EQUAÇÃO DO 2° GRAU Como já sabemos, o grau de uma

EQUAÇÃO DO 2° GRAU
Como já sabemos, o grau de uma equação é determinada pelo maior expoente
de sua incógnita. Assim a equação do segundo grau apresenta em sua
incógnita o expoente 2.
X², agora vamos conhecer os tipos de equações do 2° grau e suas resoluções.
Bons estudos!
Partes de uma equação do 2° grau
A equação do 2°grau é formada por uma igualdade que tem como primeiro
membro três valores e no outro membro o zero ou outro número, como abaixo.
X² +X +10 = 10
O X², X e o 10 são valores, mesmo que o X SEJA uma letra, ele representa um
número que você vai encontrar.
Podemos escreve uma equação geral para a equação do 2°grau
ax² +bx +c = 0
Significa que para qualquer valor de a, b e c temos uma igualdade com uma
constante que é o x que vai tornar verdadeira minha igualdade.
Equação incompleta
Na equação, como foi visto acima, temos o a, b e o c, mas não é sempre que
eles estarão os três juntos, pode faltar um ou outro ou dois, mas apenas um
deles nunca vai pode faltar. Você sabe qual é esse?
Se você disse que era o b
Você estava errado.
Agora eu vou te dizer quem nunca vai pode faltar para que seja uma equação
do 2° grau.
O a, exatamente o a, pois se eu não tenho o a, eu não vou ter uma equação do
2° grau e sim uma do 1° grau. vejamos
Com o a
Sem o a
ax² + bx + c = 0
bx + c = 0
aqui vemos uma equação do 2° grau
aqui vemos uma equação do 1°grau
Então a primeira forma incompleta de equação do 2° grau é ax = 0
Exemplo:
2x² = 8
Mas como resolver? Da mesma maneira que você viu na resolução da do 1°
grau, isolando a incógnita, vamos lá!
2x² = 8
2x²/2 = 8/2
x²= 4
√x²= √4 coloco a raiz em cada lado, pois assim eu vou tirar o expoente de x
x= √4
x= ±2 Assim temos que observar que a raiz de qualquer número é sempre ±,
pois se o número for negativo ou positivo e elevado ao quadrado, ele vai ser
sempre positivo.
assim meu x tem dois valores +2 e -2
Se você quiser conferir, você pode substituir os valores achados na equação e
ver se a igualdade é verdadeira, vejamos;
para x = +2
2x² = 8
2.2² = 8
2.4 = 8
8=8
para x = -2
2x² = 8
2(-2)² = 8
2.4 = 8
8=8
Vamos ver outro exemplo:
2a² + a² = 9
3a² = 9
3a²/3 = 9/3
a² = 3
a = ±√3
Se você quiser sabe se está certo é só substituir por ±√3, se a igualdade der
certo, você fez tudo muito bem.
EXERCÍCIOS
1) a² + a² = 8
2) a² = 81
3) 3a² - a² = 32
4) 5a² + 5a² = 1000,
CONFIRA SEUS RESULTADOS E SAIBA COMO ESTAR INDO NOS SEUS ESTUDOS, SE
VOCÊ ACERTOU TUDO PODE CONTINUAR QUE VOCÊ ESTÁ MUITO BEM, SE
ACERTOU DUAS OU MENOS, VOCÊ AINDA PRECISA LER MAIS UMA VEZ A
MATÉRIA ATÉ AQUI DADA.
Segunda forma de uma equação do 2° grau incompleta
ax² + bx = 0
Nesse formato temos o a e o b, logo podemos achar de uma forma bem
simples, através da evidência.
Evidencia é o processo de colocar um termo comum a dois fatores ou
números com incógnitas em função de uma multiplicação.
