modelagem geológica e geoestatística

Universidade Federal do Rio de Janeiro
UFRJ – CCMN – IGEO
Departamento de Geologia
Programa de Pós-Graduação
Dissertação de Mestrado
Modelagem Geológica e Geoestatística de
Reservatório da Bacia de Campos, RJ
Autor: Alexandre de Oliveira Guimarães
Tese submetida ao corpo docente do Programa
de Pós-graduação em Geologia da
Universidade Federal do Rio de Janeiro como
requisito parcial para obtenção do grau de
Mestre em Ciências.
Orientadores:
Prof. Dr. Cláudio Bettini – UFRJ
Dr. Wilson Luiz Lanzarini – PETROBRÁS
Rio de Janeiro – RJ – Brasil
Agosto de 2002
Universidade Federal do Rio de Janeiro
UFRJ – CCMN – IGEO
Departamento de Geologia
Programa de Pós-Graduação
TÍTULO DA DISSERTAÇÃO: MODELAGEM GEOLÓGICA E
GEOESTATÍSTICA DE RESERVATÓRIO DA BACIA DE CAMPOS, RJ
AUTOR: ALEXANDRE DE OLIVEIRA GUIMARÃES
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM GEOLOGIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO
DE JANEIRO COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENÇÃO DO
GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS.
ORIENTADOR: Dr. Cláudio Bettini
APROVADA POR:
Prof. Dr. Jadir da Conceição da Silva
UFRJ
Prof. Dr. Cláudio Margueron
UFRJ
Prof. Dr. Olinto Gomes de Souza Jr.
PETROBRAS SA.
RIO DE JANEIRO – RJ – BRASIL
AGOSTO DE 2002.
Aos meus pais,
Acyr Cardoso Guimarães e
Célia Candida de Oliveira.
Amo vocês.
FICHA CATALOGRÁFICA
GUIMARÀES, ALEXANDRE DE OLIVEIRA
Modelagem Geológica e Geoestatística de Reservatório da Bacia de Campos, RJ [Rio de Janeiro]
2002.
V, 115p. 29,7 cm (Instituto de Geociências - UFRJ, M.Sc., Programa de Pós-Graduação em
Geologia, 2002).
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, realizada no Instituto de Geociências.
1. Princípios Matemáticos para Modelagem Geológica
2. Geologia Regional e Modelos Deposicionais Turbidíticos
3. Modelagem Geológica e Geoestatística
I - IG/UFRJ
II - Título (série)
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por guiar-me em todos os momentos de minha vida. Agradeço
a minha família, principalmente minha mãe pelo apoio incondicional ao rumo tomado
em minha vida. Agradeço ao meu orientador Cláudio Bettini, pela paciência e
orientação que me foi dada durante todas as etapas de trabalho. Ao meu co-orientador e
amigo, Wilson Luiz Lanzarini que tem me ajudado antes mesmo desde trabalho
começar. Sem seu incentivo não teria iniciado este trabalho.
Agradeço a minha namorada, Mônica Dias de Noronha, pela compreensão e
pelo companheirismo dado durante a fase de conclusão de tese.
Quero agradecer também a Agência Naciaonal de Petróleo (PRH-ANP/MCT)
por fomentar a especialização de novos profissionais na área de Petróleo e Gás.
Agradeço à Landmark Graphics Corporation por viabilizar meu trabalho, sem
sua ajuda não seria possível terminar este trabalho em tempo hábil. Aos meus colegas
de trabalho: Guido Cocucci, Jorge Estrada, Leonardo Branco, Glauce Figueiredo, Jorge
Guzman, Gustavo Barbosa, Leonardo Nascimento, Luciana Felix, Ivan Lopez e aos
demais colegas que contribuíram de alguma forma.
A minha colega da Queiroz Galvão, Marcela Cortez, que prestou ajuda
fundamental na etapa de conclusão de tese.
Aos meus colegas da PETROBRAS: Abelardo Borges Barreto Jr., Rosane
Trajano de Faria, Maria do Socorro, Paulo Paraíso, José Sampaio Coelho, João Bullos e
aos demais colegas do CENPES. Agradeço também ao chefe do setor de Caracterização
de Reservatório, Carlos H.L. Bruhn, pela contribuição no tocante ao levantamento dos
dados.
Ao meu amigo João Paulo Pessoa dos Santos que , desde o início caminhamos
juntos, enfrentando dificuldades similares, e ultrapassamos as barreiras encontradas.
Ao professor Jadir da Conceição da Silva que ajudou na construção da tese. E
também a alguns professores do Depto. de Geologia da UFRJ que contribuiram de
alguma forma para a finalização da tese.
Tese submetida ao corpo docente do Programa de Pós-graduação
em Geologia da Universidade Federal do Rio de Janeiro como
requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Ciências.
Título: Modelagem Geológica e Geoestatística de Reservatório da
Bacia de Campos, RJ.
Autor: Alexandre de Oliveira Guimarães.
Agosto de 2002.
Orientador: Prof. Dr. Cláudio Bettini.
Área de concentração: Geologia Regional e Econômica.
Resumo
A modelagem numérica tridimensional de corpos geológicos vem crescendo nos
últimos anos, em resposta às demandas tecnológicas da interface Geologia-Engenharia
de Reservatórios e estimulada pelo incremento da capacidade gráfica computacional.
Assim também tem sido com as técnicas numéricas para medir a continuidade espacial
de atributos de reservatórios petrolíferos, através da Geoestatística, amplamente
aplicada em inúmeros casos de desenvolvimento de reservatório, incluindo simulação
de fluxo de fluidos em subsuperfície, documentados na literatura.
A Geoestatística proporciona a modelagem numérica da continuidade espacial,
através das chamadas funções “estruturais”, tais como o semivariograma, podendo gerar
distribuições que representam a incerteza nos espaços não amostrados de atributos
petrofísicos de reservatórios, através da simulação probabilística.
A proposta deste trabalho é apresentar um método numérico para criação de um
modelo tridimensional de um dos campos da bacia de Campos, no litoral brasileiro.
Através da utilização de dados de poços liberados pela Agência Nacional do Petróleo
(PRH-ANP/MCT), simulam-se os atributos volumétricos de um dos reservatórios do
campo estudado, utilizando a simulação geoestatística. Do conjunto simulado, gera-se a
distribuição de probabilidade do volume de hidrocarboneto in situ, a qual representa de
forma quantificada a incerteza da estimativa.
Abstract of Thesis presented to graduated programme of
Geology / UFRJ as parcial fulfillment of the requerements for degree
of Master of Science.
Title: Modelagem Geológica e Geoestatística de Reservatório da
Bacia de Campos, RJ
Author: Alexandre de Oliveira Guimarães
August - 2002
Thesis supervisor: Prof. Dr. Cláudio Bettini.
Sector: Regional and Economic Geology.
Abstract
The numerical three-dimensional modelling of sedimentary bodies has evolved
in recent years
in response to demands for technology in the Geology-Reservoir
Engineering interface, being stimulated by the increment in the computational graphics
capabilities. Numerical techniques to measure spatial continuity of reservoir attributes
also have evolved through Geostatistics, which has been applied in several instances of
reservoir development, including subsurface fluid flow simulation, as documented in the
literature.
Geostatistics provides the modelling of spatial continuity though the so called
“structural” functions, such as the semivariogram, being able to generate distributions
which represent uncertainty about reservoir attributes at unsampled locations, through
stochastic simulation.
The purpose of this work is to present a numerical method to generate a threedimensional model of a petroleum field within the Brazilian offshore basin of Campos
Restricted to well data released by the Brazilian Petroleum Agency, the volumetric
attributes of one of the reservoirs are simulated through geostatistical simulation. From
the simulated set of alternatives, the probability distribution of in place oil volume is
generated, to quantify the uncertainty around the estimate.
Abreviaturas
α = média dos logarítmos
β = desvio padrão dos logarítmos
φN = perfil de neutrão
φe = porosidade efetiva
φH = porosidade preenchida por hidrocarboneto
γ = variograma
µ = média
Ω = espaço amostral
ρB = perfil de densidade do meio
σ = desvio padrão
σ2 = variância
a = alcance do variograma
f(.) = função unitária
fi = freqüência relativa
fk = face de um dado jogado ao acaso
h = vetor de separação da variavel aleatória
n = número de observações de um evento
ni = freqüência absoluta na i-ésima classe
p = probabilidade
s = desvio padrão
x = média
u = ponto que representa o par de coordenadas (x,y)
z = variável regionalizada
ANP = Agência Nacional do Petróleo
C = covariância
CV = coeficiente de variação
DP = desvio padrão
DT = perfil de tempo de transição da onda P
E(X) = valor esperado
F = função distribuição acumulada
FA = Função Aleatória
FX = função distribuição acumulada da variavel aleatória X
GR = perfil de raios gama
HC = Hidrocarboneto
ICa = Intervalo de confiança aproximado
ILD = perfil de resistividade do meio poroso
P(A) = probabilidade de A ocorrer
Rx = conjunto imagem de Ω
S = desvio padrão
S2 = variância
Vp= volume do p-ésimo quantil
Var = variância
VA = variável aleatória
VRe = variável regionalizada
Vsh = perfil de argilosidade
X = variável
Z = variável aleatória local
ZS = valor simulado
SUMÁRIO
CAPÍTULO I - O Projeto de Pesquisa _______________________________________01
1 – Introdução __________________________________________________01
2 – Objetivos ___________________________________________________02
3 – Metodologia ________________________________________________02
4 – O Método Científico __________________________________________04
5 – Modelos ____________________________________________________06
CAPÍTULO II - Princípios Matemáticos para Modelagem Geológica ______________09
1 – População e Amostra _________________________________________09
2 – Distribuição de Freqüências ____________________________________11
3 – Probabilidade ________________________________________________11
4 – Dependência entre eventos aleatórios _____________________________14
5 – Tipos de variáveis ____________________________________________14
6 – Variáveis multidimensionais ____________________________________15
7 – Variáveis aleatórias ___________________________________________17
7.1 – Variáveis aleatórias discretas __________________________________18
7.1.1 – Função distribuição acumulada de uma VA discreta ______________21
7.1.2 – Modelos probabilísticos de distribuição de uma VA discreta _______22
7.1.2.1 – Distribuição discreta uniforme ______________________________22
7.1.2.2 – Distribuição de Bernoulli __________________________________23
7.2 – Variáveis aleatórias _________________________________________24
7.2.1 – Modelos probabilísticos para variáveis contínuas _________________26
7.2.1.1 – Modelo uniforme ________________________________________26
7.2.1.2 – Modelo normal __________________________________________27
7.2.1.3 – Distribuição lognormal ___________________________________29
8 – Geoestatística ________________________________________________31
8.1 – Conceitos básicos ___________________________________________31
8.2 – Análise estrutural ___________________________________________34
8.2.1 – Modelos Variográficos _____________________________________37
8.3 – Krigagem _________________________________________________49
8.4 – Simulação seqüencial: conceitos e aplicações _____________________42
CAPÍTULO III – Geologia Regional e Modelos Deposicionais Turbidíticos _________45
1 – Depósitos turbidíticos _________________________________________45
1.2 – Modelos de fácies ___________________________________________46
1.3 – Modelos de sedimentação turbidítica ___________________________50
2 – Resumo da evolução da bacia de Campos _________________________54
3 – Geologia do Campo ___________________________________________59
CAPÍTULO IV – Modelagem Geológica e Geoestatística ________________________60
1 – Dados disponíveis ____________________________________________60
2 – Etapas da modelagem
________________________________________63
2.1 – Delimitação do topo e da base do reservatório _____________________63
2.2 – Determinação do reservatório _________________________________65
2.3 – Análise variográfica _________________________________________68
2.4 – Modelagem do reservatório __________________________________75
2.5 – Resultados obtidos __________________________________________77
Conclusões __________________________________________________________84
Bibliografia __________________________________________________________89
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Modelo esquemático da integração dos dados sísmicos com dados de poços
para simulação condicional, gerando mapas de riscos imagens simuladas __________03
Figura 2: Etapas do Método Científico______________________________________05
Figura 3: Esquema representativo da classificação de modelo __________________08
Figura 4: Esquema simplificado da representação de população, amostra e amostragem
de um dado qualquer ___________________________________________________10
Figura 5: Classificação dos tipos de variáveis _______________________________15
Figura 6: Correlação entre duas variáveis (primária e secundária) _______________17
Figura 7: Relação dos conjuntos domínio e o contradomínio pela variável aleatória X
____________________________________________________________________19
Figura 8: Distribuição de probabilidade da VA discreta X igual ao número da face livre
após lançamento de um dado_____________________________________________20
Figura 9: Função distribuição de probabilidade e função de distribuição___________23
Figura 10: Distribuição de Bernoulli ______________________________________24
Figura 11: Função de distribuição uniforme contínua da variável aleatória X _______26
Figura 12: Função densidade acumulada da variável aleatória uniforme contínua X
____________________________________________________________________27
Figura 13: Representação gráfica da distribuição Normal _____________________28
Figura 14: Histograma com distribuição lognormal____________________________30
Figura 15: Semivariograma teórico _______________________________________33
Figura 16: : Semivariograma hipotético de um fenômeno de transição, ilustrando sua
relação com o covariograma C(h) _________________________________________35
Figura 17: Os tipos de anisotropias: geométrica, zonal e mista __________________36
Figura 18: Método de Monte Carlo _______________________________________43
Figura 19: Esquema representativo dos valores equiprováveis obtidos pela simulação
seqüencial entre dois poços _____________________________________________44
Figura 20: As fácies de Mutti ___________________________________________49
Figura 21: : Modelo sedimentológico de deposição turbidítica __________________51
Figura 22: Seção dos sistemas costeiros de deposição com depósitos de leques de
taludes (turbiditos) ____________________________________________________53
Figura 23: Seção geológica mostrando as fases tectono-sedimentares da bacia de
Campos _____________________________________________________________55
Figura 24: Coluna estratigráfica da bacia de Campos _________________________58
Figura 25: Mapa dos poços do campo petrolífero estudado _____________________61
Figura 26: Conjunto de poços cedidos pela ANP e sua disposição espacial_________62
Figura 27: Relação entre a densidade e o tempo de transição da onda P ___________64
Figura 28: Delimitação do topo e base do intervalo turbidítico superior____________64
Figura 29: Delimitação do reservatório do campo petrolífero através de perfis de poços
cedidos pela ANP e perfis calculados ______________________________________66
Figura 30: Amarração do perfil de poço com perfil granulométrico do poço
37D_________________________________________________________________67
Figura 31: Variograma vertical de φH, gerado pelo programa RC2 ______________69
Figura 32: Ajuste variográfico de forma solidária dos dados de perfis de poços (φH) da
área de interesse ______________________________________________________70
Figura 33: Variograma do conjunto de poços na direção de azimute 20____________71
Figura 34: Variograma do conjunto de poços na direção de azimute 40 ____________71
Figura 35: Variograma do conjunto de poços na direção de azimute 60 ___________72
Figura 36: Variograma do conjunto de poços na direção de azimute 80 ___________73
Figura 37: Variograma do conjunto de poços na direção de azimute 100 __________73
Figura 38: Variograma do conjunto de poços na direção de azimute 120 __________74
Figura 39: Variograma do conjunto de poços na direção de azimute 160___________74
Figura 40a: A relação inversa entres os perfis de densidade e porosidade __________76
Figura 40b: Correlação entre os valores de densidade e porosidade _______________77
Figura 41: 13a imagem simulada a partir dos dados de perfis de poços ___________78
Figura 42: Imagem simulada número 13 com zoom na escala de atributos _________79
Figura
43:
Imagem
simulada
com
o
conjunto
de
poços
da
área
de
interesse_____________________________________________________________80
Figura 44: 15a imagem simulada. Composta de valores altos na região de maior
informação, porção NW ________________________________________________81
Figura 45: Mostra valores altos na porção NW ______________________________82
Figura 46: 26a imagem gerada pela simulação seqüencial ______________________83
Figura 47: Histograma construído a partir das 100 imagens simuladas dos volumes de
hidrocarbonetos presentes na região de estudo _______________________________85
Figura 48: A curva de probabilidade do modelo _____________________________86
Figura 49: Curva da probabilidade acumulada dos 100 volumes extraídos da simulação
do φH _______________________________________________________________87
Modelagem Geológica e Geoestatística
de Canais
Turbidíticos em Reservatório da Bacia de Campos, RJ
CAPÍTULO I
O PROJETO DE PESQUISA
1 – INTRODUÇÃO
No últimos anos, os depósitos turbidíticos vêm-se tornando cada vez mais importantes
alvos de exploração e produção de companhias do setor petrolífero. A maior parte das
reservas de petróleo encontradas nas bacias marginais brasileiras são encontradas em
águas profundas, nos turbiditos. A exploração e o desenvolvimento desse tipo de
reservatório requer que se entenda detalhadamente suas formas de camadas e sua
distribuição faciológica no espaço tridimensional.
