Escola Brasileira de Economia e Finanças # EPGE/FGV Graduação

Escola Brasileira de Economia e Finanças - EPGE/FGV
Graduação em Ciências Econômicas - Ciclo Pro…ssional
Finanças Públicas - 2008
Gabarito - Lista 2
Carlos Eugênio
Professor
Marcelo Z. Pedroni
Monitor
[email protected]
Questão 1 Suponha que cada real gasto em um bem privado fornece a você 10
unidades de utilidade e cada real gasto em um bem público dá a você e aos seus
dois vizinhos 5 unidades de utilidade.
a) Se você tem uma renda …xa de R$ 500; 00, quanto você gastaria no bem
público?
Como cada real gasto com o bem privado gera mais utilidade para você do
que gastá-lo com o bem público, qualquer que seja a escolha de consumo dos
seus vizinhos, é privadamente racional gastar todo o seu dinheiro com o bem
privado.
b) Qual o gasto total no bem público no equilíbrio de Nash se seus dois vizinhos
também dispõem de R$ 500; 00 cada e possuem as mesmas preferências que
você?
Do argumento acima temos que: gastar todo o dinheiro com o bem privado é
uma estratégia dominante para todos os indivíduos. Logo, o equilíbrio de Nash
é tal que o gasto total com o bem público é zero.
c) Qual o gasto total no bem público que maximiza o nível total de utilidade?
O benefício marginal para o nível total de utilidade de uma unidade a mais
de bem público é de 15 unidades de utilidade enquanto o de uma unidade a mais
de bem privado é de 10 unidades de utilidade. Dessa forma, …ca claro que, para
maximizar o nível total de utilidade, todo o dinheiro deve ser gasto com o bem
público.
1
Questão 2 Derive a condição de Bowen-Lindahl-Samuelson (BLS) e interpretea.
Considere uma economia com n indivíduos, um bem privado x e um bem
público z. Cada indivíduo i = 1; :::; n tem função utilidade U i xi ; z i . O bem
público é produzido a partir do bem privado através da seguinte tecnologia:
z 0 = f (x0 ).
Resolveremos o problema de Pareto para achar a alocação e…ciente. Para
tanto, devemos derivar as restrições de
Para o bem
P recursos da economia.
privado temos a restrição usual: x0 + i xi
X, onde x0 é a quantidade de
x usada para produção de z 0 e X é a dotação de x na economia. Para o bem
público, devido a característica de não-rivalidade, o consumo de cada indivíduo
estará restrito à dotação da economia, logo: z i z 0 8i.
Dessa forma, o problema de Pareto é:
max
U 1 x1 ; z 1
8 i i i
U x ; z PU i ; i = 2; :::; n
>
>
<
x0 + i xi X
s:a
z i z 0 8i
>
>
:
z 0 f (x0 )
0 0
fxi ;z i gn
i=1 ;x ;z
Assumimos que a utilidade é crescente nos dois argumentos, logo, as restrições valerão com igualdade. Sendo assim, temos que z i = z 0 = f (x0 ) 8i.
Supondo f estritamente crescente podemos de…nir sua inversa:
f 1, e
0
0
portanto, temos x = (z ). O problema de Pareto simpli…ca para o seguinte:
max
0 0
fxi gn
i=1 ;x ;z
U i xi ; z 0 = P
U i ; i = 2; :::; n
0
(z ) + i xi = X
s:a
Lagrangeano:
L
U
1
1
x ;z
0
+
n
X
U 1 x1 ; z 1
i
U
i
i
x ;z
0
U
i
"
+
i=2
0
X
(z )
X
i
i
x
#
Condições de primeira ordem (assumimos que a utilidade é côncava de tal
maneira que as condições necessárias são su…cientes), seja 1 1:
[z 0 ] :
n
X
i @U
i
i @U
i
i=1
xi :
xi ; z 0
=
@z 0
xi ; z 0
=
@xi
2
0
i
(z 0 )
(1)
8i
(2)
(2) em (1):
@U i (xi ;z 0 )
@z 0
@U i (xi ;z 0 )
i=1
@xi
n
X
=
0
i
(z 0 )
(3)
(3) é a condição BLS que diz que a soma das taxas marginais de substituição
dos indivíduos entre o bem público e o bem privado é igual a taxa marginal de
transformação.