Com o a igualdade
ax² + bx = 0
Colocando em evidencia o termo x, pois eles estar em comum, desta
forma.
x(ax +b) = 0 SE EU FIZER A MULTIPLICAÇÃO EU VOLTO A EQUAÇÃO
LEMBRANDO QUE EM UM PRODUTO, QUANDO O RESULTADO É
ZERO, UM DOS TERMOS É ZERO
EX: 2 * 0= 0
456.26546546 * 0 = 0
0*1=0
Com esse raciocínio podemos ver que uma das raízes desta equação é
zero
Raiz(resultado para incógnita)
ax² + bx = 0
x(ax +b) = 0
x = 0 e ax +b = 0
Desta forma podemos achar as raízes ou resultados para minha incógnita
Vamos ver esse processo com números:
1)
Agora continuemos
x² +x = 0 primeiro coloco em evidência o x
x( x + 1) = 0
Sei que x = 0
E que x+ 1 = 0
x + 1 -1 = 0 -1
x = -1 E x = 0 São minhas raízes
Se quiser conferir você já sabe!
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) x² -10x = 0
Δ = b² -4ac
Δ = (-10)² -4 *1 * 0
Δ = 100 0
Δ = 100
x' = (-b + √∆)/ 2a
(-(-10) + 10)/2 * 1
(10 + 10)/2
20/2
10
x'' = (-b - √∆)/ 2a
(-(-10) - 10)/2 * 1
(10 - 10)/2
0/2
0
2) x² + 3x = 0
Δ = b² -4ac
Δ = 3² -4 *1 * 0
Δ=90
Δ=9
x' = (-b + √∆)/ 2a
(-3 + 3)/2 * 1
(-3 + 3)/2
0/2
0
x'' = (-b - √∆)/ 2a
(-3 - 3)/2 * 1
(-3 - 3)/2
-6/2
-3
3) x² + 2x = 0
Δ = b² -4ac
Δ = 2² -4 *1 * 0
Δ=40
Δ=4
x' = (-b + √∆)/ 2a
(-2 + 2)/2 * 1
(-2 + 2)/2
0/2
0
x'' = (-b - √∆)/ 2a
(-2 - 2)/2 * 1
(-2 - 2)/2
-4/2
-2
4) 2 x² + 2x = 0
Δ = b² -4ac
Δ = 2² -4 *2 * 0
Δ=40
Δ=4
x' = (-b + √∆)/ 2a
(-2 + 2)/2 * 2
(-2 + 2)/4
0/4
0
x'' = (-b - √∆)/ 2a
(-2 - 2)/2 * 2
(-2 - 2)/4
-4/4
-1
5) 2 x² - 2x = 0
Δ = b² -4ac
Δ = (-2)² -4 *2 * 0
Δ=40
Δ=4
x' = (-b + √∆)/ 2a
(-(-2) + 2)/2 * 2
(2 + 2)/4
4/4
1
x'' = (-b - √∆)/ 2a
(-(-2) - 2)/2 * 2
(2 - 2)/4
0/4
0
AGORA VAMOS ESTUDAR A EQUAÇÃO DO 2° GRAU COMPLETA
NO SEU FORMATO TOTAL
ax² +bx +c = 0
Ao olharmos para essas equações abaixo podemos perceber algo.
4 x² +5x -6 = 0
que o a é 4
bé5
c é -6
x²+ 9x – 8 = 0
que o a é 1
bé9
c é -8
AGORA VEREMOS A FORMA DE ACHAR AS RAÍZES DE UMA
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU COMPLETA
Através da formula de Baskará:
A nomenclatura sempre será a mesma
ax² +bx +c = 0
Vamos achar com a formula de Baskará as raízes da equação 4 x² +5x -6 = 0
Primeiro vamos encontrar o Δ
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = 5² - 4 * 4 * (-6)
Δ = 25 – 16 * (-6)
Δ = 25 + 96
Δ = 121
Agora vamos acha o x que são as raízes:
x = (-b ± √Δ)/2a
x = (-5 ± √121)/2a
x = (-5 ± 11)/2a
x’= (-5 +11)/2*4
x’ = 6/12
x’= ½
x”= (-5 -11)/2*4
x” =(-16)/12
X”= -4/3
Propriedades do Δ
O Δ nos mostra certas características em relação ao seu resultado, por
exemplo: se Δ for igual a 4, logo podemos concluir que existe mais de uma
raiz para a equação.
Se o Δ for igual a 0, logo a equação tem somente uma raiz e se o Δ for, por
exemplo: -1, logo não existe raiz real.
Então quando:
Δ > 0, existe mais de uma raiz real.
Δ = 0, existe somente uma raiz real.
Δ< 0, não existe raiz real.
