Capítulo 4: Leis de Newton

Capítulo 4: Leis de Newton
Os movimentos e suas causas foram, sem duvida
nenhuma, os primeiros fenômenos de nosso mundo físico a
serem investigados pelo homem, e as primeiras indagações
remontam às antigas civilizações da Asia Menor.
No século IV a.C., na Grécia Antiga, Aristóteles desenvolveu uma visão cosmológica em que relacionava idéias
hoje discutidas separadamente em diversas áreas do conhecimento, como ciência, política, ética, poesia e teologia. Suas
idéias mostraram-se de grande valia em muitas áreas, mas
suas teorias físicas tinham limitações. Além disso, ele não
usava a Matemática para descrever os fenômenos naturais,
entre os quais os movimentos. Mesmo assim, a concepção de
Aristóteles permaneceu aceita por cerca de 2000 anos, até a
época do Renascimento.
O Renascimento trouxe consigo uma nova arte, uma
nova música e novas idéias acerca do universo e do papel do
ser humano dentro dele. A curiosidade e as atitudes questionadoras tornaram-se aceitáveis e até mesmo valorizadas. Foi
então que alguns pensadores como Galileu Galilei e Isaac
Newton, começaram a reconhecer o uso da Matemática para
analisar e descrever os fenômenos naturais.
O sábio italiano Galileu Galilei (1564-1642) mostrou
como descrever o movimento de objetos ordinários, como uma
bola rolando por uma rampa. Seu modo de pensar, o uso que
fez da Matemática, e a confiança depositada nos resultados
obtidos experimentalmente lançaram as bases da ciência moderna.
Inspirado nas idéias de Galileu, o inglês Isaac Newton
(1642-1727), conseguiu elaborar leis que permitem lidar com
toda a variedade de situações envolvendo forças e movimentos, descrevendo as causas dos movimentos como interações
(forças) que agem entre os objetos. Cada interação representa uma força diferente, que depende das diferentes condições
em que os objetos interagem. Mas obedecem aos mesmos
princípios elaborados por Newton, e que ficaram conhecidos
como Leis de Newton.
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Força e movimento
As causas dos movimentos estão diretamente ligadas a
um conceito essencial na Física, o conceito de força. Temos
intuitivamente a idéia do que é força toda vez que puxamos ou
empurramos um objeto. Além disso, a aplicação de uma
força pode movimentar uma objeto parado (em repouso), assim como pode parar um objeto em movimento.
Quando o efeito da força produz alteração do estado
de movimento do corpo, denominamos efeito dinâmico. Por
outro lado, quando o efeito da força se resume a deformar
(exemplo: em molas, elásticos, bolas, etc.) e/ou equilibrar o
corpo (exemplo: em estruturas como edifícios, pontes e viadutos), denominamos efeito estático.
As forças surgem da interação entre os objetos, e as
formas pelas quais os objetos interagem uns com os outros são
muito variadas. A interação entre uma raquete e uma bolinha
de pingue-pongue, por exemplo, é diferente da interação entre
uma lixa e uma parede, ou entre um imã e um alfinete. De
modo geral, quando ocorre contato entre os objetos, as forças
envolvidas são chamadas de forças de contato. Por outro
lado, como no caso do exemplo imã-alfinete, a interação
(atração) ocorre à distância, sem necessidade de haver contato
físico entre os dois corpos, e neste caso, as forças são denominadas de forças de campo.
As forças de contato aparecem em situações como
batidas, pancadas, espetadas, ou simplesmente quando um
corpo se apóia sobre o outro (forças de reação normal), em
arranhões, esfregadas, deslizamentos (forças de atrito) ou
quando um objeto se movimenta dentro de um líquido ou gás
(forças de resistência). Na tabela da coluna ao lado, esquematizamos a classificação dos diversos tipos de forças.
Forças


 forças




 forças


de contato
 forças

 forças

 forças
de reação
normal
de atrito
de resistênci
a
 gravitacio nal (atração entre astros)

de campo  eletromagn ética (ligações químicas)

 nuclear (ligação próton - nêutron)
As forças que atuam à distância são produzidas devido a ação de
um coisa chamada campo. No estudo
da Mecânica, vamos nos preocupar
somente com os efeitos do campo
gravitacional sobre os objetos. O campo gravitacional (ou simplesmente
gravidade), aparece ao redor dos
corpos, devido à sua massa, mas seu
efeito só pode ser percebido se o corpo
possuir uma massa imensa, como a Terra, o Sol, a Lua, ou um
outro astro qualquer. Quando um objeto qualquer está mergulhado em um campo gravitacional , sofre a ação de uma força denominada força peso, como vamos discutir mais adiante.

