probabilidade – distribuição normal

FACULDADE DE ALAGOAS
Curso :
ADMINISTRAÇÃO
Disciplina:
ESTATÍSTICA
Professor: FERNANDO CHAGAS
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Existem diversos modelos que descrevem as Distribuições de Probabilidades, de acordo com as
características de certos experimentos. Temos, como exemplos:






Distribuição Normal
Distribuição Geométrica
Distribuição Binomial
Distribuição Hipergeométrica
Distribuição de Poisson
Distribuição de Pascal
Em nosso estudo, trataremos das três primeiras, onde a Distribuição Normal é a mais importante de todas
estudadas e aplicadas na análise de experimentos estatísticos.
PROBABILIDADE – DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A Distribuição NORMAL é a distribuição contínua de probabilidade mais importante na Estatística. Essa
distribuição pode ser utilizada para modelar muitos conjuntos de medidas na natureza, na indústria, no
comércio.
Essa distribuição é também chamada de Distribuição Gaussiana, em função do seu desenvolvimento ter
sido feita por um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Carl Gauss.
Propriedades da Distribuição Normal:
a) A média, a Mediana e a Moda são iguais
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b) A curva normal tem formato de sino e é simétrica em torno da média
c) A curva normal aproxima-se mais do eixo-x à medida que se afasta da média em ambos os lados, mas
nunca toca o eixo.
Se X for uma variável aleatória contínua e tiver uma distribuição normal com média  e desvio padrão ,
pode-se fazer o gráfico de uma curva normal usando a equação
f(
x
)
1
2

(x


)

