Aula03 - Evandro Bastos

Movimento Retilíneo Uniforme e Uniformemente
Variado
MRU e MRUV
Evandro Bastos dos Santos
22 de Fevereiro de 2017
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Movimento Retilíneo Uniforme(MRU)
Um corpo que se desloca em trajetória retilínea e possui velocidade com módulo constante
(aceleração nula) está em MRU. A função que representa a relação entre posição e tempo e
define a velocidade constante, com o móvel percorrendo distâncias iguais em intervalos de
tempos iguais é
S = S0 + vt,
(1)
em que S0 é a posição inicial. Se V>0 o movimento é dito progressivo e, se V<0, o movimento é dito retrógrado.
Vamos considerar, como exemplo, a função horária, no SI,
s=4−2·t
(2)
Em 1s de movimento o móvel passará pela posição 2m:
s=4−2·t
s=4−2·1
s = 2m
(3)
(4)
(5)
O móvel passará pela origem (S=0) em 2s:
s=4−2·t
0=4−2·t
t = 4/2
t = 2s
(6)
(7)
(8)
(9)
Se considerarmos, agora, a função no SI
s = −2 + 8.t
(10)
temos S0 = −2m e V = 8m/s.
Movimento uniforme e progressivo (V>0), estando o móvel se deslocando no mesmo
sentido da orientação positiva. Em 0,5s de movimento o móvel passará pela posição 2m o
móvel passará pela origem das posições em 0,25.
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2
Gráficos do MRU
A-POSIÇÃO X TEMPO
Como percebemos a função horária para o MRU é uma função do 1o grau (y = B + Ax).
Então o gráfico de
S = S0 + V t
(11)
em que
v=
S − S0
t
(12)
é
Figura 1: Gráfico do MRU s(t)
Pelo gráfico acima, S0 = 2 e, se definirmos α como sendo o ângulo entre o gráfico de S e
o eixo x, temos que Tg α= cateto oposto / cateto adjacente, ou ainda,
∆S
∆t
S − S0
tgα =
t
tgα =
(13)
(14)
Comparando as expressões ?? e ?? podemos afirmar que:
tgα → V ELOCIDADE
(15)
Como a tangente do ângulo α é a inclinação da reta, então se a reta for crescente V>0,
caso a reta seja decrescente V<0, se a reta for constante V=0, o que significa que a distância
percorrida não muda com o passar do tempo.
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B-VELOCIDADE X TEMPO
Como o movimento é uniforme e a velocidade deve ser constante, a reta será horizontal e
paralela ao eixo dos tempos.
Figura 2: Gráfico do MRU, v(t)
No gráfico V × t podemos afirmar que:
ÁREA DA FIGURA (RETÂNGULO) = DISTÂNCIA PERCORRIDA
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Movimento Retilíneo Uniformemente Variado(MRUV)
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado MRUV é quando a aceleração de um móvel
que se move em uma trajetória permanece constante e, podemos calcular a variação da posição no decorrer do tempo.
1
S = S0 + v0 t + at2
(16)
2
A fórmula acima constitui uma função quadrática (2o grau). No MRUV o gráfico de S(t)
é uma parábola:
3
Figura 3: Gráfico do MRUV, S(t)
Na figura ??, o valor de v0 é 2m/s, o valor de a é 2m/s2 , e o valor de S0 é 1m. Se quisermos
a velocidade, o gráfico é uma linha reta,
v = v0 + at,
(17)
Figura 4: Gráfico do MRUV, v(t)
No MRUV, se a>0 o movimento é dito acelerado e, se a<0, o movimento é dito retardado.
Utilizando a classificação anterior, podemos determinar que no instante t = 0, o movimento
é acelerado progressivo.
3.1
Equação de Torricelli
Para se revolver qualquer problema no MRUV basta saber as funções S(t) e v(t), porém uma
terceira equação surge, que auxilia em alguns casos.
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Se substituirmos a equação V = v0 + at na equação S = S0 + V0 t + 12 at2 , teremos seguinte
equação
v 2 = v02 + 2a∆S.
(18)
Essa equação é chamada de equação de Torricelli, em homenagem ao primeiro físico a
encontrá-la. Ela é útil em situações que a dependência temporal não é explícita. Veja:
Um determinado veículo em certo instante, possui uma velocidade de 20m/s. A partir
deste instante o condutor do veículo acelera seu carro constantemente em 4m/s2 .Qual a
velocidade que o automóvel terá após ter percorrido 130m.
Solução, aplicando a equação de Torricelli:
v 2 = v02 + 2a∆S
v 2 = 2020 + 2 · 4 · 130
V = 38m/s
4
(19)
(20)
(21)
(22)
Funções do Movimento de Queda Livre
O movimento de queda livre pode ser interpretado como um caso particular do MRUV.
Considerando que um objeto em queda livre parte do repouso, V0=0 e colocando o centro
de coordenadas no solo, com o eixo positivo para cima (como adotamos o eixo positivo para
cima, sempre teremos o valor de g como um número negativo, por exemplo -9,8, mas a
equação não recebe sinal negativo), temos:
1
h = gt2
2
(23)
em que, h é a altura que o objeto atinge em relação ao ponto em que foi solto(h0 = 0), e g
é a aceleração da gravidade local.
Analogamente podemos inferir a função horária da velocidade.
v = gt
(24)
O movimento é definido por "queda livre", pois v0 = 0, se v0 fosse qualquer outro valor, o
movimento seria um lançamento vertical. Utilizando os mesmos valores também é possível
obter a equação de Torricelli, para esse movimento.
v 2 = 2g∆H
(25)
Em que ∆H é a altura percorrida pelo objeto durante a queda livre.
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Exercícios
1. Um objeto é abandonado do alto de um edifício de 50m, sabendo que a aceleração da gravidade é de aproximadamente -9,8m/s2 , calcule o tempo que o objeto demora para alcançar
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o solo.
Calcule, sem auxílio da equação de Torricelli, a velocidade que o objeto possui ao tocar
solo.
Agora utilize a equação de Torricelli e efetue o cálculo da velocidade. Compare o resultado com o calculado anteriormente.
2. Um carro desloca-se em uma trajetória retilínea descrita pela função S=20+5t (no SI).
Determine:
(a) a posição inicial;
(b) a velocidade;
(c) a posição no instante 4s;
(d) o espaço percorrido após 8s;
(e) o instante em que o carro passa pela posição 80m;
(f) o instante em que o carro passa pela posição 20m.
3. Em um trecho de declive de 10km, a velocidade máxima permitida é de 70km/h. Suponha que um carro inicie este trecho com velocidade igual a máxima permitida, ao mesmo
tempo em que uma bicicleta o faz com velocidade igual a 30km/h. Qual a distância entre o
carro e a bicicleta quando o carro completar o trajeto?
4. O gráfico a seguir mostra as posições em função do tempo de dois ônibus. Um parte
de uma cidade A em direção a uma cidade B, e o outro da cidade B para a cidade A. As
distâncias são medidas a partir da cidade A. A que distância os ônibus vão se encontrar?
Figura 5: Gráfico do MRUV, v(t)
5. Dois navios partem simultaneamente de um mesmo local e percorrem a mesma trajetória retilínea com velocidades, respectivamente, iguais a 80km/h e 70km/h. Há comunicação
entre os dois se a distância entre eles não ultrapassar 10km. Depois de quanto tempo após a
saída os navios perderão a comunicação via rádio?
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