Força elástica
Em situações nas quais os objetos podem ser considerados elásticos, como é o caso de uma mola ou de um elástico
propriamente dito, é possível determinar o valor da força de uma
forma bastante simples. Imagine, por exemplo, um menino puxando o elástico de um estilingue. Quanto mais o garoto puxa a
borracha, maior é a força que ele tem de fazer parar mantê-la
esticada. Esse fato revela uma importante relação entre a força
aplicada e deformação do elástico. Na medida
em que o elástico é puxado, seu comprimento
aumenta, e a força por ele também aumenta. De
fato, verifica-se que:
Obs: a força elástica atua sempre no sentido
contrário ao da deformação (alongamento)!
As conclusões acima podem ser expressas em termos matemáticos, através da fórmula:
F = -k.x
Na fórmula acima, a letra F representa a força
elástica, a letra x representa o quanto a mola
(ou elástico) foi deformada, e a letra k representa uma constante de proporcionalidade denominada constante elástica da mola, a qual
depende do material que é feita a mola (ou
elástico); o sinal menos (-) indica que a força
atua no sentido contrário à deformação.
Balança de peixeiro
O instrumento usado para medir forças é denominado dinamômetro, conhecido popularmente como
Na figura acima,
―balança de peixeiro‖ (figura ao lado).
o deslocamento
O dinamômetro consta basicamente de uma mola
para baixo é
previamente calibrada, que, submetida à aplicação proporcional ao
de uma força (geralmente o peso de um objeto
peso. Portanto,
pendurado), sofre uma deformação. Conhecendopodemos usar
se a deformação sofrida pela mola, pode se obter a
esse deslocaintensidade da força aplicada.
mento como uma
Quando é usado como balança, o dinamômetro
medida da forçapossui um escala graduada em gramas, quilograpeso, e também
mas ou outra unidade de massa.
de outras forças.7
Capítulo 4: Leis de Newton
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1a Lei de Newton: Princípio da Inércia
“Quando é difícil parar‖
Até a época de Galileu, acreditava-se como Aristóteles, que uma força era necessária para manter um objeto em
movimento, ao longo de um plano horizontal. Galileu realizou
várias experiências para analisar o movimento dos corpos, e
concluiu que, se um corpo estiver em repouso, é necessária a
ação de uma força para colocá-lo em movimento; por outro
lado, uma vez iniciado o movimento, cessando a ação das
forças, o corpo continuará a se mover indefinidamente em
linha reta, com velocidade constante. Baseado nessas conclusões, Newton enunciou a sua 1a Lei, conhecida como Princípio da Inércia.
O Princípio da Inércia, está presente em muitas situações do cotidiano, como por exemplo, quando as pessoas viajam na carroceria de um caminhão. Se o caminhão, que
estava parado, sair em disparada: todos serão jogados para
trás, como na figura ao lado.
Também os cavaleiros,
ao saltar obstáculos com seu
cavalo, podem encontrar dificuldades, quando o cavalo vem
em disparada e refuga na hora
do salto: o cavaleiro vai para o
outro lado, mas sem o cavalo.
As constatações acima
constituem a essência da 1a
Lei de Newton ou Princípio
da Inércia, que pode ser Corpo livre da ação de forças
enunciada assim:
significa que ou nenhuma
força age sobre ele,ou agem
várias forças que se anulam
mutuamente.

Aplicações do princípio da inércia
1. Equilíbrio estático e equilíbrio dinâmico: Conforme a
descrição no balão explicativo acima, a expressão ―um corpo
livre da ação de forças‖ equivale a dizer que a resultante da
soma das forças que atuam sobre ele é nula. Nesse caso, de
acordo com a 1a Lei de Newton, o corpo estará em repouso ou
em movimento retilíneo uniforme, e quando isto ocorre dizemos que o corpo está em equilíbrio.
A)
B)
Há dois tipos básicos de equilíbrio:
Equilíbrio estático: Quando a velocidade é constantemente nula com o passar do tempo, ou seja, o corpo
esta em REPOUSO.
Equilíbrio dinâmico: Quando a velocidade é constante e não-nula, com o passar do tempo, ou seja, o
corpo está em movimento retilíneo uniforme (MRU).
2) O conceito de inércia e os referenciais: O conceito físico
de inércia está ligado à propriedade geral da matéria, de resistir a
qualquer variação em sua velocidade; um corpo em repouso tende, por inércia, a continuar em repouso; um corpo em movimento
tende, por inércia, a continuar em movimento retilíneo uniforme.
Assim, como descrito nos exemplos da coluna anterior,
quando o carro parte, os passageiros, por inércia sentem-se atirados para trás (em relação ao carro); quando o cavalo pára diante
de um obstáculo, por inércia, o cavaleiro é atirado para a frente.
Em ambos os casos, isto ocorre porque o corpo tende a manter o
seu estado de movimento.
Observe que o estado de movimento (repouso, MRU,
movimento acelerado, etc.) depende da escolha de um referencial, isto é, de um ponto de referência, em relação ao qual o movimento é observado. Os referenciais em relação aos quais, vale o
Princípio da Inércia (1a Lei de Newton), são denominados referenciais inerciais. Em relação a um referencial inercial, um corpo livre da ação de forças está em repouso ou em movimento
retilíneo uniforme. Nestes referenciais, para variar a velocidade
do corpo, é necessário a ação de uma ou mais forças sobre ele.
Por outro lado, os referenciais acelerados em relação à
Terra não são inerciais. A própria Terra, em virtude de seu movimento de rotação, não é um referencial inercial. Entretanto, nos
problemas comuns dos movimentos dos corpos na superfície da
Terra, podemos desprezar os efeitos da rotação da Terra, e considerá-la como um referencial inercial.
Galileu versus Aristóteles
As relações entre forças e movimentos tem sido objeto de
estudo desde a Antiguidade. O filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.),
por exemplo, acreditava que um corpo só poderia permanecer em movimento se existisse uma força atuando sobre ele:
―Se um corpo estivesse em repouso, e uma força agisse sobre o ele,
então o corpo se poria em movimento; mas cessando a ação da
força, o corpo voltaria ao repouso‖.
As afirmações da Aristóteles podem parecer corretas à primeira
vista, pois, em nossa experiência diária, vemos que os objetos, de um
modo geral, só se encontram em movimento quando estão sendo puxados ou empurrados. Um livro empurrado sobe uma mesa, de fato, pára
imediatamente quando se deixa de empurrá-lo.
Durante toda a Idade Média, as idéias de Aristóteles foram
acatadas sem que se tenha feito uma análise mais cuidadosa em torno
delas. As críticas às teorias aristotélicas, como dissemos na introdução
deste capítulo, só surgiram com Galileu, no século XVII.
Introduzindo o método experimental para o estudo dos fenômenos físicos, Galileu realizou uma série de experiências que o levaram a
conclusões diferentes daquelas de Aristóteles.
Estudando uma esfera em repouso sobre uma superfície horizontal, Galileu observou que, empurrando-a com uma certa força, ela
entrava em movimento. Entretanto, a esfera continuava a se mover,
percorrendo uma certa distância, mesmo depois que ele deixava de
empurrá-la. Assim, Galileu verificou que um corpo podia estar em movimento sem a ação de uma força que o empurrasse.
Repetindo a experiência, usando uma superfície horizontal
mais lisa, ele observou que o corpo percorria uma distância maior após
cessar a ação da força. Baseando-se em uma série de experiências
semelhantes, Galileu concluiu que o corpo parava, após cessado o
empurrão, em virtude da ação do atrito entre a superfície e o corpo, cujo
efeito seria sempre o de retardar o seu movimento. Assim, se fosse
possível eliminar totalmente a ação do atrito, o corpo continuaria a se
mover indefinidamente, sem nenhum retardamento, isto é, em movimento retilíneo uniforme (MRU). Generalizando suas conclusões, Galileu
chegou ao seguinte resultado:
―Se um corpo estiver em repouso, é necessário a ação de uma força
para coloca-lo em movimento; uma vez iniciado o movimento,
cessando a ação das forças que agem sobre o corpo, ele continuará
a se mover indefinidamente com velocidade constante‖.
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Capítulo 4: Leis de Newton
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3a Lei de Newton: ação e reação

