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Matemática
José Arnaldo de Assis Pina Neto
24 de abril de 2013
Sumário
1 Conjuntos
3
1.1
Visão Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Descrição de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
. . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Conjunto Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5
Conjuntos Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.6
Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.6.1
Propriedades de Inclusão . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.7
Conjunto das Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.8
Reunião de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.8.1
Propriedades da Reunião . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Intersecção de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.9.1
Propriedades da Intersecção . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.9.2
Conjuntos Disjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.9.3
Propriedades da União - Intersecção . . . . . . . . . . .
9
1.9.4
Diferença de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.9.5
Complementar de B em A . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.9.6
Propriedades da Complementação . . . . . . . . . . . .
9
1.9
2 Conjuntos Numéricos
10
2.1
Conjunto dos Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2
Conjunto dos Números Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3
Conjunto dos Números Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4
Conjunto dos Números Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5
Conjunto dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Intervalos
3.1
15
Tipos de Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1
4 Exercícios
4.1
18
Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2
1
Conjuntos
1.1
Visão Geral
Na teoria dos conjuntos, três noções são aceitas sem definição, isto é, são
consideradas noções primitivas:
Ex.:
• CONJUNTO;
• ELEMENTO;
• PERTINÊNCIA ENTRE CONJUNTO E ELEMENTO.
A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na
linguagem usual; é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema.
Ex.:
• Conjunto das vogais;
• Conjunto dos números ímpares positivos;
• Conjunto dos naipes das cartas de baralho.
Cada objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento.
Ex.:
• a, e, i, o, u
• 1, 3, 5, 7, ...
• Paus, Ouro, Copas, Espada.
É importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.
Ex.: O conjunto das seleções que disputam a copa do mundo do futebol é um
conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos de jogadores.
3
Indicamos um conjunto, em geral, com a letra maiúscula (A, B, C, ...) e
um elemento com uma letra minúscula (a, b, c, ...).
Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A,
escrevemos x ∈ A. Se x não pertence ao conjunto A, escrevemos x ∈
/ A.
É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores e uma linha
fechada e não entrelaçada.
$
A
'
rc
a∈A
rb
b∈A
ra
&
1.2
c∈A
%
Descrição de um Conjunto
Utilizamos dois recursos principais parar descrever um conjunto e seus
elementos. Enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou
damos uma propriedade característica dos elementos entre chaves.
Ex.:
• Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}
• Conjunto dos números ímpares positivos. {1, 3, 5, 7, ...}
Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma propriedade
característica P de seus elementos x, escrevemos:
A = {x | x tem a propriedade P }
"A é um conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P
Ex.:
• {x | x é divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar o conjunto
{1, −1, 3, −3}
• {x | x é inteiro e 0 ≤ x ≤ 100} = {0, 1, 2, 3, ..., 100}
4
1.3
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.
Ex.:
• Conjunto dos divisores de 1 inteiros e positivos. {1}
• Conjunto das soluções da equação 2x + 1 = 5. {2}
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum. O símbolo
usual para o conjunto vazio é ∅.
Ex.:
• {x | x é ímpar e múltiplo de 2} = {∅}
• {x | x < 0 e x > 0} = {∅}
1.4
Conjunto Universo
Quando vamos desenvolver um certo assunto de matemática, admitimos a
existência de um conjunto U no qual pertencem todos os elementos utilizados
no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de Conjunto Universo.
Quase sempre a resposta para algumas questões depende do universo U
em que estamos trabalhando.
Ex.: "Qual o conjunto dos pontos P que ficam a uma igual distância de
dois pontos dados A e B, sendo A 6= B?"
• Se U é a reta AB, o conjunto procurado é formado só por P .
A
P
s
s
B
s
-
U
5
• Se U é o plano contendo A e B, o conjunto procurado é a reta mediatriz
do segmento AB.
r
r
r
rP
r
r
r
rA
rB
Quando vamos descrever um conjunto A através de uma propriedade P , é
essencial fixarmos o conjunto universo U em que estamos trabalhando.
A = {x ∈ U | x tem a propriedade P }
1.5
Conjuntos Iguais
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B
e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos:
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
• {a, b, c, d} = {d, c, b, a}
• {x | 2x + 1 = 5} = {2}
Se A não é igual a B, escrevemos A 6= B. É evidente que A é diferente
de B se existe um elemento de A não pertencente a B ou existe em B um
elemento não pertencente a A.