A modelagem numérica tridimensional de corpos sedimentares é uma técnica
relativamente recente na exploração de petróleo, embora tenha sido objeto e instrumento
de pesquisa de geocientistas nas duas últimas décadas. Fundamentada em conceitos de
Sedimentologia, Estratigrafia e de Geologia Estrutural, esta área vem tomando força nos
últimos anos devido à necessidade de otimização das atividades exploratórias e de
produção das empresas do setor petrolífero. Os avanços computacionais fazem surgir
novas metodologias para a interpretação geológica.
Neste contexto, surgiram algumas ferramentas importantes, hoje muito
difundidas como aplicativos computacionais, como é o caso dos softwares
SEISWORKS TM, STRATWORKS TM e STRATAMODEL TM da Landmark
Graphics Company, que vêm sendo utilizados por algumas empresas do setor
petrolífero, pois auxiliam nos processos interpretativos anteriores à modelagem, e
posteriormente na própria construção do modelo 3D. Eles disponibilizam algumas
facilidades, tais como a interpretação e a integração de
dados sísmicos,
o
georreferencimento de um objeto geológico em 3D, sua visualização geométrica interna
e externa, bem como o mapeamento tridimensional, a análise geoestatística e operações
matemáticas, entre outras.
2 – OBJETIVOS
O objetivo central deste trabalho é representar espacialmente uma parte de um
dos reservatórios petrolíferos da Bacia de Campos, Estado do Rio de Janeiro, tirando o
máximo proveito da informação contida nos dados. Para isso, propõe-se uma
metodologia que leva em conta a continuidade espacial de propriedades petrofísicas e
atributos estratigráficos e estruturais, bem como modelos geológicos conceituais.
Um
objetivo mais amplo consiste em fornecer realizações tridimensionais
equiprováveis, simuladas, da estratigrafia e estruturas dos reservatórios para fins de
modelagem de fluxo e gerenciamento da produção dos campos de petróleo.
3 – METODOLOGIA
Para atingir o objetivo proposto, este trabalho aplica uma metodologia de
mapeamento 3D a sistemas turbidíticos canalizados de uma pequena área, e também
restrita seqüência estratigráfica, no contexto da Megasseqüência Marinha Transgressiva
do Cretáceo da margem continental brasileira. Diante das limitações dos dados
disponíveis, desenvolve-se um modelo sedimentológico simplificado do reservatório,
suplementando os dados sísmicos e de poços através de estudos de análogos.
A primeira fase do trabalho consiste na consulta bibliográfica referente a
turbiditos, Geoestatística, Geofísica, caracterização de reservatórios, levantamentos de
dados publicados a respeito da Geologia da Bacia de Campos e sobre o campo estudado.
Também são feitos levantamentos bibliográficos sobre áreas das quais se possam extrair
analogias, utilizadas como base para estudos de depósitos de fluxos gravitacionais de
águas profundas. Aplicam-se conceitos de Estratigrafia, Geologia Estrutural e evolução
tectônica, a fim de obter um modelo numérico tridimensional que agregue de forma
geologicamente coerente os dados de poços e de levantamentos sísmicos, obtidos
diretamente do reservatório modelado, e os dados complementares de modelos
geológicos, extraídos da literatura ou de análogos.
A fase seguinte consiste na análise e interpretações de dados cedidos pela
Agência Nacional do Petróleo (ANP), relativos ao campo estudado, tais como
descrições de testemunhos, perfis geofísicos e dados sísmicos. Os dados existentes são
reinterpretados principalmente através de conceitos da Sedimentologia e Estratigrafia de
Seqüências, e de consultas a trabalhos publicados sobre a área em estudo. Na fase de
interpretação dos dados, utilizam-se recursos geoestatísticos para estimar correlação
entre dados de poços e os atributos sísmicos, analisar a continuidade espacial e realizar
simulações a partir das eletrofácies identificadas, a fim de minimizar erros de estimativa
nos espaços não amostrados (figura 1).
Por fim, a modelagem será concluída a partir dos dados interpretados, gerando
seções interpretadas da área de interesse. Posteriormente, será feita a entrada dos dados
e a modelagem dos objetos geológicos com o uso do programa STRATAMODEL TM.
Nesta etapa, os dados geológicos interpretados em outros softwares compatíveis serão
incorporados, formando objetos tridimensionais.
Figura 1 – Modelo esquemático da integração dos dados sísmicos com dados de
poços para simulação condicional, gerando mapas de riscos imagens simuladas.
Adaptado de: WOLF et al., 1996.
4 – O MÉTODO CIENTÍFICO: VISÃO CONTEXTUAL
O Método Científico é uma seqüência de procedimentos envolvendo o estudo de
sistemas naturais, adotada por pesquisadores, muitas vezes de forma intuitiva, visando a
compreensão de seu funcionamento e, como conseqüência prática, a capacidade
preditiva ou corretiva sobre os mesmos. No entanto, Bacon (apud Naylor et al, 1966),
considerado o pai da filosofia científica, propôs uma estrutura básica no processo de
construção de modelos preditivos de sistemas naturais. Assim, o método científico pode
ser descrito por 5 etapas (figura 2):
1. observação do fenômeno ( sistema físico);
2. formulação de uma hipótese, ou de um modelo matemático;
3. predição do comportamento do sistema, baseado nessa hipótese;
4. validação do modelo;
5. aplicação preditiva.
Figura 2 – Etapas do Método Científico. O fluxograma mostra as 4 fases descritas
por Bacon (1620) que descreve o processo de construção de um modelo qualquer.
Partindo da observação do sistema real o pesquisador formula uma hipótese (ou
um modelo matemático), faz as predições do sistema baseado nessa hipótese por
dedução matemática ou lógica, e por último, realiza experimentações para testar a
validade da hipótese formulada. (adaptado de Bettini, 2000 e Naylor et al., 1966).
A primeira etapa consiste na observação do sistema natural. Em geral, os
sistemas naturais estudados pelas geociências encontram-se em escalas e níveis de
complexidade tais que o pesquisador fica muito limitado em suas observações. É
impossível observar o sistema como um todo, com todas as suas características. Ainda
nesta primeira etapa, o pesquisador organiza o conjunto de dados obtidos e submete-o à
chamada “Análise Exploratória”, na qual já começa a visualizar relações entre os
componentes de seu sistema.
A segunda etapa consiste na elaboração de um ou mais modelos para representar
seu sistema. Um modelo, a ser conceituado de modo mais preciso adiante, tem a
finalidade de representar os aspectos do sistema natural que são mais relevantes para os
objetivos da pesquisa. Esta etapa tem a característica de uma inferência indutiva, isto é,
de observações localizadas, ou fragmentadas, chega-se a uma representação global do
sistema.
A terceira etapa consiste na resolução de cada modelo elaborado, com base na
dedução matemática ou lógica, no sentido de prever, com base no modelo,
o
comportamento do sistema em locais ou momentos em que não é conhecido.
A última fase
é a validação de cada
modelo elaborado. É a etapa de
experimentação, para saber se cada modelo alternativo, com sua simplificação em
relação ao sistema, reproduz satisfatoriamente as observações feitas no sistema real.
O método é iterativo. Cada vez que a etapa de validação não retorna um modelo
coerente com as características observadas no sistema real, em pontos onde o mesmo é
conhecido, retorna-se à coleta de dados ou ao ponto onde pode ter havido uma falha.
Apenas atendendo aos critérios de validação é que um modelo pode servir ao uso
preditivo.
5 – Modelos
Antes de conceituar modelo, deve-se entender o significado de sistema.
Denomina-se sistema um conjunto de componentes dinamicamente interligados dentro
de uma fronteira, que pode ser aberta ou fechada. As fronteiras de um sistema são ditas
abertas quando o conjunto interage com o exterior, influenciando e sendo influenciado.
Caso contrário, a fronteira é dita fechada. Na realidade, não existem sistemas naturais
com fronteiras fechadas, pois sempre há interações com o meio adjacente. O grande
número de componentes, a complexidade das interações e a dificuldade de se prever as
conseqüências de alterações em componentes ou na estrutura de um sistema dinâmico
motivaram os pesquisados a desenvolver o conceito de modelo.
Modelo é uma representação simplificada de um sistema, contendo alguns de
seus componentes básicos, sobre os quais se pretende realizar simulações para fins
preditivos. Naylor et al. (1966) definem modelo científico como uma abstração de um
sistema real, que possa ser utilizada com propósitos de predição e controle, tendo como
finalidade a de permitir ao analista determinar em que proporções uma ou mais
mudanças em determinados aspectos de um sistema, representado pelo modelo, poderão
afetar o sistema ou parte dele. Modelo, portanto, é um sistema artificial, concebido para
representar de forma simplificada um sistema real (Bettini, 2000).
Os modelos podem ser conceituais, físicos ou matemáticos (figura 3). Modelo
conceitual é uma imagem mental de um sistema natural, podendo ser expresso na forma
diagramática.
Nesta categoria se enquadram os blocos-diagrama, comuns em
comunicações técnicas e científicas das geociências.
Os físicos são representações
físicas de sistemas reais, como exemplo, os simuladores físicos (túneis aerodinâmicos,
maquetes, etc). Os modelos matemáticos são abstrações de sistemas reais, representados
por expressões contendo variáveis, parâmetros e constantes. Estes últimos são
classificados em: probabilísticos e determinísticos. O modelo matemático é
probabilístico quando contém variáveis aleatórias. No caso determinístico, ao contrário,
a variável aleatória é ausente.
O processo de construção do modelo envolve as quatro primeiras etapas do
método científico.
Num primeiro momento, são observados os fenômenos e
selecionados os aspectos de maior relevância, de modo que o modelo não se torne tão
complexo quanto o sistema natural. Na Análise Exploratória, o pesquisador já começa a
descobrir padrões e relações que o direcionam para a escolha de modelos. Antes de ser
utilizado preditivamente, um modelo deve passar pela etapa de validação, conforme
explicado anteriormente. Nesta etapa, costuma-se escolher entre modelos alternativos,
recaindo a escolha na alternativa que otimize uma função objetivo. Esta pode combinar,
com distintos pesos, critérios tais como custos financeiros, ambientais e sociais, riscos
materiais e pessoais e índices econômicos, além de possíveis aspectos estratégicos.
A Estatística contribui para a boa realização de todas as etapas do método
científico, começando pelo plano de amostragem, ou coleta de dados, o qual deve dar o
máximo de informação pelo mínimo custo. Daí a necessidade de se proceder a uma
revisão dessa disciplina, que constitui um dos alicerces da metodologia utilizada nesta
tese.
Modelo
Conceitual
Mental
Diagramático
Matemático
Solução
exata
Físico
Simulação
Estocástico
Escala
Analógico
Determinístico
Figura 3 – Esquema representativo da classificação de modelo que pode ser:
conceitual, físico ou matemático (Bettini, 2000 – comunicação verbal).
CAPÍTULO II
PRINCÍPIOS MATEMÁTICOS PARA MODELAGEM GEOLÓGICA
1 – POPULAÇÃO E AMOSTRA
Durante a etapa de mapeamento geológico, o geólogo de campo procura por
afloramentos e estruturas que lhe possam indicar a continuidade e a disposição das
rochas no subsolo. Os afloramentos muitas vezes fornecem dados pontuais, que o
geólogo utiliza para fazer interpretações e gerar o mapa geológico de sua área de
trabalho. O mapa gerado é uma representação da população, no caso todo o volume de
rochas e seu arranjo espacial. Como a população não se apresenta de forma visível em
todos os pontos, o geólogo utiliza os afloramentos disponíveis, que representam a
amostra, no sentido estatístico.
Segundo Bussab & Morettin (1987, p. 182), a “População é todo o conjunto de
indivíduos (ou objetos), tendo pelo menos uma variável comum observável”. Segundo
esses mesmos autores, “amostra é qualquer subconjunto da população” (figura 4).
As medidas relacionadas a uma população qualquer recebem o nome de
parâmetros. Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma população
(Morettin & Bussab,1987, p. 189). Já as medidas relacionadas às amostras recebem o
nome de estatísticas ou estimadores. Isto significa que a mesma propriedade pode
descrever um parâmetro ou uma estatística, dependendo de sua origem, seja da
população ou de uma amostra.
A tabela 1 (abaixo) mostra algumas medidas relativas à população e seus
correspondentes na amostra. Os valores numéricos que as estatísticas assumem na
amostra são chamados de estimativas.
Tabela – 1 Medida de população e seus correspondentes na amostra.
(fonte: Morettin & Bussab,1987; Bettini, 2000).
POPULAÇÃO
AMOSTRA
Censo
Amostragem
Parâmetros
Estimadores
Média (µ)
Valor esperado E(X) = x
Variância (σ2)
Var(X) = S2
No de elementos (N)
n
Proporção (p)
p̂
Figura 4 – Esquema simplificado da representação de população, amostra e
amostragem de um dado qualquer.
2 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
Quando uma variável X, associada a uma população, toma valores de um
intervalo ou de um conjunto discreto, a freqüência com que ocorrem subintervalos ou
valores pontuais pode ser apresentada na forma de tabelas e gráficos conhecidos como
distribuições de freqüência. Numa amostra de tamanho n, o número de vezes com que
ocorre um valor, ou o número de valores dentro de um subintervalo ou classe, é a
freqüência absoluta do valor ou da classe. A razão entre a freqüência absoluta e o
tamanho da amostra é a freqüência relativa. Assim, se n é o número total de
observações, e ni é a freqüência absoluta na i-ésima classe, então a freqüência relativa:
fica
f
i
= ni .
n
Em análise de dados quantitativos, há situações em que é necessário saber a
proporção dos elementos que se encontram abaixo ou acima de um valor crítico ou de
referência. Para tal, usa-se a medida de freqüência relativa acumulada. Segundo Bussab
& Morettin( 1987, p 23 ), “dadas n observações de uma variável quantitativa e um
número real qualquer, x, indicar-se-á por N(x) o número de indicações menores ou
iguais a x, e chama-se de função distribuição acumulada (FDA) a função definida por :
Fn ( x ) = N ( x ) / n.
3 – Probabilidade
Antes de conceituar probabilidade, convém abordar alguns conceitos
preliminares, que se referem a experimentos aleatórios, espaços amostrais e eventos
aleatórios.
Experimento aleatório é o “processo de coleta de dados relativos a um fenômeno
que acusa variedade em seus resultados” (Soares et al, 1991). Distingue-se do
experimento determinístico pela impossibilidade de se prever o resultado preciso de
cada realização, por mais que se controlem as condições em que é operado. Repetições
do mesmo experimento aleatório em idênticas condições conduzem a uma variedade de
resultados. Exemplo: lançamento de um dado equilibrado sobre uma superfície plana
horizontal, cem vezes.
Bussab & Morettin(1987, p. 75) descrevem como espaço amostral “o conjunto
de todos os resultados possíveis de um experimento, e tem o evento como subconjunto”.
No exemplo acima, o espaço amostral é o conjunto Ω = {f1, f2, f3, f4, f5, f6 }, em que
fk designa a face identificada com o número k ∈ {1,2,3,4,5,6}. Qualquer subconjunto
de Ω é um evento aleatório.
