Cinemática do ponto material

Cinemática do ponto material
1. Considere um ponto material que se desloca em linha recta ao longo do eixo dos xx
de acordo com a lei x(t ) = c1 + c 2 t + c3t 2 + c 4 t 3 .
a. Determine as dimensões das constantes ci , i = 1,...,4 .
b. Determine a velocidade do ponto material para t = 1 s.
c. Determine a aceleração como função do tempo.
2. Considere um ponto material que se desloca de acordo com
x(t ) = bt sin(ωt ) + c cos(ωt ) . Determine:
a. as dimensões das constantes b, c e ω.
b. v x (t ) e a x (t ) e desenhe os gráficos de x, v x e a x em função de t, para c = 0 .
3. Um ponto material move-se em linha recta de acordo com a x (t ) = a x 0 + bt 2 .
Determine:
a. as dimensões das constantes a x 0 e b.
b. a velocidade do ponto material para t = 1 s, sabendo que a velocidade para
t = 0 s é nula.
c. a posição inicial do ponto material para t = 1 s, sabendo que para t = 0 s a
sua posição (inicial) era dada por x0.
4. Um ponto material move-se em linha recta de acordo com
a x (t ) = c1t + c 2 exp(γt ) + c3 sin(ωt ) . Determine:
a. as dimensões das constantes c1, c2, c3, γ e ω.
b. a velocidade do ponto material para t = π s, sabendo que v x (0) = 1 m/s.
c. a posição como função do tempo, se a posição inicial é dada por x(0) = 2 m.
5. Um ponto material descreve uma trajectória circular em torno da origem dos eixos
cartesianos, sendo a sua posição dada pela equação
r
r
r
r (t ) = 3 sin( 2t )ex + 3 cos(2t )e y (m) , onde o argumento das funções trigonométricas é
dado em radianos. Determine:
a. os vectores velocidade e aceleração e os respectivos módulos;
b. as componentes tangencial e normal da aceleração;
c. a expressão para a distância percorrida pelo ponto material em função do
tempo, s(t).
6. Uma pedra é lançada, na vertical, com uma velocidade inicial v0 x , ficando sujeita à
r
aceleração da gravidade g . Calcule a altura máxima atingida pela pedra, a
velocidade com que chega ao chão e o tempo que leva a ir e vir.
7. Uma pedra é lançada para dentro de um poço. Ao fim de 2 s ouve-se o bater da
pedra na água. A que profundidade é que está a superfície da água no poço?
(velocidade do som = 340 m/s).
8. Um comboio tem velocidade máxima de 144 km/h, um máximo de aceleração de
0.25 m/s2 e um máximo de desaceleração de 0.50 m/s2. O comboio pára em duas
estações distanciadas de 30 km. Calcule o tempo mínimo que leva a ir de uma
estação à outra.
9. Um canhão faz um ângulo de α com o solo. Sabendo que o módulo da velocidade
inicial é dado por v0, calcule a altura máxima e o alcance. Determine para que
ângulo α o alcance é máximo.
10. A 10 m da rede de um campo de ténis e a 0.5 m do chão foi batida uma bola.
Sabendo que a bola passa a rasar a rede, que tem 1 m de altura, e que cai a 5 m
desta, determine o vector velocidade com que a bola foi batida.
11. Um canhão dispara uma bala com
velocidade inicial v0 = 125 m/s e
segundo um ângulo θ com a
horizontal. À distância L1 = 1000 m
do canhão encontra-se um monte de
altura H = 300 m e à distância
H
alvo
L2
L1
L2 = 400 m do monte encontra-se o
alvo. Determine o ângulo θ para o qual a bala atinge o alvo.
12. O braço OA gira em redor de O e o seu
movimento é definido pela relação
θ (rad) = 0.55 − t 2 . O cursor desliza ao
longo do braço, sendo o seu deslocamento
em relação a O dado por r = 1 − 0.13t 2 (m).
Determine a velocidade e a aceleração do
cursor após o braço ter girado 30º.
θ
x
O
13. Uma avioneta em voo
descendente, com uma
velocidade de módulo
r
v av = 360 km/h e direcção
indicada na figura (θ =
30º), deve largar uma bóia
a fim de salvar um
náufrago (que se encontra
na origem do sistema de
coordenadas). A que a
altura a tripulação deve
largar a bóia, sabendo que
o náufrago já não está em
condições de nadar.
A
y
y
vav
(-50,0) m
θ
x