Capítulo 7

Capítulo 7 – Wattímetros – Prof. Fábio Bertequini Leão / Sérgio Kurokawa
Capítulo 7 - Wattímetros
7.1 Introdução
Os wattímetros eletromecânicos pertencem à uma classe de instrumentos denominados
instrumentos eletrodinâmicos.
Os instrumentos eletrodinâmicos possuem dois circuitos independentes que permitem
que os mesmos sejam utilizados como amperímetros, voltímetros, wattímetros (medidores de
potência ativa) e varímetros (medidores de potência reativa).
O torque produzido nestes instrumentos surge de forças magnéticas produzidas por
correntes elétricas que circulam em duas bobinas, sendo que uma bobina é fixa e a outra é móvel.
O princípio de funcionamento pode ser explicado, qualitativamente, com base no
galvanômetro de d’Arsonval (galvanômetro de bobina móvel) onde o imã permanente é
substituído pela bobina fixa. Esta bobina é disposta de modo tal que o campo magnético
produzido pela corrente que circula na mesma seja praticamente uniforme. A Figura 7.1 ilustra
uma representação esquemática de um instrumento eletrodinâmico.
Figura 7.1: Esquema de um instrumento eletrodinâmico.
Na Figura 7.1 a bobina fixa C é dividida em duas partes, sendo que o campo magnético
que envolve a bobina móvel P é praticamente uniforme. A interação do campo, produzido na
bobina fixa C pela corrente ic, com a corrente ip que circula na bobina móvel P, resulta em um
torque (de modo semelhante ao observado no galvanômetro de d’Arsonval). O ponteiro então
1
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sofre um deslocamento angular até uma posição tal que o torque resultante seja anulado pelo
torque produzido pela mola. A escala pode ser calibrada em volts (V), ampéres (A), watts (W) ou
volt-ampére reativo (Var) dependendo da maneira como as bobinas são conectadas.
7.2 Expressão do Torque para Instrumentos Eletrodinâmicos
A energia armazenada no campo magnético do sistema mostrado na Figura 7.1 é
expressa por:
W=
1
1
Lc ⋅ ic 2 + Lp ⋅ i p 2 + M ⋅ ic ⋅ i p
2
2
(7.1)
Na equação (7.1) Lc e Lp são respectivamente, as indutâncias próprias das bobinas C e P
e M é a indutância mútua devido ao acoplamento magnético entre estas bobinas. As correntes ic e
ip são, respectivamente, as correntes nas bobinas C e P.
O torque instantâneo, ao qual é submetida a bobina P, é dado por:
Tθ =
δW
δθ
(7.2)
Na equação (7.2) Ɵ é a posição angular do ponteiro que está acoplado à bobina P.
Portanto, a partir de (7.1), o torque instantâneo em função de Ɵ será escrito como sendo:
Tθ = ic ⋅ i p ⋅
δM
δθ
(7.3)
Observe que a derivada dos dois primeiros termos de (7.1) é nula devido a indutância
mútua ser uma função de Ɵ mas as correntes ic e ip e as indutâncias próprias Lc e Lp não. Isto
porque a indutância mútua depende da permeância magnética do meio de acoplamento
magnético das bobinas (neste caso o ar) e esta permeância varia em função do descolamento do
ponteiro de um ângulo Ɵ (rotação da bobina P).
Sabe-se que o ponteiro será deslocado até uma posição angular tal que o torque
produzido pelas correntes ic e ip seja igual ao torque restaurador TR produzido pela mola. Então
teremos:
TR = Tθ ⇒ S ⋅ θ = ic ⋅ i p ⋅
 1 δM 
 ⋅ ic ⋅ i p
 S δθ 
θ = ⋅
δM
⇒
δθ
(7.4)
2
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O instrumento pode ser construído de modo tal que o termo
δM
seja constante. Deste
δθ
modo a posição angular do ponteiro torna-se:
1
k
θ = ⋅ ic ⋅ i p
(7.5)
A expressão (7.5) mostra a posição angular instantânea do ponteiro. Conforme
apresentado no capítulo 6, em regime permanente, o ponteiro do galvanômetro de bobina móvel
(sendo o sistema eletrodinâmico de funcionamento equivalente) alcança uma posição fixa que
corresponde ao valor médio de Ɵ. Deste modo, a posição final Ɵav do ponteiro de um instrumento
eletrodinâmico será dada por:
θ av =
1
T
∫
T
0
θ ⋅ dt
(7.6)
Sendo:
Ɵav: Posição angular média do ponteiro;
T: Período do movimento angular do ponteiro.
Substituindo (7.5) em (7.6) teremos:
1 1
θ av = ⋅ 
k T
∫
T
0

