Ondas

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Ondulatória
Movimento Harmônico Simples
Consideremos um corpo de massa m preso
a uma mola de constante elástica k, sobre uma
superfície horizontal sem atrito.
Consideremos a origem na posição de
equilíbrio (ponto O) e façamos o corpo movimentarse ao longo do eixo x, aplicando-lhe uma força F ,
conforme indica a figura:
Ponto de Equilíbrio
O tipo de movimento dotado dessas
características particulares é um movimento
harmônico simples (MHS).
Características do MHS:
 É um movimento retilíneo;
 É um movimento periódico.
A posição do corpo varia entre uma posição
máxima x = A é chamada amplitude do
movimento.
Cada ida e volta do corpo (oscilação) é
chamada ciclo.
Período (T) é o tempo de duração de um ciclo.
Unidade de T: segundo (s).
Freqüência (f) é o número de ciclos que o corpo
realiza na unidade de tempo.
Unidade de f: hertz (Hz).
T
Relação entre T e F 
Ao abandonarmos o corpo ( F = 0), a força
 
elástica F el. age como força restauradora e
produz uma aceleração para a esquerda.
À medida que o corpo retorna para a
posição de equilíbrio, a força elástica é cada vez
menor e, portanto, a aceleração diminui.
Quando o corpo chega à posição de
equilíbrio, a força e a aceleração são nulas.
Entretanto, o corpo adquiriu a sua
velocidade máxima nesse ponto e continua em
movimento, comprimindo a mola, criando uma força
para a direita, que atua sobre o corpo,
desacelerando-o, até parar.
A partir desse ponto, o corpo é acelerado
outra vez para a direita, por causa da força elástica.
Em conseqüência das forças para a direita e
para a esquerda, exercidas pela mola, o corpo
realiza um movimento de ida e volta, tal que a
distância percorrida para a direita em relação à
posição de equilíbrio é igual à que ele percorre à
esquerda dessa posição.
Cada ciclo de ida e volta é completado no
mesmo intervalo de tempo.
Observe que a força e a aceleração ficam
sempre dirigidas para a posição de equilíbrio (ponto
O).
1
f
Por meio do movimento circular uniforme,
de velocidade angular ω e raio r = A é possível
estudar o movimento da projeção do ponto P, em
MCU na circunferência, sobre o diâmetro e verificar
que esse movimento é um MHS.
OP’ representa a elongação do MHS.
Enquanto o ponto P descreve um MCU em
torno da circunferência, o ponto P’ oscila no
diâmetro horizontal em MHS.
As funções horárias do movimento são:
x = A cos (ωt + φ0) elongação
v = -ωA sen (ωt + φ0) velocidade
a = -ω2A cos (ωt + φ0) aceleração
Em que:
A = amplitude
ω = velocidade angular ou pulsação

2
T
1
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φ0 = fase inicial
t = tempo
Observação:
Para se determinar a fase inicial do MHS,
deve-se verificar onde estaria o corpo em MCU, no
instante inicial. Por exemplo:
Do gráfico, concluímos que:
-A
0
x
mínimo
v
nula
a
máxima
nulo
mínima
máxima
nula
A
x
máxima
nula
mínima
Relação entre x e v
v   A 2  x 2
Quando x = 0  |vmáx.| = ωA (No ponto O a
velocidade é máxima.)
Quando x = ±A  v = 0 (Nos pontos
extremos a velocidade é nula.)
Relação entre a e x
a = -ω2x
Gráficos do MHS
Fazendo φ0 = 0, obtemos:
Quando x = 0  a = 0 (No ponto O a
aceleração é nula.)
Quando x = ±A  |amáx.| = ω2A (Nos pontos
extremos a aceleração é máxima.)
A Dinâmica do MHS (oscilador harmônico)
Consideremos o oscilador harmônico da
figura:
A força elástica é proporcional à elongação;
logo:
F = ma  F = -mω2x
2
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Observe que F está sempre orientada para
o ponto de equilíbrio O.
A velocidade angular e o período de
oscilação são dados por:

k
m
T  2
T  2
m
k
Note que o período independe da amplitude
do movimento.
Energia no MHS
 Energia Potencial
-A
x = -A
kA2
E Pmáx. 
2
0
x=0
A
x=A
EP = 0
kA2
E Pmáx. 
2
v=0
v = ±ωA
v=0
-A
0
A
Ec 
,
inextensível
e
de
massa

g
O pêndulo executa um movimento periódico
de período T que independe da amplitude e da
massa pendular.
Ondas
 Energia Cinética
ECmin. = 0
comprimento
desprezível.
m 2 A 2
2
ECmin. = 0
ou
kA2
Ec 
2
Em qualquer posição a energia mecânica
total é igual a:
Em = Ec + Ep  E m 
Onda é uma perturbação que se propaga.
Toda onda transmite energia, sem
transportar matéria.
Quanto à natureza, as ondas podem ser:
 Mecânicas: precisam de um meio material para
se propagar. Exemplos: ondas em cordas e ondas
sonoras.
 Eletromagnéticas: não necessitam de um meio
material para se propagar. Elas se propagam no
vácuo e em certos meios materiais. Como
exemplos, temos o espectro a seguir:
kA2
2
Pêndulo Simples
É o sistema formado por um corpo de
massa m puntiforme, suspenso por um fio de
Quanto à direção de vibração, as ondas podem
ser:
 Transversais: as vibrações são perpendiculares
à direção de propagação. Exemplo: ondas em
cordas.
 Longitudinais: as vibrações coincidem com a
direção de propagação. Exemplo: ondas sonoras.
As
ondas
eletromagnéticas
são
ondas
transversais.
Todas as ondas eletromagnéticas, visíveis ou não,
propagam-se no vácuo com a mesma velocidade
de:
300 000 km/s = 3 x 108 m/s
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A equação da onda é dada por:
Nos meios materiais, a velocidade de propagação é
menor que no vácuo e depende do meio em que se
propaga e também da freqüência da onda.
Velocidade de
unidimensional
propagação
de
uma
1 x
y  A cos 2  
T 
onda
Reflexão de pulsos
Considere uma onda de massa m e comprimento l,
sob ação de uma força de tração T.
 Extremidade fixa
A velocidade da propagação da onda nessa corda é
dada por:
v
T

v
ou
T
dS
Há inversão de fase.
 Extremidade livre
Em que:
m
(densidade linear da onda)

l
m
(densidade volumétrica da onda)
d
v
S = área da secção transversal da corda
Ondas periódicas
Seja uma pessoa executando um movimento
vertical de sobe-e-desce, em intervalos de tempo
iguais, na extremidade livre da corda da figura.
Não há inversão de fase.
Fenômenos ondulatórios
a) Reflexão
Em que:
 = comprimento de onda
A = amplitude da onda
1
f
T
e
v  f
Equação fundamental da onda
Em que:
AI = raio de onda incidente
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IB = raio de onda refletido
NI = normal ao ponto de incidência
i = ângulo de incidência
r = raio de reflexão
leis da reflexão
1°) O raio incidente, o raio refletido e a normal são
coplanares.
2°) O ângulo de incidência é igual ao ângulo de
reflexão.
Propriedades
1°) Na reflexão, a freqüência, a velocidade e o
comprimento de onda não variam.
2°) Na reflexão, a fase pode variar ou não.
É o fenômeno pelo qual uma onda tem a
capacidade de superar um obstáculo, ao ser
interrompida por ele.
b) Refração
d) Polarização
Polarizar uma onda significa orientá-la em uma
única direção ou plano.
Em que:
r = ângulo de refração
Leis da refração
1°) Os raios de onda incidente, refratado e a normal
são coplanares.
2°) Lei de Snell-Descartes:
sen i n2 1 v1