Uma vez definido o objeto de estudo, o espaço amostral, deve-se então procurar
entender como é o comportamento dos eventos na natureza, criando funções que
descrevam a distribuição de freqüência relativa dos eventos aleatórios.
A probabilidade é o grau de certeza, quantificado na escala entre zero e
a unidade, que o observador tem quanto à ocorrência de um evento aleatório. Um evento
impossível de ocorrer, na avaliação do observador, tem probabilidade nula. Um evento,
de cuja ocorrência o observador tem certeza, tem probabilidade unitária. Há várias
definições de probabilidade na literatura.
A primeira a ser descrita neste trabalho é a definição clássica. Esta definição diz
que a probabilidade de um evento ocorrer é a razão entre o número de casos favoráveis
ao mesmo, no espaço amostral, e o número de casos possíveis, ou seja: se A é o evento
de interesse, a probabilidade de A ocorrer, sendo representada por P(A), é dada por:
P ( A) =
n( A )
N .
Esta definição admite que todos os casos possíveis sejam equiprováveis e que se
conheça completamente o mecanismo gerador dos resultados possíveis. Não tem valor
prático nas geociências.
A segunda definição é a freqüencial. Esta definição baseia-se na regularidade
estatística, quando um experimento é repetido um grande número de vezes, em
condições semelhantes.
Sejam: A o evento de interesse, N o número de realizações do experimento
aleatório e n(A) o número de vezes em que A ocorreu. Então:
P( A) = lim
N →∞
n( A )
N .
Esta expressão significa que a freqüência relativa do evento A aproxima-se da
probabilidade de A, à medida que cresce o número de realizações do experimento.
Conseqüentemente, quanto maior o número de realizações, mais precisa é a estimativa
da probabilidade de ocorrência do evento considerado. Na exploração do petróleo, o
índice de sucesso de poços exploratórios numa bacia pode ser usado como uma
probabilidade (a priori) de sucesso de um novo poço exploratório na mesma bacia.
A terceira definição, probabilidade subjetiva, é muito útil em geociências, pois
leva em consideração o nível de informação que o profissional tem em relação ao
fenômeno estudado. No caso da exploração de petróleo, cada poço perfurado traz novas
informações que afetam a avaliação da chance de sucesso das perfurações subseqüentes.
Notação: Se A e B são eventos do mesmo espaço amostral, P[A|B] é a
probabilidade de A ocorrer, dado que B já ocorreu. Então, no caso da probabilidade
subjetiva:
P[A|info.] = probabilidade de A ocorrer, dada uma informação
A notação descrita anteriormente, P[A|B], representa uma probabilidade
condicional. A probabilidade condicional é a razão entre a probabilidade de ocorrência
conjunta dos eventos considerados e a probabilidade de ocorrência (a priori) do evento
condicionante:
P[ A | B ] =
P[ A ∩ B ]
P[B ]
.
4 - DEPENDÊNCIA ENTRE EVENTOS ALEATÓRIOS
Dois eventos aleatórios podem apresentar dependência mútua, ou mostrar que
são independentes entre si.
Dados dois eventos A e B, num espaço amostral Ω, diz-se que são independentes
quando:
P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B).
Significa que a probabilidade de um ocorrer, dado que o outro já ocorreu, é igual
a probabilidade individual de A ou de B, para o primeiro e o segundo caso
respectivamente. Isso mostra que a informação sobre a ocorrência de um evento não
altera a avaliação da probabilidade de ocorrência do outro.
5 – TIPOS DE VARIÁVEIS
Nas aplicações das geociências, costuma-se reconhecer dois tipos de variáveis:
qualitativas e quantitativas. As variáveis qualitativas são assim definidas por
representarem atributos dos componentes de um conjunto de amostras do objeto
pesquisado, os quais possibilitam a classificação dos objetos em categorias, ordenáveis
ou não. As variáveis qualitativas, por sua vez, subdividem-se em nominais e ordinais.
As variáveis nominais podem ser, por exemplo, cor, nome de rocha, fácies, etc. Nas
variáveis nominais, as categorias têm uma ordenação natural, como é o caso da escala
de dureza dos minerais (escala de Mohs).
As variáveis quantitativas resultam de processos de contagem ou medição.
Subdividem-se em discretas e contínuas. Num dado intervalo estratigráfico, o número
de camadas de uma dada litologia exemplifica uma variável discreta. A sinuosidade, a
largura e o comprimento de canais formados por fluxos gravitacionais são exemplos de
variáveis contínuas (figura 5).
A conseqüência metodológica que advém da classificação de variáveis reside na
conjugação dos seguintes fatos: (1) o nível de informação aumenta das qualitativas
nominais para as quantitativas contínuas e (2) há métodos específicos para tratar cada
tipo, tirando o máximo proveito da informação contida nos dados.
Nominal
Qualitativas
Ordinal
Variáveis
Quantitativas
Discreta
Contínua
Figura 5 – Classificação dos tipos de variáveis
(adaptado de Bussab & Morettin, 1987)
6 – VARIÁVEIS MULTIDIMENSIONAIS
Geralmente, no tratamento de sistemas complexos, são feitas análises utilizando mais de
uma variável de forma conjunta. São chamadas de variáveis multidimensionais.
Os conjuntos multivariados (variáveis multidimensionais) podem ser analisados através
de tabelas, matrizes de covariância, gráficos e diagramas de distribuição conjunta, de
modo a facilitar a identificação de relações entre as variáveis (figura 6).
Os diagramas de duas ou mais variáveis servem para análise, como também para
mostrar se existe uma relação entre as variáveis envolvidas, ou seja, destacar a
existência e a forma de dependência entre as mesmas. É interessante destacar que essa
dependência, quando do tipo linear, pode ser medida através de um único número,
chamado coeficiente de correlação.
O coeficiente de correlação varia entre –1 e +1, sendo que, quanto mais próximo do
valor 1, em valor absoluto, maior será a correlação entre as variáveis, e quanto mais
próximo do valor 0, menor a correlação entre as variáveis. É importante notar que
dependência e correlação não são sinônimos. Havendo correlação, as variáveis são
dependentes, mas a recíproca nem sempre vale. Pode haver uma forte relação nãolinear entre duas variáveis com baixa ou nenhuma correlação linear.
Segundo Bussab e Morettin (1987), dados n pares de valores (x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn),
o coeficiente de correlação experimental entre as variáveis X e Y é calculado pela
seguinte expressão:
corr( x, y ) =
=
1 ∑ ( xi − x ).( yi − y )
n DP( x ).DP( y )
∑ x .y
i
i
=
− n. x . y
( ∑ x i − n. x ).( ∑ yi − n. y )
2
2
2
2
.
Se a distribuição dos pontos amostrados no gráfico estiver disposta de tal modo a tomar
a forma aproximada de uma nuvem elíptica alongada no sentido do terceiro para o
primeiro quadrante, a correlação linear é elevada e positiva, isto é, quando uma variável
cresce, a outra tende a crescer. Se o alongamento for do segundo para o quarto
quadrante, a correlação é negativa. À medida que a nuvem de pontos se torna menos
alongada, aproximando-se da forma circular, a correlação diminui.
Figura 6 – A figura mostra uma correlação de 62% entre duas variáveis (primária e
secundária). Quanto mais próximo do valor 1, maior será a correlação, e
conseqüentemente, mais próximo será a nuvem de uma reta traçada a 45o a partir da
origem (0,0).
Fonte: Imagem gerada pelo software de Geoestatística GSLIB.
7 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
As variáveis aleatórias são funções matemáticas que atribuem valores numéricos
aos resultados possíveis dos experimentos aleatórios. Esses valores podem ser inteiros
ou reais, dando origem a variáveis aleatórias discretas e contínuas.
7.1 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Uma variável aleatória (VA) discreta é representada pela função X, definida
sobre um espaço amostral Ω e que toma valores num subconjunto enumerável de pontos
do conjunto dos números inteiros. Exemplo: no lançamento de um dado, o espaço
amostral é o conjunto Ω = {f1,f2,f3,f4,f5,f6}; a função X ( = número da face superior
do dado em repouso) associa ao domínio Ω o contradomínio RX = {1,2,3,4,5,6}. Há
várias formas de expressar esta função chamada variável aleatória:
1. em forma de conjunto de pares ordenados para conjuntos limitados,
pequenos:
2. X = {(f1,1), (f2,2), (f3,3), (f4,4), (f5,5), (f6,6) }
3. em forma de conjunto de pares ordenados genéricos, para conjuntos grandes
ou enumeráveis, mas infinitos:
X = {(w,x)| w ∈ Ω , x = X(w) = expressão matemática ou definição }
No exemplo acima:
X = {(w,x)| w ∈ Ω , x = X(w) = número da face superior }
4. tabela:
Tabela 2 – Conjunto de pares ordenados
w
X(w)
f1
1
f2
2
F3
3
F4
4
F5
5
F6
6
5. mapeamento:
Figura 7 - A figura mostra relação dos conjuntos domínio e o contradomínio
pela variável aleatória X.
Cada elemento w de Ω tem um correspondente X(w) em RX, denominado
imagem. Subconjuntos de Ω também têm suas imagens em RX . Ambos os
subconjuntos em Ω e RX são considerados eventos aleatórios, tendo ambos a mesma
probabilidade de ocorrer. Portanto, os valores possíveis de uma variável aleatória têm
uma probabilidade associada. O conjunto de pares ordenados de valores da VA e
respectivas probabilidades formam uma nova função, denominada função de
probabilidade da VA discreta ou função massa de probabilidade. No exemplo dado
anteriormente, a VA X tem a seguinte distribuição de probabilidade:
(1) em forma de conjunto de pares ordenados para conjuntos limitados,
pequenos:
p = {(1,1/6), (2,1/6), (3,1/6), (4,1/6), (5,1/6), (6,1/6) }
(2) em forma de conjunto de pares ordenados genéricos, para conjuntos grandes
ou
enumeráveis, mas infinitos:
X = {(x,y)| x 0 RX , y = p(x) = P[X=x] = probabilidade de a VA X ser = x }
tabela:
Tabela 3 – Conjunto de números discretos x com suas respectivas probabilidades
uniformes.
1. gráfico (Figura 8):
P[X=x]
x
Figura 8: Distribuição de probabilidade da VA discreta X igual ao número da
face livre após lançamento de um dado.
Cada distribuição de probabilidade pode ser resumida através de medidas,
denominadas parâmetros. Apresentam-se aqui apenas os mais usuais, que serão
utilizados no desenvolvimento dos modelos apresentados neste trabalho, a saber:
(1) O valor esperado :
n
E ( X ) = ∑ x i pi = µ .
i =1
(2) Numa distribuição de probabilidade discreta, a dispersão numérica dos
valores possíveis pode ser quantificada pela variância:
n
Var ( X ) = ∑ [ X i − E ( X )]2 . pi .
i =1
(3) O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e tem a vantagem de ser
expresso nas mesmas unidades da variável X.
DP( X ) = + Var( X ) .
7.1.1 – FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DE UMA VA DISCRETA
Se X é uma VA discreta, dá-se o nome de Função de Distribuição Acumulada (FDA) a:
FX ( x ) = P( X = x ),
sendo x ∈ Rx..
7.1.2 – MODELOS PROBABILÍSTICOS DE DISTRIBUIÇÃO DE UMA VA DISCRETA.
Existem vários modelos de distribuição de probabilidade para VAs discretas,
porém, neste trabalho, serão apresentadas apenas
as distribuições uniforme e de
Bernoulli, por serem largamente empregadas nos procedimentos geoestatísticos.
7.1.2.1 – DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DISCRETA
Dos vários modelos, a distribuição é o caso mais simples.
Se VA. X é discreta, e assume valores de um espaço amostral Ω, que contém
x1,...xn. A distribuição de VA X será uniforme se:
P(X = xi) = P(xi) = p = 1/n, para todo i = 1, 2, ..., n.
O valor esperado de X, E(X) é:
E ( X ) = 1/ n∑ xi ,
e sua variância é extraída através da seguinte fórmula:
Var ( X ) = 1 / n {∑ xi2 − ( ∑ xi2 )}.
Este tipo de distribuição, apresenta a seguinte função de distribuição acumulada:
F ( X ) = ∑( x ≤ x ) 1 / n = k ( x ) / n,
i
onde k(x) é o número de (xi ≤ x).
Figura 9: O gráfico (a) mostra a função distribuição de probabilidade. Em (b) a
função de distribuição.
Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica, 1997.
7.1.2.2 – DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Esta distribuição descreve a probabilidade de ocorrência de situações binárias,
ou seja, a probabilidade de um evento ocorrer ou não, de haver sucesso ou haver
fracasso, sim ou não.
V.A. discreta X, toma valores 0 para o caso de ocorrer fracasso, e 1 para
ocorrência de sucesso. Sua função de probabilidade é:
Para x = 0,
p ( x ) = (1 − p );
Para x = 1,
p( x ) = p
O valor esperado de uma VA de Bernoulli é:
E ( X ) = p.
Sua variância é dada por:
Var ( x ) = p (1 − p ).
A V.A. de Bernoulli tem a seguinte função de probabilidade acumulada:
0, se x < 0;
F ( X ) = 1 − p, se 0 ≤ x ≤ 1 ,
1, se x ≥ 1.
Figura 10: Distribuição de Bernoulli. Acima é mostrado o sistema binário, o
evento ocorre ou não. A probabilidade de um evento não ocorrer , ou seja x = 0,
é 1-p, enquanto que a probabilidade deste evento ocorrer, x = 1, é p.
7.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
As variáveis quantitativas contínuas tomam valores dentro de intervalos de
números reais, assim como a própria definição de variáveis quantitativas. Contudo,
estão associadas a modelos probabilísticos. Resultam de medidas de comprimento,
massa, tempo e concentrações, bem como de números puros, tais como proporções e
porcentagens.
Não existe uma função de probabilidade semelhante à função massa de
probabilidade, para variáveis contínuas. Não faz sentido calcular a probabilidade de
valores pontuais de uma VA contínua. Para caracterizar o aspecto probabilístico, neste
caso, define-se a função densidade de probabilidade.
Uma
função f(.) pode ser
utilizada como função densidade de probabilidade da VA X, se satisfizer ambas as
condições a seguir:
(1)
f é não negativa: f(x) ≥ 0;
a área total sob a curva {[x,f(x)]} é igual a 1:
∫ f ( x ) dx = 1.
RX
A função de densidade não fornece a probabilidade de um evento aleatório
diretamente. Para uma VA contínua, só faz sentido calcular a probabilidade de eventos
representados por intervalos do domínio de X. Para fornecer probabilidades
diretamente, é necessário definir a Função de Probabilidade Acumulada, como segue:
Extraindo-se ao acaso um valor x da VA X, a probabilidade de x pertencer ao
intervalo (a,b), simbolizada por P[a ≤ X ≤ b], é igual à área sob a curva no intervalo
(a,b), tendo a e b como pontos distintos do domínio de X (abscissa):
b
P ( a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x )dx.
a
7.2.1 – MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS CONTÍNUAS
Assim como no caso das variáveis discretas, existem diversos modelos
elaborados para variáveis contínuas. Descreveremos apenas os mais utilizados nos
procedimentos geoestatísticos: as distribuições uniforme, normal e lognormal.
7.2.1.1 – MODELO UNIFORME
A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (α,β),
representada por X:U(α,β), se a função densidade de probabilidade for (figura 11):
Figura 11: Função de distribuição uniforme contínua da variável aleatória X.
Fonte: Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica, 1997.
A Função acumulada será (figura 12):
x
F
X
( x) = P( X ≤ x) =
∫
−∞
f ( x ) dx .
Figura 12: Função densidade acumulada da variável aleatória uniforme contínua
X.
Fonte: Morettin & Bussab
A distribuição de X:U(α,β), tem valor esperado e variância dados pelas
expressões:
b
E(X ) =
∫ x . f ( x ) dx
= (α + β
)
2= µ,
a
( β − α )2
Var ( X ) = ∫ ( x − µ ) f ( x ) dx =
=σ 2.