1.6
Subconjuntos
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo
elemento de A pertence também a B.
Com a notação A ⊂ B indicamos que "A é subconjunto de B"ou "A está
contido em B"ou "A é parte de B". Em símbolos:
A ⊂ B ⇔ (∀)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Para provarmos que A = B devemos provar que A ⊂ B e B ⊂ A.
6
1.6.1
Propriedades de Inclusão
Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades:
• ∅⊂A
• A⊂A
• (A ⊂ B e B ⊂ A) ⇒ A = B (anti-simétrica)
• (A ⊂ B e B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C (transitiva)
1.7
Conjunto das Partes
Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A - P (A) - aquele
que é formado por todos os subconjuntos de A. Em símbolos:
P (A) = {X | X ⊂ A}
Ex.:
• Se A = {a} os elementos de P (A) são ∅ e {a}, isto é: P (A) = {∅, {a}}
• Se A = a, b os elementos de P (A) são ∅, {a}, {b}, {a, b}.
• Se A é um conjunto finito com n elementos, então P (A) tem 2n elementos.
1.8
Reunião de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado
pelos elementos que petencem a A ou a B.
A ∪ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Notemos que x é elemento de A∪B se ocorrer ao menos uma das condições
seguintes: x ∈ A ou x ∈ B.
7
1.8.1
Propriedades da Reunião
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
• A ∪ A = A (idempotente)
• A ∪ ∅ = A (elemento neutro)
• A ∪ B = B ∪ A (comutativa)
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)
1.9
Intersecção de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A e a B.
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Se x ∈ A ∩ B, isto significa que x pertence a A e também a B. O conectivo
’e’ colocado entre duas condições significa que elas devem ser obedecidas ao
mesmo tempo.
1.9.1
Propriedades da Intersecção
• A ∩ A = A (idempotente)
• A ∩ U = A (elemento neutro)
• A ∩ B = B ∩ A (comutativa)
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associativa)
1.9.2
Conjuntos Disjuntos
Quando A ∩ B = ∅, isto é, quando os conjuntos A e B não tem elemento
em comum, A e B são denominados conjuntos disjuntos.
8
1.9.3
Propriedades da União - Intersecção
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades que
interrelacionam a reunião e a intersecção de conjuntos:
• A ∪ (A ∩ B) = A
• A ∩ (A ∪ B) = A
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
1.9.4
Diferença de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto
formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
A − B = {x | x ∈ A e x ∈
/ B}
1.9.5
Complementar de B em A
Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se complementar de
B em relação a A o conjunto A − B, isto é, o conjunto dos elementos de A
que não pertencem a B.
CAB = A − B
1.9.6
Propriedades da Complementação
• CAB ∩ B = ∅ e CAB ∪ B = A
• CAA = ∅ e CA∅ = A
B)
(CA
• CA
=B
(B∩C)
= CAB ∪ CAC
(B∪C)
= CAB ∩ CAC
• CA
• CA
9
2
Conjuntos Numéricos
2.1
Conjunto dos Números Naturais
Chama-se conjunto os números naturais o conjunto formado pelos números
0,1,2. . .
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , +∞}
Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais: a adição e a
multiplicação. A estas operações relacionam-se as seguintes propriedades:
• A1 - Associativa da adição; ⇒ (a + b) + c = a + (b + c)
• A2 - Comutativa da adição; ⇒ a + b = b + a
• A3 - Elemento neutro da adição; ⇒ a + 0 = a
• M1 - Associativa da multiplicação; ⇒ (a.b).c = a.(b.c)
• M2 - Comutativa da multiplicação; ⇒ a.b = b.a
• M3 - Elemento Neutro da multiplicação; ⇒ a.1 = a
• D - Destributiva da multiplicação; ⇒ a.(b + c) = a.b + a.c
Assim, dado um número natural a 6= 0, o simétrico de a não existe em
N: −a ∈
/ N. O resultado disso é que o símbolo a − b não tem significado
em N para todos a, b ∈ N, isto é, em N a subtração não é uma operação.
Venceremos esta dificuldade introduzindo um novo conjunto numérico.
