gabarito - Walter Tadeu

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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
Trigonometria no Triângulo Retângulo - GABARITO
1) Determine o seno, cosseno e a tangente dos ângulos agudos
 e  na figura. (Use duas casas decimais).
Solução. Como os ângulos  e  são complementares, o seno de um tem o mesmo valor do cosseno do outro. No
caso da tangente, o valor da tangente de um é o inverso da tangente do outro. Ou a cotangente.
cat.oposto 15

 0,88  cos   0,88
hipotenusa 17
cat.adjacente
8
.
ii) cos  

 0,47  sen  0,47
hipotenusa
17
cat.oposto
15
1
8
iii) tg  

 1,88  tg  

 0,53
15
cat.adjacente
8
15
8
i) sen 
2) Observando o triângulo retângulo mostrado na figura, calcule:
a) O seno, cosseno e tangente do ângulo agudo indicado.
b) O valor da altura relativa à hipotenusa.
c) A área do triângulo.
Solução. Utilizando as relações métricas e trigonométricas temos:
i) sen 
a)
cat.oposto 3
  0,75
hipotenusa 4
ii) BC  4 2  3 2  16  9  7  cos  
cat.adjacente
7

 0,66
hipotenusa
4
.
2
9
7
7
3
2º mod o : sen 2   cos 2   1  cos 2   1     cos   1 


 0,66
16
16
4
4
iii) tg  
cat.oposto
3
3
7 3 7


.

 1,13
cat.adjacente
7
7
7 7
b) Utilizando a fórmula que associa catetos, hipotenusa e altura no triângulo retângulo, temos:
(altura )  (hipotenusa )  (cateto 1)  (cateto 2)
h  4  (3 ) 
.
 7   h  3 47
c) A área do triângulo retângulo vale a metade do produto dos catetos:
A
 
(cateto 1)  (cateto 2) (3)  7
3 7
.

A
2
2
2
3) Num triângulo retângulo um cateto mede 15cm e a hipotenusa 17cm. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do maior
ângulo agudo desse triângulo.
Solução. O maior ângulo agudo está oposto ao maior cateto. Calculando o outro cateto temos:
(17) 2  (15) 2  (cat ) 2  cat  289  225  64  8cm  15cm . (situação do exercício 1 acima).
Logo, os valores pedidos se referem ao ângulo oposto e adjacente ao cateto de 15cm. Considerando esse ângulo
como  , temos:
cat.oposto 15

 0,88
hipotenusa 17
cat.adjacente
8
ii) cos  

 0,47
hipotenusa
17
i) sen 
iii) tg 
cat.oposto
15

 1,88
cat.adjacente
8
.
4) Observe a tabela com os valores aproximados (duas casas decimais) do seno, cosseno e tangente de alguns ângulos.
Utilizando propriedades dos ângulos complementares, calcule os valores das expressões.
a) M  2. cos 15º  3. cos 28º  tg34º
b) N  cos 6º  5.sen56º  cot g 75º
Solução. Utilizando o fato do seno de um ângulo possuir o mesmo valor do cosseno de seu complementar e a
tangente desse ângulo valer o inverso da tangente do complementar, pela tabela observa-se:
i) 15º + 75º = 90º
ii) 28º + 62º = 90º
iii) 34º + 56º
iv) 6º + 84º = 90º
Realizando as substituições adequadas nas expressões, temos:
a)
M  2. cos 15º  3. cos 28º  tg34º
M  2.( 0,97)  3.( 0,88)  0,67  3,91
b)
N  cos 6º  5.sen56º  cot g 75º
N  (0,99)  5.( 0,83)  (0,27)  2,89
5) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura está e qual
distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por um prédio A situado a 2 km do ponto de partida?
(Dados: sen 15º = 0,26, cos 15º = 0,97 e tg 15º = 0,27).
Solução. A figura mostrada representa um triângulo retângulo com catetos x e 2000m com hipotenusa y.
Utilizando as relações trigonométricas, temos:
cat.oposto
x
 0,27 
 x  (0,27).( 2000)  540m
cat.adjacente
2000
cat.adjacent
2000
2000
ii) distância : cos 15º 
 0,97 
y
 2062m
hipotenusa
y
0,97
i) altura : tg15º 
6) Qual a área do triangulo ABC indicado na figura?
Solução. O triângulo possui base (x + y) e altura h. Calculando cada segmento pelas razões trigonométricas,
temos:
iii) tg30º 
iv ) A 
h
 
2
h
22 2

h
 2 cm
2
2
2 2
2 2
ii)x  h  2 cm  ( triângulo retângulo isósceles)
i) sen45º 

h
3 2
6
6
3

 y

.
 2 3cm
y
3
y
3
3 3




bh 2 2 3 2

 2  2 3 cm2
2
2
7) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que cos  
3
e o segmento BC é igual a 10 m.
5
Solução. Encontra-se CA e AB através das razões trigonométricas e da relação fundamental.
2
9
16 4
3
i) sen2  cos2   1  sen2  1     sen  1 


5
25
25 5
 
ii) cos  
CA
3 CA
(3).(10)
 
 CA 
 6m
5 10
5
BC
iii) sen 
AB
4 AB
( 4).(10)
 
 AB 
 8m
5 10
5
BC
.
iv ) Perímetro  AB  BC  CA  8m  10m  6m  24m
8) Calcule x indicado na figura.
Solução. Identificando os ângulos do triângulo, observamos que y = 100, pois o triângulo
30º, 30º e 120º é isósceles. No triângulo retângulo x está oposto ao ângulo de 60º.
Aplicando a razão trigonométrica do seno, temos:
sen60º 
 3
x
  50 3
 x  100.

100
 2 
9) As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo.
Determine a medida da altura relativa à hipotenusa, o perímetro desse triângulo e o seno do maior ângulo agudo.
Solução. Resolvendo a equação do 2º grau, temos:
14  2 16

x1  2  2  8cm
 ( 14)  ( 14)2  4(1)( 48) 14  196  192 14  4 14  2
x




2(1)
2
2
2
x  14  2  12  6cm
 2
2
2
i) A hipotenusa é calculada pela relação de Pitágoras: hip 2  (6) 2  (8) 2  hip  36  64  100  10cm .
ii) A altura vale:
(altura )  (hipotenusa )  (cateto 1)  (cateto 2)
.
48
h  10  (6)  8  h 
 4,8cm
10
 
iii) Perímetro: 6cm + 8cm + 10cm = 24cm.
iv) O maior ângulo está oposto ao maior cateto: sen  8  0,8 .
10
10) Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que h 
2 cm ,   30º e   45 º .
Solução. A base do triângulo é a soma dos segmentos AH e HB. Calculando cada medida pelas razões
trigonométricas, temos:
i) tg30º 
AH
3 AH
6


 AH 
cm
h
3
3
2
ii)tg45º 
HB
HB
 1
 HB  2 cm
h
2
 6

12
2 3
2 36

 2   2
2
2

bh  3
2 3 3

3
iv) A 

 3
 3



2
2
2
2
2
6

 

3 3
cm2
3
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