12
a
b
2
7.2.1.2 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Trata-se da distribuição de probabilidade mais importante das variáveis
aleatórias contínuas. Diversos fenômenos naturais, assim como procedimentos
experimentais, como é o caso dos erros de medida, conduzem a distribuições que se
aproximam da normal. Um dos teoremas fundamentais da estatística, o Teorema do
Limite Central, diz que, se a flutuação total de uma certa variável aleatória decorrer da
somatória das flutuações de muitas variáveis independentes e de importância
aproximadamente igual, sua distribuição tenderá para a normalidade, não importando
qual seja a natureza das distribuições das variáveis individuais. A variável aleatória X
tem distribuição normal, com parâmetros µ e σ é normal se sua função densidade de
probabilidade for:
f
se
( x) =
X
1
σ ( 2π )
2
 x−µ 
− 0 .5 
e  σ  ,
− ∞ < x < + ∞.
onde µ e σ são parâmetros de distribuição(figura 13).
Figura 13: Representação gráfica da distribuição Normal.
Características de uma curva normal:
•
possui média µ;
•
o desvio padrão é igual a σ;
•
a moda é igual a média;
•
a curva é simétrica em relação a µ;
•
as inflexões da curva ocorrem em (µ - σ) e em (µ + σ);
•
a curva é assintótica ao eixo horizontal em ambas as direções;
•
a área total limitada pela curva e pelo eixo horizontal é igual a 1.
A variável aleatória X com distribuição normal é denotada por N(µ, σ2). A
probabilidade em cada intervalo é igual à área sob a curva, naquele segmento.
O cálculo dos valores de probabilidade para qualquer intervalo de X na
distribuição normal é obtido através de sua transformação em evanto equivalente na
distribuição normal padrão, cuja média é zero e cujo desvio padrão é unitário. A VA
normal padrão Z, denotada por Z: N(0,1) encontra-se tabulada em textos de Estatística
(e.g., Bussab e Morettin, 1987) e programada na maioria dos pacotes estatísticos
computacionais conhecidos. Para transformar um intervalo (x1, x2) pertencente a X
num evento aleatório equivalente (z1, z2) de Z, utiliza-se a transformação de
padronização, expressa abaixo:
Z=
(X − µ)
σ
.
7.2.1.3 – DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL
Uma VA X tem distribuição Lognormal quando a VA Y=lnX tem distribuição
normal, isto é, Y: N(α,β), onde α é a média dos logaritmos de X e β é o desvio padrão
dos logaritmos de X.
. A função densidade de probabilidade da distribuição lognormal é:
f
( x) =
X
1
xβ 2π
2
e −0.5[(ln x −α ) / β ] .
Este tipo de distribuição é muito comum em geociências. Sua função densidade
de probabilidade tem forma assimétrica com cauda alongada à direita, caracterizando
uma assimetria positiva. Significa que apresenta alta freqüência de valores baixos e
poucas medidas com valores muito altos, quando comparados aos valores da classe mais
freqüente. Diversos fenômenos conhecidos nas geociências, tais como a distribuição de
tamanhos de grãos em depósitos sedimentares, tamanhos de campos petrolíferos
descobertos em bacias sedimentares e teores de elementos químicos de baixa
concentração no solo, apresentam este tipo de distribuição.
Figura 14: Histograma com distribuição lognormal.
Fonte: Dados true.dat da GSLIB, Deutsch & Journel (1998).
8 – GEOESTATÍSTICA
A Geoestatística é um ramo da Estatística Aplicada, também chamado de
Estatística Espacial, que se caracteriza pela modelagem da continuidade espacial de
fenômenos naturais.
8.1 – CONCEITOS BÁSICOS
Segundo Matheron (1970, apud Souza Jr., 1997), dentro da construção de um
modelo matemático, o primeiro nível de abstração consiste em representar a
interpretação de um fenômeno natural e regionalizado através de uma função numérica,
denominada variável regionalizada (VRe).
Variáveis regionalizadas, segundo a explicação de Yamamoto (2001, P.70), são
aquelas que representam fenômenos referenciados geograficamente, e que foram
introduzidas para descrever quantitativamente variações espaciais de jazidas minerais.
Trata-se de uma função numérica pertencente ao conjunto Rn, que representa fenômenos
espacialmente contínuos. A variável regionalizada z(u) é uma variável mapeável como,
por exemplo, uma superfície topográfica ou o topo de uma formação de rochas
sedimentares. Quando se trata de uma variável z com distribuição geográfica em
superfície, com os pontos de observação (u), representados por um par de coordenadas
(x,y), o domínio reduz-se a um subconjunto do R2. Neste caso, a notação de um valor
específico de z no ponto (u1) fica:
z (u1 ) = z ( x1 , y1 ) .
A VRe z(u) = z(x,y) tem um valor único em cada ponto (u) de seu domínio.
Entretanto, após uma campanha de amostragem, que corresponde à primeira etapa do
Método Científico, torna-se conhecida em apenas alguns pontos. Para ser estimada em
pontos não amostrados (terceira e quinta etapas do método científico, descrito
anteriormente), será necessário representá-la através de um modelo probabilístico, que
quantifica a incerteza em todos os pontos do domínio de interesse.
Em cada ponto (u) = (x,y) em que z é desconhecida, define-se a variável
aleatória local Z(u) = Z(x,y), cuja distribuição quantifica o nível de incerteza sobre seu
valor único, porém desconhecido, (Bettini, 2000, comunicação verbal). Sua distribuição
é condicionada às informações dos pontos vizinhos, sendo que, quanto maior for o nível
de informação, menores serão as incertezas em torno do ponto estimado. O valor
verdadeiro de z(u) representa, portanto, um atributo da população, enquanto que o valor
estimado da variável aleatória local representa um estimador daquele valor
desconhecido. O conjunto de variáveis aleatórias locais sobre todo o domínio de z(u) é
chamado de função aleatória (FA).
Para cada par de pontos (u) e (u+h), separados pelo vetor h < a, e pertencentes a
um subconjunto do domínio de z, as correspondentes VAs locais Z(u) e Z(u+h), não
são independentes, mas ligadas por uma correlação que exprime a continuidade espacial
da VRe. A distância a que limita a existência dessa correlação chama-se alcance ou
amplitude, e constitui um dos principais parâmetros utilizados pela Geoestatística para
quantificar a continuidade especial da variável z na direção do vetor h.
Uma das funções mais utilizadas na Geoestatística para representar a
continuidade espacial da FA Z(u) na direção do vetor h é o chamado semivariograma:
γ (h ) = E[ Z (u ) − Z (u + h )]2 .
O semivariograma representa a semivariância da diferença da mesma
propriedade Z medida em pares de pontos (u) e (u+h), separados pela distância h.
Quanto mais próximos os pontos,
menor a variância da diferença. Portanto, para
valores de h menores que o alcance, o semivariograma é uma função crescente, para
fenômenos ditos “de transição”, descritos a seguir.
Figura 15: Semivariograma teórico de um fenômeno transição, ilustrando o
alcance e o patamar, onde se estabiliza a semivariância.
Fonte: Yamamoto, J. K. Avaliação e Classificação de Reservas Minerais, 2001.
Se a função aleatória tem a mesma distribuição em todos os pontos de uma
região, diz-se que é estacionária. Armstrong (1998), explica que uma variável ou função
aleatória é estacionária quando sua distribuição não varia sob translação. Existem 4
ordens de estacionariedade. Contudo, neste trabalho será descrita apenas a hipótese de
estacionariedade de 2a ordem. Uma FA é estacionária de segunda ordem se:
1. E{Z(x)} não depende do ponto x, então E{Z(x)} = µ ;
2. Se,
para cada par de variáveis aleatórias [Z(x), Z(x+h)], existe a
covariância, esta depende apenas do vetor h, sendo:
C ( h ) = E{Z ( x + h ) . Z ( x )} − µ 2 .
1. a
estacionariedade
da
covariância
implica
a
existência
e
a
estacionariedade da variância e do semivariograma.
Fenômenos que satisfazem esta hipótese são chamados fenômenos de transição,
e caracterizam-se por um semivariograma com patamar, conforme foi ilustrado
anteriormente na figura 15.
8.2 – ANÁLISE ESTRUTURAL
Segundo (Huijbregts, 1975 apud Yamamoto, 2001), o variograma é a ferramenta básica
que permite descrever quantitativamente a variação no espaço de um fenômeno
regionalizado.
Campozana (1990) descreve a análise variográfica como a etapa mais importante da
caracterização espacial de uma variável regionalizada.
O variograma é uma forma numérica de representar a continuidade espacial de um
fenômeno natural, como a continuidade de camadas sedimentares ou tipos de solos.
Leva em consideração a anisotropia e as feições estruturais do meio.
A variabilidade, ou correlação espacial, de uma função aleatória, num determinado
espaço geográfico, é caracterizada pela covariância C(h) ou pelo semivariograma.
Admitida a hipótese de estacionariedade de segunda ordem, o semivariograma e a
covariograma são complementares em relação à altura do patamar:
γ (h) + C (h ) = C (0) = σ 2 ,
onde C(0) é a altura do patamar, que corresponde à variância a priori de Z, isto é, a
variância dos valores de Z quando se ignoram as suas posições espaciais (Figura 16).
Figura 16 : Semivariograma hipotético de um fenômeno de transição, ilustrando sua
relação com o covariograma C(h).
O semivariograma experimental é definido sobre os dados amostrais da seguinte forma:
2
1 n(h)
γ (h) =
[ Z ( x + h ) − Z ( x )] .
∑
2n (h ) i =1
Componentes do Variograma:
No gráfico do variograma γ(h) versus h, chama-se alcance ou amplitude a distância a
partir da qual as amostras deixam de ter correlação e tornam-se independentes umas das
outras.
Patamar é o limite do variograma, onde h = a, ou seja, γ(a) = C(0) - C(a) = σ2, onde a
= alcance.
Certos variogramas apresentam descontinuidades na origem. Isto pode ocorrer devido a
erros de amostragem, imprecisões de medida ou microvariabilidade local. Essas
descontinuidades na origem recebem o nome de efeito pepita.
Existem outros comportamentos que o variograma pode apresentar junto a origem, além
do efeito pepita, como o linear e o parabólico. O comportamento linear apresenta uma
forma retilínea, tangente e obliqua à origem.
O comportamento parabólico representa alto grau de continuidade espacial do fenômeno
estudado. Um bom exemplo de deste tipo são as camadas de carvão.
Um outro fator de importância relevante na análise estrutural é a anisotropia. A
anisotropia exerce grande influência na continuidade espacial dos fenômenos naturais,
pois, num meio anisotrópico, as propriedades físicas do meio são diferentes ao longo de
direções distintas. Isso requer que a análise do variograma se faça em diversas direções,
para identificar os eixos principais de uma elipse ou de um elipsóide, conforme a
dimensão do domínio, para representar a anisotropia.
A anisotropia pode ser zonal, geométrica ou uma combinação de ambas. Na anisotropia
geométrica, o patamar é constante e os alcances são distintos. Na anisotropia zonal, o
alcance é único, mas com patamares distintos em diversas direções. É mista quando a
análise resulta em variogramas com patamares e alcances distintos em direções
distintas.
Figura 17: Os tipos de anisotropias. (A) – anisotropia geométrica; (B) zonal e (C) mista.
8.2.1 – MODELOS VARIOGRÁFICOS
Segundo Campozana (1990), existem 3 tipos de semivariograma para cada
variável regionalizada, que são: experimental ou observado; o verdadeiro e o teórico.
O semivariograma experimental é gerado a partir do conjunto de dados
disponíveis das variáveis locais. O semivariograma verdadeiro é aquele que representa a
variável regionalizada, contudo é desconhecido. O terceiro é o semivariograma teórico,
que é descrito por funções matemáticas, as quais são utilizadas para
ajustar o
semivariograma experimental.
Os modelos variográficos teóricos podem ser divididos segundo o patamar em
dois grupos, os que atingem um patamar, sendo coerentes com a hipótese de
estacionariedade de 2a ordem, e os que não têm patamar. Para os primeiros, pode-se
fazer uma subdivisão em 3 categorias: (1) modelos com comportamento linear próximo
à origem; (2) modelos que apresentam comportamento parabólico junto à origem; e (3)
modelos de comportamento constante, o efeito pepita.
Os modelos com patamar são:
1.
Gaussiano: na origem tem comportamento parabólico, por isso representa
fenômenos altamente contínuos (figura 18-A). Tende ao patamar assintoticamente,
atingindo 0.95 c no alcance prático A= a 31/2.
[
γ (h ) = c 1 − exp
2.
( − h a )] = c [1 − exp ( − 3h
2
2
2
A )].
2
Esférico: é o modelo mais comum, apresenta comportamento linear próximo à
origem (figura 18-B). Sua expressão é:
  3 h 1  h 3 
 c. . −   
γ (h ) =   2 a 2  a  


c

h ≤ a,
h > a.
O parâmetro a é o próprio alcance. O parâmetro c é o patamar.
3.
Exponencial: também apresenta comportamento linear próximo à origem. Seu
alcance prático é igual a
A = 3a. Este modelo tende ao patamar
c
assintoticamente. Atinge o valor de γ(h) = γ(A) = 0.95c no alcance prático. Sua
expressão é:
γ ( h ) = c [ 1 − exp (− h a )] = c [ 1 − exp (− 3 h A )] .
4.
Efeito buraco: fenômenos cíclicos, que são comuns em Geologia, podem afetar de
forma significativa o variograma causando depressões. Campozana (1990) explica
que isso ocorre pelo fato de que, a partir de uma distância h correspondente a um
ciclo, os pontos começam a ter correlação com outros ciclos. causando diminuição
dos valores de γ(h).


γ (h ) = c 1 − cos .π 
a 

5.
h
.
Efeito pepita: corresponde a um fenômeno puramente aleatório, sem correlação
entre os pontos vizinhos (figura 18-C e D):
0 se h = 0;
1 se h > 0.
γ (h ) = 
Figura 18: Modelos experimentais de variogramas. (A) modelo variográfico
gaussiano, (B) modelo esférico, (C) modelo esférico com efeito pepita, e (D) efeito
pepita puro.
8.3 – KRIGAGEM
Segundo Deutsch & Journel (1998), a krigagem inicialmente era utilizada como
um estimador de média local para pontos não amostrados. Atualmente, porém, na
versão indicatriz, vem sendo usada também para construir modelos probabilísticos de
distribuição de incertezas dos valores dos atributos nos pontos desconhecidos.
A krigagem é um método de interpolação geoestatístico, não tendencioso, de
mínima variância, que se baseia na análise e na modelagem da variabilidade espacial
do atributo, a partir de um conjunto de amostras. Trata-se de um método que permite a
estimação do valor desconhecido Z*(uo) associado a um ponto, área ou volume, a partir
de um conjunto de dados amostrados vizinhos, representados pela variável Z(ui), onde
ui ∈ Rn, e i = 1, 2, ..., n; (Isaaks & Srivastava, 1989; Armstrong, 1998; Deutsch &
Journel, 1998; Yamamoto, 2001).
O estimador de krigagem é uma “coleção de técnicas de regressão linear
generalizadas para minimizar a variância do erro de estimação a partir de um modelo de
covariância pré-definido” (Deutsch & Journel, 1998 apud Felgueiras, 1999).
A estimação do valor médio Z*(uo), utilizando as informações dos atributos
numa área vizinha, é dada pela fórmula:
n
*
Z (u0 ) =
∑ λ Z (u )
i =1
i
i
n
∑λ
i =1
i
,
onde λi é o ponderador da amostra ui na distância d.
A krigagem nada mais é do que uma média ponderada que leva em consideração
o número de amostras envolvidas, a distância entre os pontos conhecidos e o ponto a ser
estimado, o arranjo espacial das amostras dentro do raio de busca e a continuidade
espacial da propriedade através da variografia (Armstrong, 1998). Contudo, há vários
tipos de krigagens que são utilizados em distintas situações.