―Quem com ferro fere, com ferro será ferido‖. Esse 1.
agressivo ditado popular é muitas vezes traduzido pelo enunci- A)
ado da lei que provavelmente é a mais conhecida da Física: a
lei da ação e reação.
Numa interação entre objetos, as forças de ação e reação atuam ao mesmo tempo, mas uma em cada corpo, possuindo mesma intensidade e direção, mas sentidos contrários. O
fato da força de ação agir em um objeto e a força de reação em B)
outro, é a idéia básica da 3a Lei de Newton:
Um exemplo bastante comum é a batida entre dois
veículos: neste tipo de incidente, ambas as partes levam prejuízo, mesmo que um deles esteja parado, pois os dois carros
exercem forças um sobre o outro, e consequentemente se amassam. Da mesma forma, quando chutamos uma bola, a
força exercida pelo pé impulsiona a bola para frente, enquanto
a bola também age no pé, aplicando-lhe uma força no sentido
oposto. Se não fosse assim, poderíamos chutar até uma bola de
ferro sem sentir dor.
No desenho ao lado,
esquematizamos as forças de
ação e reação, quando um homem empurra uma cadeira de
rodas, com um outro sentado
nela. Observe que as forças de
ação e reação não se anulam,
porque são aplicadas em corpos diferentes.
Uma propriedade fundamental que emerge da lei da
ação e reação, é que as forças
na natureza sempre aparecem
aos pares, para cada ação sempre existe uma reação, de intensidade igual e sentido oposto.
Exemplos de aplicações
1. Movimento de um barco: A hélice do barco ao girar, empurra a
água para trás (ação). Como resultado, o barco é empurrado para a
frente devido a força de reação da água sobre ele.
2. Movimento de foguetes fora da atmosfera: Os foguetes são
acelerados pelo seguinte processo: um jato gasoso, resultante da
queima do combustível, é expelido para trás. Pela lei da ação e
reação, o foguete é acelerado para a frente devido à força de reação dos gases sobre ele. Note que a atmosfera não participa do
processo de ação e reação, o que permite que o foguete seja acelerado, mesmo na sua ausência (vácuo).
3. Movimento de caminhar: Quando caminhamos, o pé empurra o
solo para trás (ação), e o solo exerce no pé uma força de reação pra
a frente. Essas forças trocadas pelo pé e pelo chão são forças de
atrito. Se não houvesse atrito, isto é, se as superfícies fossem perfeitamente lisas, não conseguiríamos andar.
4. Rodas de tração motora: Nas rodas de um carro, ligadas ao
motor (rodas de tração motora), um sistema de engrenagens transmite às rodas um movimento de rotação. Ao acelerarmos o carro, as
rodas de tração empurram o solo para trás (ação), e o solo reage,
exercendo nas rodas forças de reação para frente.
Com base no Princípio da Inércia, explique:
Por que os passageiros são empurrados para a frente, quando o ônibus dá uma freada
brusca?
Por que os passageiros são empurrados para trás,
quando o ônibus
dá uma arrancada?
2.
Qual a importância do uso do cinto de segurança nos automóveis?
3.
A força resultante sobre um corpo é nula. O que podemos dizer a
respeito da velocidade do corpo?
4.
Um pára-quedista desce verticalmente, próximo à superfície da
Terra, com velocidade constante. Qual é a resultante da das forças
que atuam sobre o conjunto homem+pára-quedas?
5.
Quando um avião em vôo horizontal abandona uma bomba, por
que ela não cai verticalmente?
6.
Os satélites giram em torno da Terra por causa da força de atração que a Terra exerce sobre eles, mantendo-os em órbita. O que
aconteceria com os satélites, caso desaparecesse esta força?
7.
Um menino está parado sobre um banco. Como já sabemos, a
Terra exerce sobre ele uma força, devido à gravidade. Conforme a
3a Lei de Newton, a reação dessa força será aplicada sobre:
A) O banco; B) A gravidade; C) O menino; D) A Terra;
8.
A)
Verifique se são verdadeiras, as seguintes afirmações:
Se a cada ação corresponde uma reação igual e oposta, então
elas se anulam e o movimento é impossível.
Uma força nunca pode aparecer sozinha; para cada força (ação)
necessariamente vai existir uma reação, igual e oposta, mas aplica em um corpo diferente.
B)
9.

