Belém (separadas por 1630 km),
levando 2 horas e 10 minutos nesse percurso. De lá, segue para Oeste chegando a
Manaus, percorrendo 1290 km após 1 hora e 50 minutos de vôo. (a) Qual o vetor
deslocamento total do avião? (b) Qual o vetor velocidade média no trajeto BrasíliaBelém? (c) Qual o vetor velocidade média no trajeto Belém-Manaus?
21)As latitudes e longitudes de Curitiba, São Paulo e Rio de Janeiro são,
respectivamente: S 25o 25’ O 49o 14’, S 23o 33’ O 46o 39’, e S 22o 53’ O 43o 17’. A
partir desses dados, (a) Calcule as distâncias entre as três cidades; (b) em relação a
um sistema de coordenadas com origem em São Paulo e eixo das abcissas na
direção São Paulo – Rio de Janeiro, obtenha o vetor posição de Curitiba.
22)Um canhão é elevado a um ângulo de 45o e dispara uma bala com velocidade de
300 m/s. (a) Que altura a bala atinge? (b) Quanto tempo a bala fica no ar? (c) Qual
o alcance do tiro?
23)Um projétil é lançado no ar do topo de um penhasco de 200 m de altura. Sua
velocidade inicial é 60 m/s a um ângulo de 60o com a horizontal. Qual o alcance do
projétil?
24)Galileu mostrou que, se a resistência do ar for desprezada, ângulos de lançamento
de (45o – f) e (45o + f) são equivalentes para qualquer f entre zero e 45o. Prove
essa afirmativa.
25)Um garoto está 4 m defronte a uma parede vertical e joga uma bola em sua
direção. A bola deixa a mão do garoto a 2 m do solo com velocidade inicial v = 10i
+ 10j. Quando a bola atinge a parede, a componente horizontal é revertida e a
vertical permanece a mesma. A que distância da parede a bola atinge o chão?.
26)A posição de uma partícula é dada por r(t) = -10 cos(wt) i + 10 sen (wt) j, onde w=
2 s-1. (a) Mostre que a partícula descreve uma circunferência. (b) Qual o raio do
círculo? (c) Ela se move no sentido horário ou anti-horário?(d) Qual sua velocidade
(vetor)? (e) Qual o tempo para uma revolução completa?
27)Qual é a hora entre 9 horas e 10 horas em que o ponteiro dos minutos de um
relógio coincide com o das horas? Depois do meio-dia, qual é a primeira vez que
os três ponteiros voltam a coincidir?
28)Na figura ao lado, a roda maior (30 cm de
raio) transmite seu movimento à menor (20 cm
de raio) através da correia sem fim C, que
permanece sempre esticada e sem deslizar. A
roda maior, partindo do repouso com
aceleração angular uniforme, leva 1 minuto
para atingir sua velocidade de regime permanente, e efetua um total de 540
rotações durante esse intervalo. Calcule a velocidade angular da roda menor e a
velocidade linear da correia após atingido o regime permanente.
29)Centrífugas de alta velocidade (ultracentrífugas) operam na faixa de 60000
rotações por minuto. (a) Se o raio da centrífuga for 20 cm, qual o módulo da
aceleração na circunferência? (b) Qual a razão deste valor para g (aceleração da
gravidade)?
30)Uma nadadora pode nadar a uma velocidade de 0.7 m/s com relação à água. Ela
quer atravessar um rio com largura de 50 m e cuja correnteza é 0.5 m/s. (a) Se ela
deseja atingir a outra margem num ponto exatamente à frente de onde entrar no rio,
em que direção ela deve nadar? Qual sua velocidade efetiva de travessia? Quanto
tempo ela levará para atravessar o rio? (b) Se ela deseja realizar a travessia no
menor tempo possível, em que direção deve nadar? Qual a velocidade de travessia?
Qual o tempo de travessia? A que distância do ponto de partida (medida ao longo
da margem) ela terminará o percurso?
Observação sobre unidades
Por questões de estética, sempre que escrevi alguma equação horária, de
velocidade ou algum vetor, omiti as unidades que deveriam vir explicitadas. Por
exemplo, no problema 1 a função da posição deveria ser escrita como:
x(t) = 50 m + 10 m/s t + 1 m/s3 (t – 20)3,
de forma que as unidades de cada termo resultassem em metros (a unidade de x).
Porém isto é muito maçante e praticamente nenhum livro texto carrega essa notação,
assumindo implicitamente que a análise dimensional é por conta do leitor.
Nesta lista, e nas próximas que virão, se as unidades não estiverem
explicitamente colocadas nas funções horárias, balanços de força, diagramas de
colisão e similares, fica convencionado a partir de agora que utilizarei sempre as
unidades do Sistema Internacional (para o que nos interessa, quilograma, metro e
segundo).
Observação sobre notação vetorial
Conforme comentado em sala, uso nas listas a notação semelhante à adotada
nos livros texto: vetores escritos em negrito (x, v, a) e seus módulos (escalares) em
caracteres normais (x, v, a). As setinhas sobre as grandezas vetoriais ficam para a sala
de aula e para a resolução e correção das provas.