A krigagem simples necessita do conhecimento da média global da propriedade
sendo estimada. Para o cálculo dos pesos λi, deve-se assumir a seguinte premissa:
A FA é estacionária de 2a ordem, o que significa que a média µ(u) = µ, ou seja,
a média é igual em todo o espaço e que a covariância é dependente apenas do vetor de
separação h.
Considerando-se um ponto Z(u) a ser estimado a partir de n vizinhos
conhecidos, o sistema de krigagem simples é expresso pelo seguinte conjunto de n
equações:
n(u)
λβ (u ).C (u β − uα ) = C (u − uα ), α = 1,2,...n (u )
∑
β
=1
,
Onde:
1. C(uβ- uα) é a covariância entre os pontos uα e uβ;
2. C(u - uα) é a covariância entre a amostra observada em uα e a posição
u.
Outra versão da Krigagem, chamada Ordinária, não necessita do conhecimento
prévio da média estacionária. A média local é calculada
através de informantes
vizinhos. Neste caso, a obtenção de um estimador não tendencioso requer que a soma
dos pesos seja unitária:
n
∑λ
i =1
i
= 1.
O estimador de krigagem ordinária fica:
n
Z (u0 ) = ∑ λi Z (ui ).
*
i =1
Os pesos são calculados através do seguinte sistema:
n(u )
∑λ
i =1
oi
n(u )
∑λ
i =1
oi
(u ).C (ui , uα ) − µ (u ) = C (u, uα )
α = 1,2,...n (u )
= 1.
Onde : C(ui, uα) é a covariância entre as amostras ui e uα; C(u, uα) é a
covariância entre os valores de Z observados em uα e u; µ(u) é o multiplicador de
n(u)
Lagrange, necessário para minimização do erro e associado com a restrição
(Felgueiras, 1999).
∑λ
i =1
oi
=1
Em termos matriciais, a krigagem ordinária é expressa da seguinte forma:
K.λ=k
=>
λ = K-1 . k, sendo que:
C11
C12
.. C1n
1
C21
C22
.. C2 n
1
:
: ; λ= :
h
K= :
:
C n1 C n 2
1
1
.. Cnn
1
..
0
.. C1n
1
C21 C22 .. C2 n
k= :
: : :
1
:
Cn1 Cn 2 .. Cnn
1
1 .. 1
1
0
C11
C12
:
1
λo1
λo 2
λon
µ
λo1
λo 2
X
:
λon
µ
C1u
=
C2 u
:
.
Cnu
1
, onde Cij é a covariância entre os valores de Z em dois pontos amostrais e Ciu é
a covariância entre o ponto sendo estimado e cada um dos pontos amostrais vizinhos.
9 – Simulação Seqüencial: Conceitos e aplicações
A modelagem de atributos geológicos como litologia, geometria de estratos
sedimentares, dentre outros, está longe de ser uma questão de simples solução. É um
meio complexo e o profissional conta com poucos dados para resolvê-la. Então, a
simulação aparece como ferramenta útil que integra o conhecimento do profissional
com técnicas numéricas.
A simulação probabilística é um processo de construção de realizações
alternativas equiprováveis, das variáveis aleatórias que compõem um modelo de uma
função aleatória (Felgueiras, p. 60, 1999). Trata-se de uma técnica numérica de geração
de mapas, com distribuição de probabilidade, na qual os mapas gerados honram os
dados, o histograma e o variograma utilizados como entrada. O resultado da simulação é
uma distribuição de probabilidade da variável de interesse nos pontos simulados dentro
de uma malha definida.
A simulação pode ser usada para auxiliar no estudo de interações complexas, na
tomada de decisões, na estimativa de distribuições de probabilidades, etc. No
desenvolvimento de reservatórios de petróleo, a simulação torna-se muito útil na
caracterização espacial de atributos, a princípio não “mapeáveis” entre os poços.
A simulação seqüencial condicionada usa a função distribuição acumulada de
probabilidade com intervalo [0,1] para obter os valores Z(x). Este método para geração
de números aleatórios é conhecido como Método da Transformação Inversa ou Método
de Monte Carlo.
O Método da Transformação inversa ou de Monte Carlo utiliza a função
distribuição acumulada, gerada através da distribuição condicional local. Para cada
ponto simulado, é sorteado um número p no intervalo [0,1] que será a probabilidade
acumulada naquele ponto. Através da inversa da distribuição acumulada, como mostra
na figura 19, obtem-se o valor simulado zs(x), onde:
z s ( x) = Fˆ −1 ( p)
p[Z≤ z]
Zs
z
Figura 19: Método de Monte Carlo.
Fonte: Campozana, F. P. Modelagem Probabilística e Simulação de
Reservatórios. 1990.
O condicionamento da simulação considera os dados amostrais originais e
também os valores pré-simulados dentro da vizinhança de u. Abaixo, segue o algoritmo
da simulação seqüencial condicionada, para obtenção de valores em n posições não
amostradas (Deutsch & Journel (1998)):
1 – definir a malha;
2 – definir a função densidade acumulada representativa de toda área de
interesse;
3 – normalizar os dados da função densidade acumulada Fz(Z) Fzn(Zn);
4 – definir um caminho aleatório de visita em cada nodo grid. Para cada nó
u(x,y), reter um valor específico dos informantes originais e dos previamentes
simulados;
5 – krigar os dados originais e simulados para a determinação da função
densidade acumulada condicionada (ccdf) em cada nó do grid;
6 – usar Monte Carlo (sortear um valor simulado a partir da ccdf);
7 – adicionar o valor simulado na base de dados;
8 – realizar os passos anteriores em cada nó seguinte;
9 – retornar os valores Fzn(Zn) Fz(Z)
Em cada realização pelo procedimento de simulação seqüencial condicionada,
obtém-se, para cada posição u da malha, um valor numérico para a variável aleatória. O
conjunto de valores obtidos para uma localização u, forma a distribuição condicionada
local (figura 20).
Figura 20: Esquema representativo dos
valores equiprováveis obtidos pela
simulação seqüencial entre dois poços (barras verticais amarelas).
CAPITULO III
GEOLOGIA REGIONAL E MODELOS DEPOSICIONAIS TURBIDÍTICOS
1 – DEPÓSITOS TURBIDÍTICOS
Os depósitos turbidíticos são gerados por fluxos gravitacionais de sedimentos,
em meio a correntes de turbidez. São chamados de fluxos gravitacionais de sedimentos
quando, na mistura de fluido com sedimentos, estes últimos carregam o fluido pela ação
da gravidade (Arienti, 2002, comunicação verbal).
Turbiditos são depósitos resultantes de correntes de turbidez. Segundo Walker
(1986), essas correntes de turbidez são causadas por diferença de densidade, ocorrendo
principalmente pela presença de sedimentos clásticos de granulometria variada, sob
ação da gravidade, em meio aquoso ou subaéreo. O mesmo autor acrescenta outros
fatores importantes que podem influenciar o fluxo turbulento, como a diferença de
salinidade e a temperatura.
Existem vários fatores que podem iniciar correntes de turbidez, como
terremotos, descargas de sedimentos fluviais, tempestades e correntes de fundo (Clark
& Pickering, 1996).
1.2 – MODELOS DE FÁCIES
Os modelos de facies são descrições baseadas nos conjuntos de atributos
litológicos e estruturas sedimentares que tem por finalidade auxiliar na classificação do
depósito. Os modelos de fácies de depósitos turbidíticos iniciaram-se na década de 50
com o trabalho de Kuenen & Miglione (1950, apud Souza Jr., 1999), que, através de
observações de depósitos de Flysch, postularam que uma corrente de turbidez é capaz
de formar depósitos com granulometria ascendente.
Em 1962, Bouma estudando o arenito Anott, na França, constituiu o primeiro
modelo de fácies turbidítica. O modelo de Bouma ficou conhecido como o modelo
“Clássico de Fácies” e alavancou o estudo de novas propostas de padrões de
faciológicos.
A seqüência de Bouma, como ficou conhecida, é caracterizada por seqüência
gradacional contendo 5 camadas, segundo a definição litológica. Essas camadas, da base
para o topo, foram denominadas de camadas A, B, C, D e E. A camada A é composta
por arenito grosso sem estrutura. A camada B por arenito médio com laminação planoparalela. A camada C por arenito fino com climbing ripples, e D e E são rochas
hemipelágicas (Bouma apud Della Fávera, 2000).
Outros autores que criaram modelos geológicos amplamente aceitos dentre os
profissionais de geociências, foram Mutti e Ricci Lucchi. Em 1972, Mutti e Ricci
Lucchi (apud Della Fávera, 2000) criaram um modelo faciológico que variava de A a D,
porém mais subdividido. Os autores descreveram as fácies com a seguinte
nomenclatura: A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2, D3. Onde:
A são conglomerados;
B areias de granulomentrias grossa e média;
C areias média e fina;
D areias muito finas e muito finas com ripples.
A problemática é que as fácies B e C não caracterizavam o depósito como fluxo
turbidítico e poderiam ser encontrados em outro tipos de depósitos.
Em 1983, Fisher desenvolveu uma teoria de transformação de fluxos
gravitacionais (Fisher, 1983 apud Della Fávera, 1993). A teoria diz que as mudanças no
comportamento de fluxos gravitacionais ocorrem entre os estados laminares e
turbulentos, e que podem ocorrer mais de uma vez e de modos diferentes durante a
movimentação (Fisher, 1983 apud Della Fávera, 1993).
Um fluxo pode ser laminar, entrar em turbulência e voltar a ser laminar. Por
vezes, durante a perda de energia do fluxo turbulento, podem ocorrer fluxos laminares e
turbulentos simultaneamente.
Em 1992, Mutti, com base no trabalho de Fisher, reformulou seu modelo de
fácies. Criou uma nova classificação de facies turbidítica segundo o decréscimo de
energia, que vai de F1 até a F9. Assim como na Seqüência de Bouma, o modelo
considera uma desaceleração no fluxo registrada nos depósitos e estruturas formadas
pelas alternâncias entre fluxos turbulentos e laminares.
As fácies e os processos relacionados de Mutti (1992, apud Della Fávera, 1993),
resumidamente, são os seguintes:
Tabela 4: As fácies de Mutti descritas por Della Fávera (1993).
Fácies
Descrição
F1
conglomerado matriz suportado
F2
conglomerado
matriz
Processo associado
fluxo detrítico coeso
suportado
com fluxo hiperconcentrado
suportado
sem fluxo hiperconcentrado
gradação finning-up
F3
conglomerado
clasto
gradação
F4
F5
areia grossa, seixosa com tapetes de tração correntes de turbidez seixosa
(gradação inversa)
de alta densidade
areia grossa, seixosa
correntes de turbidez seixosa
de alta densidade
F6
areia grossa bem selecionada
correntes de turbidez seixosa
de alta densidade
F7
areia média com tapete de tração
correntes de turbidez arenosa
de alta densidade
F8
areia fina sem tapete de tração
correntes de turbidez arenosa
de alta densidade
F9
facies hemipelágica equivalente a facies E correntes de turbidez de baixa
de Bouma
densidade
Mutti et al. (1990), fizeram algumas mudanças. Introduziram o conceito de
fluxos eficientes na deposição turbidítica e retiraram as fácies F4 e F7 (figura 21).
1.3 – MODELOS DE SEDIMENTAÇÃO TURBIDÍTICA
Na tentativa de montar um padrão para estes tipos de depósitos, muitos geólogos
propuseram modelos teóricos que fossem capazes de reproduzir o sistema real.
Contudo, os modelos não eram universais. Isto levou ao COMFAN (Comitê para
estudos de Leques Submarinos), 1982, à conclusão que não existe modelos turbidíticos,
sendo cada caso um caso (Della Fávera, 2000).
Os primeiros modelos sedimentológicos surgiram no início da década de 70 a
partir de descrições de afloramentos. O modelo de sedimentação de turbiditos
inicialmente proposto por Mutti & Ricci Lucchi ( 1972, apud Della Fávera, 2000)
postula que o sistema turbidítico seria formado por: (1) canais entrelaçados; (2) região
de intercanal (crevasse splay, diques marginais); (3) barra de embocadura; (4) lobos
deposicionais; (5) franja de leque e (6) planície batial. Abaixo, segue o layout do
modelo deste autores em 1972.
Os modelos criados até a aparição da estratigrafia de sequências de Vail (1977)
consideravam apenas processos internos como formadores dos depósitos turbidíticos
(Souza Jr., 1997). Com a “Revolução” da Sismoestratigrafia, que culminou no
surgimento da Estratigrafia de Sequências a partir do trabalho de Vail, 1977, os modelos
posteriores a esse período histórico da Geologia de rochas sedimentares, consideravam
também em seus modelos os fatores externos influenciando de forma efetiva os
processos formadores destes depósitos. Destacam-se entre os fatores externos as
variações do nível do mar, a climatologia e a tectônica de placas.
Dos modelos propostos após 1977, tem destaque o modelo de Mutti (1985, apud
Souza Jr., 1997). O modelo proposto pelo autor foi fortemente influenciado pelo
surgimento da Estratigrafia de Seqüências originada a partir do trabalho de Vail et al.
(1977). Mutti passou a considerar que a variação do nível relativo do mar controlaria a
distribuição dos sedimentos. Mutti (1985 apud Souza Jr., 1997) classificou 3 tipos de
turbiditos de acordo com sua posição no talude e sua geomentria, e podem ser:
canalizados (tipo III), que constituem a parte proximal; a parte transicional (tipo II), que
é canalizada e lobada; e a parte distal que é lobada (tipo I). Figura 22.
Figura 22: Modelo sedimentológico de deposição turbidítica.
Adaptado de: Mutti et al. 1999.
Os depósitos turbidíticos são formados nos tratos de mar baixo que ocorrem
durante o rebaixamento relativo do nível do mar, e são vários os contextos onde esses
depósitos podem ser encontrados. Vales incisos surgem com o rebaixamento relativo do
nível do mar, devido a exposição da plataforma marinha (Assine & Perinotto, 2001),
figura 22. Nestas áreas ocorrem passagem de correntes vindas de desembocadura de
rios. Tais correntes, além de erodirem os vales por transportarem sedimentos,
funcionam como alimentadores de complexos mais distais. Os sedimentos depositam-se
na porção superior do talude, mas devido a sua forte inclinação, os sedimentos
permanecem em instabilidade. Estes podem sofrer escorregamentos ou movimentações
pela ação da gravidade se houver algum tipo de perturbação no sistema, que pode ser
causado por terremotos, marés ou correntes de fundo, dentre outros fatores (Clark &
Pickering, 1996).
Com a erosão dos taludes (slopes) durante a fase de rebaixamento do nível do
mar em áreas próximas à desembocadura de rios, na qual ocorre passagem de correntes,
é comum haver preenchimentos por canais arenosos, mas com o aumento do nível do
mar há uma tendência de haver preenchimento do canyon por sedimentos finos e o
abandono do complexo formado durante o nível de mar baixo.
A grande maioria dos depósitos turbidíticos são encontrados em complexos de
leques de talude (Slope-Fan-Basin), turbidito tipo II. O talude é erodido, formando
canyons no próprio talude, e os depósitos formados são complexos de canais e lobos.
Outros tipos de depósitos são complexos de leques de fundo de talude (Basin Floor
Fan), onde se depositam turbiditos tipo I, e canal overbank
(Channel Levee) ou
turbidito tipo III (Arienti, 2000, comunicação verbal) Figura 23.
Os complexos de leques de fundo de talude são encontrados no sopé de taludes,
onde os depósitos são em forma de lobos de geometria tabular. O modelo de Channel
Levee é mais canalizado e se forma em nível de mar não tão baixo quanto os demais. As
formas canalizadas apresentam sinuosidades de acordo com as condições deposicionais
e fisiográficas do local de deposição, e apresentam transversalmente formas côncavas
(em forma de cunha), enquanto que a parte lobada, apresenta-se em formas tabulares.