Questões
Um automóvel colide com um grande caminhão carregado. Você
acha que a força exercida pelo automóvel sobre o caminhão é
maior, igual ou menor que a força exercida pelo caminhão sobre o
automóvel?
A força das curvas
Uma situação que você certamente já experimentou é o fato
de ser empurrado ―para fora‖, quando está dentro de um automóvel ou ônibus que faz uma curva. Os motoristas de carros e motos, geralmente dizem que ―a curva puxa você para fora‖. Na
verdade trata-se de um efeito de inércia. Lembre-se que, de acordo com o Princípio da Inércia, um corpo em movimento, tende a
permanecer em movimento retilíneo uniforme (MRU), ou seja,
movimento com velocidade constante e em linha reta. Este
efeito de inércia faz aparecer uma força ―fictícia‖ denominada
força centrífuga, que tende a ―jogar‖ você e o veículo para fora
da curva.
Por isso, quando você estiver dirigindo um veículo (carro,
moto, bicicleta, etc.) deve sempre lembrar que nas curvas as
coisas não acontecem do mesmo jeito que nas retas, e o procedimento mais seguro para evitar deslizamentos, derrapagens ou
capotagens, é reduzir a velocidade (antes de entrar na curva)!
9
Capítulo 4: Leis de Newton
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2a Lei de Newton
Que carro acelera mais?
A tabela abaixo mostra o desempenho de “modernos veículos nacionais”. Você e capaz de dizer por que uns aceleram
mais rápido do que os outros?
Exemplo: Um bloco de massa m=2 kg, é puxado sobre uma
mesa horizontal, por uma força horizontal F, e adquire movimento retilíneo com aceleração de 6 m/s2. Considerando que o
bloco se desloca sobre uma superfície sem atrito:
A) Qual é a intensidade da força F que puxa o bloco?
B) Qual deveria ser a massa do bloco, para que a força F
produza uma aceleração de 5 m/s2?
Resolução: Para resolver o problema devemos aplicar a Lei Fundamental da Dinâmica, ao movimento do bloco.
A) Como a única força que atua na direção do movimento é a força
horizontal F, temos:
F = m•a = (2 kg)•(6 m/s2) = 12 kg•m/s2 = 12 N
B) Nesse caso temos:
F = m•a  12 = m•5  m = 12÷5 = 2,4 kg

Você pode observar pela tabela acima, que alguns
modelos atingem mais rapidamente a velocidade de 100 km/h.
Se compararmos os dois primeiros carros, veremos que seus
motores são diferentes, mas que eles possuem a mesma massa.
Na verdade, a principal diferença entre eles é o motor, que é o
responsável pela força. O segundo carro possui um motor mais
potente, o que significa que ele é capaz de exercer uma força
maior. Isso explica o menor tempo para se atingir a marca dos
100 km/h.
Por outro lado, o primeiro e o terceiro carros (Trave
Plus e Paramim) tem o mesmo motor, porém seus tempos de
aceleração são diferentes. Por que será? Se você observar bem,
verá que o carro que possui maior massa é o que acelera menos (maior tempo), o que nos leva a concluir que uma massa
maior provoca uma aceleração menor. Tudo isso está de acordo como que diz a 2a Lei de Newton, também conhecida como Lei Fundamental da Dinâmica (o termo Dinâmica vem
da palavra grega dynamis, que significa “força”):
Em termos matemáticos, podemos escrever:
a 
F
m

F m a
Na fórmula acima, F é força que atua sobre o corpo (expressa
em newtons), m é massa (expressa em quilogramas) e a é a
aceleração por ele sofrida (medida em m/s2). A relação acima
é válida também para o caso em que o corpo está sujeito à
ação de várias forças. Neste caso, as forças devem se somar
vetorialmente, como veremos adiante, e o símbolo F da fórmula acima representa a resultante da soma das forças.
Conversão de velocidades
As velocidades normalmente são expressas em quilômetros por
hora (km/h), como nos velocímetros de carros e motos.
No entanto, quando precisamos calcular acelerações, devemos
converter esses valores para metros por segundo (m/s).
Para converter de km/h para m/s, basta dividir por 3.6.
Massa ou peso?
Você já teve ter observado que é mais difícil empurrar
(ou parar) um caminhão do que um automóvel, porque o caminhão tem maior inércia, ou seja, a tendência do caminhão em
manter o seu estado de repouso ou movimento é maior do que a
do automóvel, que é mais leve. Esse tipo de comparação leva à
conclusão de que a inércia de um corpo depende da sua massa: o
corpo com maior massa tem mais inércia.
No entanto, o conceito de massa é comumente confundido com o termo ―peso‖, e por isso chamamos de ―pesagem‖ ao
ato de medir a massa na balança. Nos livros de Física (e no vestibular) você costuma encontrar o conceito de peso, como sendo a
força que a Terra exerce sobre um corpo, devido a ação da gravidade, ou seja, o conceito físico de peso representa uma força, e
portanto, é diferente do conceito de massa. Para evitar confusão,
neste texto vamos usar a denominação força-peso, para representar essa força; quanto à palavra ―peso‖, continuaremos a usá-la no
sentido corriqueiro, como sinônimo de massa.
Note que massa é uma grandeza invariável, independente
do local onde é medida, enquanto a força-peso depende da gravidade. Assim, por exemplo, se levarmos um corpo para a Lua, sua
massa permanecerá a mesma, mas a força-peso se tornará cerca
de 6 vezes menor. Isso acontece porque a gravidade na Lua é 6
vezes menor do que a gravidade da Terra.
A relação entre massa e força-peso, é obtida da 2a Lei de
Newton, como:
FP  m  g
Na fórmula cima, para obtermos o valor da força-peso (FP), devemos colocar o valor da massa do corpo no lugar da letra m, e o
valor da aceleração da gravidade no lugar da letra g. A fórmula
acima expressa uma relação fácil de memorizar:
FORÇA PESO = MASSA × GRAVIDADE
Lembre-se que a força-peso deve ser expressa em newtons, e a
massa m deve ser expressa em quilogramas.
A unidade de medida de força
A unidade de medida de força no S.I (obrigatória quando usamos a fórmula da Lei Fundamental da Dinâmica) é o newton, em homenagem ao famoso físico inglês Isaac Newton.
A medida de 1 newton corresponde à força necessária para
suspender um objeto de aproximadamente 100 gramas.
10
Capítulo 4: Leis de Newton

