COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br Trigonometria no Triângulo Retângulo - GABARITO 1) Determine o seno, cosseno e a tangente dos ângulos agudos e na figura. (Use duas casas decimais). Solução. Como os ângulos e são complementares, o seno de um tem o mesmo valor do cosseno do outro. No caso da tangente, o valor da tangente de um é o inverso da tangente do outro. Ou a cotangente. cat.oposto 15 0,88 cos 0,88 hipotenusa 17 cat.adjacente 8 . ii) cos 0,47 sen 0,47 hipotenusa 17 cat.oposto 15 1 8 iii) tg 1,88 tg 0,53 15 cat.adjacente 8 15 8 i) sen 2) Observando o triângulo retângulo mostrado na figura, calcule: a) O seno, cosseno e tangente do ângulo agudo indicado. b) O valor da altura relativa à hipotenusa. c) A área do triângulo. Solução. Utilizando as relações métricas e trigonométricas temos: i) sen a) cat.oposto 3 0,75 hipotenusa 4 ii) BC 4 2 3 2 16 9 7 cos cat.adjacente 7 0,66 hipotenusa 4 . 2 9 7 7 3 2º mod o : sen 2 cos 2 1 cos 2 1 cos 1 0,66 16 16 4 4 iii) tg cat.oposto 3 3 7 3 7 . 1,13 cat.adjacente 7 7 7 7 b) Utilizando a fórmula que associa catetos, hipotenusa e altura no triângulo retângulo, temos: (altura ) (hipotenusa ) (cateto 1) (cateto 2) h 4 (3 ) . 7 h 3 47 c) A área do triângulo retângulo vale a metade do produto dos catetos: A (cateto 1) (cateto 2) (3) 7 3 7 . A 2 2 2 3) Num triângulo retângulo um cateto mede 15cm e a hipotenusa 17cm. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo. Solução. O maior ângulo agudo está oposto ao maior cateto. Calculando o outro cateto temos: (17) 2 (15) 2 (cat ) 2 cat 289 225 64 8cm 15cm . (situação do exercício 1 acima). Logo, os valores pedidos se referem ao ângulo oposto e adjacente ao cateto de 15cm. Considerando esse ângulo como , temos: cat.oposto 15 0,88 hipotenusa 17 cat.adjacente 8 ii) cos 0,47 hipotenusa 17 i) sen iii) tg cat.oposto 15 1,88 cat.adjacente 8 . 4) Observe a tabela com os valores aproximados (duas casas decimais) do seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Utilizando propriedades dos ângulos complementares, calcule os valores das expressões. a) M 2. cos 15º 3. cos 28º tg34º b) N cos 6º 5.sen56º cot g 75º Solução. Utilizando o fato do seno de um ângulo possuir o mesmo valor do cosseno de seu complementar e a tangente desse ângulo valer o inverso da tangente do complementar, pela tabela observa-se: i) 15º + 75º = 90º ii) 28º + 62º = 90º iii) 34º + 56º iv) 6º + 84º = 90º Realizando as substituições adequadas nas expressões, temos: a) M 2. cos 15º 3. cos 28º tg34º M 2.( 0,97) 3.( 0,88) 0,67 3,91 b) N cos 6º 5.sen56º cot g 75º N (0,99) 5.( 0,83) (0,27) 2,89 5) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura está e qual distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por um prédio A situado a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen 15º = 0,26, cos 15º = 0,97 e tg 15º = 0,27). Solução. A figura mostrada representa um triângulo retângulo com catetos x e 2000m com hipotenusa y. Utilizando as relações trigonométricas, temos: cat.oposto x 0,27 x (0,27).( 2000) 540m cat.adjacente 2000 cat.adjacent 2000 2000 ii) distância : cos 15º 0,97 y 2062m hipotenusa y 0,97 i) altura : tg15º 6) Qual a área do triangulo ABC indicado na figura? Solução. O triângulo possui base (x + y) e altura h. Calculando cada segmento pelas razões trigonométricas, temos: iii) tg30º iv ) A h 2 h 22 2 h 2 cm 2 2 2 2 2 2 ii)x h 2 cm ( triângulo retângulo isósceles) i) sen45º h 3 2 6 6 3 y . 2 3cm y 3 y 3 3 3 bh 2 2 3 2 2 2 3 cm2 2 2 7) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que cos 3 e o segmento BC é igual a 10 m. 5 Solução. Encontra-se CA e AB através das razões trigonométricas e da relação fundamental. 2 9 16 4 3 i) sen2 cos2 1 sen2 1 sen 1 5 25 25 5 ii) cos CA 3 CA (3).(10) CA 6m 5 10 5 BC iii) sen AB 4 AB ( 4).(10) AB 8m 5 10 5 BC . iv ) Perímetro AB BC CA 8m 10m 6m 24m 8) Calcule x indicado na figura. Solução. Identificando os ângulos do triângulo, observamos que y = 100, pois o triângulo 30º, 30º e 120º é isósceles. No triângulo retângulo x está oposto ao ângulo de 60º. Aplicando a razão trigonométrica do seno, temos: sen60º 3 x 50 3 x 100. 100 2 9) As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da altura relativa à hipotenusa, o perímetro desse triângulo e o seno do maior ângulo agudo. Solução. Resolvendo a equação do 2º grau, temos: 14 2 16 x1 2 2 8cm ( 14) ( 14)2 4(1)( 48) 14 196 192 14 4 14 2 x 2(1) 2 2 2 x 14 2 12 6cm 2 2 2 i) A hipotenusa é calculada pela relação de Pitágoras: hip 2 (6) 2 (8) 2 hip 36 64 100 10cm . ii) A altura vale: (altura ) (hipotenusa ) (cateto 1) (cateto 2) . 48 h 10 (6) 8 h 4,8cm 10 iii) Perímetro: 6cm + 8cm + 10cm = 24cm. iv) O maior ângulo está oposto ao maior cateto: sen 8 0,8 . 10 10) Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que h 2 cm , 30º e 45 º . Solução. A base do triângulo é a soma dos segmentos AH e HB. Calculando cada medida pelas razões trigonométricas, temos: i) tg30º AH 3 AH 6 AH cm h 3 3 2 ii)tg45º HB HB 1 HB 2 cm h 2 6 12 2 3 2 36 2 2 2 2 bh 3 2 3 3 3 iv) A 3 3 2 2 2 2 2 6 3 3 cm2 3