2.2
Conjunto dos Números Inteiros
Chama-se conjunto dos números inteiros o seguinte conjunto:
Z = {−∞, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , +∞}
No conjunto Z distinguimos três subconjuntos notáveis:
10
• Z+ = {0, 1, 2, 3, . . . , +∞}
• Z− = {0, −1, −2, −3, . . . , −∞}
• Z∗ = {−∞, . . . , −3, −2, −1, 1, 2, 3, . . . , +∞}
No conjunto Z são definidas também as operações de adição e multiplicação
que apresentam, além de A1, A2, A3, M1, M2, M3 e D, a propriedade:
A4 - Simétrico ou oposto para adição; ⇒ ∀ a ∈ Z, existe
−a ∈ Z | a + (−a) = 0
Uma importante noção que devemos ter sobre números inteiros é o conceito
de divisor.
Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b quando existe um inteiro c
tal que c.a = b
Notação de divisor: a|b → "a é divisor de b"
Exemplos:
• 2|12 pois 6.2 = 12
• 3| − 18 pois (−6).3 = −18
• −5|20 pois (−4).(−5) = 20
• 4|0 pois 0.4 = 0 - (?)
• 0|0 pois 1.0 = 0 - (?)
Quando a é divisor de b dizemos que "b é divisível por a"ou "b é múltiplo
de a".
Dizemos que um número inteiro é primo quando p 6= 0, 1, −1 e D(p) =
{1, −1, p, −p}
11
2.3
Conjunto dos Números Racionais
Chama-se número racional todo número que pode ser escrito na forma a/b,
onde a ∈ Z e b ∈ Z∗ .
Representamos o conjunto dos números racionais pelo símbolo Q. Assim,
a
∗
Q = x | x = , em que a ∈ Z e b ∈ Z
b
Para este conjunto, podemos observar alguns aspectos interessantes:
• Todo número inteiro é racional:
1. 0, pois 0 =
0
1
2. −3, pois −3 =
−3
1
• Todo número fracionário é racional:
3
4
−1
2.
6
1.
• Todo número decimal exato é racional:
2
10
315
2. 3, 15, pois 3, 15 =
100
1. 0, 2, pois 0, 2 =
• Todo número decimal periódico é racional:
1. 0, 444 . . ., pois 0, 444 . . . =
4
9
13
99
213 − 2
211
3. 0, 21313 . . ., pois 0, 21313 . . . =
=
990
990
32
230
4. 2, 3232 . . ., pois 2, 3232 . . . = 2 =
99
99
2. 0, 1313 . . ., pois 0, 1313 . . . =
12
Bem como algumas definições:
• Igualdade:
a
c
= ⇔ ad = bc
b
d
• Adição:
ad + bc
a c
+ =
b d
bd
• Multiplicação:
a c
ac
. =
b d
bd
No que tange à adição e multiplicação de racionais, nos valemos das propriedades A1, A2, A3, A4, M1, M2, M3 e D. Afora estas, temos ainda uma
última, M4.
M4 - Simétrico ou inverso para a multiplicação; ⇒ ∀
a
b
a b
a
∈ Q | 6= 0, ∃ ∈ Q | . = 1
b
b
a
b a
Esta propriedade nos permite efetuar divisões entre frações. Desta forma,
a
a d
b
c = b.c
d
Principais Subconjuntos:
• Q∗ = {x ∈ Q | x 6= 0}
• Q− = {x ∈ Q | x ≤ 0}
• Q∗− = {x ∈ Q | x < 0}
• Q+ = {x ∈ Q | x ≥ 0}
• Q∗+ = {x ∈ Q | x > 0}
13
2.4
Conjunto dos Números Irracionais
O Conjunto dos Números Irracionais (I) surgiu da necessidade de se representar números ’especiais’, que não se encaixavam em nenhum dos conjuntos
anteriores. Tais números apresentam uma certa peculiaridade facilmente
identificável que os tornam diferentes dos outros na reta numérica. Na matemática, números especiais não sofrem bullying.
√
Um exemplo de número irracional é o número 2. Consideremos um
triângulo retângulo que mede 1u em sua base e 1u em sua altura. Aplicando
o teorema de Pitágoras para determinar sua diagonal (x), temos:
x2 = 12 + 12 ⇒ x2 = 1 + 1 ⇒ x2 = 2 ⇒ x =
√
2
De modo geral, toda raiz não-exata, bem como todo número decimal nãoexato e não-periódico, é um número irracional.