ic ⋅ i p ⋅ dt 

(7.7)
Exemplo 1: Mostre que o instrumento eletrodinâmico mostrado na Figura 7.2 pode ser
utilizado como um amperímetro que mede valor RMS verdadeiro.
Figura 7.2: Instrumento eletrodinâmico como amperímetro.
3
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7.3 Wattímetros
As Figuras 7.3 e 7.4 ilustram duas configurações básicas que possibilitam a utilização
de um instrumento eletrodinâmico como sendo um medidor de potência ativa (wattímetro).
Figura 7.3: Configuração A.
Figura 7.4: Configuração B.
Nas Figuras 7.3 e 7.4 C e P são as bobinas de corrente e potencial, respectivamente. A
bobina de corrente possui uma resistência que é representada pelo resistor Rc e a bobina de
potencial possui uma resistência Rp. O resistor Rext é uma resistência externa (de valor elevado)
que deve ser conectada em série com a bobina de potencial.
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7.3.1 Wattímetros na Configuração A
A Figura 7.5 mostra um wattímetro na configuração A conectado a uma carga genérica.
Figura 7.5 – Wattímetro na Configuração A
Na Figura 7.5 ic(t) e ip(t) são, respectivamente, as correntes nas bobinas de corrente e de
potencial. A carga está submetida a uma tensão e(t) e a corrente que circula na mesma é i(t). A
posição angular do ponteiro do wattímetro é obtida a partir da equação (7.7) considerando um
instante de tempo t qualquer. Desta forma temos:
1 1
θ av = ⋅ 
k T
∫
T
0

ic (t ) ⋅ i p (t ) ⋅ dt 

(7.8)
Do circuito da Figura 7.5 temos ainda que:
ic (t ) = i p (t ) + i (t )
(7.9)
Substituindo (7.9) em (7.8) fica:
1 1
θ av = ⋅ 
k T
∫ (i
T
0
p

(t ) + i (t ) ) ⋅ i p (t ) ⋅ dt  ⇒

T
1 1  T
⋅ ∫ i p (t )2 ⋅ dt + ∫ i (t ) ⋅ i p (t ) ⋅ dt 
0

k T  0
θ av = ⋅
(7.10)
Desprezando a reatância da bobina P, a corrente ip(t) pode ser escrita como sendo:
i p (t ) =
e(t )
R p + Rext
(7.11)
Substituindo (7.11) em (7.10) temos:
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1 1
k T

θ av = ⋅  ⋅ ∫
T
0
(R
e(t ) 2
p
+ Rext )
2
⋅ dt +

1 T e(t )
⋅∫
⋅ i (t ) ⋅ dt  ⇒
T 0 R p + Rext






2
1
1 T e(t )
1 T
θ av =
⋅ ⋅∫
⋅ dt + ⋅ ∫ e(t ) ⋅ i (t ) ⋅ dt 
T 0 42444
k ⋅ ( R p + Rext )  T 0 ( R p + Rext )
144
3
1444
2444
3

Pav

PdA


(7.12)
Na equação (7.12) PdA é a potência média (ativa) dissipada na resistência Rp da bobina
de potencial e na resistência externa Rext enquanto que Pav é a potência média (ativa) fornecida
para a carga. Portanto, independente da carga ou da forma de onda da tensão aplicada no
circuito, a posição angular do ponteiro do wattímetro da Figura 7.5 é proporcional à soma da
potência média fornecida para a carga com a potência média dissipada no instrumento.
7.3.2 Wattímetros na Configuração B
A Figura 7.6 mostra um wattímetro na configuração B conectado a uma carga genérica.
Figura 7.6: Wattímetro na Configuração B
A posição angular do ponteiro do wattímetro na Figura 7.6 é dada por:
1 1
θ av = ⋅ 
k T
∫
T
0

