Eduardo e Camila - IMEF

Pré-Cálculo Apresentação Introdução Produtos Notáveis Produtos Notáveis Frações Radicais Radicais Exercícios Agrad
Pré-Cálculo
Camila Perraro Sehn
Eduardo de Sá Bueno Nóbrega
FURG - Universidade Federal de Rio Grande
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Pré-Cálculo Apresentação Introdução Produtos Notáveis Produtos Notáveis Frações Radicais Radicais Exercícios Agrad
Projeto Pré-Cálculo
Este projeto consiste na formulação de uma apostila contendo
os principais assuntos trabalhados na disciplina de Matemática
no período do Ensino Médio, tendo a função de fixar
conhecimentos para facilitar o aprendizado de novas
disciplinas na faculdade.
A apostila contém assuntos como Polinômios, Produtos
Notáveis, Trigonometria, Funções e outros.
Conhecimentos estes que são de extrema importância para o
aprendizado de Cálculo Diferencial e Integral, Àlgebra Linear,
Geometria Analítica e afins.
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Introdução
Apresentaremos nesta aula os assuntos:
Produtos Notáveis
Frações
Radicais
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PRODUTOS NOTÁVEIS
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Produtos Notáveis
Quadrado da soma de dois termos:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo,
mais o quadrado do segundo.
(x + y )2 = x 2 + 2xy + y 2
(1)
Note que: (x + y )2 = (x + y )(x + y )
Exemplo:
(x + 3y )2 = (x)2 + 2(x)(3y ) + (3y )2 = x 2 + 6xy + 9y 2
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Produtos Notáveis
Quadrado da diferença de dois termos:
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado
do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo
segundo, mais o quadrado do segundo.
(x − y )2 = x 2 − 2xy + y 2
(2)
Note que: (x − y )2 = (x − y )(x − y )
Exemplo:
(7x − 4)2 = (7x)2 − 2(7x)(4) + (4)2 = 49x 2 − 56x + 16
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Produtos Notáveis
Produto da soma pela diferença de dois termos:
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo
termo.
(x + y )(x − y ) = x 2 − y 2
(3)
Exemplo:
(3a + x)(3a − x) = (3a)2 − (x)2 = 9a2 − x 2
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Produtos Notáveis
Cubo da soma de dois termos:
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro,
mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo
segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado
do segundo, mais o cubo do segundo.
(x + y )3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
(4)
Note que: (x + y )3 = (x + y )(x + y )(x + y )
Exemplo
(a+b)3 = (a)3 +3(a)2 (b)+3(a)(b)2 +(b)3 = a3 +3a2 b+3ab2 +b3
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Produtos Notáveis
Cubo da diferença de dois termos:
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do
primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro
pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo
quadrado do segundo, menos o cubo do segundo.
(x − y )3 = x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3
(5)
3
Note que: (x − y ) = (x − y )(x − y )(x − y )
Exemplo:
(2a − y )3 =
(2a)3 − 3(2a)2 (y ) + 3(2a)(y )2 − (y )3 =
8a3 − 12a2 y + 6ay 2 − y 3
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FRAÇÕES
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Simplificação de Frações
Regras Básicas:
Para simplificar frações deve-se ter conhecimento das
propriedades das frações.
Citaremos algumas formas de operações com números
fracionários.
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Operações com Frações
Soma e Subtração:
Quando as frações possuem denominadores iguais:
É necessário somar ou subtrair os numeradores,
conservando os denominadores.
Quando as frações possuem denominadores
diferentes:
Neste caso,o primeiro passo é obter frações equivalentes,
de denominadores iguais ao mmc (mínimo múltiplo
comum) dos denominadores das frações em questão.
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Operações com Frações
Multiplicação e Divisão:
Multiplicação:
Multiplica-se o numerador com numerador e denominador
com denominador. Se necessário, simplifica-se o produto.
Divisão:
Deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da
segunda. Se necessário, simplifica-se o resultado.
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Operações com Frações
Exponenciação:
É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:
µ ¶2
12
1
1
Exemplo:
= 2 = = 0, 25
2
4
2
Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo
resultado:
µ ¶2
1
Exemplo:
= (0, 5)2 = 0, 25
2
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Operações com Frações
Expoente Fracionário:
Da mesma forma como na divisão entre frações, a ocorrência
de expoente fracionário causa a inversão da operação.