3
Questão 3 Quando estamos tratando de bens privados, como os preços garantem que a condição de e…ciência seja satisfeita? Por que o mesmo não vale
quando estamos tratando de bens públicos?
No caso de bens privados, cada consumidor maximiza sua utilidade no ponto
em que a taxa marginal de substituição (TMS) entre cada par de bens se iguala
a razão de preços desses bens (este é o ponto em que a curva de indiferença é
tangente à restrição orçamentária). Como os preços são os mesmos para todos
os consumidores, temos que:
h
T M Si;j
=
pi
h0
= T M Si;j
pj
Isto vale para todo par de bens i e j e consumidores h e h0 . Dessa forma, as
curvas de indiferença se tangenciam no ótimo o que garante a e…ciência.
Quando existe um bem público, estes resultados continuam valendo. Seja G o
bem público, temos que a maximização individual levaria ao seguinte resultado:
h
T M SG;j
=
pG
h0
= T M SG;j
pj
No entanto, esta condição não garante e…ciência, pois uma unidade a mais do
bem público não aumenta a utilidade apenas de um consumidor mas de todos,
a e…ciência neste caso é caracterizada pela condição BLS:
X
pG
h
T M SG;j
=
pj
h
Note que se assumirmos produção competitiva dos bens, temos que a razão
de preços também se igual a taxa marginal de transformação (TMT) o que gera
a condição BLS usual:
X
pG
h
T M SG;j
=
= T M TG;j
pj
h
4
Questão 4 Considere três consumidores (i = 1; 2; 3) que derivam utilidade de
seus consumos de um bem privado e de um bem público. Suas funções utilidade
são da forma ui = xi G, onde xi é o consumo do bem privado pelo consumidor
i e G é a quantidade total do bem público consumida pelos três indivíduos. O
custo unitário do bem privado é R$ 1; 00 e o custo unitário do bem público é
R$ 10; 00. Os níveis de renda individuais em R$ são w1 = 30, w2 = 50 e
w3 = 20. Qual a quantidade e…ciente de bem público a ser consumida? (Dica:
use a condição BLS).
Calculando a taxa marginal de substituição para o consumidor i:
i
T M SG;x
=
@ui (xi ;G)
@G
@ui (xi ;G)
@xi
=
xi
; i = 1; 2; 3
G
Assumindo produção competitiva, temos que a taxa marginal de transformação é igual a razão de preços:
T M TG;x =
pG
= 10
px
Logo, da condição BLS:
X
i
T M SG;x
= T M TG;x
i
x1
x2
x3
+
+
G
G
G
x1 + x2 + x3
=
10
=
10G
(1)
Lei de Walras (valor do excesso de demanda de todos os bens é igual a zero):
px (x1 + x2 + x3 ) + pG G (w1 + w2 + w3 ) = 0
x1 + x2 + x3 + 10G = 100
(1) em (2):
G=5
5
(2)
Questão 5 Por que o problema do carona (free-rider) di…culta os mercados
proverem o nível e…ciente de bens públicos?
O problema do carona ocorre quando existe um bem público na economia.
Neste caso cada consumidor tem incentivo de se bene…ciar do bem público
provido por outros enquanto ele próprio não o prove numa quantidade su…ciente.
Esta ine…ciência é resultado da externalidade que existe entre os consumidores:
a provisão de bem público por um consumidor afeta a utilidade de todos os
outros. Quando há externalidade, cada consumidor não considera, ao decidir
privadamente, o benefício gerado pelo bem público sobre os outros e, conseqüentemente, o Primeiro Teorema do Bem Estar não vale e a alocação de equilíbrio
é, em geral, ine…ciente.
6
Questão 6 A e B estão pensando em comprar um sofá. A função utilidade do
A é dada por
uA (s; mA ) = (1 + s)mA
e a função utilidade da B é
uB (s; mB ) = (2 + s)mB
onde s = 0 se eles não comprarem o sofá e s = 1 se comprarem. Além disso, mA
e mB correspondem à quantidade de dinheiro que eles dispõem, respectivamente,
para gastar no bem privado. Cada um deles tem R$ 100; 00 para gastar. Qual a
maior quantia que eles poderiam pagar pelo sofá que deixasse ambos em situação
melhor do que sem ter o sofá?