sen r n1 2 v 2
Em que n1 e n2 são índices de refração absoluta de
c

um meio  n   .
v

Aplicando a Lei de Snell, temos:
Se n2 > n1   2   1  v2 < v1  r < i
Se n2 < n1   2   1  v2 > v1  r > i\
e) Interferência
Ocorre pela superposição de duas ou mais ondas.
Propriedades
1°) Na refração, a freqüência e a fase não variam.
2°) A velocidade de propagação e o comprimento
de onda variam na mesma proporção.
c) Difração
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Interferência Construtiva
A = A1 + A2
Quando a freqüência é maior que 20 000 Hz, as
ondas são ditas ultra-sônicas, e menor que 20 Hz,
infra-sônicas.
Os sons não se transmitem no vácuo, porque
exigem um meio material para sua propagação.
Qualidades fisiológicas do som
a) Altura
É a qualidade que permite classificar os sons em
graves e agudos.
Interferência Destrutiva
A = A1 - A2
Onda estacionária
É a onda resultante da interferência de duas ondas
iguais que se propagam em sentidos opostos.
Em que:
N = nós
V = ventres
 = comprimento da onda
Grave ou baixo  freqüência menor
Agudo ou alto  freqüência maior
b) Intensidade
É a qualidade que permite distinguir um som forte
de um som fraco.
Forte  grande intensidade sonora
(potência)
Fraco  pequena intensidade sonora
(potência)
c) Timbre
É a qualidade que permite classificar os sons de
mesma altura e de mesma intensidade, emitidos
por fontes diferentes. Por exemplo, por um piano e
por um violino.
Observe que:
Cordas sonoras


N1N2 = V1V2 =
e V1N1 =
2
4
Ondas sonoras
As ondas sonoras são de origem mecânica
pois são produzidas por deformação em um meio
elástico.
O ouvido normal é excitado por ondas
sonoras de freqüência entre 20 Hz e 20 000 Hz.
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As ondas apresentam um ventre na
embocadura e um nó na extremidade fechada.
f2n1 
2
n

fn 
nv
2
v
v
 2n  1
4
4
2n  1
F2n – 1 = (2n – 1) f1
Para o enésimo harmônico, temos:
n 
v

n
Um tubo fechado produz harmônicos de
freqüência ímpares ( f1, f2, f3, ...).
Efeito doppler
Em que: n = número de ventres
Observe que: fn = nf1
Tubos sonoros
a) Tubo aberto
Num tubo aberto, as ondas apresentam um
ventre na embocadura e um ventre na extremidade
aberta.
Quando há uma aproximação ou um
afastamento entre o observador O e a fonte sonora
F, a freqüência da onda sonora percebida pelo
observador, f’, é diferente da freqüência real
emitida pela fonte, f, e é dada por:
 v  vo 

f ’ = f 
 v  vf 
Onde:
v = velocidade da onda
vf = velocidade da fonte
vo = velocidade do observador
f = freqüência real emitida pela fonte
f’ = freqüência aparente recebida pelo observador
fn 
v
v
nv


2

n
2
n
Os sinais + ou - que precedem vo ou vf são
utilizados de acordo com a convenção.

fn = nf1
Um tubo aberto produz todos os harmônicos ( f1,
f2, f3, ...).
b) Tubo fechado
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A trajetória será positiva no sentido de O para F,
portanto:
Para saber o tipo de interferência que
ocorre no ponto P, temos:
x 


2
x1 – x2 = n

2
Em que: x1 – x2 = diferença de caminhos
IC  n é par, n  (0, 2, 4 ...)
Interferência em duas dimensões
Considere duas fontes F1 e F2 produzindo
ondas na superfície da água com freqüências e
amplitudes iguais (ondas coerentes) e em
concordância de fase.
(linhas ventrais)
ID  n é impar, n  (1, 2, 3 ...)
(linhas nodais)
Se as fontes estiverem em oposição de
fase (a defasagem for  rad), teremos uma
inversão na regra.
IC  n é impar
ID  n é impar
Representamos por linhas cheias (____) as
cristas e por linhas tracejadas ( - - - ) os vales.
Nos pontos representados por uma bolinha
vazia (o), há superposição de um vale a uma crista
e os pontos permanecem em repouso (interferência
destrutiva ID).
Quando ocorre superposição de dois vales
ou de duas cristas (pontos representados por uma
bolinha cheia o), há uma interferência construtiva IC
e os pontos se movimentam com máxima
amplitude, isto é, há um reforço completo.
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