PCNA-FÍSICA ELEMENTAR

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4- APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
Vimos no Capitulo 3 que as três leis de Newton
do movimento, o fundamento da mecânica
clássica, podem ser formuladas de modo simples.
Porém, as aplicações dessas leis em situações
tais como um rebocador rebocando um navio
mais pesado do que ele ou um avião fazendo
uma curva acentuada requerem habilidades
analíticas e técnicas para solução de problemas.
Neste capítulo aprofundaremos as habilidades
para a solução de problemas que você começou
a aprender no capítulo anterior.
Começamos com problemas envolvendo o
equilíbrio, nos quais o corpo está ou em repouso
ou movendo-se com velocidade vetorialmente
constante. A seguir, generalizamos nossas
técnicas para a solução de problemas que
envolvem corpos que não estão em equilíbrio,
para os quais precisamos considerar com
exatidão as relações entre as forças e o
movimento. Vamos ensinar como descrever e
analisar as forças de contato entre corpos em
repouso ou quando um corpo desliza sobre uma
superfície. Finalmente, estudaremos o caso
importante do movimento circular uniforme, no
qual o corpo de desloca ao longo de uma
circunferência com velocidade escalar constante.
4.1 OBJETIVOS DO CAPÍTULO
 Usar a primeira lei de Newton para resolver
problemas referentes às forças que atuam
sobre um corpo em equilíbrio.
 Usar a segunda lei de Newton para resolver
problemas referentes às forças que atuam
sobre um corpo em aceleração.
 Esclarecer a fórmula empírica para forças de
atrito estático e de atrito cinético e aprender
como resolver problemas que envolvem essas
forças.
 Resolver problemas referentes às forças que
atuam sobre um corpo que se move ao longo
de uma trajetória circular com velocidade
escalar uniforme.
4.2 APLICAÇÕES DA PRIMEIRA LEI DE
NEWTON: PARTÍCULAS EM EQUILÍBRIO
No capítulo 3, aprendemos que um corpo está
em equilíbrio quando está em repouso ou em
movimento retilíneo uniforme em um sistema de
referência inercial. Uma lâmpada suspensa, uma
ponte pênsil, um avião voando em linha reta e
plana a uma velocidade escalar constante – são
todos exemplos de situações de equilíbrio. Nesta
seção vamos considerar apenas o equilíbrio de
corpos que podem ser modelados como
partículas, ou seja, as dimensões dos corpos não
são relevantes para os problemas que estamos
resolvendo, isto é, dizer que podemos considerar
todas as forças como sendo aplicadas em um
mesmo ponto. O principio físico essencial é a
primeira lei de Newton: quando uma partícula
está em repouso ou em movimento retilíneo
uniforme em um sistema de referencia inercial, a
força resultante que atua sobre ela – isto é, a
soma vetorial de todas as forças que atuam sobre
ela – deve ser igual à zero:
⃗ =𝟎
∑𝑭
(4.1)
(partícula em equilíbrio, forma vetorial)
Normalmente usaremos
utilizando os componentes:
essa
relação
∑ 𝐹𝑥 = 0
∑ 𝐹𝑦 = 0
∑ 𝐹𝑧 = 0
(4.2)
(partícula em equilíbrio, forma de componentes)
Esta seção é sobre o uso da primeira lei de
Newton para resolver problemas envolvendo
corpos em equilíbrio. Alguns deles podem
parecer complicados, mas o importante é lembrar
que todos esses problemas são resolvidos do
mesmo modo.
4.3 APLICAÇÕES DA SEGUNDA LEI DE
NEWTON: DINÂMICA DAS PARTÍCULAS
Agora estamos preparados para discutir
problemas de dinâmica. Nesses problemas,
aplicamos a segunda lei de Newton para corpos
sobre os quais a força resultante é diferente de
zero e, portanto, não estão em equilíbrio; mas
sim em aceleração. A força resultante sobre o
corpo é igual ao produto da massa pela
aceleração do corpo.
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∑ ⃗𝑭 = 𝑚𝒂
⃗ (4.3)
(partícula em equilíbrio, forma de componentes)
Normalmente usaremos essa relação na forma
de componentes:
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦
∑ 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 (4.4)
(segunda lei de Newton, forma de componentes)
IMPORTANTE!