Se eles não compram o sofá (s = 0, mA = mB = 100), suas utilidades serão:
uA (0; 100)
uB (0; 100)
= 100
= 200
Se eles compram o sofá pagando pA e pB respectivamente (s = 0, mA =
100 pA , mB = 100 pB ), suas utilidades serão:
uA (1; 100
uB (1; 100
pA ) = 2 (100
pB ) = 3 (100
pA )
pB )
Logo, A estaria melhor com o sofá se pagasse no máximo pA tal que:
uA (0; 100) = uA (1; 100
pA = 50
pA )
E B estaria melhor com o sofá se pagasse no máximo pB tal que:
uB (0; 100)
pB
= uB (1; 100
100
=
3
pB )
Dessa forma, o máximo que A e B podem pagar pelo sofá conjuntamente
para que estejam melhor com ele é:
pA + pB =
7
250
3
Questão 7 Considere dois consumidores com as seguintes funções demanda por
um bem público:
p1
=
10
p2
=
20
G
10
G
10
onde pi é o preço que o consumidor i está disposto a pagar pela quantidade G.
a) Qual o nível ótimo de bem público se o custo marginal do mesmo é R$ 25; 00?
O quantidade ótima de bem público é alcançada quando a disposição a pagar
dos consumidores se iguala ao custo marginal:
p1 (G) + p2 (G) = 25
G
G
+ 20
= 25
10
10
10
G = 25
b) Suponha que o custo marginal do bem público é R$ 5; 00. Qual o nível
ótimo?
Mesmo cálculo:
p1 (G) + p2 (G) = 5
G = 125
c) Suponha que o custo marginal do bem público é R$ 40; 00. Qual o nível
ótimo?
Novamente pelo mesmo cálculo:
p1 (G) + p2 (G) =
G =
40
50
Como não se pode prover uma quantidade negativa do bem (G 0), temos
que a quantidade ótima será G = 0. Ou seja, neste caso o custo marginal é tão
alto que excede o valor que os consumidores atribuem a primeira unidade do
bem público.
8
Questão 8 Considere o caso em que temos H consumidores, cada um com
função utilidade U h = ln xh + ln G e uma renda de 1. Note que no caso de
provisão privada do bem público podemos escrever
0
1
X 0
h
h
h
h
U = ln x + ln @g +
g A
h0 6=h
Note ainda que o equilíbrio deve ser simétrico (porque?). Calcule os gastos privados com o bem público em equilíbrio e o ótimo social para o caso da função
bem-estar
W =
H
X
Uh
h=1
Comente o efeito de uma mudança em H na diferença entre o equilíbrio e o
ótimo.
Como todos os indivíduos são iguais (suas preferências e rendas disponíveis
são iguais) o equilíbrio deve ser simétrico.
Problema do indivíduo h:
=)
P
0
maxxh ;gh ln xh + ln g h + h0 6=h g h
s:a xh + g h = 1
1
0
X 0
max ln 1 g h + ln @g h +
gh A
gh
h0 6=h
Condição de primeira ordem (necessária e su…ciente):
gh
g
h
1
:
=
gh
1
1
P
+
h0 6=h
gh
+
0
gh
1
P
h0 6=h
2
Da simetria temos que g h = g 8h, logo:
g
=
g
=
1
(H
2
1) g
1
H +1
Logo, a provisão privada do bem público será:
9
g h0
=0
H
H +1
Dada a função de bem-estar, a quantidade de bem público no ótimo social
deve resolver o seguinte problema (assumindo que o custo será dividido igualG
):
mente, ou seja, xh = 1 H
G =
G
H
max H ln 1
G
+ ln G
Condição de primeira ordem (necessária e su…ciente):
[G]
G
:
H
=
H
2
1
H
G
+
1
=0
G
Comparando o ótimo social com a provisão privada:
G
H +1
=
G
2
Observe que quanto maior o número de indivíduos maior será a divergência
entre o ótimo e a provisão privada.
10