ic (t ) ⋅ i p (t ) ⋅ dt 

(7.13)
Desprezando as reatâncias das bobinas C e P e considerando o somatório de tensões na
malha I da Figura 7.6 temos:
v p (t ) − vc (t ) − e(t ) = 0 ⇒ ( R p + Rext ) ⋅ i p (t ) − Rc ⋅ ic (t ) − e(t ) = 0 ⇒
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i p (t ) =
e(t ) + Rc ⋅ ic (t )
R p + Rext
(7.14)
Substituindo (7.14) em (7.13) fica:
( e(t ) + Rc ⋅ ic (t ) ) ⋅ dt  ⇒
1 1  T
⋅  ∫ ic (t ) ⋅

k T  0
R p + Rext

θ av = ⋅


1
1 T
1 T

2
θ av =
⋅  ⋅ ∫ e(t ) ⋅ ic (t ) ⋅ dt + ⋅ ∫ Rc ⋅ ic (t ) ⋅ dt 
0
0
T
T
k ( R p + Rext ) 144
42444
3 144
42444
3

Pav
PdB


(7.15)
A equação (7.15) mostra que o deslocamento angular do ponteiro do wattímetro, na
configuração B, é proporcional à soma da potência média (ativa) Pav fornecida para a carga com
a potência dissipada PdB no instrumento.
7.3.3 Análise das Perdas no Wattímetro
Foi mostrado na seção anterior que, na configuração A, o valor da medida fornecida
pelo wattímetro inclui as perdas na bobina de potencial e que na configuração B a leitura inclui
as perdas na bobina de corrente.
Na configuração A, conforme a equação (7.12) as perdas no instrumento são escritas
como sendo:
1
1 T e( t ) 2
1
1
1 T
PdA =
⋅ ⋅∫
⋅ dt =
⋅
⋅ ⋅ ∫ e(t )2 ⋅ dt ⇒
k ⋅ ( R p + Rext ) T 0 ( R p + Rext )
k ⋅ ( R p + Rext ) ( R p + Rext ) T 0
 E 2 
1
RMS
⋅
PdA =

