magnetismo termos

Física Atómica e Nuclear – Capítulo 6. Átomos num Campo Magnético.
Formalismo Quântico para o Spin do Electrão e do Protão.
92
6.3 Formalismo Quântico para o Spin do Electrão e do Protão
6.3.1 Momento Angular de Spin
O electrão tem três graus de liberdade em seu movimento translacional e um quarto grau
de liberdade devido ao seu spin. Muitas outras partículas elementares, como o protão,
também tem spin. A nossa derivação da equação de Schrödinger aplicada ao átomo de
um electrão, não inclui o spin. Na alínea a seguir vamos mostrar como incluir o spin no
tratamento da teoria quântica dos estados atómicos uma vez que é necessário no
acoplamento spin-órbita, no efeito Zeeman Anómalo, na ressonância de spin e na
formulação adequada do Princípio de Pauli.
Como toda a componente do momento angular, o spin do electrão é um vector
com três componentes espaciais S x , S y e S z :

S  S x , S y , S z 
(6.66)
No desenvolvimento que faremos a seguir do formalismo do spin, precisamos levar em
conta que as observações experimentais nos mostram que as duas orientações possíveis
para a componente do spin numa determinada direcção escolhida arbitrariamente, como
por exemplo a direcção z, só podem ter o valor  / 2 ou   / 2 . Neste sentido ele
corresponde a um genuíno sistema de dois níveis.
6.3.2 Operadores, Matrizes e Funções de Onda de Spin
Não é possível uma discussão apropriada dos átomos, sem levar em conta o spin do
electrão. Apesar do nome sugestivo, esta propriedade do electrão não possui análogo
clássico, e deve ser tratada por métodos um tanto abstractos. Não existe uma função
analítica própria para o spin e por isso temos que utilizar a representação matricial.
Pensando intuitivamente nos estados do spin para cima () e do spin para baixo
(), vamos primeiro introduzir, sob um ponto de vista puramente formal, as duas
funções de “onda”, que correspondem a estas direcções de spin:  e  . Seguindo
estritamente o formalismo da mecânica quântica, sabemos que a medida da componente
z do spin, corresponde a aplicação do operador Ŝ z sobre a função de onda. Podemos
escolher as funções de onda de maneira que ao aplicarmos o operador sobre elas,
obtemos os valores observados de cada uma das funções de onda. Como só temos dois


valores observáveis, nomeadamente,
e  , ao aplicarmos os operadores obtemos:
2
2

Sˆ z     
2
(6.67)

Sˆ z     
2
(6.68)
e
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que escrevendo em termos do número quântico magnético da componente z do spin, ms
fica:
Sˆz  ms  ms  ms
(6.69)
onde ms=1/2 (corresponde a ) e ms=-1/2 (corresponde a ).
Ŝ z pode ser representado pela matriz 22:
 1 0 

S z  
2  0  1
(6.70)
e as funções ou os estados de spin S z serão representados por um vector coluna de duas
componentes chamados spinores próprios:
1
    e
 0
 0
   
1
(6.71)
que correspondem à quantificação espacial.
Podemos obter uma função de spin mais geral, fazendo uma sobreposição de  e  ,
com coeficientes, a e b, da mesma maneira que é feito para os pacotes de onda:
1
 0
a
  a   b   a   b    
 0 1  b 
(6.72)
As funções de onda estão normalizadas:
   1 e    1
(6.73)
   0
(6.74)
e são mutuamente ortogonais:
Pela condição de normalização:
  1
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(6.75)
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então:
  a  b   a  b = a  b  1
2
2
2
(6.76)
2
a e b devidamente normalizados fornecem as probabilidades de que uma medida de
a
1
1
S z no estado   seja igual a  e a   , respectivamente.
2
2
b
A representação matricial para os operadores do momento angular intrínseco, nas
direcções x y e z são:
 1 0  1
  ̂ z
S z  
2  0  1 2
(6.77)
 0 1 1
  ̂ x
Sˆx  
2  1 0  2
(6.78)
 0  i 1
  ̂ y
Sˆ y  
2  i 0  2
(6.79)
Estes operadores são definidos por meio de suas relações de comutação:
Sˆ , Sˆ   iSˆ
x
y
(6.80)
z
e ˆ x , ˆ y e ̂ z são as matrizes de Pauli. Elas satisfazem as relações de comutação:


(6.81)
ˆ x2  ˆ y2  ˆ z2  1
(6.82)
x
,  y  2i z
e satisfazem ainda:
e
 x y   y x
 z x   x z
 y z   z y
(6.83)
que são relações peculiares às representações de spin 1/2.
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Se calcularmos o spin total utilizando as matrizes obtemos:
2  3 0 
3 1 0
3
   2 
   2 .(matriz unitária) (6.84)
Sˆ 2  Sˆx2  Sˆ y2  Sˆz2  
4  0 3
4 0 1
4
Por isso se aplicarmos Ŝ 2 numa função de spin , em particular para  m s , teremos
sempre:
3
Sˆ 2  m s   2  m s
4
(6.85)
Em analogia com a equação de valores próprios do momento angular orbital, obtemos
este valor ao escrevermos:
Sˆ 2  ms   2 ss  1 ms
(6.86)
para s=1/2. Isto mostra que os operadores têm os valores próprios que foram postulados
anteriormente.
6.3.3 Equação de Schrödinger do Spin num Campo Magnético
Agora vamos proceder a formulação da equação de Schrödinger para o spin na presença
de uma campo magnético. O momento magnético:
B 
e
2me
(6.87)

do electrão, e corresponde ao magnetão de Bohr. Como o
2
momento magnético é um vector orientado anti-paralelamente ao spin do electrão,
podemos escrever:
está associado ao spin

s  
e 
S
me
(6.88)


está incluído no momento angular S . Os cálculos que faremos a seguir
2
e
e
também podem ser aplicados ao spin do protão,  N . Para isso trocamos 
por
,
me
mp
onde o factor
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m 
onde m p é a massa do protão.  N é definido em termos de   e   B . O sinal
m 
 p
negativo significa que a carga do protão é menos a carga do electrão.

A energia do spin num campo magnético espacialmente homogéneo B é:
 
VS  s  B
(6.89)
Podemos tentar encontrar uma equação de Schrödinger. Neste momento o que nos
interessa é a parte do Hamiltoniano referente a interacção do campo magnético com o

spin (análogo ao termo da interacção do momento angular orbital com B da equação
6.57 do Capítulo 6) e podemos obtê-lo por outro caminho equivalente e mais simples,
que é aplicar o operador associado a energia magnética VˆS na função de onda do
electrão,  . Assim:
Hˆ S   VˆS   E
(6.90)
e  ̂
B  S  E
me
(6.91)
ou

Reescrevemos o lado esquerdo da equação acima, supondo que o campo magnético B
tem as componentes Bx, By e Bz:


e
Bx Sˆ x  By Sˆ y  Bz Sˆ z 
me
(6.92)
onde Ŝ x , Ŝ y e Ŝ z são as matrizes do spin, nas direcções x, y e z, respectivamente e por
isso (6.92) também é uma matriz, e de acordo com as regras de adição de matrizes,
temos:
0  i
 1 0  e  Bz
e   0 1

  By 
  Bz 
 
 Bx 

me 2   1 0 
i 0 
 0  1 2me  Bx  iB y
Bx  iB y 
 (6.93)
 Bz 

Se escolhermos um campo magnético B na direcção z:

B  0,0, Bz 
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(6.94)
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O lado esquerdo da equação (6.91) permanece a mesma, com excepção do factor
numérico multiplicativo eBz / me . Assim:
eBz ˆ
 eBz
S z  