Exemplo:
2
83 =
√
√
3
82 = 3 64 = 4
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RADICAIS
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Radicais
Definição:
Onde a e b são números reais e n um número inteiro e
positivo, podemos escrever:
√
n
a=b
(6)
Nomenclatura:
√
n
a = radical
a = radicando
n = índice do radical
b = raiz
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Radicais
Propriedades dos Radicais
Primeira Propriedade:
Quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, a
raiz é exata e igual à base da potência do radicando.
√
n
an = a
(7)
Onde a > 0 e n um número inteiro e positivo.
Exemplo:
√
3
23 = 2
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Radicais
Propriedades dos Radicais
Segunda propriedade:
A raiz do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto
das raízes de mesmo índice de cada fator.
√
√ √
n
n
ab = n a b
(8)
Onde a > 0, b > 0 e n um número inteiro e positivo.
Exemplo:
√
√ √
√
9.16 = 144 = 12 ou 9 16 = 3.4 = 12
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Radicais
Propriedades dos Radicais
Terceira propriedade:
A raiz do quociente de dois números é igual ao quociente da
raiz de mesmo índice de cada número.
r
√
n
a
n a
= √
(9)
n
b
b
Onde a > 0, b > 0 e n um número inteiro e positivo.
Exemplo:
r
√
7
7
=√
8
8
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Radicais
Propriedades dos Radicais
Quarta propriedade:
O valor de um radical não se modifica quando multiplicamos ou
dividimos o índice do radical e o expoente do radicando por um
mesmo número inteiro positivo.
√
√
n
n.p
am =
am.p
(10)
Onde a > 0 e m, n, p números inteiros e positivos.
√
√
n
n:p
am =
am:p
(11)
Onde a > 0 e m, n, p números inteiros e positivos.
Exemplo:
√
√
√
3
3.3
9
72 =
72.3 = 76
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Radicais
Introdução de um fator externo no radicando:
Para introduzir um fator externo em um radicando, devemos
escrevê-lo com o mesmo expoente do índice do radical.
p
√
p n a = n pn .a
(12)
Onde a > 0, n e p números inteiros e positivos.
Exemplo:
√
√
√
√
3 5 = 32 .5 = 9.5 = 45
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Radicais
Simplificação de radicais:
Simplificar um radical significa escrevê-lo com termos mais
simples, com o auxílio das propriedades citadas anteriormente.
Geralmente, é necessário decompor o radicando em fatores
primos antes de aplicar as propriedades dos radicais.
Lembrando que, número primo é aquele que é divisível por um
ou por ele mesmo.
Exemplos:
√
√
√
8
8:4
4:4 =
74 =
7√
7 √
√
√
√ √
√
3
3
3
3 8x = 3 2 x = 3 22 .2 x 2 x = 3.2 2x x = 6x 2x
p
Observação:
Note que x 2 + y 2 é diferente de x + y , assim
p
como x 2 − y 2 é diferente de x − y .
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Radicais
Redução de radicais ao mesmo índice:
Para reduzir dois ou mais radicais ao mesmo índice:
1
Determinamos o mmc dos índices dos radicais, obtendo o
índice comum.
2
Dividimos o mmc encontrado pelo índice de cada radical.
3
Multiplicamos cada quociente pelo expoente do respectivo
radicando.
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Radicais
Redução de radicais ao mesmo índice:
Exemplo:
Reduzir ao mesmo índice os radicais:
1
√
√
4
6
23 e 32
MMC ( Mínimo Múltiplo Comum) entre 4 e 6= 12
12:4= 3
12:6= 2
√
√
12
4.3
3
23.3 = √29
√
6.2
12
32.2 = 34
√
√
12
12
Assim obtemos, 29 e 34 .
2
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Radicais
Operações com radicais:
Adição algébrica de radicais semelhantes:
Para obter a soma algébrica de radicais semelhantes,
adicionamos algebricamente os fatores externos e reduzimos a
expressão a um só radical.
Exemplo:
√
√
√
√
√
2 3 + 5 3 − 3 = (2 + 5 − 1) 3 = 6 3
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Radicais
Multiplicação de radicais:
Radicais de mesmo índice:
A multiplicação de radicais de mesmo índice é igual a outro
radical em que o índice é o mesmo e o radicando é igual ao
produto dos radicandos.
√
√
√
n
n
n
a b = ab
(13)
Exemplo:
√
√
√
√
7.8 = 56 = 22 .2.7 = 2 14
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Radicais
Multiplicação de radicais:
Radicais de índices diferentes:
Para multiplicar radicais de índices diferentes, devemos
reduzi-los a um mesmo índice antes de efetuar a operação.