Exercícios

1.
Determine a aceleração produzida por uma força de 18 N,
sobre um corpo de massa 3 kg.
2.
Determine a intensidade da força que produz uma aceleração
de 3 m/s2, em um corpo de massa 9,6 kg.
3.
Uma força constante de 40 N imprime a um corpo uma aceleração de 8 m/s2. Qual será a aceleração desse mesmo corpo, se
a intensidade da força for de 15 N?
As forças de atrito aparecem em situações como arranhões, raspadas, esfregadas, deslizamentos. De modo geral, o
atrito surge sempre que tentamos deslizar uma superfície sobre
outra. Quanto mais ásperas as superfícies, maior o atrito entre
elas. Para expressar esse fato, inventou-se um valor chamado
coeficiente de atrito, representado pela letra grega  (lê-se
―mi‖).
4.
A)
B)
Uma força constante aplicada durante 2 segundos em um corpo
A, produz uma variação de 6 m/s em sua velocidade. A mesma
força aplicada em outro corpo B durante 5 segundos, produz
uma variação de velocidade de 10 m/s. Qual dos dois corpos
possui maior massa?
6.
Um bloco de 5 kg é puxado sobre uma superfície horizontal, por
uma força horizontal F1, e experimenta uma aceleração de
6 m/s2.
Determine a intensidade da força F1, considerando que o bloco
se desloca sem atrito.
Qual deve ser a massa do bloco, para que a aceleração reduza
à metade (considere a mesma força do item A)?
A)
B)
7.
Antes de partir em viagem espacial, um astronauta mede a sua
massa, e a balança registra 100 kg. Determine a força-peso
que atua sobre o astronauta:
A) Na superfície da Terra, onde g=10 m/s2.
B) Em órbita, a 1000 km de altitude, onde g=7,5 m/s2.
C) Na superfície da Lua, onde g=1,7 m/s2.
D) O que acontece com a massa do astronauta, durante a viagem
espacial?
8.
A)
B)
Os valores da tabela abaixo mostram o quanto um material
tem de atrito no contato com outros.
Em 3 segundos, a velocidade de um carro de massa 900 kg
passa de 54 km/h para 0. Supondo que a força resultante que
parou o carro seja constante:
Calcule a intensidade dessa força;
Calcule o peso do carro;
5.
Na Lua, onde a aceleração da gravidade é seis vezes menor
do que na Terra (g = 1,7 m/s2), a força-peso que atua sobre
um astronauta é 110 N.
Qual é a massa do astronauta?
Qual o valor da força-peso, medido na Terra?
9. Para você pensar:
A) Um corpo pode ter massa nula? E a força-peso? Explique.
B) Um corpo está sobre uma superfície horizontal sem atrito. Qual
a menor força capaz de deslocá-lo? Explique.
Lembrete: Quando o valor da força vem expresso em quilogramaforça (kgf), é preciso transformar para a unidade SI (newton),
antes de usar na fórmula F=m.a. A relação de conversão é:
1 kgf = 9,8 N ≈10 N
Por que se usa o quilograma-força?
O uso do quilograma-força (kgf) como unidade de força
é bastante prático, exatamente pelo fato de neste caso a massa
e a força-peso são expressos pelo mesmo valor. Note que a
força de 1 kgf corresponde à força necessária para suspender
um corpo de 1 quilograma, ou seja, é aproximadamente 10 vezes maior do que a medida de 1 newton, como mostra a relação
apresentada acima.
Incluindo o atrito
Além disso, quanto maior o peso de um corpo sobre uma
superfície, maior a força necessária para arrastá-lo. Isto ocorre,
porque quanto mais forte o contato entre duas superfícies, maior
o atrito entre elas.
Uma maneira matemática de expressar as idéias descritas
acima, é através da fórmula:
FATRITO = •FNORMAL
onde FNORMAL representa a intensidade da força que comprime os
as superfícies em contato. Para um corpo apoiado sobre uma
superfície horizontal, a força normal é igual à força-peso do
corpo.
Quando consideramos o atrito, na aplicação das Leis de
Newton, especialmente a Lei Fundamental da Mecânica, devemos lembrar que a força de atrito se opõe ao movimento, e portanto, contribui negativamente para a soma das forças. Assim, a
resultante das forças que atuam sobre o corpo é determinada como:
F = FMOTORA - FATRITO
onde FMOTORA representa a força que produz o movimento do
objeto, e FATRITO é a força contrária que aparece devido ao atrito.
Exemplo: Um tijolo de massa 2 kg, é arrastado sobre uma
superfície horizontal de madeira, por uma força “motora” de 20
N. Determine a aceleração sofrida pelo bloco.
Resolução: Usando a tabela, a força de atrito que atua sobre o tijolo é:
FATRITO = •FNORMAL = 0,6•20 = 12 N
de modo que a resultante das forças que atuam sobre o tijolo será:
F = FMOTORA - FATRITO = 20 - 12 = 8 N
Aplicando a 2ª Lei, resulta:
F = m•a ==> 8 = 2•a ==> a = 8÷2 = 4 m/s 2
Exercícios:
1. Um bloco de 2 kg é arrastado por uma força de 20 N, sobre uma
superfície cujo coeficiente de atrito. Qual é a aceleração do bloco?
2.
A)
B)
C)
Um bloco de 3 kg, inicialmente em repouso, é puxado por uma
força de 50 N, sobre uma superfície de borracha.
Qual o valor da força de atrito que atua sobre o bloco?
Qual a aceleração que o bloco experimenta?
Qual deveria ser o valor mínimo do coeficiente de atrito, para que
o corpo não saia do lugar (aceleração nula)?
11
Capítulo 3: Leis
de Newton5:
Capítulo
Aplicações das Leis de Newton
Na maioria das situações reais em que se tem movimento
ou equilíbrio, podem atuar mais do que uma força, além do
atrito. Neste caso, para aplicarmos as leis de Newton, precisamos determinar a força “efetiva” que produz o movimento, o
que envolve procedimentos de composição (soma) ou decomposição de forças.