me
2 me 
eBz ˆ
 eBz
S z   

me
2 me 
e
(6.95)
1
 0
O que mostra que as funções      e
    , são também funções próprias
 0
1
do operador definido em (6.90). Considerando (6.87), obtemos os correspondentes
valores próprios:
E  B Bz
(6.96)
A energia do spin num campo magnético constante na direcção z é idêntica a expressão
que se esperaria da teoria clássica para a interacção de um momento de spin antiparalelo com o campo magnético.
A equação de Schrödinger dependente do tempo é:
e  ˆ
d
B  S   i
me
dt
(6.97)
Esta equação é utilizada no caso particular do campo magnético depender do tempo ou
para determinar as soluções dependentes do tempo  t  , quando o campo magnético for
constante.
6.3.4 Descrição da Precessão do Spin
Para um campo magnético constante na direcção de z, a equação de Schrödinger (6.97)
é dada por:
1 0 
e
 1 0 
d
   B Bz 
   i
Bz 
me 2  0 1
dt
 0 1
(6.98)
A solução geral é uma sobreposição de  e  . Como a equação de Schrödinger tem
uma derivada em relação ao tempo, temos que incluir nas soluções as funções
temporais. Assim:
eiE t /  e

eiE t / 

(6.99)
onde E   B Bz e E   B Bz podem ser escritos na forma:
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
E  0
2
e
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
E    0
2
(6.100)
e
Bz .
me
Fazendo a combinação linear das duas funções próprias podemos obter a solução:
onde  0 
 t   ae i t / 2    bei t / 2  
0
(6.101)
0
onde a e b são números reais.  t  , segundo a mecânica quântica ele precisa ser
normalizada, o que implica que   t  t   1 , o que significa que a  b  1 .
___________________________________________________________________
2
Exemplo 6.2. Calcular o valor esperado de
2
Ŝ z para a função de onda  t  .
Ŝ z =   t Sˆ z  t 
Desenvolveremos este cálculo por partes:
Para simplificar chamaremos: ae
 i 0 t / 2
  e bei0 t / 2   . Então:
1
 0   
 t                
 0
1   
  1 0   
  
Agora fazemos o produto Ŝ z  = 
2  0  1  
Agora, fazendo o produto à esquerda obtemos:

  

.
2    

    2
2
     =
2    2



ae i 0t / 2 ae i 0t / 2  be  0t / 2 be i 0t / 2  a 2  b 2   a 2  b 2  (a e b são reais).
2
2
2
O resultado mostra que Ŝ z é constante no tempo.
Sˆ z   
   


______________________________________________________________________
No Exemplo 6.2 vimos que o valor esperado da componente z do spin permanece
constante no tempo:


Sˆ z  a 2  b 2
2

(6.102)
Os valores esperados das outras componentes dependem de t:
Sˆx  ab cos 0t
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(6.103)
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e
Sˆ y  ab sin 0t
(6.104)
indicam que o spin roda no plano x-y com uma velocidade angular 0 . Estes três
valores esperados podem ser interpretados como um movimento precessional do spin
(Figura.6.5). Com isso podemos concluir que o modelo usado anteriormente é
justificado pela teoria quântica.
Figura 6.5. Movimento precessional do spin.
6.4 Efeito Zeeman Anómalo
6.4.1 Descrição Semi-Clássica do Efeito Zeeman Anómalo
No efeito Zeeman anómalo o momento angular e o momento magnético de dois níveis
de energia entre os quais ocorrem uma transição óptica, são descritos pelos dois
números quânticos: s e l (ou S e L para os átomos multielectrónicos). Corresponde ao
caso mais geral em que o magnetismo atómico é devido a sobreposição do magnetismo
orbital e de spin. O termo “anómalo” é histórico, pois naquela época não era possível
dar uma explicação qualitativa para o fenómeno, uma vez que não existia a mecânica
quântica e consequentemente não se conhecia o spin.
No efeito Zeeman Anómalo, os dois termos envolvidos na transição óptica
diferem de factores g, porque a contribuição relativa do magnetismo orbital e de spin
dos dois estados são diferentes. Os factores g são determinados pelo momento angular

total J e portanto do factor gj. Entretanto a separação dos níveis nos estados excitado e
fundamental é diferente, em contraste com o efeito Zeeman normal, porque produzem
um número maior de linhas espectrais.
Utilizaremos as linhas D do Na (Ver Figura 6.6) como um exemplo para a
discussão do efeito Zeeman anómalo.
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100
Para os três níveis envolvidos nas transições que produzem a linha D do Na (sódio),
nomeadamente 2 S1 / 2 , 2 P1 / 2 e 2 P3 / 2 , os momentos magnéticos na direcção do campo
magnético aplicado, são:
 