Clark & Pickering (1996), apresentam em seu trabalho um modelo interessante
para deposição dos canais turbidíticos. Os autores, através de casos reais, determinam
padrões deposicionais através de interações dos processos de amalgamação lateral e
vertical durante a formação do sistema canalizado. Esses processos apresentam um forte
controle na interconectividade das unidades genéticas e na razão largura/profundidade
das rochas reservatórios.
Figura 23: Seção dos sistemas costeiros de deposição juntamente com depósitos
de leques de taludes (turbiditos).
Fonte: ASSINE, M. L. & PERINOTTO, J. A. J. 2001.
O empilhamento dos canais pode ser gerado por processos autocíclicos que
fazem com que haja mudanças de eixos de canais, resultando em migração lateral, e
ocasionam conectividade entre seus depósitos. Quando há agradação dos sedimentos,
geralmente causada por sedimentação confinada, o empilhamento é vertical. O
confinamento, a sinuosidade, a agradação e a migração lateral são fatores que
influenciam na sobreposição dos canais. Quanto mais confinada for a deposição, maior
será sobreposição vertical, que também ocorre com o incremento do aporte sedimentar e
com o aumento da sinuosidade. Existem outros fatores controladores para este último
tipo, tais como: canyons submarinos; domos de sal; diápiros ígneos e falhamentos.
Segundo Clark & Pickering (1996), a proporção areia/lama também é fundamental para
a ocorrência da sobreposição dos depósitos turbidíticos. Quanto maior for o aporte de
areia em relação à lama, maior será o empilhamento, tanto vertical como horizontal.
2 – RESUMO DA EVOLUÇÃO DA BACIA DE CAMPOS
Os sedimentos mais antigos da Bacia de Campos datam do Cretáceo inicial,
onde teve início sua evolução tectono-sedimentar, com a separação dos continentes
africano e sul-americano. A evolução da Bacia de Campos e o contexto tectônico em
que está inserida levou Chang et al., (1990) a classificarem-na como Bacia Marginal do
Tipo Atlântico. Guardado et al., (1990) descrevem em seu trabalho 3 megasseqüências,
levando em consideração as fases rift e pós-rift. Cainelli & Mohriak (1998)
identificaram 4 megasseqüências durante as fases evolutivas tectono-sedimentares,
levando em consideração a fase pré-rift, além das descritas anteriormente, figura 24 e
figura 25. Chang et al., (1992, apud Souza Jr. 1999) apresentam 5 fases na evolução
tectono-sedimentar. Essas 5 fases correspondem a 5 megassequências da bacia de
Campos. Neste trabalho, segue a descrição das megasseqüências de acordo com a tese
de Doutorado de Souza Jr. (1999) e com o trabalho apresentado por Bruhn (1998) na
AAPG-1998.
I – Megasseqüência de Continental (fase rift);
II – Megasseqüência Evaporítica (transicional - fase drift);
III – Megasseqüência Plataforma Carbonática (fase drift);
IV – Megasseqüência Marinha Transgressiva (fase drift);
V – Megasseqüencia Marinha Regressiva (fase drift).
A Megasseqüência Rift Continental marca o início da movimentação tectônica
que resultou na separação dos continentes. Em sua base são encontradas rochas
vulcanoclásticas de idade barremiana e sedimentos siliciclásticos e carbonáticos de
época neocomiana que compõem a fase pré-rift. Os principais depósitos são de
sedimentos lacustres e flúvio-deltaicos depositados sobre grabens assimétricos (Souza
Jr, 1997). Os lamitos lacustrinos e margas formam as principais rochas geradoras de
hidrocarbonetos das bacias brasileiras (Figueiredo et al., 1990 apud Bruhn, 1998).
Durante o Aptiano inicial, houve deposição carbonática (coquinas porosas) associada
aos altos sindeposicionais. São rochas produtoras de HC nos Campos de Badejo,
Pampo, Linguado e Trilha (Dias et al., 1990).
Figura 24: Seção geológica mostrando as fases tectono-sedimentares da bacia de
Campos.
Fonte: http://www.anp.gov.br.
A Megasseqüência Evaporítica (transicional) contém depósitos terrígenos e
evaporíticos marcando a transição, do continente para o oceano, de forma gradativa e
persistente (Guardado et al. (1990); Cainelli & Mohriak, 1998).
A deposição de sedimentos nesta fase inicia-se no Aptiano inicial. Uma
superfície erosiva (discordância) separa a Megasseqüência Continental da
Megassequência Evaporítica (Cainelli & Mohriak, 1998).
A deposição terrígena é formada por folhelhos e conglomerados oriundos de
ambientes aluviais, fan-deltas, e de sabkhas (Guardado et al., 1990), que passam
lateralmente para sedimentação carbonática de águas rasas representada por
estromatólitos e carbonatos nodulares (Dias et al., 1990). Sua acumulação é
acompanhada de um sistema de falhamento sindeposicional. Segundo Babinski &
Santos, (1987 apud Bruhn, 1998) e Mello & Maxwell (1990 apud Bruhn, 1998), os
folhelhos do Aptiano são as rochas geradoras de segunda maior importância das bacias
marginais brasileiras. Esta deposição compõe a porção superior da Formação Lagoa
Feia, composta de sedimentos argilosos a conglomeráticos, e tem grande importância na
formação de hidrocarbonetos da Bacia de Campos (Mello et al. Ano , apud Cainelli &
Mohriak, 1998).
Os depósitos evaporíticos da Megassequência Evaporítica marcam o topo desta
Megasseqüência transicional e ocorrem durante o Aptiano tardio. São formados
principalmente por anidrita e halita e depositados sobre ambiente lagunar,
tectonicamente calmo (Dias et al., 1990).
A importância dessa seqüência para a Bacia de Campos deve-se ao movimento
halocinético que controla alguns dos seus sistemas petrolíferos.
A Megasseqüência Marinha inicia-se durante o Albiano médio e tem
continuidade até o Holoceno.
Entre o Albiano inicial ao Albiano médio, desenvolveu-se a Megassequência
Plataforma Carbonática da Bacia de Campos. A sequência é formada por depósitos
clásticos de fan-deltas (compostos por arenitos e conglomerados) misturados com
carbonatos plataformais. Esta porção basal da Megasseqüência corresponde à deposição
inferior da Formação Macaé, formada por sedimentos carbonáticos de águas rasas,
lamitos e margas. (Dias et al., 1990; Guardado et al., 1990).
“A sedimentação carbonática desenvolveu-se sob clima quente e seco, em
ambiente nerítico, fundo oxigenado e águas hipersalinas, o que é sugerido pelo escasso
conteúdo fossilífero de baixa diversidade específica” ( Dias-Brito, 1986 apud Dias et
al., 1990).
A porção basal é composta por dolomitas que gradativamente diminuem em
direção ao topo e por depósitos de leques deltaicos (fan-deltas), que ocorrem em partes
costeiras e são formados por conglomerados e arenitos, os quais apresentam-se em
estruturas canalizadas. Em regiões plataformais ocorrem carbonatos na forma de oolitos,
peletes e bioclastos (Guardado et al., 1990).
Em resposta à movimentação salífera (Albiano inicial ao médio), sob o efeito da
carga sedimentar, formam-se depressões na margem da plataforma rasa, e originam-se
diápiros e falhas de crescimento (Guardado et al., 1990).
Na bacia de Campos, durante o Albiano tardio e o Terciário inicial, ocorreu
deposição da Megasseqüência Transgressiva. Esta é contemporânea ao período em
que os oceanos e o Atlântico Sul e Norte se conectam (Albiano tardio ao Turoniano
inicial).
Há novas fases de movimentação halocinética devido ao progressivo
basculamento da bacia e da sobrecarga sedimentar (Dias et al., 1990). Há também o
aumento relativo do nível do mar causado pela subsidência termal que sofre a bacia,
somado à carga sedimentar e a própria separação dos continentes (Souza Jr., 1997).
Neste contexto, inicia-se a deposição de sedimentos detríticos, de fraca energia, onde
ocorrem intercalações de argila, margas, calcilutitos e alguns aportes turbidíticos que se
depositam em baixos adjacentes às estruturas dônicas formadas durante a movimentação
halocinética (Dias et al., 1990; Guardado et al., 1990; Souza Jr., 1997).
O sistema turbidítico do Campo em estudo caracteriza-se por depocentros
limitados e controlados por falhas originadas da movimentação halocinética durante o
Albiano tardio e o Cenomaniano inicial. A partir do Terciário inicial, aumenta o aporte
sedimentar, baixa a taxa de subsidência, causando uma queda eustática do nível do mar,
o que provoca uma regressão marinha. A movimentação halocinética é menos intensa,
porém continua a produzir calhas deposicionais confinadas (Dias et al., 1990; Guardado
et al., 1990; Souza Jr., 1997). Tais calhas serviram aos depósitos de fluxos
gravitacionais durante o Oligoceno inicial.
A Megassequência Marinha Regressiva inicia-se no Turoniano tardio e vai até o
Eoceno médio. O desenvolvimento sedimentar na bacia, durante o período Terciário, foi
influenciado pela variação global do nível do mar, pelo soerguimento terciário da Serra
do mar e pelos movimentos halocinéticos (Dias et al., 1990). O Cretáceo tardio e o
Eoceno inicial são marcados por rochas vulcanoclásticas, devido aos movimentos
distensivos da crosta.
É grande o aporte sedimentar, e com a baixa taxa de subsidência, é gerado um
padrão progradante. Predomina sedimentação detrítica, tendo intercalações de folhelhos
e arenitos de leques submarinos. Ocorre o preenchimento das calhas formadas durante a
fase anterior por fluxos gravitacionais. Destes, destacam-se os turbiditos, que são
importantes reservatórios na bacia, pois possuem boa permeabilidade e porosidade.
Figura 25: Coluna estratigráfica da bacia de Campos.
Fonte: Fonte: http://www.anp.gov.br.
3 – GEOLOGIA DO CAMPO
O Campo em estudo faz parte de um conjunto de plays exploratórios da Bacia
de Campos, na porção Norte do Estado do Rio de Janeiro. Situa-se cerca de 80 km da
costa, em cotas batimétricas que variam de 110 a 250m (Meneses & Adams, 1990). A
empresa operadora do campo, a Petrobrás, furou um total de 56 poços e realizou uma
malha sísmica 2D e 3D.
O reservatório do Campo em estudo, o arenito reservatório, é um depósito
turbidítico de idade cenomaniana/turoniana. O campo é controlado por falhas normais,
contudo o bloco principal do reservatório é pouco afetado pelos falhamentos. A
acumulação de óleo também é controlada pelas estruturas de falhamentos e pelo
acunhamento ( pinch out) das deposições turbidíticas (Guardado et al, 1990).
A rocha selante que marca o topo do reservatório é composta por folhelhos e
margas, enquanto que sua base é marcada pela presença de carbonato.
O arenito é caracterizado por intercalações de areia com folhelho. Segundo a
descrição de Guardado et al. (1990), trata-se de arenitos arcósicos, maciços, de
granulometria areia média e localmente conglomerática. Sua porosidade varia de 20 a
30% e a permeabilidade é muito alta, acima de 1 Darcy.
O campo tem disposição espacial de NW para SE, assim como os corpos
arenosos que compõem o reservatório.
IV – MODELAGEM GEOLÓGICA E GEOESTATÍSTICA
1 – DADOS DIPONÍVEIS
Com a intenção de fomentar pesquisa e formação de mão-de-obra para a
indústria do petróleo, a Agência Nacional do Petróleo (ANP) disponibilizou um
conjunto de dados para realização de trabalhos de pesquisa no setor de petróleo e gás.
Parte dos dados utilizados neste trabalho foram cedidos pela ANP, e parte pela
PetrobrAs S.A., sendo que esta última contribuiu com dados já interpretados.
Fazem parte do conjunto de dados cedidos pela ANP os seguintes:
•
uma malha sísmica 3D de 8 bits;
•
uma linha sísmica 2D;
•
18 poços com perfis com perfis GR, DT, ILD, ρB e φN, de 20 em 20cm,
sendo que nem todos os perfis estavam presentes em todos os poços
(figuras 26 e 27);
•
imagens em arquivos binários (tif) de perfis interpretados de testemunhos
de dois poços. As imagens contêm informações incompletas dos
respectivos perfis granulométricos. Apesar de estas imagens estarem
incompletas, serviram como referência ao ajuste dos perfis.
A PETROBRÁS cedeu alguns dados interpretados para realização deste trabalho
de tese de mestrado. Dentre os dados liberados pela empresa e utilizados neste trabalho
incluem-se perfis de Vsh, φe, Sw e o horizonte sísmico da base.
Esses dados foram tratados em estação de trabalho com estrutura avançada,
RISC 6000, é facilmente encontrada em ambientes de trabalho nos quais o conjunto de
dados é gigantesco e o processamento é intensivo. A Landmark Graphics Company
ofereceu hardware e software para processamento e análise dos dados supracitados,
dentre eles o SeisWorks, o StrataWorks, o Stratamodel e o Postack.
Figura 26: Mapa dos poços do campo petrolífero estudado.
Figura 27: Conjunto de poços cedidos pela ANP e sua disposição espacial.
2 – ETAPAS DA MODELAGEM
O trabalho de modelagem realizado neste projeto iniciou-se através de consulta
ao acervo bibliográfico existente sobre o campo estudado, de maneira que todas as
informações geológicas e estruturais coletadas pudessem ser utilizadas como guias.
Posteriormente, utilizaram-se dos dados e equipamentos fornecidos pela ANP,
PETROBRAS e Landmark.
A primeira etapa da modelagem, que foi a análise dos dados sísmicos, foi um
tanto limitada, devido ao fato de que faltaram as tabelas tempo-profundidade para
realizar interpretações do intervalo do reservatório em questão. No entanto, a
PETROBRAS liberou a interpretação do horizonte sísmico da base do reservatório, o
que permitiu não só a identificação do reservatório, como também, o reconhecimento de
estruturas descritas na bibliografia consultada, relativas ao intervalo de interesse.
Os passos seguintes foram: (1) analisar o conjunto de dados de poços, (2)
realizar interpretações e (3) associá-las à interpretação sísmica, para construção da base
de dados tridimensional. Como os dados fornecidos pela ANP foram insuficientes, não
foi possível criar um modelo de estruturas complexas contendo falhamentos. O modelo
criado deve ser aperfeiçoado por outros alunos que desejarem ingressar nesta área, que
une conceitos de Geologia e Matemática, com a modelagem numérica funcionando
como “ponte” de comunicação entre o geólogo e o engenheiro.
2.1 – DELIMITAÇÃO DO TOPO E DA BASE DO RESERVATÓRIO
A partir das curvas de GR, DT e ρB, foi possível delimitar o reservatório em
profundidade. No perfil de raios gama (GR), o topo do reservatório aparece muito bem
marcado pela presença da rocha selante que, segundo o perfil, pode variar de
aproximadamente 10 a 25 metros de espessura. A base também foi reconhecida através
de perfis, além da seção sísmica interpretada. Para tanto, utilizaram-se os perfis DT e
ρB. A calcita tem densidade 2,71 g/cm3, o quartzo 2,61 g/cm3. Por analogia, o carbonato
não poroso possui densidade maior que a de um arenito não poroso, seja ele arcosiano
ou quartzo-arenito. Ao passar de um domínio de rochas siliciclásticas para um de rochas
carbonáticas, a tendência é de que a curva de ρB aumente (figura 28), enquanto o tempo
de trânsito da onda P (DT) diminui. É uma relação inversa. Segundo a literatura, a base
do reservatório é marcada por carbonatos da Plataforma Carbonática (Guardado et al.,
1990).
Os perfis do campo estudado, mostram a passagem de uma plataforma
carbonática para uma sucessão de depósitos turbidíticos, e no topo, depósitos argilosos.
é bem perceptível o aumento da densidade e a conseqüente redução do tempo de trânsito
da onda P (perfil DT). Dessa forma, pode-se marcar a base do reservatório estudado,
enquanto que o topo é bem marcado pela curva de raios gama (GR). Figura 29.