Composição de forças: força resultante
Grandezas físicas como força, velocidade e aceleração,
para serem completamente especificadas, além da intensidade
(valor numérico), necessitam de uma direção e um sentido.
Grandezas desse tipo são chamadas grandezas vetoriais, e são
representadas por elementos matemáticos denominados vetores.
As forças, como vetores, se somam de acordo com as
regras da álgebra vetorial, e a resultante da soma é um vetor
denominado força resultante (símbolo FR).
1o Caso: Forças de mesma direção
Quando as forças tem mesma direção, a intensidade da resultante
da soma vetorial é dada pela fórmula:
FR=|F1 ± F2|
Na fórmula acima, usamos o sinal (+) quando as forças tem sentidos iguais (forças de mesmo sentido se somam), e o sinal (-)
para forças de sentidos contrários (forças de sentidos opostos se
subtraem). Quando as forças F1 e F2 tem sentidos contrários, a
força resultante tem o sentido da força de maior intensidade.
2o Caso: Forças perpendiculares
Considere agora o caso em que as forças são perpendiculares
entre si. Para se obter o valor da força resultante F R, procedemos
da seguinte forma: traçamos, na extremidade de F1 uma paralela
à F2, e na extremidade de F2, traçamos uma paralela a F1. Desse
modo, formamos um retângulo, e a
diagonal desse retângulo representa a
força resultante FR (veja figura ao lado). Para calcular o valor (intensidade)
da força resultante, basta determinar o
comprimento da diagonal do retângulo,
usando o Teorema de Pitágoras:
FR2 = F12 + F22
3o Caso: Forças concorrentes
No caso mais geral, onde as forças formam entre si um ângulo 
qualquer, diferente de 0o (forças paralelas) ou 90o (forças perpendiculares), dizemos que as forças são concorrentes entre si. O
procedimento para se obter a direção e o sentido da força resultante é o mesmo do caso anterior,
exceto que agora obtemos um
paralelogramo. A diagonal deste
paralelogramo dá a direção e sentido da força resultante. Neste
caso a intensidade da força resultante é obtida pela fórmula conhecida como lei dos cossenos:
FR2 = F12 + F22 + 2•F1•F2•cos 

1.
Exercícios
Considere duas forças F1=4 N e F2=3 N., que atuam sobre um
corpo de massa 200 gramas. Determine a força resultante, e a
aceleração experimentada pelo corpo, nos seguintes casos:
A) As forças tem mesma direção e mesmo sentido.
B) As forças tem mesma direção e sentidos contrários.
C) As forças são perpendiculares entre si.
D) As forças formam um ângulo de 60o entre si.
E) As forças formam um ângulo de 120º entre si.

Soma vetorial : método do polígono
Quando precisamos somar mais do que dois vetores, o
método do paralelogramo usado na seção anterior torna-se
inadequado porque complica excessivamente a construção
geométrica. Neste caso, é conveniente usar um outro método
geométrico denominado método do polígono. A idéia do método do polígono é desenhar os vetores, um atrás do outro, e por
último o vetor resultante, de modo que a figura obtida seja uma
poligonal fechada (polígono). Vejamos, passo a passo, um
exemplo da aplicação deste método:
Passo 1: Desenhe o primeiro vetor (F1); a partir de sua
extremidade, desenhe o segundo vetor (F2), e a partir da
extremidade deste desenhe a terceiro vetor (F3).
Passo 2: Feche a poligonal, desenhando um vetor que
liga a origem do primeiro vetor à extremidade do último
(terceiro) vetor. Este vetor dá a resultante (FR) da soma
vetorial.
Se você quiser determinar a intensidade (módulo) da
força (vetor) resultante, deve usar régua e transferidor na montagem do desenho, cuidando para que os comprimentos
(módulo) e ângulos (inclinação em relação à direção horizontal) dos vetores sejam desenhados corretamente (geralmente
usa-se meio centímetro para cada unidade de comprimento do
vetor). A intensidade da força resultante é igual ao comprimento (número de unidades) do vetor resultante.
No exemplo acima, considere que a inclinação do vetor F3 seja
de 45°, e os módulos são F1=3 unidades, F2=4 unidades e F3=3 unidades. Obtemos então, o desenho mostrado na figura ao lado. Usando régua e transferidor você pode verificar que no nosso exemplo o comprimento do vetor resultante (linha cinza) é aproximadamente 8
unidades (se você usar meio centímetro para cada unidade,
então o comprimento medido com a régua será de aproximadamente 4 centímetros).

Exercícios de fixação
1. Repita o procedimento descrito no exemplo acima, considerando
que F1=6 unidades, F2=8 unidades e F3=6 unidades, e o ângulo
de inclinação de F3 é igual a 45°.
2. Usando regra e transferidor, determine o módulo (comprimento)
do vetor resultante da soma de quatro vetores iguais de 5
unidades cada um, sabendo que o primeiro é horizontal, o
segundo é vertical, o terceiro tem um inclinação de 45° para cima,
e o quarto tem uma inclinação de 45° para baixo.
4. Um barco com velocidade de 20 km/h, atravessa um rio,
perpendicularmente à direção da correnteza. Se a velocidade da
correnteza é de 10 km/h, qual será a velocidade resuiltante do
barco? A corernteza ajuda ou atrapalha o barco?
12
Capítulo 5: Aplicações das Leis de Newton - Equilíbrio e plano inclinado
.