Todo corpo que não está em equilíbrio
sob a ação de uma ou mais forças está
acelerado, e a recíproca é verdadeira. Se
o corpo está acelerado é porque há uma
força resultante não nula atuando sobre
ele.
4.4 FORÇAS DE CONTATO
Em muitas situações, um objeto está em contato
com uma superfície, como, por exemplo, a
superfície de uma mesa. Por conta do contato, há
uma força agindo sobre o objeto. Esta seção
discute apenas uma componente desta força, a
componente que atua perpendicularmente
à superfície. A próxima seção discute a
componente que atua na direção paralela
à superfície. A componente perpendicular é
chamada de força normal.
4.4.1 FORÇA NORMAL
quando você senta sobre um colchão. Seu peso
faz com que as molas no colchão sejam
comprimidas. Em consequência disso, as molas
comprimidas exercem em você uma força para
cima (a força normal). De maneira semelhante, o
peso do bloco faz com que “molas atômicas”
invisíveis na superfície da mesa sejam
comprimidas, produzindo, assim, uma força
normal sobre o bloco.
A terceira lei de Newton tem um papel importante
relacionado com a força normal. Na Figura 4.1,
por exemplo, o bloco exerce uma força sobre a
mesa comprimido - a para baixo. Consistente
com a terceira lei, a mesa exerce uma força na
mesma direção, dirigida no sentido oposto, de
mesmo módulo sobre o bloco. Esta força de
reação é a força normal. O módulo da força
normal indica o grau de compressão mútua dos
dois objetos.
Se um objeto estiver em repouso sobre uma
superfície horizontal e não existirem forças
atuando na vertical, com exceção do peso do
objeto e da força normal, os módulos destas duas
forças são iguais; ou seja, FN = W. Esta é a
situação mostrada na Figura 4.1. O peso deve
ser contrabalançado pela força normal para que o
objeto permaneça em repouso sobre a mesa. Se
os módulos destas forças não fossem iguais,
haveria uma força resultante sobre o bloco, e o
bloco estaria acelerado para cima ou para baixo,
de acordo com a segunda lei de Newton.
Figura 4.1 - Duas forças atuam sobre o bloco, o seu
peso W e a força normal FN exercida pela superfície
da mesa.
A Figura 4.1 mostra um bloco repousado sobre
uma mesa horizontal e identificam as duas forças
que agem sobre o bloco, o peso W e a força
normal FN. Para entender como um objeto
inanimado, como o tampo de uma mesa, pode
exercer uma força normal, pense no que ocorre
Figura 4.2 – (a) A força normal FN é maior do que o
peso da caixa, pois a caixa está sendo pressionada
para baixo com uma força de 11 N. (b) A força normal
é menor do que o peso, pois a corda fornece uma
força de 11 N para cima que sustenta parcialmente a
caixa.
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Se houver outras forças atuando na direção
vertical além de W e FN, os módulos da força
normal e do peso não são mais iguais. Na Figura
4.2.a, por exemplo, uma caixa cujo peso é de 15
N está sendo empurrado para baixo contra uma
mesa. A força de compressão possui um módulo
de 11 N. Assim, a força total para baixo exercida
sobre a caixa é de 26 N, e deve ser
contrabalançada pela força normal orientada para
cima para que a caixa permaneça em repouso.
Nesta situação, então, a força normal é de 26 N,
que é consideravelmente maior do que o peso da
caixa.
A Figura 4.2.b ilustra uma situação diferente.
Neste caso, a caixa está sendo puxada para cima
por uma corda que aplica uma força de 11 N. A
força resultante que age sobre a caixa devido ao
seu peso e a corda é de apenas 4 N. Não é difícil
imaginar o que aconteceria se a força aplicada
pela corda fosse aumenta para 15 N –
exatamente igual ao peso da caixa. Nesta
situação, a força normal se anularia. Na verdade,
a mesa poderia ser retirada, já que o bloco
estaria inteiramente sustentando pela corda. As
situações na Figura 4.2 são consistentes com a
ideia de que o módulo da força normal indica o
grau de compressão mútua de dois objetos.
