AULA 16 - TRANSPARÊNCIAS

Física I
2010/2011
Aula 16
Momento de uma Força e Momento Angular
Sumário
•
•
•
•
O Momento angular
A 2.ª Lei de Newton na forma angular
O Momento Angular de um Sistema de Partículas
O Momento Angular de um Corpo Rígido que Roda em
torno de um Eixo Fixo
• A Conservação do Momento Angular
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Momento Angular
O momento angular
instantâneo,
, de uma
partícula em relação à
origem O é definido como o
produto vectorial do vector
posição instantânea da
partícula, , e do seu
momento linear instantâneo,
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Momento Angular
transportado
para a origem
Prolongando a linha de acção
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Momento de uma Força e Momento Angular
Para uma partícula
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Momento de uma Força e Momento Angular
O momento da força está relacionado com o
momento angular
Da mesma forma que a força está ligada ao momento
linear
Esta é a forma rotacional da 2.ª Lei de Newton
e
devem estar calculados em relação ao mesmo
ponto
A expressão é válida para qualquer ponto num referencial
inercial
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Momento Angular
A unidade SI de momento angular é kg.m2/s
Tanto o módulo como a direcção de
da escolha do ponto de referência
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dependem
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Momento Angular de uma Partícula, Exemplo
O vector
aponta
para fora do diagrama
O módulo é
Uma partícula com
movimento circular uniforme
possui momento angular
constante em relação ao
centro da trajectória
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Momento Angular de um Sistema de Partículas
O momento angular total de um sistema de
partículas é, por definição, o vector soma dos
momentos angulares das partículas que o
constituem
Diferenciando em relação ao tempo
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Momento Angular de um Sistema de Partículas
Os momentos das forças internas que actuam no
sistema cancelam-se dois a dois
Portanto,
O momento resultante das forças exteriores que actuam
num sistema, em relação a um ponto de um referencial
inercial, é igual à derivada temporal do momento angular
total do sistema (calculado em relação ao mesmo ponto)
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Momento Angular de um Corpo Rígido em Rotação
Cada partícula do corpo
roda no plano xy em torno
do eixo dos z com
velocidade angular
O módulo do momento
angular de uma partícula é
e
têm a direcção e
sentido do eixo dos z
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Momento Angular de um Corpo Rígido em Rotação
Obtemos o momento angular do corpo adicionando os
momentos angulares das partículas individuais
Obtemos assim a forma rotacional da 2.ª Lei de Newton
(corpo rígido, eixo fixo)
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Conservação do Momento Angular
O momento angular total de um sistema é
constante, em módulo, direcção e sentido se o
momento resultante das forças exteriores que
actuam no sistema é nulo
Momento de forças resultante = 0 -> significa que o sistema
é isolado
Para um sistema de partículas,
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Conservação do Momento Angular
Se a massa de um sistema isolado se
redistribui, o momento de inércia varia
A conservação do momento angular exige uma
variação da velocidade angular
Ii i = If f
Esta expressão é válida para rotação em torno de um eixo
fixo e para rotação em torno de um eixo que passa no centro
de massa de um sistema em movimento
O momento de força resultante deve ser nulo em qualquer
dos casos
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Sumário das Leis de Conservação
Para um sistema isolado (1) Conservação da Energia:
Ei = Ef
(2) Conservação do Momento Linear :
(3) Conservação do Momento Angular :
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Conservação do Momento Angular : O Carrossel
O momento de inércia do sistema,
em relação ao eixo de rotação, é a
soma do momento de inércia da
plataforma e do momento de
inércia da pessoa
Supomos que a pessoa pode ser tratada
como uma partícula
Se a pessoa se move para o
centro da plataforma o módulo da
velocidade angular aumentará,
para que
permaneça constante
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Definição de Produto Externo ou Vectorial
Dados os vectores
O vector produto externo de A e B é um terceiro
vector, C
C lê-se “
”
O módulo de C é AB sin 
em que  é o ângulo entre A e B
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Produto Vectorial
AB sin  é a área do
paralelogramo formado por
AeB
Regra da mão direita
A direcção de
é
perpendicular ao plano
formado por
O sentido pode ser
determinado pela regra da
mão direita
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Propriedades do Produto Vectorial
O produto vectorial não é comutativo. A ordem dos
vectores é importante
Se
é paralelo a
( = 0o ou 180o), então
Portanto
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Propriedades do Produto Vectorial
Se
é perpendicular a
, então
O produto vectorial obedece à lei distributiva
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Propriedades do Produto Vectorial
A derivada do produto vectorial em relação a uma
variável, como t, é
em que é importante conservar a ordem
multiplicativa de
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Produto Vectorial dos Vectores Unitários
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Produto Vectorial dos Vectores Unitários
Podemos mudar os sinais em produtos vectoriais
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Utilização de Determinantes
O produto vectorial pode ser expresso na forma
Desenvolvendo os determinantes obtemos
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