Decomposição de forças
2.
Plano inclinado
Vamos agora analisar o caso de um corpo colocado sobre
um plano inclinado, sem atrito. Sobre o bloco, atuam a força
peso — exercida pela Terra, vertical para baixo, e a reação normal — exercida pelo plano, na direção perpendicular à superfície
do plano, no sentido de baixo para cima.
Como o plano é inclinado, essas forças não atuam na mesma direção, e por isso não podem se equilibrar. A força resultante, na ausência de atrito, faz com que o bloco desça o plano com
aceleração constante. Para determinar a aceleração, é necessário
conhecer a força resultante que atua sobre o bloco.
1.
Equilíbrio de forças concorrentes
Para isso devemos efetuar a decomposição da força peso em
duas ―parcelas‖ (componentes): uma componente tangencial na
Chamamos de forças concorrentes a um conjunto de direção paralela ao plano, e uma componente normal na direção
duas ou mais forças não-paralelas entre si, que se encontram perpendicular ao plano inclinado.
em um único ponto. De acordo com a 1ª Lei de Newton, um
corpo sob ação de forças concorrentes está em equilíbrio
quando a resultante de sua soma vetorial (força resultante) é
nula. Uma situação prática onde se aplica esta regra, é o caso
de um corpo suspenso por duas ou mais cordas. Neste caso,
dependendo do ângulo que as cordas formam, queremos saber
qual é a força de tração que atua sobre cada uma delas.
Neste caso, ao invés de efetuarmos a soma vetorial
direta, é mais conveniente decompor cada uma das forças em
duas ―parcelas‖ (componentes): uma componente na direção
horizontal (componente x) e uma componente na direção vertical (componente y). No equilíbrio tanto a soma das componentes x, quanto a soma das componentes y, devem ser nulas. Para
exemplificar, observe a situação mostrada na figura abaixo:
Existem algumas situações em que, para determinar a
força resultante, ao invés de efetuar a composição (soma vetorial) das forças individuais, é mais conveniente efetuar uma
decomposição dessas forças, em componentes que atuam ao
longo de direções especiais. Em particular, vamos considerar
dois casos bastante estudados nos livros de Física: equilíbrio
de forças concorrentes e plano inclinado.
A componente tangencial (PT) corresponde à parcela do
peso que efetivamente atua na direção do movimento, e é determinada pela relação:
PT = P•senÂ
A componente normal (P N), i.e., a parcela do peso que atua na
direção perpendicular ao plano, serve para pressionar o bloco
contra a superfície do plano, e é dada pela relação:
PN = P•cosÂ
Considerando que o bloco tem massa de 1 kg, queremos descoPortanto,
no
caso
do
plano
inclinado
(na ausência de atrito), a
brir a intensidade das forças de tração que atuam nas cordas.
força
resultante
que
atua
sobre
o
corpo
é igual à componente
Pela simetria da figura, vemos que as duas trações são iguais,
tangencial (paralela ao plano) do peso do corpo.
isto é, T =T =T.
1
2
Passo 1: (Equilíbrio das forças horizontais) Para determinar o
valor das componentes horizontais das forças de tração usamos a relação:
T1x = T1•cos30 = T•0,866
T2x = T2•cos30 = T•0,866
No exemplo da figura acima, vemos que as componentes horizontais são iguais e de sentidos opostos, e portanto:
T1x - T2x = 0
como prevê a condição de equilíbrio.
Passo 2: (Equilíbrio das forças verticais) Aqui temos a forçapeso do bloco puxando para baixo, e as componentes verticais
das forças de tração, puxando para cima. Para determinar o
valor das componentes verticais das forças de tração usamos a
relação:
T1y = T1•sen30 = T•0,5
T2y = T2•sen30 = T•0,5
Aplicando a condição de equilíbrio, e usando o valor da força
peso (FP=10 N) resulta:
T1y + T2y - FP = 0
T•0,5 + T•0,5 - 10 = 0
T = 10 N
Exemplo: No plano inclinado da figura acima, considere que
o ângulo de inclinação seja de 30o . Determine a aceleração
experimentada, por um bloco de 2 kg.
Resolução: Para um bloco de 2 kg, a força peso é FP=2•10=20 N. A
força resultante que atua sobre o bloco, é igual à componente tangencial do peso, ao longo do plano inclinado, isto é:
F = FP•sen = 20•sen30 = 20•0,5 = 10 N
Aplicando o PFD, ao movimento do bloco, temos:
F=m•a ==> 10 = 2•a ==> a = 10÷2 = 5 m/s 2
 Exercícios
1. Um bloco de 5 kg, é colocado sobre um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é 60º.
A) Determine a aceleração adquirida pelo bloco.
B) Qual seria a aceleração, para um bloco de 10 kg?
2.
Um bloco de 3 kg é largado sobre um plano inclinado, cujo ângulo
de inclinação é de 53º. Determine a aceleração do bloco.
3. (UF-BA) A intensidade (módulo) da força necessária para fazer um
bloco de 60 kg, subir um plano inclinado de 30º (sem atrito), com
Exercícios: Repita o procedimento acima, para a situação em que
aceleração 0,8 m/s2, será:
as cordas formam um ângulo de 60°, e para a situação em que as
A) zero; B) 300 N; C) 348 N; D) 519 N; E) 600 N;
13
cordas ficam na posição vertical (ângulo de 90°).
Capítulo 5: Aplicações das Leis de Newton - forças de inércia