Exemplo:
√
√ 12
√
√
√ √
√
√
12
4
3
3 2 = 34 23 = 12 81 12 8 = 12 81.8 = 12 648
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Radicais
Divisão de radicais:
Radicais de mesmo índice:
A divisão de radicais de mesmo índice é igual a outro radical
em que o índice é o mesmo e o radicando é igual ao quociente
dos radicandos.
r
√
n
√
√ √
a
a
n
n
√
= n
ou n a : b = a : b
(14)
n
b
b
Exemplo:
r
√
10
10 √
√ =
= 2
5
5
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Radicais
Divisão de radicais:
Radicais de índices diferentes:
Para dividir radicais de índices diferentes, devemos reduzi-los a
um mesmo índice antes de efetuar a operação.
Exemplo:
r
√
√
√
6
6
2
23
8
6 8
√
= √
= √
=
6
3
6
2
9
3
9
3
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Radicais
Potenciação de radicais:
Para elevar um radical a uma potência, elevamos o radicando
ao expoente dessa potência.
√
√
n
( n a)m = am
(15)
Onde a real, m inteiro, n inteiro e positivo.
Exemplo:
√
√ √
√
√
√
√
2:2
(√ 3)5 = 35 = 34 .3 = 34 3 =
34:2 3 =
√
√
√
1
32 3 = 32 3 = 9 3
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Radicais
Radiciação de radicais:
Para extrair a raiz de uma raiz, multiplicamos os índices e
conservamos o radicando.
q
√
m √
n
a = m.n a
(16)
Onde a real, m e n inteiros e positivos.
Exemplo:
p√
√
√
10 = 2.2 10 = 4 10
Observação: Antes de calcular a raiz de uma raiz, é
conveniente introduzir todos os termos no radicando mais
interior.
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Radicais
Racionalização de denominadores:
Em frações em que os denominadores são raízes
não-exatas(números irracionais), deve-se transformar estes
denominadores em números racionais, multiplicando o
numerador e o denominador por um mesmo número diferente
de zero. Tal processo chama-se Racionalização de
denominadores.
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Radicais
Racionalização de denominadores:
Fração com denominador na forma
√
n
am
√
Quando o denominador da fração é um radical da√forma n am ,
n
multiplicamos o numerador e o denominador por an−m para
racionalizar esse denominador.
Exemplo:
1
Racionalizar o denominador de √ :
3
√
Multiplicamos o numerador e o denominador por 3(2−1) :
√
√
√
√
1 3
1
3
3
3
√ =√ √ =√
=√ =
2
3
3
3 3
3.3
3
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Radicais
Racionalização de denominadores:
Fração com denominador na forma
√
√
a+ b
Quando
√ o denominador da fração é uma expressão da forma
√
a
+
√b, multiplicamos o numerador e o denominador por
√
a − b para racionalizar esse denominador.
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Radicais
Racionalização de denominadores:
Exemplo:
1
Racionalizar o denominador de √
:
5+1
√
Multiplicamos o numerador e o denominador por 5 − 1:
√
√
1
1( 5 − 1)
5−1
√
√
=
= √
= √
(√ 5 + 1)( 5 − 1)
( 5)2 − 12
√5 + 1
5−1
5−1
=
5−1
4
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Radicais
Racionalização de denominadores:
Fração com denominador na forma
√
√
a− b
Quando
√ o denominador da fração é uma expressão da forma
√
a
−
√b, multiplicamos o numerador e o denominador por
√
a + b para racionalizar esse denominador.
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Radicais
Racionalização de denominadores:
Exemplo:
5
Racionalizar o denominador de √
:
3−1
√
Multiplicamos o numerador e o denominador por 3 + 1:
√
√
5
5( 3 + 1)
5 3+5
√
√
= √
= √
=
3−1
( √
3 − 1)( 3 + 1)
( 3)2 − 12
√
5 3+5
5 3+5
=
3−1
2
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Exercícios
1
2
3
3n+1 + 3n−1
.
3n+1
√
√
√
3
Calcule 3 108 + 2 3 32 − 6 4.
µ
¶
√
1 2
Calcule
3+
2
Simplifique a equação
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Muito obrigado pela atenção!
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Bibliografia
Malveira, Linaldo. Matemática Fácil para 8a série. 9a edição.
São Paulo: Ática, 1993.
Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos. Praticando
Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 1a edição, São
Paulo.
G.Cavalcante, Luiz. Para Saber Matemática, 6a série.
2a edição. São Paulo: Saraiva, 2006.
Guelli, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento.
São Paulo: Ática, 2002.
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