e2
2

2
em que x
Mas, vamos resolver nossos problemas utilizando-se da Tabela da Distribuição Normal Padrão.
Quando temos uma variável aleatória com distribuição normal, o principal interesse é encontrar a
probabilidade de essa variável assumir um valor em determinado intervalo.
Exemplo 1: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por uma
máquina. Supondo que a média dos diâmetros seja de 2 cm e o desvio padrão seja de 0,04 cm, qual seria a
probabilidade de ter um parafuso com diâmetro entre 2,0 e 2,05 cm?
Para solucionar a questão, utilizaremos a Tabela da Distribuição Normal Padrão (em função de z) anexa,
cuja aplicação é feita após a descoberta dos valores do intervalo de z, conforme a seguinte equação:
z = (x-m)/s
m = média
s = desvio padrão
(2X2
,05
)
Queremos calcular P
Temos: Média(m)= 2,0 Desvio Padrão (s)= 0,04
Intervalo(x): entre 2,0 e 2,05
Calculando os valores do intervalo para z (substituindo os valores de x pelos dados do intervalo):
Para x = 2,00  z = (2,0 – 2,0)/0,04 = 0
Para x = 2,05  z = (2,05 – 2,0)/0,04 = 1,25
Consultando a tabela, procuramos os valores correspondentes para 0 e 1,25, que são 0,0000 e 0,3944
Assim, de 0 a 1,25 temos: 0,3944 – 0,0000 = 0,3944  que corresponde a 39,44%
Portanto, a probabilidade de se encontrar um parafuso com diâmetro entre 2 cm e 2,05 cm é de 39,44%.
Exemplo 2: Considerando a mesma variável do exemplo 1 anterior, com média de 2,0 cm e desvio padrão
de 0,04 cm, qual a probabilidade de se encontrar um parafuso com diâmetro entre 1,9 cm e 2,1 cm?
Temos: Média(m)= 2,0 Desvio Padrão (s)= 0,04
Calculando os valores do intervalo para z:
Intervalo(x): entre 1,9 e 2,1
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Para x = 1,9  z = (1,9 – 2,0)/0,04 = -2,5
Para x = 2,1  z = (2,1 – 2,0)/0,04 = 2,5
Como a curva é simétrica, temos que a probabilidade para o intervalo de –2,5 até 0 é a mesma que de 0 até
2,5. Assim, temos: 0,4938 + 0,4938 = 0,9876  que corresponde a 98,76%.
Exemplo 3: Qual a probabilidade de se encontrar um parafuso com diâmetro entre 1,96 cm e 2,04 cm,
considerando a mesma média e desvio padrão dos exemplos anteriores?
Temos: Média(m)= 2,0 Desvio Padrão (s)= 0,04
Intervalo(x): entre 1,96 e 2,04
Calculando os valores do intervalo para z:
Para x = 1,96  z = (1,96 – 2,0)/0,04 = -1,0
Para x = 2,04  z = (2,04 – 2,0)/0,04 = 1,0
Como a curva é simétrica, temos que a probabilidade para o intervalo de -1,0 até 0 é a mesma que de 0 até
1,0. Assim, temos a união dos intervalos: 0,3413 + 0,3413= 0,6826  que corresponde a 68,26%.
Observação: Os valores do intervalo desse último exemplo, correspondem à Média – Desvio Padrão e
Média + Desvio Padrão, isto é, m – s
e m + s. Concluímos, pois, que numa distribuição normal,
somando e subtraindo o Desvio Padrão da Média, encontramos um intervalo que tem 68,26% da
distribuição.
Exemplo 4: Os salários mensais dos operários de uma indústria são distribuídos normalmente, em torno da
média de R$ 500,00. Sabendo-se que o Desvio Padrão é de R$ 40,00, qual a probabilidade de um operário
ter um salário mensal situado entre R$ 490,00 e R$ 520,00?
Temos: Média(m)= 500,00 Desvio Padrão (s)= 40,00 Intervalo(x): entre 490,00 e 520,00
Calculando os valores do intervalo para z:
Para x = 490  z = (490-500)/40 = - 0,25
Para x = 520  z = (520-500)/40 = 0,50
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Teremos, então, a união do intervalo entre –0,25 até 0 e 0 até e 0,50. Consultando a Tabela, encontramos:
0,0987 + 0,1915 = 0,2902
Logo, a probabilidade de um operário ter salário mensal entre R$ 490,00 e R$ 520,00 é de 29,02%.
PROBLEMA PROPOSTO: Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e
desvio padrão 10. Qual a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota:
a) Maior que 120 ?
b) Entre 85 e 115 ?
EXEMPLOS DE COMO USAR A TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
EXEMPLO 1: Se após o cálculo dos valores do intervalo encontramos 0 e 1,25, vamos localizar os números
correspondentes:
Para 0 = 0,0000
Para 1,25  Na linha vertical do z localizamos 1,2 ; a partir do 1,2 seguimos em linha horizontal até
encontrar o valor que corresponde ao 5 (que está na linha horizontal do z), que é 3944. Logo, o número
procurado é 0,3944.
Como o 0,0000 corresponde ao centro da curva, o valor 0,3944 (positivo) está à sua direita. O resultado final
seria a subtração entre esses dois valores: 0,3944 – 0,0000 = 0,3944
EXEMPLO 2: Se após o cálculo dos valores do intervalo encontramos -1,0 e 1,5, vamos localizar os
números correspondentes:
Para -1,0 é o mesmo que se procurássemos para +1,0, pois a curva é simétrica. Assim, para -1,0 teríamos
0,3413.
Para 1,5 temos 0,4332.
Como uma parte do intervalo está à esquerda da média (0,3413) e a outra à direita (0,4332), o intervalo total
corresponde à soma: 0,3413 + 0,4332 = 0,7745.
EXEMPLO 3: Se quisermos saber qual a probabilidade para um valor de z maior que 2 faremos:
O intervalo à esquerda da média corresponde à meta da curva, logo a uma probabilidade de 0,5.
Calculamos, então, de 0 até 2, que é 0,4772.
Assim, o intervalo total do lado esquerdo até chegar no 2 (positivo) é de 0,5 + 0,4772 = 0,9772. Para chegar
em 1 falta 0,0228, que é o que procurávamos.
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DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
Muitas vezes temos eventos repetidos até que se obtenha um sucesso. Por exemplo: nos serviços de
telemarketing, uma telefonista liga várias vezes para os clientes, até conseguir concretizar a 1ª venda do dia.
A Distribuição Geométrica é uma distribuição discreta de probabilidade de uma variável aleatória x que
satisfaz às seguintes condições:



Uma tentativa é repetida até que o sucesso ocorra
As tentativas repetidas são independentes umas das outras
A probabilidade de sucesso p é a mesma em cada tentativa.
(x)p.(
q)x1
A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorrerá na tentativa x é : P
onde p é a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso. Assim, p+q = 1.
Exemplos:
01- Por experiência, numa determinada empresa sabe-se que a probabilidade de que se conseguir uma
venda em qualquer chamada telefônica é de 23%. Qual a probabilidade de que sua primeira venda em um
dado dia ocorra na quarta chamada telefônica?
Temos:
Assim
p = 0,23
q = 0,77
x=4
4

1
P
(
4
)

0
,
23
.(
0
,
77
)

0
,
105003
Que é 10,5003%
02- Na mesma empresa do problema anterior, qual a probabilidade de que sua primeira venda em um dado
dia ocorra na quinta chamada telefônica?
Temos:
Assim
p = 0,23
q = 0,77
x=5
5

1
P
(
5
)

0
,
23
.(
0
,
77
)

0
,
080852
Que é 8,0852%
03- Ainda na mesma empresa, qual a probabilidade de que em um dado dia sua primeira venda ocorra na
quarta ou na quinta chamada telefônica?
Nesse caso, basta somarmos as probabilidades da quarta com a da quinta: 0,105003 + 0,080852 =
0,185855
Que é 18,5855%
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Quando temos experimentos que satisfaçam as condições abaixo, a Distribuição de Probabilidade utilizada é
a Distribuição BINOMIAL:




O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n);
As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve interferir os
resultados das sucessivas;
Em cada prova deve aparecer um dos possíveis resultados: sucesso ou fracasso (insucesso);
No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q ( q = 1 – p) do
fracasso manter-se-ão constantes.
n

k n

k


(
X

k
)
p.
q
A probabilidade para esse tipo de experimento é dada por P


k


onde,
k é a quantidade de que o evento dado se realize
n é o número de provas repetidas
p é a probabilidade de sucesso
q é a probabilidade de fracasso
n!
n
  é o coeficiente binomial de n sobre k, que é igual a
k!.(nk)!
k 
Exemplos:
1- Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas sobre uma mesa. Qual a probabilidade de sair 3 caras?
Vemos que o experimento atende as 4 condições da Distribuição Binomial: o experimento é repetido um
número finito de vezes (no caso 5); cada lançamento é independente dos outros; em cada prova queremos
saber qual o sucesso de se obter “cara”; a probabilidade de sucesso e fracasso são constantes a cada
lançamento.
Dados do problema: n = 5
k=3
p=½
q=½
5
!
1
1
5
.
4
.
3
!
1
1
1
10
5
3
5

3
3
21
(
X

3
)

.(
)
.(
)

.(
)
.(
)

10
.
.



0
,
31
Assim, P
3
!
(
5

3
)!
2
2
3
!.
2
!
2
2
8
4
32
16
Logo, a probabilidade de que saiam 3 caras é de 31,25%.
2- Dois times (ASA BRANCA e ASA VERMELHA) jogam 6 vezes. Qual a probabilidade de ASA
BRANCA vencer 4 jogos?
Os resultados de cada jogo são Vitória, Empate ou Derrota. Assim, a probabilidade de vitória é de 1/3 e a de
quaisquer outros resultados é de 2/3 (p = 1/3 e q= 2/3)
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Dados do problema: n = 6 k = 4 p = 1/3 e q= 2/3
4
2
6
!
1
2
6
.
5
.
4
!
1
4
4
20










P
(
X

4
)

.
.


.

15
.


0
,
082










4
!.(
6

4
)!
3
3
4
!.
2
!
81
9
729
243










Assim, a probabilidade de ASA BRANCA vencer 4, dos 6 jogos, é de 8,23%.