Efeitos de inércia: forças fictícias
Nas situações mostradas até agora, o movimento dos
objetos é analisado do ponto de vista de um referencial em
repouso em relação à Terra, o qual pode ser considerado como
um referencial inercial. No entanto, no nosso cotidiano, muitas vezes nos defrontamos com situações em que o movimento
se passa em referenciais, que não estão em repouso, nem mesmo em MRU, em relação à Terra, ou seja, são referenciais não
-inerciais. Como exemplos, podemos citar o caso de uma pessoa dentro de um ônibus, no momento em que ele acelera, desacelera ou faz uma curva, ou dentro de um elevador, quando
este está em movimento acelerado. Nestas situações aparecem
forças ―fantasmagóricas‖, atuando sobre a pessoa, apesar de
não existir nenhum agente físico responsável por elas. Essas
forças fantasmagóricas, são denominadas forças fictícias, e são
geradas por efeitos de inércia, que surgem quando o movimento
se passa em um referencial não-inercial.
1.
O problema do elevador
Um cenário bastante
comum onde aparecem efeitos
de inércia, é o caso de uma pessoa dentro de um elevador,
quando ele está em movimento
acelerado.
Uma pessoa dentro de
um elevador que está subindo
acelerado (ou descendo freado),
sente uma ―força de inércia‖ (força fictícia) que a empurra para baixo. Este efeito que se
soma ao seu peso, surge devido
ao fato do elevador (referencial)
estar acelerando para cima
(figura ao lado). Neste caso, se
a pessoa estivesse sobre uma
balança de mola, esta registraria
um aumento de peso.
No caso em que o elevador está freando na subida (ou
acelerando na descida), ocorre o efeito inverso, isto é, aparece
uma força de inércia que empurra a pessoa para cima, de modo
que a balança registraria um perda de peso (o “peso” registrado
na balança é igual à força-peso menos a força de inércia).
Tente resolver:
No problema do elevador, a força de inércia pode ser calculada através da expressão da 2a Lei de Newton: F=m•a, onde m é a massa
da pessoa, e a é a aceleração do elevador. Para uma pessoa de
massa 50 kg, sobre uma balança colocada dentro de um elevador:
A) Qual será a indicação da balança quando o elevador sobe com
aceleração de 2 m/s2?
B) Qual será a indicação da balança, no caso em que o elevador
está descendo, e acelerando (para baixo) a 2 m/s2?
C) Qual será indicação da balança, se o elevador se move com
velocidade constante?
D) Qual seria a indicação da balança, no caso em que o cabo do
elevador se rompe?
E) Qual deve ser a aceleração do elevador (para baixo), para que a
indicação da balança seja igual à metade do valor do peso real
da pessoa?
F) Qual deve ser a aceleração do elevador (para cima), de modo
que a indicação da balança seja igual ao dobro do peso real da
pessoa?
2.
Força centrífuga: a força das curvas
Uma outra situação em que aparecem efeitos de inércia, é
o caso da chamada força centrífuga, como já mencionamos anteriormente. Assim como no problema do elevador, aqui também o
efeito de inércia surge devido à aceleração do referencial
(veículo) em relação ao solo. No entanto, no caso do movimento
nas curvas, esta aceleração aparece mesmo se o veículo fizer uma
curva perfeitamente circular com velocidade constante
(movimento circular uniforme). Esta aceleração está relacionada
com a mudança de direção da velocidade (mesmo que a intensidade não varie!), e é denominada aceleração centrípeta (símbolo
ac). Quando o móvel descreve uma trajetória circular (como no
MCU), a aceleração centrípeta é calculada pela fórmula:
v
ac 
2
R
Na fórmula acima, v é a velocidade do móvel (e deve ser expressa em metros por segundo) e R é o raio da circunferência que ele
descreve (medido em metros). Note que a aceleração centrípeta
aponta sempre para o centro da circunferência (daí o nome
―centrípeta‖, que significa ―que se dirige para o centro‖).
De forma semelhante ao problema do elevador, podemos
determinar a intensidade da força centrífuga que age sobre uma
pessoa dentro de um veículo que faz uma curva, usando a 2 a Lei
de Newton. Neste caso, teríamos:
F = m•ac
onde m é a massa da pessoa, e ac é a aceleração centrípeta que
ela experimenta.
Exemplo: Um móvel de massa igual a 5 kg, descreve uma
circunferência de raio igual a 2,0 metros, com velocidade constante de 3,0 m/s. Determine a aceleração centrípeta, e a intensidade da força centrífuga que tende a “jogá-lo” para fora
da curva.
Resolução: Substituindo v=3,0 m/s e R=2,0 m, na expressão da aceleração centrípeta, temos:
a
c

v
2
R

3
2
2

9
2
 4,5 m/s
2
A intensidade da força centrífuga que tende a jogar o móvel para fora da
curva, é obtida aplicando a 2a Lei de Newton:
F = m•ac = 5•4,5 = 22,5 N

Exercícios
1.
Um bloco de 2,0 kg, preso a um fio inextensível, se desloca sobre
um mesa horizontal sem atrito, com velocidade constante de 4 m/s,
descrevendo uma circunferência de raio 0,5 metros.
Determine a aceleração centrípeta experimentada pelo bloco.
Determine a força de tração no fio, necessária para manter o bloco
na trajetória circular.
A)
B)
2.
Um ônibus faz a curva de uma rótula, a um velocidade de 36 km/h.
Considerando que a rótula tem raio médio de 5 metros, determine:
A) A velocidade do ônibus, expressa em metros por segundo.
B) A aceleração centrípeta do ônibus, ao fazer a curva.
C) A intensidade da força centrífuga que atua sobre os passageiros.
A lei da fama
A fórmula F=m.a costuma ser memorizada como a lei da fama.
De fato é uma das leis mais importantes de toda a Física. Com base
nela, os cientistas conseguem, por exemplo, determinar com precisão o movimento dos planetas e satélites (naturais e artificiais) do
nosso sistema solar.
14