Arenito Reservatório
Perfil Argilosidade (Vsh)
Perfil Saturação de água (Sw)
Perfil Raios Gama (GR)
Perfil Densidade (RhoB)
Perfil Porosidade Preenchida por Hidrocarboneto (PhiH)
Perfil Porosidade Efetiva
Figura 28: A seta aponta para a curva de ρB (azul escuro), indicando um
aumento significativo na densidade do meio.
Figura 29: Delimitação do topo e base do intervalo turbidítico superior (em verde)
através de correlação lateral, com base nos perfis de poços.
2.2 – DELIMITAÇÃO DO RESERVATÓRIO
Para delimitação dentro do reservatório, na camada de interesse, foi preciso
recorrer a outras curvas disponíveis, como Vsh e φe. A curva de φe mostra a porosidade
efetiva da rocha, que é o espaço ocupado por fluido móvel dentro dos poros, refletindo
o grau de intercomunicação entre os poros de uma rocha. Esta é uma curva calculada em
função de φN, φD e do perfil sônico, porém o perfil sônico tem pouca contribuição,
podendo este ser retirado do cálculo. A curva de Vsh mede a argilosidade, mas esta
também é uma curva calculada: seus parâmetros são GR, φD e φN. As curvas foram
calculadas a partir das fórmulas de Archie (ver ANEXO 1).
Para melhor visualização do intervalo, foi criado um modelo de visualização de
curvas (template), no qual as curvas ficaram com ascensão de escala em mesma direção,
ocupando a mesma área (figura 30).
A análise foi feita partindo do princípio de que o reservatório estudado é
composto por depósitos turbidíticos, como informa a literatura (Bacoccoli et al., 1980;
Guadado et al., 1990; Souza Jr., 1997). No momento em que a curva de Vsh apresenta
um baixo valor de argilosidade, enquanto que na curva de φe ocorre um aumento da
porosidade efetiva, interpretou-se como um intervalo arenoso com porosidade.
Visualmente, ocorre um cruzamento entre as curvas, com valores baixos de Vsh e
valores altos para φe. A partir desses cruzamentos visuais, foram identificados o topo e a
base do intervalo turbidítico. O método empírico descrito foi comparado com algumas
imagens de perfis granulométricos de testemunhos cedido pela ANP dos poços P04,
P37D e P22, e o resultado foi satisfatório (figura 31).
Os perfis granulométricos cedidos pela ANP são dados interpretados por
geólogos da PETROBRAS. Os autores de sua descrição identificaram a camada
superior do reservatório como sendo arenito médio gradado, de composição arcosiana,
com cimentação pontual, bem selecionado e sem estruturas (maciço). Segundo as
análises de perfis geofísicos, a espessura do estrato varia entre 20 a 30 metros.
A geração do mapa de interesse foi feita a partir da análise descrita acima. O
mapa de topo e base do intervalo de interesse, inicialmente, era composto de uma região
com densidade de poços informantes suficientes para simulação e uma pequena região
com pouquíssimas informações, o que poderia gerar valores sem controle. Essa subregião foi cortada do mapa. Pois aqui, o interesse está na aplicação da metodotologia às
áreas com um mínimo de informações.
O modelo tridimensional criado com essas informações compõe-se de uma
malha cuja célula elementar mede 20x20x1m, o que dá um volume de 400m3/célula.
Arenito Reservatório
Perfil Argilosidade (Vsh)
Perfil Saturação de água (Sw)
Perfil Raios Gama (GR)
Perfil Densidade (RhoB)
Perfil Porosidade Preenchida por Hidrocarboneto (PhiH)
Perfil Porosidade Efetiva
Figura 30: Delimitação do reservatório do campo petrolífero através de perfis de
poços cedidos pela ANP e perfis calculados.
Figura 31: Amarração do perfil de poço com o perfil granulométrico do poço
37D.
2.3 – ANÁLISE VARIOGRÁFICA
A finalidade da modelagem é a representação da porção superior do reservatório
estudado. O tratamento de dados para quantificação da continuidade espacial de
atributos petrofísicos da rocha em questão, no caso do arenito arcosiano, pode ser feita
através de variografia, utilizando-se perfis de poços relacionados à litologia, como GR e
ρB e variogramas. Pode-se ainda utilizar a porosidade, ou um outro atributo que esteja
relacionado com a porosidade. Neste trabalho, foi utilizada a porosidade preenchida por
hidrocarboneto φH (phiH).
A análise foi feita com um conjunto de 16 poços localizados na porção SE do
campo estudado. Dos 16 poços, 5 são verticais e 11 direcionais. O modelo utilizado foi
o esférico, como visto na figura
Observa-se a presença de estrutura cíclica no semivariograma vertical. Eventos
periódicos, como os que ocorrem em muitos dos depósitos sedimentares, podem
apresentar esse efeito, conhecido como efeito buraco. No caso do depósito estudado,
que é um turbidito, era de se esperar o aparecimento deste efeito, já que é composto
por intercalações de rochas arenosas com pelíticas formadas por eventos cíclicos
(figuras 32 e 33).
Figura 32: Variograma vertical de φH do modelo esférico, gerado pelo programa RC2.
Através da análise é perceptível que a anisotropia da propriedade modelada é
mista. O semivariograma mostra o efeito pepita com valor de 0,15, aproximadamente.
Este valor é o mesmo nas direções distintas, pelo fato de que o software RC2 TM realiza
a modelagem variográfica de forma solidária. Uma de suas vantagens é que ele permite
a modelagem da anisotropia de maneira simples, sem a necessidade de construção de
um modelo variográfico complexo.
Para ilustrar a etapa da análise variográfica, as figuras 34 a 40, abaixo, mostram
o ajuste dos variogramas para o conjunto de poços da área de estudo.
Figura 33: Ajuste variográfico de forma solidária dos dados de perfis de poços
(φH) da área de interesse. A análise foi realizada nas direções de azimutes 20, 40,
60, 80, 100, 120, 140 e 160, com tolerância angular de 20o, o que permite uma
varredura em todas as direções. A elipse no canto superior esquerdo representa a
anisotropia no plano horizontal.
Figura 34: Semivariograma do conjunto de poços na direção de azimute 20.
Figura 35: Semivariograma do conjunto de poços na direção de azimute 40.
Figura 36: Semivariograma do conjunto de poços na direção de azimute 60.
Figura 37: Semivariograma do conjunto de poços na direção de azimute 80.
Figura 38: Semivariograma do conjunto de poços na direção de azimute 100.
Figura 39: Semivariograma do conjunto de poços na direção de azimute 120
Figura 40: Semivariograma do conjunto de poços na direção de azimute 160
2.4 – MODELAGEM DO RESERVATÓRIO
A partir da correlação dos intervalos arenosos dos perfis, foram gerados mapas
de topo e base do intervalo de interesse, a partir do qual foi feito o tratamento
geoestatístico para gerar mapas 3D equiprováveis de continuidade espacial do intervalo
e seu respectivo cálculo de volume de hidrocarboneto.
O tratamento original proposto para este trabalho consistia em simular um
conjunto de atributos (espessura, porosidade e saturação de água), utilizando o seguinte
algoritmo, denominado algoritmo(1):
•
simular separadamente cada um dos atributos volumétricos do intervalo
modelado (espessura, porosidade efetiva e saturação de água);
•
mapear a incerteza e a variabilidade dos atributos através de um pósprocessamento.
Com esses dados simulados, é possível estimar o volume de hidrocarboneto in
place (óleo e gás), pois:
Φ H = Φ E × (1 − Sw)
Onde:
•
φH (phiH) é a porosidade preenchida por hidrocarboneto;
•
φE (phiE) é a porosidade efetiva;
•
Sw é a saturação de água.
A primeira dessas etapas foi totalmente concluída no software RC2. Entretanto,
este mesmo sistema não dispõe de procedimentos de pós-processamento das
simulações, para compor mapas de quantis e de probabilidade. Tampouco está
programado para exportar as malhas (grids) para outros pacotes computacionais abertos,
tais como a GSLIB, que dispõem de recursos para produzir mapas de probabilidade e de
quantis a partir da coleção de imagens simuladas.
Em vista desta limitação computacional, para a conclusão da etapa de
quantificação da incerteza, foi adotado o seguinte procedimento, denominado
algoritmo(2):
•
Simular um único atributo significativo para o cálculo de volume de
hidrocarboneto;
•
Mapear a incerteza de todo o volume simulado.
O atributo utilizado foi o φH. Este pode ser calculado a partir de curvas oriundas
da perfilagem, ou pré-calculadas, como foi mostrado anteriormente. Neste caso foi
utilizado os cálculos com base nas fórmulas de Archie (ver anexo A). Assim, foi criada
uma nova curva (φH) para cada poço. Esta curva calculada apresenta uma relação
inversa à densidade do meio (figura 41) , o que serviu como base para a simulação. Os
valores de φH mostram boa correlação com a densidade ρH, tendo coeficiente de
correlação de –0,92 (figura 42).
Arenito Reservatório
Perfil Argilosidade (Vsh)
Perfil Saturação de água (Sw)
Perfil Raios Gama (GR)
Perfil Densidade (RhoB)
Perfil Porosidade Preenchida por Hidrocarboneto (PhiH)
Perfil Porosidade Efetiva
Figura 41: A figura mostra uma relação inversa entre perfis: quando a densidade baixa,
a porosidade aumenta. A curva azul escuro mostra a variação da densidade (escala
cresce para direita), enquanto que a curva em azul claro representa o perfil φH (PhiH).
Figura 42: Correlação entre os valores de densidade e porosidade.
2.5 – RESULTADOS OBTIDOS
O resultado obtido da simulação Sequêncial Gaussiana foi a geração de um
conjunto de 100 imagens equiprováveis, cada uma gerando um volume de
hidrocarboneto distinto e possível. O programa RC2 permitiu o cálculo de volume deste
atributo para cada uma das imagens (ver anexo B). Este conjunto de volumes foi
gravado num arquivo e exportado para ser processado em outros softwares (SAS e
GSLIB) (Ver anexo C).
Foi aplicado um tratamento estatístico para extrair a distribuição dos valores
simulados. Os resultados estão nas figuras 43 a 48.
N
Figura 43: 13a imagem simulada a partir dos dados de perfis de poços. A imagem
mostra um trend na direção SW-NE da propriedade mapeada. A tabela de cores tem seu
valor máximo em 27% e o mínimo em 0%.
N
Figura 44: 13a Imagem simulada com zoom na escala de atributos.
Figura 45: Imagem simulada com o conjunto de poços da área de interesse.
Figura 46: 15a imagem simulada. Composta de valores altos na região de maior
informação, porção NW.
Figura 47: Mostra valores altos na porção NW, no entanto, nesta imagem não é claro o
trend SW-NE como nas outras imagens.
Figura 48: 26a imagem gerada pela simulação seqüencial. Mais uma vez apresenta altos
valores na porção NW e o trend SW-NE.
O conjunto de 100 volumes simulados pelo software RC2 foi processado pelo
aplicativo estatístico SAS, para cálculos intermediários, e pelos programas histplt e
probplt da biblioteca aberta GSLIB, para produzir as figuras 49 a 51, que representam o
volume estimado e sua incerteza, sob diversas formas gráficas de distribuição de
probabilidade. Estes programas também fornecem algumas estatísticas básicas,
conforme se observa nas figuras mencionadas. Nas figuras 49 e 50, observa-se a
semelhança da distribuição obtida com o modelo normal. No gráfico da figura 50
(“papel de probabilidade normal”), pontos alinhados sobre uma reta representam a
distribuição normal. Observa-se que os pontos plotados aproximam-se de uma reta,
justificando a escolha do modelo normal para esta distribuição simulada.
Outro ponto a destacar é o desvio padrão baixo, quando comparado com o valor
médio. O desvio padrão foi de 0,93 milhão de m3 e a média dos volumes foi de 26,98
milhões de m3, o que dá um coeficiente de variação (cv = s/µ) igual a 0,0348 ou 3,48%.
Apesar do conjunto de dados limitados, utilizando apenas informações extraídas de
poços, o desvio padrão foi baixo.
Figura 49: Distribuição de freqüência relativa construído a partir das 100 imagens
simuladas dos volumes de hidrocarbonetos presentes na região de estudo. Nota-se que
apresenta uma distribuição próxima da normal e com baixa dispersão dos valores.
Figura 50: A curva de probabilidade mostra-se quase que retilínea. O que
corresponde com a distribuição quase normal dos valores simulados.
A partir das curvas de probabilidade acumulada, pode-se calcular um intervalo
de confiança aproximado, devido ao fato de que a curva de distribuição dos volumes
aproxima-se de uma normal, tendo a média e mediana valores muito próximos (figura
50).
O intervalo de confiança aproximado de 50% é (em milhões de m3):
ICa(50%) ≅ (V0,25 – V0,75 ) = ( 26,34 ; 27,52 ) ≅ 26,98 ± 0,59
(milhões de m3)
Da distribuição acumulada representada na figura 51 (ou de seu correspondente
arquivo digital), pode-se extrair outros pares de quantis simétricos, para representar
intervalos de confiança, levando em conta a simetria da distribuição normal. Pode-se
também extrair a probabilidade de superar um valor crítico ou a probabilidade de não
atingi-lo.
Figura 51: Curva da probabilidade acumulada dos 100 volumes extraídos da simulação
do φH. Gráfico preparado através do programa Histplt da GSLIB (Deutsch & Journel,
1998).
V - CONCLUSÕES
É visível o efeito buraco nos semivariogramas em algumas direções, o que
representa evento cíclico, típico de depósitos turbidíticos com suas intercalações de
material arenoso com pelítico. A análise variográfica mostra também uma tendência de
maior continuidade das propriedades petrofísicas volumétricas do depósito,
particularmente a porosidade, na direção de azimute 57 (SW-NE). Através da
anisotropia observada nos semivariogramas, é possível que haja um canal ou conjunto
de canais turbidíticos nesta área com a direção mencionada, o que é confirmado pela
simulação na porção NW do modelo, onde a informação é mais abundante.
A simulação seqüencial Gaussiana, mesmo com um número limitado de dados
informantes, permite a estimação local de atributos volumétricos de um reservatório
petrolífero, acompanhada da distribuição de probabilidade do erro. No presente projeto,
o mapeamento da incerteza na estimação do volume de óleo in situ, dentro do
reservatório estudado, ficou incompleto, devido à incapacidade do software usado de
pós-processar conjuntos de imagens equiprováveis simuladas. Tal dificuldade teria sido
superada, exportando-se as malhas simuladas para pacotes computacionais abertos, com
opção de pós-processamento das imagens, como é o caso da GSLIB. Entretanto, o
software usado não permite a exportação de seus resultados.
A solução adotada através do algoritmo(2), com a utilização da curva phiH, tem
a vantagem de economizar diversas etapas em relação ao algoritmo(1), que representa a
forma tradicional de mapear a incerteza. Entretanto, a distribuição de freqüência gerada
representa apenas a incerteza global.
Os gráficos e as estatísticas obtidas a partir do pós-processamento dos valores
simulados indicam uma distribuição normal. A partir da curva de probabilidade
acumulada, pode-se calcular intervalos de confiança aproximados. Um ponto a destacar
é o desvio padrão baixo, quando comparado com o valor médio. O desvio padrão foi de
0,93 milhão de m3 e a média dos volumes foi de 26,98 milhões de m3, o que dá um
coeficiente de variação (cv = s/µ) igual a 0,0348 ou 3,48%. Apesar do conjunto de
dados limitados, utilizando apenas informações extraídas de poços, o desvio padrão, que
quantifica a incerteza, foi baixo.
O mapeamento da incerteza local requer o uso de pós-processadores, não
disponíveis no pacote computacional utilizado. Um complemento natural dessa tese de
mestrado seria a execução destes procedimentos em outro software que permita a
quantificação da incerteza local, a partir da qual obtêm-se os mapas de quantis e de
probabilidade.
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2001, p.49-68.