Para conferir se as afirmativas acima são verdadeiras vamos a três
exemplos:
1)x² +9x +20=0
Primeiro vamos achar o valor do Δ
Δ=(b)² -4 * a * c
Δ = (9)² -4 * 1 * 20
Δ = 81 – 4 * 1 * 20
Δ = 81 -4 * 20
Δ = 81 – 80
Δ = 1 se o Δ é maior que zero então temos duas raízes diferentes.
x= (-b ±√Δ)2*a
x = (-9± 1)/2*1
x= (-9±1)/2
x’= (-9-1)/2
x”=(-9+1)/2
x’= -10/2
x”= -8/2
x’=-5
x” = -4
Agora podemos perceber que quando o Δ > 0, temos duas raízes reais.
2) - 4x²-x-4=0
Primeiro vamos achar o Δ
Δ=(b)² -4 * a * c
Δ = (-1) ² -4*(-4)*(-4)
Δ = 1 -4* 16
Δ = 1- 64
Δ = -63
Quando o Δ é menor que zero sabemos que não existe raiz real.
3) x² -2x -3=0
primeiro vamos achar o Δ
Δ=(b)² -4 * a * c
Δ = (-2)² -4 * 1 *(-3)
Δ = 4 -4 * 1 *( -3)
Δ = 4 -4 *( -3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16
Se o Δ é maior que zero sabemos que tem duas raízes reais, como foi visto no
exemplo 1, agora você pode continuar. Ache as duas raízes desta equação.
4)3 x² - 2 x² + x =0
Δ = b² -4ac
Δ = (-2)² -4 *3 * 1
Δ = 4 -12
Δ = -8
Se o Δ deu negativo significa que a raiz é um numero complexo, isto é, não
existe raiz real.
PRONTO! PROVADO?
MUITO
Vejamos bem. Para um estudo ser certo temos que entender o motivo do
que estamos fazendo e isso pode ser dito como aplicações práticas,
primeiramente você tem que praticar com muitas contas a seguir vamos vêlas:
A) -x²-5x +6 =0
b) x²-4x -96=0
c) x²+x-20=0
d) x²-3x+2=0
e) x²+5x+6=0
f) 4x²-4x-35=0
g) 9x²-18x-7=0
h) 2x²-x-1=0
Lembre-se que para sabe se a resposta está certa devemos substituir na
equação as raízes encontradas e o resultado deve ser zero.
Agora vamos trabalhar com a parte mais interessante deste estudo que são
as aplicações:
1) João acrescentou 2 cm a cada lado de um quadrado e obteve 100 cm²
de área, qual era a medida do lado do quadrado antes que João
aumentasse 2 cm?
2) A soma de dois números consecutivos é 123, quais são esses números?
3) O produto de dois números inteiros positivos e consecutivos é 305. Que
números são esse?
4) O produto de dois números inteiros negativos e consecutivos é 306. Que
números são esse?
5) Um número positivo excede em 1 unidade o triplo de outro. Se o produto
desses números é 200 quais são esses números?
6) Determine dois números inteiros negativos que sejam consecutivos e
cuja soma dos quadrados seja 365.
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS
1) As raízes foram 8 e -12, mas será considerada apenas o 8 pois não se
tem espaço negativo.
2) Os números são 152 e 153
3) 17 e -18
4) 18 e -17
5) Deste eu te dou a resolução completa
Δ = b² -4ac
Δ = 3² -4 *9 * (-200)
Δ = 9 + 7200
Δ = 7209
x' = (-b + √∆)/ 2a
(-3 + 84,9058301885094)/2 * 9
(-3 + 84,9058301885094)/18
81,9058301885094/18
4,55032389936164
x'' = (-b - √∆)/ 2a
(-3 - 84,9058301885094)/2 * 9
(-3 - 84,9058301885094)/18
-87,9058301885094/18
-4,88365723269497
6) 14 e -13
NOTA DO PROFESSOR: eu espero ter contribuído para que você
aprendesse equação do 2° grau, estarei à disposição para sanar qualquer
duvida que possa surgir e logo farei um estudo geral sobre equações, que
estará no recanto em breve assim como estará também no meu blog sobre
matemática
numerosfaceis.blogspot.com
Podem entra em contato comigo elos e-mails
[email protected]
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[email protected]
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