Quantificadores (resumo)

Resumos - Lógica - Prof. Ricardo P. Tassinari - Departamento de Filosofia - Unesp/Marília - 2009
QUANTIFICADORES
O QUANTIFICADOR UNIVERSAL
Como vimos, a função proposicional P(x) não é verdadeira nem falsa, porém se torna verdadeira
ou falsa quando substituímos x por um elemento a do conjunto A. Porém, como simbolizamos que
P(x) é verdadeira para toda substituição de x por um elemento qualquer de A? A definição a seguir é motivada por essa questão.
Definição. Seja P(x) uma função proposicional sobre A, então:
O QUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Análogo ao caso acima, a definição abaixo é motivada pela questão: como fazemos para simbolizar
que P(x) é verdadeira para a substituição de x por algum a do conjunto A?
Definição. Seja P(x) uma função proposicional sobre A, então:
∀x P(x)
∃x P(x)
simboliza a afirmação de que todos elementos de A tornam verdadeira a função proposicional
P(x). Assim, temos que:
simboliza a afirmação de que pelo menos um elemento de A torna verdadeira a função proposicional P(x). Assim, temos que:
∀x P(x) é verdadeira se, e somente se, para todo elemento a de A, P(a) é verdadeira.
∃x P(x) é verdadeira se, e somente se, para algum elemento a de A, P(a) é verdadeira.
Definição. O símbolo ∀ (um A invertido, da palavra alemã “allgemein” e da inglesa “all”) é chamado
de quantificador universal e a expressão “∀x P(x)” se lê “Para todo x, P(x)”.
Definição. O símbolo ∃ (um E invertido) é chamado de quantificador existencial e a expressão
“∃x P(x)” se lê “Existe x tal que P(x)”.
Exemplo. Se P(x) é “x é filósofo”, então, “∀x P(x)” se lê “Para todo x, x é filósofo”, ou ainda, “todos são filósofos”.
Exemplo. Se P(x) é “x é filósofo”, então, “∃x P(x)” se lê “Existe x tal que x é filósofo”, ou “Existe
um filósofo”, ou ainda “Alguém é filósofo”.
Notemos que por ser uma sentença aberta, P(x) não é verdadeira nem falsa, enquanto ∀x P(x) é
verdadeira ou falsa, já que é uma proposição.
Notemos novamente que, por ser uma sentença aberta, P(x) não é verdadeira nem falsa, enquanto
∃x P(x) é verdadeira ou falsa, já que é uma proposição.
Notemos, ainda, que ∀x P(x) é verdadeira se, e somente se, o conjunto-verdade de P(x) é igual ao
conjunto A sobre o qual P(x) está definida. Assim:
Notemos, por fim, que ∃x P(x) é verdadeira se, e somente se, o conjunto-verdade de P(x) é diferente do conjunto vazio. Assim:
∀x P(x) é verdadeira se, e somente se, VP = A; e
∃x P(x) é verdadeira se, e somente se, VP ≠ ∅; e
∀x P(x) é falsa se, e somente se, VP ≠ A.
∃x P(x) é falsa se, e somente se, VP = ∅.
Exemplos. Seja P(x) a expressão “x é filósofo” no conjunto A = {Sócrates, Platão, Aristóteles},
neste caso ∀x P(x) é verdadeira, pois são verdadeiras as sentenças P(Sócrates), P(Platão) e
P(Aristóteles), e VP = A.
Seja P(x) a expressão “x fundou a Academia” no conjunto A = {Sócrates, Platão} como em um dos
exemplos acima. Neste caso ∀x P(x) é falsa, pois P(Sócrates) é falsa, e VP ≠ A, pois VP = {Platão}
e A = {Sócrates, Platão}.
Exemplos.
1. Seja P(x) a expressão “x é um animal irracional” no conjunto A = {Sócrates, Platão, Aristóteles}, neste caso ∃x P(x) é falso, pois são falsas as sentenças P(Sócrates), P(Platão) e P(Aristóteles), e VP = ∅.
2. Seja P(x) a expressão “x fundou a Academia” no conjunto A = {Sócrates, Platão} como acima.
Neste caso ∃x P(x) é verdadeira, pois P(Platão) é verdadeira, e VP ≠ ∅, já que VP = {Platão}.
3. Seja P(x) a expressão “x é um filósofo” no conjunto A = {Sócrates, Platão, Aristóteles}. Neste
caso também temos que ∃x P(x) é verdadeira, pois, e.g., P(Sócrates) e VP ≠ ∅, já que VP = {Sócrates, Platão, Aristóteles}.