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Problema Proposto
Um exame de laboratório tem eciência de 95% para detectar uma doença, quando ela de fato
existe. Entretanto, o teste aponta um resultado falso-positivo para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0, 5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença,
dado que o seu exame foi positivo?
Solução
Vamos denir P (p) como a probabilidade do exame dar positivo, e P (d) como a probabilidade
da pessoa ter a doença.
Queremos calcular a probabilidade da doença sabendo que o exame foi positivo, ou seja,
queremos o valor de P (d|p). Sabemos que existem 0, 5% de pessoas com a doença, logo, existem
99, 5% de pessoas sem a doença. Dos 0, 5%, existe 95% de chance do exame dar positivo, enquanto
existe apenas 1% de chance dele dar positivo nos outros 99, 5% da população.
A probabilidade de uma pessoa estar doente, sabendo que o exame foi positivo, é calculada
da seguinte forma:
P (d|p) =
P (d)
0, 005 ∗ 0, 95
=
P (p)
0, 005 ∗ 0, 95 + 0, 995 ∗ 0, 01
Ou seja, P (d) é a probabilidade da pessoa ter a doença (0, 5%) vezes a probabilidade do
exame dar positivo (95%). P (p) é a probabilidade da pessoa ter a doença e o exame dar positivo
mais a probabilidade da pessoa não ter a doença (99, 5%) vezes a probabilidade do exame dar
positivo (1%). Assim,
P (d|p) =
0, 00475
0, 00475 ∼
=
= 32%
0, 00475 + 0, 00995
0, 0147
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Problema 2
Em uma certa cidade da Região Norte do país, durante a estação chuvosa, a probabilidade de
que chova em um dia qualquer é igual a 50%. Assim, a probabilidade de que chova em um m
de semana (sábado, domingo ou ambos) vale quanto?
Solução 1
Usaremos a seguinte notação:
• P(S) - probabilidade de chover no sábado.
• P(D) - probabilidade de chover no domingo;
A probabilidade de chover apenas no sábado é igual a:
P 1 = P (S) ∗ (1 − P (D)) = 0.5 ∗ 0.5 = 0.25
Do mesmo modo, a probabilidade de chuva apenas no domingo é P 2 = 0.25. A probabilidade
de chuva nos dois dias é igual a
P 3 = P (S) ∗ P (D) = 0.5 ∗ 0.5 = 0.25
Como queremos a probabilidade de chuva durante o nal de semana, temos então
P = P 1 + P 2 + P 3 = 0.25 ∗ 3 = 0.75
Portanto, existe uma chance de 75% de chuva no nal de semana.
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Problema 3
(UNESP) numa cidade com 30000 domicílios, 10000 domicílios recebem regularmente o jornal
da loja de eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal do supermercado Y e metade
do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais. Determine:
a) O número de domicílios que recebem os dois jornais.
b) A probabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, receber o jornal da loja de
eletrodomésticos X e não receber o jornal do supermercado Y.
Solução
Metade dos domicílios não recebem jornais, logo, apenas 15000 domicílios recebem jornais.
No total, 18000 jornais são entregues nesta cidade, 10000 de X e 8000 de Y.
Comparando os dois valores, 15000 pessoas recebem jornais e 18000 jornais são entregues, é
fácil constatar que 3000 jornais acabam "sobrando". Portanto temos que 3000 domicílios recebem
os dois jornais. De maneira mais analítica:
Seja P os domicílios que recebem apenas os jornais de X. Seja Q os domicílios que recebem
apenas os jornais de Y e seja R os domicílios que recebem ambos os jornais. Pelo enunciado,
temos que P + Q + R = 15000, P + R = 10000 e Q + R = 8000. Basta então resolver o sistema
a)

 P + Q + R = 15000
P + R = 10000

Q + R = 8000
obtendo os valores P = 7000, Q = 5000 e R = 3000. Logo, 3000 domicílios recebem ambos os
jornais.
b) Ao todo, 15000 domicílios recebem os jornais. Dentre eles, 7000 recebem apenas os jornais
da loja de eletrodomésticos X.
A probabilidade de escolher um domicílio, ao acaso, que receba apenas jornais de X é igual
ao total de domicílios que recebem os jornais de X sobre todos os domicílios da cidade, ou seja,
7000
7000 em X
=⇒
= 0, 23
30000 domicilios
30000
Portanto, a probabilidade de escolher um domicílio que recebe apenas os jornais da loja X é
de 23%.
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Problema 4
(FUVEST - modicada) Um recenseamento revelou as seguintes características sobre a idade e
a escolaridade da população de uma cidade.
Se for sorteada, ao acaso, uma pessoa da cidade, a probabilidade de esta pessoa ter curso
superior (completo ou incompleto) é?
Solução
Segundo a tabela, temos que 4% + 2% = 6% dos jovens tem curso superior; 4% + 3% = 7% das
mulheres adultas tem ensino superior e 5% + 5% = 10% dos homens adultos tem ensino superior
também.
Portanto, segundo o gráco, a probabilidade pedida é de:
0, 06 ∗ 0, 48 + 0, 07 ∗ 0, 27 + 0, 1 ∗ 0, 25 = 0, 0727 = 7, 27%
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Problema 5
Um casal decidiu que vai ter 5 lhos. Qual seria a probabilidade de que tivesse pelo menos 2
meninos?
Solução
O casal terá 5 lhos, para cada lho, existem 2 possibilidades (menino ou menina), logo teremos
25 = 32 possibilidades no total.
Não estamos nos importando com a ordem dos lhos, queremos apenas ter, no minimo, 2
meninos. Assim, estamos interessados nos casos onde nasçam 2 meninos e 3 meninas, 3 meninos
e 2 meninas, 4 meninos e 1 menina e 5 meninos.
Deste modo, o total de casos favoráveis é a soma de cada combinação dentre os nascimentos,
ou seja,
5
5
5
5
+
+
+
= 10 + 10 + 5 + 1 = 26
2
3
4
5
Logo, a probabilidade de nascerem pelo menos 2 meninos é igual a
P =
26 ∼
= 81, 25%
32
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