ANEXO A
;
Sw Archie; RHOB, PHIN, GR, RT
;
Density & Apparent Porosity
NPHI[] = NPHI[] / 100
PHID[] = (RhoM - RHOB[]) / (RhoM - RhoF)
PHIA[] = (PHID[] + NPHI[]) / 2
;
Shale Volume and Effective Porosity
Vshl[] = min(1, max(0, (GR[]-GRcln) / (GRshl-GRcln) ))
PHIE2[] = PHIA[] * (1-Vshl[])
;
Apparent Water and WB Formation Resistivities
Rwa[] = RT[] * PHIE2[]^m
; Archie Ro
Ro[] = a * Rw / (PHIA[]^m)
;
Archie Sw
SwA[] = min(1,sqrt( Ro[] / ILD[] ) )
phiH[] = PHIA[] * (1-SwA[])
; Net Pay using Porosity, Sw & Shale Volume
NETPAY[] = (PHIA[] > PhiCutoff and SwA[] < SwCutoff and Vshl[] < VshCutoff) *
<Step>
Parâmetros usados no cálculo:
Name
GRcln
GRshl
NewParam1
NewParam2
PhiCutoff
RhoF
RhoM
Rw
SwCutoff
VshCutoff
a
m
source
UDE Set
UDE Set
UDE Set
UDE Set
UDE Set
UDE Set
UDE Set
UDE Set
UDE Set
UDE Set
UDE Set
UDE Set
VALUE
20.000
120.000
-999.250
-999.250
0.100
1.000
2.680
0.040
0.500
0.500
0.810
2.000
UNIT
API
API
V/V Porosity Cutoff
GM/CC
GM/CC
OHMM
V/V Water Saturation Cutoff
V/V Shale Volume Cutoff
ANEXO B
Report of conditioned volumes for attribute A13 for Zone 2.
3
Ranking Attribute Description
Volume m
1
A98 RC2_86_phiH_volume_de_HC 2.459172e+07
2
A26 RC2_14_phiH_volume_de_HC 2.469559e+07
3
A24 RC2_12_phiH_volume_de_HC 2.519995e+07
4
A91 RC2_79_phiH_volume_de_HC 2.522442e+07
5
A84 RC2_72_phiH_volume_de_HC 2.535138e+07
6
A21 RC2_9_phiH_volume_de_HC 2.550477e+07
7
A37 RC2_25_phiH_volume_de_HC 2.553200e+07
8
A68 RC2_56_phiH_volume_de_HC 2.553502e+07
9
A71 RC2_59_phiH_volume_de_HC 2.567953e+07
10
A28 RC2_16_phiH_volume_de_HC 2.568475e+07
11
A95 RC2_83_phiH_volume_de_HC 2.572678e+07
12
A70 RC2_58_phiH_volume_de_HC 2.573969e+07
13
A94 RC2_82_phiH_volume_de_HC 2.593154e+07
14
A55 RC2_43_phiH_volume_de_HC 2.613699e+07
15
A29 RC2_17_phiH_volume_de_HC 2.613712e+07
16
A45 RC2_33_phiH_volume_de_HC 2.617572e+07
17
A33 RC2_21_phiH_volume_de_HC 2.618365e+07
18
A14 RC2_2_phiH_volume_de_HC 2.619474e+07
19
A49 RC2_37_phiH_volume_de_HC 2.623599e+07
20
A97 RC2_85_phiH_volume_de_HC 2.623880e+07
21
A89 RC2_77_phiH_volume_de_HC 2.627021e+07
22
A16 RC2_4_phiH_volume_de_HC 2.628067e+07
23
A107 RC2_95_phiH_volume_de_HC 2.628139e+07
24
A75 RC2_63_phiH_volume_de_HC 2.628345e+07
25
A22 RC2_10_phiH_volume_de_HC 2.631688e+07
26
A81 RC2_69_phiH_volume_de_HC 2.636077e+07
27
A87 RC2_75_phiH_volume_de_HC 2.641046e+07
28
A60 RC2_48_phiH_volume_de_HC 2.641432e+07
29
A40 RC2_28_phiH_volume_de_HC 2.643301e+07
30
A77 RC2_65_phiH_volume_de_HC 2.653967e+07
31
A52 RC2_40_phiH_volume_de_HC 2.655296e+07
32
A76 RC2_64_phiH_volume_de_HC 2.657424e+07
33
A96 RC2_84_phiH_volume_de_HC 2.661745e+07
34
A23 RC2_11_phiH_volume_de_HC 2.663484e+07
35
A66 RC2_54_phiH_volume_de_HC 2.665021e+07
36
A108 RC2_96_phiH_volume_de_HC 2.673005e+07
37
A72 RC2_60_phiH_volume_de_HC 2.675093e+07
38
A48 RC2_36_phiH_volume_de_HC 2.675301e+07
39
A25 RC2_13_phiH_volume_de_HC 2.679268e+07
40
A50 RC2_38_phiH_volume_de_HC 2.682437e+07
41
A93 RC2_81_phiH_volume_de_HC 2.682438e+07
42
A58 RC2_46_phiH_volume_de_HC 2.688343e+07
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
A90
A80
A79
A18
A104
A64
A110
A53
A86
A57
A88
A35
A54
A31
A69
A106
A32
A36
A38
A44
A63
A85
A102
A65
A101
A61
A82
A19
A15
A62
A47
A105
A92
A34
A59
A112
A100
A56
A13
A17
A109
A51
A46
A43
A83
A103
A42
A39
A78
RC2_78_phiH_volume_de_HC 2.689712e+07
RC2_68_phiH_volume_de_HC 2.692120e+07
RC2_67_phiH_volume_de_HC 2.694079e+07
RC2_6_phiH_volume_de_HC 2.694291e+07
RC2_92_phiH_volume_de_HC 2.694404e+07
RC2_52_phiH_volume_de_HC 2.696113e+07
RC2_98_phiH_volume_de_HC 2.700804e+07
RC2_41_phiH_volume_de_HC 2.702185e+07
RC2_74_phiH_volume_de_HC 2.703583e+07
RC2_45_phiH_volume_de_HC 2.706588e+07
RC2_76_phiH_volume_de_HC 2.707967e+07
RC2_23_phiH_volume_de_HC 2.712662e+07
RC2_42_phiH_volume_de_HC 2.713887e+07
RC2_19_phiH_volume_de_HC 2.714735e+07
RC2_57_phiH_volume_de_HC 2.715926e+07
RC2_94_phiH_volume_de_HC 2.716899e+07
RC2_20_phiH_volume_de_HC 2.719084e+07
RC2_24_phiH_volume_de_HC 2.721300e+07
RC2_26_phiH_volume_de_HC 2.723658e+07
RC2_32_phiH_volume_de_HC 2.724879e+07
RC2_51_phiH_volume_de_HC 2.727815e+07
RC2_73_phiH_volume_de_HC 2.729557e+07
RC2_90_phiH_volume_de_HC 2.734535e+07
RC2_53_phiH_volume_de_HC 2.734799e+07
RC2_89_phiH_volume_de_HC 2.735010e+07
RC2_49_phiH_volume_de_HC 2.735392e+07
RC2_70_phiH_volume_de_HC 2.738560e+07
RC2_7_phiH_volume_de_HC 2.739663e+07
RC2_3_phiH_volume_de_HC 2.739912e+07
RC2_50_phiH_volume_de_HC 2.743858e+07
RC2_35_phiH_volume_de_HC 2.747871e+07
RC2_93_phiH_volume_de_HC 2.748614e+07
RC2_80_phiH_volume_de_HC 2.750876e+07
RC2_22_phiH_volume_de_HC 2.752870e+07
RC2_47_phiH_volume_de_HC 2.753742e+07
RC2_100_phiH_volume_de_HC 2.755419e+07
RC2_88_phiH_volume_de_HC 2.757772e+07
RC2_44_phiH_volume_de_HC 2.758184e+07
RC2_1_phiH_volume_de_HC 2.781293e+07
RC2_5_phiH_volume_de_HC 2.784522e+07
RC2_97_phiH_volume_de_HC 2.788556e+07
RC2_39_phiH_volume_de_HC 2.788784e+07
RC2_34_phiH_volume_de_HC 2.792100e+07
RC2_31_phiH_volume_de_HC 2.792147e+07
RC2_71_phiH_volume_de_HC 2.794510e+07
RC2_91_phiH_volume_de_HC 2.795794e+07
RC2_30_phiH_volume_de_HC 2.798264e+07
RC2_27_phiH_volume_de_HC 2.804493e+07
RC2_66_phiH_volume_de_HC 2.806373e+07
92
93
94
95
96
97
98
99
100
A30
A111
A41
A27
A74
A20
A67
A73
A99
RC2_18_phiH_volume_de_HC 2.810457e+07
RC2_99_phiH_volume_de_HC 2.816496e+07
RC2_29_phiH_volume_de_HC 2.816796e+07
RC2_15_phiH_volume_de_HC 2.822042e+07
RC2_62_phiH_volume_de_HC 2.848271e+07
RC2_8_phiH_volume_de_HC 2.849771e+07
RC2_55_phiH_volume_de_HC 2.891462e+07
RC2_61_phiH_volume_de_HC 2.892476e+07
RC2_87_phiH_volume_de_HC 3.044528e+07
ANEXO C
/* Modelagem da incerteza no cálculo de volumes de HC
Intervalo Namorado-1 (turbidítico)
*/
data volume;
input ordem id $ nome $ volume;
vol = volume / 1000000;
file 'a:\vol.dat';
put vol;
cards;
1
A98
RC2_86_phiH_volume_de_HC
2
A26
RC2_14_phiH_volume_de_HC
3
A24
RC2_12_phiH_volume_de_HC
4
A91
RC2_79_phiH_volume_de_HC
5
A84
RC2_72_phiH_volume_de_HC
6
A21
RC2_9_phiH_volume_de_HC
7
A37
RC2_25_phiH_volume_de_HC
8
A68
RC2_56_phiH_volume_de_HC
9
A71
RC2_59_phiH_volume_de_HC
10
A28
RC2_16_phiH_volume_de_HC
11
A95
RC2_83_phiH_volume_de_HC
12
A70
RC2_58_phiH_volume_de_HC
13
A94
RC2_82_phiH_volume_de_HC
14
A55
RC2_43_phiH_volume_de_HC
15
A29
RC2_17_phiH_volume_de_HC
16
A45
RC2_33_phiH_volume_de_HC
17
A33
RC2_21_phiH_volume_de_HC
18
A14
RC2_2_phiH_volume_de_HC
19
A49
RC2_37_phiH_volume_de_HC
20
A97
RC2_85_phiH_volume_de_HC
21
A89
RC2_77_phiH_volume_de_HC
22
A16
RC2_4_phiH_volume_de_HC
23
A107
RC2_95_phiH_volume_de_HC
24
A75
RC2_63_phiH_volume_de_HC
25
A22
RC2_10_phiH_volume_de_HC
26
A81
RC2_69_phiH_volume_de_HC
27
A87
RC2_75_phiH_volume_de_HC
28
A60
RC2_48_phiH_volume_de_HC
29
A40
RC2_28_phiH_volume_de_HC
30
A77
RC2_65_phiH_volume_de_HC
31
A52
RC2_40_phiH_volume_de_HC
32
A76
RC2_64_phiH_volume_de_HC
33
A96
RC2_84_phiH_volume_de_HC
34
A23
RC2_11_phiH_volume_de_HC
35
A66
RC2_54_phiH_volume_de_HC
36
A108
RC2_96_phiH_volume_de_HC
37
A72
RC2_60_phiH_volume_de_HC
38
A48
RC2_36_phiH_volume_de_HC
39
A25
RC2_13_phiH_volume_de_HC
40
A50
RC2_38_phiH_volume_de_HC
41
A93
RC2_81_phiH_volume_de_HC
42
A58
RC2_46_phiH_volume_de_HC
43
A90
RC2_78_phiH_volume_de_HC
44
A80
RC2_68_phiH_volume_de_HC
45
A79
RC2_67_phiH_volume_de_HC
2.459172e+07
2.469559e+07
2.519995e+07
2.522442e+07
2.535138e+07
2.550477e+07
2.553200e+07
2.553502e+07
2.567953e+07
2.568475e+07
2.572678e+07
2.573969e+07
2.593154e+07
2.613699e+07
2.613712e+07
2.617572e+07
2.618365e+07
2.619474e+07
2.623599e+07
2.623880e+07
2.627021e+07
2.628067e+07
2.628139e+07
2.628345e+07
2.631688e+07
2.636077e+07
2.641046e+07
2.641432e+07
2.643301e+07
2.653967e+07
2.655296e+07
2.657424e+07
2.661745e+07
2.663484e+07
2.665021e+07
2.673005e+07
2.675093e+07
2.675301e+07
2.679268e+07
2.682437e+07
2.682438e+07
2.688343e+07
2.689712e+07
2.692120e+07
2.694079e+07
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
;
run;
proc means;
A18
A104
A64
A110
A53
A86
A57
A88
A35
A54
A31
A69
A106
A32
A36
A38
A44
A63
A85
A102
A65
A101
A61
A82
A19
A15
A62
A47
A105
A92
A34
A59
A112
A100
A56
A13
A17
A109
A51
A46
A43
A83
A103
A42
A39
A78
A30
A111
A41
A27
A74
A20
A67
A73
A99
RC2_6_phiH_volume_de_HC
RC2_92_phiH_volume_de_HC
RC2_52_phiH_volume_de_HC
RC2_98_phiH_volume_de_HC
RC2_41_phiH_volume_de_HC
RC2_74_phiH_volume_de_HC
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RC2_23_phiH_volume_de_HC
RC2_42_phiH_volume_de_HC
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RC2_94_phiH_volume_de_HC
RC2_20_phiH_volume_de_HC
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RC2_51_phiH_volume_de_HC
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RC2_87_phiH_volume_de_HC
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2.816796e+07
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2.848271e+07
2.849771e+07
2.891462e+07
2.892476e+07
3.044528e+07
var vol;
run;
goptions device=win;
title1 'DISTRIBUICAO DE PROBABILIDADE';
title2 'VOLUME DE PETROLEO IN SITU';
title3 'INTERVALO NAMORADO-1';
proc gchart;
vbar vol/midpoints= 24.25 to 30.75 by 0.5;
run;
title1 'DISTRIBUICAO DE PROBABILIDADE ACUMULADA';
proc gchart;
hbar vol/ cpercent midpoints= 24.25 to 30.75 by 0.5;
run;
proc univariate;
var vol;
freq vol;
histogram vol;
probplt vol;
qqplot vol;
run;
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ACUMULADA
VOLUME DE PETRÓLEO IN SITU
11:19 Friday, August 9, 2002
INTERVALO NAMORADO-1
3
The MEANS Procedure
Analysis Variable : vol
N
Mean
Std Dev
Minimum
Maximum
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
100
26.9836413
0.9383553
24.5917200
30.4452800
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ACUMULADA
4
VOLUME DE PETRÓLEO IN SITU
11:19 Friday, August 9, 2002
INTERVALO NAMORADO-1
The MEANS Procedure
Analysis Variable : vol
N
Mean
Std Dev
Minimum
Maximum
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
100
26.9836413
0.9383553
24.5917200
30.4452800
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ACUMULADA
5
VOLUME DE PETRÓLEO IN SITU
11:19 Friday, August 9, 2002
INTERVALO NAMORADO-1
The MEANS Procedure
Analysis Variable : vol
N
Mean
Std Dev
Minimum
Maximum
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
100
26.9836413
0.9383553
24.5917200
30.4452800
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
DISTRIBUICAO DE PROBABILIDADE ACUMULADA
6
11:19 Friday, August 9, 2002
The MEANS Procedure
Analysis Variable : vol
N
Maximum
Mean
Std Dev
Minimum
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
100
26.9836413
0.9383553
24.5917200
30.4452800
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
DISTRIBUICAO DE PROBABILIDADE ACUMULADA
7
11:19 Friday, August 9, 2002
The MEANS Procedure
Analysis Variable : vol
N
Mean
Std Dev
Minimum
Maximum
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
100
26.9836413
0.9383553
24.5917200
30.4452800
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