Exemplos:
• 0, 373373337 . . .; 0, 412413414 . . .; 2.121221222 . . .; π = 3, 14159 . . .
√ √ √
√ √
√
4
• 5; − 3; 3 4; 6 5; 32 2; 23
Este conjunto numérico não faz intersecção com nenhum dos anteriores,
estando ’paralelo’ aos demais.
2.5
Conjunto dos Números Reais
No Conjunto dos Números Reais (Q), temos a reunião de todos os outros
conjuntos previamente estudados.
R=Q∪I
Temos então:
N⊂Z⊂Q⊂R
14
3
Intervalos
Intervalos são parcelas definidas (subconjuntos) do Conjunto dos Números
Reais (A.K.A. Reta Numérica) definida por desigualdades.
O estudo de desigualdades é importante para entendermos, mais à frente,
como funcionam as inequações. Mas não nos apressemos! Vejamos primeiro
os tipos de intervalos:
3.1
Tipos de Intervalos
• Intervalos Fechados: São representados na reta numérica por bolinhas preenchidas. Na linguagem dos conjuntos, podemos representar
um intervalo fechado qualquer que tem extremos a e b pela seguinte
frase:
[a; b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Note a posição dos colchetes para comparação futura.
Representação na reta:
a
b
s
s
-
x
Exemplo:
O intervalo
3
3
− ; 2 = x ∈ R | − ≤ x ≤ 2 é representado na
5
5
reta assim:
−
s
3
5
2
s
-
x
• Intervalos Abertos: São representados na reta numérica por bolinhas vazadas. Na linguagem dos conjuntos, podemos representar um
intervalo aberto qualquer que tem extremos a e b pela seguinte frase:
]a; b[= {x ∈ R | a < x < b}
Note a posição dos colchetes para comparação futura.
15
Representação na reta:
a
b
c
c
-
x
Exemplo:
O intervalo
3
3
− ; 2 = x ∈ R | − < x < 2 é representado na
5
5
reta assim:
−
c
3
5
2
c
-
x
• Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: São representados pela seguinte frase:
[a; b[= {x ∈ R | a ≤ x < b}
Representação na reta:
a
b
s
c
-
x
Exemplo:
√
√
O intervalo [3; 5[= {x ∈ R | 3 ≤ x < 5} é representado na reta
assim:
√
3
5
s
c
x
• Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: São representados pela seguinte frase:
]a; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
Representação na reta:
a
b
c
s
Exemplo:
-
x
√
√
O intervalo ]3; 5] = {x ∈ R | 3 < x ≤ 5} é representado na reta
assim:
√
3
5
c
s
x
16
Fora os citados, temos alguns subconjuntos que podemos citar:
a
s
[a; +∞[ = {x ∈ R | x ≥ a}
-
x
a
s
] − ∞; a] = {x ∈ R | x ≤ a}
-
x
a
c
]a; +∞[ = {x ∈ R | x > a}
-
x
a
c
] − ∞; a[ = {x ∈ R | x < a}
] − ∞; +∞[ = R
-
x
-
x
17
4
Exercícios
4.1
Conjuntos
1. Quais dos conjuntos abaixo são vazios?
a) A = {x ∈ R | 0 · x = 0}
b) B = {x ∈ R | x é divisor de zero}
c) C = {x ∈ R | x é divisível por zero}
2. Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4}, D = {1, 2, 3, 4}, classificar
em V ou F cada sentença abaixo e justificar:
a) A ⊂ D
b) A ⊂ B
c) B ⊂ C
d) C = D
e) A 6⊂ D
3. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita
uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:
marca
A
B
C
A e B B e C C e A A, B e C nenhuma
das três
número
de 109 203 162
consumidores
25
41
28
5
Pede-se:
a) Número de pessoas consultadas
b) Número de pessoas que só consomem a marca A.
c) Número de pessoas que não comsomem as marcas A ou C.
d) Número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.
18
115
4. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g},
determinar:
a) A − B
b) B − A
c) C − B
d) (A ∪ C) − B
e) A − (B ∩ C)
5. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4} determinar
o conjunto X tal que X ∪ B = A ∪ C e X ∩ B = ∅.
6. Contruir o Conjunto das Partes (P (A)) do conjunto A = {a, b, c, d}.
19