k ⋅ ( R p + Rext )  ( R p + Rext ) 
(7.16)
Analogamente ao desenvolvimento matemático feito para as perdas na configuração A
também é feito para a configuração B considerando PdB na equação (7.15). Assim temos que as
perdas na configuração B são escritas como sendo:
PdB =
1
⋅ Rc ⋅ I RMS 2
k ( R p + Rext )
(7.17)
Nas equações (7.16) e (7.17) os termos ERMS e IRMS são, respectivamente, os valores
RMS da tensão e da corrente na carga.
A partir das equações (7.16) e (7.17) observa-se que ambas as configurações possuem
vantagens e desvantagens dependendo do projeto do equipamento e de sua aplicação. Na
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configuração A, analisando a equação (7.16), percebe-se que para um dado valor nominal de
tensão, o valor das perdas é constante e não depende do valor da carga. Na configuração B,
analisando a equação (7.17), nota-se que para um dado valor nominal de tensão, o valor das
perdas varia com a corrente do circuito e portanto com a carga do circuito, pois o valor da
corrente é função da carga. A conclusão imediata é a de que a configuração A é mais adequada
quando a aplicação do instrumento se dá em casos de tensão constante e portanto a perda pode
ser compensada através da calibração da escala fazendo com que o valor mostrado pelo
wattímetro corresponda somente a potência média (ativa) consumida pela carga. Wattímetros
analógicos comerciais apresentam um número de escalas de tensão e de corrente que ditam os
níveis de tensão e corrente máximos de utilização do equipamento e que podem ser utilizadas
para compensar as perdas do equipamento em ambas às configurações. Por outro lado, a
configuração B também pode ser utilizada para equipamentos que possuem a resistência Rc da
bobina de corrente muito pequena de modo que as perdas possam ser desprezadas para diferentes
valores de carga. De qualquer forma o fabricante deve informar qual a configuração mais
adequada para seu equipamento.
7.4 Conexão de um Wattímetro em Circuitos Monofásicos
A Figura 7.7 ilustra um wattímetro conectado na configuração A para medir a potência
ativa da carga.
(a)
(b)
Figura 7.7: (a) Conexão do wattímetro na configuração A; (b) sentido das correntes nas bobinas.
Na Figura 7.7 os terminais 1 e 2 correspondem aos terminais da bobina de corrente
enquanto os terminais 3 e 4 são os terminais da bobina de potencial. Na Figura 7.8 é ilustrada a
conexão do wattímetro na configuração B.
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(a)
(b)
Figura 7.8: (a) Conexão do wattímetro na configuração B; (b) sentido das correntes nas bobinas.
Comparando as conexões para as configurações A e B observa-se que, independente da
conexão das bobinas, as correntes ic e ip sempre entram pelos terminais 1 e 3, respectivamente.
Esta é uma convenção utilizada pelos fabricantes de wattímetros analógicos para a conexão das
bobinas do equipamento.
O valor mostrado pelo instrumento, nas conexões A ou B, desprezando as perdas do
equipamento, será o valor médio da potência ou potência ativa em Watts fornecida para a carga,
ou seja:
T
1
P = ∫ e(t ) ⋅ i (t ) ⋅ dt
T 0
(7.18)
Exemplo 2: Considere o circuito mostrado a seguir:
v(t ) = Vo ⋅ sen (ω ⋅ t )
a) Insira um wattímetro na configuração A no circuito e determine a expressão para o
deslocamento angular do ponteiro do instrumento. Despreze as reatâncias e as perdas das
bobinas C e P;
b) Calcule a potência média fornecida para a carga e a potência média dissipada em Rext.
Compare estes valores com o deslocamento angular do ponteiro encontrado no item a).
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Exemplo 3: Considere o circuito mostrado a seguir:
v (t ) = Vo ⋅ sen (ω ⋅ t )
Insira um wattímetro na saída do retificador (pontos C e D) e determine a expressão
para o deslocamento angular do ponteiro do wattímetro. Despreze as reatâncias e as perdas das
bobinas C e P.
Exemplo 4: Considere um wattímetro conectado na configuração A como o
apresentado na Figura 7.7. Considere ainda que as formas de onda de v(t) e i(t) da Figura 7.7 são
dadas por:
Vo
To
2To
3To
4To
−Vo
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Io
To − α
2To − α
3To − α
4To − α
− Io
a) Determine uma expressão para o deslocamento angular do wattímetro. Despreze as
reatâncias e as perdas das bobinas C e P.
b) Calcule a potência média fornecida para a carga e a potência média dissipada em Rext.
Compare estes resultados com a posição angular do ponteiro encontrada no item a).
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Revisão do Capítulo
θ av =
1 1 T

⋅  ∫ ic ⋅ i p ⋅ dt 
k T 0

1 1 δM
= ⋅
(constante)
k S δθ
Instrumento Eletrodinâmico
i(t)
ic(t)
+-
A
1 2
+
-
+ ic(t)
-
V
3 4
ip(t)
∫
0

ic (t ) ⋅ i p (t ) ⋅ dt 

ic (t ) = i p (t ) + i (t )
ip ( t) =
e(t )
R p + Rext
Carga
+- ip(t)
Wattímetro
T
2
1
e(t)
v(t)
1 1
θ av = ⋅ 
k T
C
3
P
Rext
4



2

1
1 T e( t )
1 T
θ av =
⋅ ⋅∫
⋅ dt + ⋅ ∫ e (t ) ⋅ i (t ) ⋅ dt 
T 0 42444
k ⋅ ( R p + Rext )  T 0 ( R p + Rext )
144
3
1444
2444
3
Pav


PdA


 E 2 
1
RMS
PdA =
⋅

k ⋅ ( R p + Re xt )  ( R p + Rext ) 
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1 1
θ av = ⋅ 
k T
i p (t ) =
∫
T
0

ic (t ) ⋅ i p (t ) ⋅ dt 

e(t ) + Rc ⋅ ic (t )
(Malha I)
R p + Rext


1 T
1 T

2
θ av =
⋅  ⋅ ∫ e (t ) ⋅ ic ( t ) ⋅ dt + ⋅ ∫ Rc ⋅ i c (t ) ⋅ dt 
0
T 0 42444
k ( Rp + Rext ) T
42444
3 144
3
 144
Pav
Pd B


1
PdB =
⋅ Rc ⋅ I RMS 2
k ( R p + Rext )
1
13