 m j g j  B
(6.105)
Vm j   j j , z B0
(6.106)
j j, z
e a energia magnética corresponde a:
Figura 6.6. Efeito Zeeman anómalo. Desdobramento das linhas D1 e D2 do átomo de
Na neutro.
O número de componentes devido ao desdobramento dos níveis, quando o átomo se
encontra num campo magnético, é dado por mj e corresponde a 2j+1. A distância entre
as componentes com diferentes valores de mj (componentes Zeeman) não é mais o
mesmo para todos os níveis, mas depende dos números quânticos l, s e j:
Em j , m j1  g j B B0
(6.107)
Os factores gj obtidos experimentalmente são: 2, para o estado fundamental 2 S1 / 2 , 2/3
para 2 P1 / 2 e 4/3 para 2 P3 / 2 . O factor gj será explicado na próxima secção. Para as
transições ópticas as regras de selecção são novamente m j  0,1 . Correspondem as
10 linhas mostradas na Figura 6.6.
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101
6.4.2 Factor gl de Landé
Nos desdobramentos dos níveis de energia devido ao efeito Zeeman anómalo são
encontrados outros valores de gj diferentes de 1 (magnetismo orbital) ou 2 (magnetismo
do spin). Através de um modelo vectorial podemos entender qualitativamente o que se
passa.
O factor gj liga o valor do momento magnético de um átomo ao seu momento
angular total. O momento magnético é a soma vectorial do momento magnético orbital
com o momento magnético de spin:



 j   s  l
(6.108)


As direcções dos vectores  l e L são anti-paralelos, assim como as direcções dos




vectores  s e S . Ao contrário desses vectores,   j e J geralmente não têm a mesma
direcção porque o acoplamento do momento angular é forte e a precessão é rápida. Isto
está demonstrado nas Figuras 6.7 e 6.8. Somente a média temporal de sua projecção

sobre J , pode ser observada, uma vez que as outras componentes se cancelam. Esta

projecção  j  j (momento magnético efectivo) precessa em torno do eixo do campo

aplicado B0 . Por isso, no cálculo da contribuição magnética para a energia Vm j

precisamos considerar  j  j (momento magnético efectivo) em (6.106). Assim:
 
Vm j   j j B0
 
j j
 
j j

 
(6.109)
 
 
  

 l cos L, J  s cos S , J
3 j  j  1  ss  1  l l  1
 B  gl
2 j  j  1
(6.110)
j  j  1B
(6.111)
E para o momento magnético:
g j B 
J

(6.112)
j  j  1  ss  1  l l  1
2 j  j  1
(6.113)
 
j j

onde
g j 1
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102
 

 
Figura 6.7. A primeira figura à esquerda mostra a relação entre S , L e J e  S ,  L e

 

 J . A segunda figura indica que devido ao forte acoplamento entre S e L ,  J

precessa rapidamente em torno de J e só pode ser observado  J J .
E para a componente na direcção z:
 
j j, z
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 m j g j  B
(6.114)
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103
Figura 6.8. Cálculo das componentes j (ou J, para átomos de muitos electrões), de  J e
interpretação dos diferentes factores gj do magnetismo orbital e de spin.
O factor de Landé gj (ou gL – L de Landé) definido dessa forma tem o valor 1, para o
magnetismo orbital puro (s=0), e 2 (mais precisamente 2.0023) para o magnetismo de
spin puro (l=0). Para o magnetismo misto, os valores são diferentes.
O factor gj de Landé é uma espécie de factor g variável que determina a razão
entre o momento de dipolo magnético total e o momento angular total em estados onde
este momento angular é parcialmente de spin e parcialmente orbital. Os valores dos
desdobramentos serão diferentes para níveis com factores g diferentes, porque:
Em j , m j1  g j B B0
(6.115)
Em átomos de muitos electrões os números quânticos s, l e j são substituídos por S, L e
J.
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