Evidentemente, a caixa e a mesa se comprimem
mais fortemente na Figura 4.2.a do que na Figura
4.2.b.
Figura 4.3 – A prática do hóquei no gelo depende
decisivamente do atrito entre os patins do jogador e o
gelo. Quando o atrito é muito elevado, o jogador se
locomove muito lentamente; quando o atrito é muito
pequeno, o jogador dificilmente evita sua queda.
O atrito é um fenômeno complexo, não
totalmente compreendido, que surge da atração
entre as moléculas de duas superfícies em
contato.
A
natureza
desta
atração
é
eletromagnética – a mesma da ligação molecular
que mantém um objeto coeso. Esta força atrativa
de curto alcance se torna insignificante após
apenas alguns diâmetros moleculares.
4.4.2 FORÇAS DE ATRITO
O atrito é importante em muitos aspectos de
nossa vida cotidiana, ou seja, normalmente
pensamos o atrito como algo indesejável, mas o
atrito é necessário. O óleo no motor de um
automóvel minimiza o atrito entre as partes
móveis, porém, não fosse o atrito entre os pneus
do carro e o solo, não poderíamos dirigir um carro
e nem fazer curvas. O arraste do ar – a força de
atrito exercida pelo ar sobre um corpo que nele
se move – faz aumentar o consumo de
combustível de um carro, mas possibilita o uso de
paraquedas. Sem atrito, os pregos pulariam
facilmente, os bulbos das lâmpadas se
desenrolariam sem nenhum esforço e o hóquei
no gelo seria impraticável (Figura 4.3).
Figura 4.4 – A área microscópica de contato entre a
caixa e o piso é apenas uma pequena fração da área
macroscópica da superfície do tampo da caixa. A área
microscópica é proporcional à força normal exercida
entre as superfícies. Se a caixa repousa sobre um de
seus lados, a área microscópica aumenta, mas a força
por unidade diminui, de forma que área microscópica
de contato não muda. Não importa se a caixa está de
pé ou deitada, a mesma força horizontal F aplicada é
necessária para mantê-la deslizando com rapidez
constante (PAUL A. TIPLER, GENE MOSCA, 2012).
Como mostrado na Figura 4.4, objetos comuns
que parecem lisos, e que sentimos como lisos
são ásperos em escala atômica (microscópica).
Isto ocorre mesmo quando as superfícies são
muito bem polidas. Quando as superfícies
entram em contato, elas se tocam apenas nas
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saliências, as chamadas asperezas, mostradas
na Figura 4.4. À medida que um bloco desliza
sobre um piso, ligações microscópicas se
formam e se rompem, e o numero total dessas
ligações é variável. Alisar as superfícies em
contato pode, na verdade, aumentar o atrito,
visto que mais moléculas se tornam aptas a
formar ligações; juntar duas superfícies lisas de
um mesmo metal pode produzir uma ‘solda a
frio’. Os óleos lubrificantes fazem diminuir o atrito
porque uma película de óleo se forma entre as
duas superfícies (como no caso do pistão e das
paredes do cilindro no motor de um carro),
impedido – as de entrar em contato efetivo.
ATRITO ESTÁTICO
magnitude da força normal excedida por uma
superfície sobre a outra:
𝑓𝑒 𝑚á𝑥 = 𝜇𝑒 𝐹𝑁 (4.5)
(módulo da força de atrito estático)
Onde a constante de proporcionalidade 𝜇𝑒 é o
coeficiente de atrito estático. Este coeficiente
depende dos materiais de que são feitas as
superfícies em contato e das temperaturas das
superfícies. Se você exerce uma força horizontal
com uma magnitude menor ou igual a 𝑓𝑒 𝑚á𝑥
sobre a caixa, a força de atrito estático irá justo
contrabalançar esta força horizontal o mínimo
que seja maior que 𝑓𝑒 𝑚á𝑥 sobre a caixa, então a
caixa começará a deslizar. Assim, podemos
escrever a equação (4.5) como:
𝑓𝑒 𝑚á𝑥 ≤ 𝜇𝑒 𝐹𝑁
(4.6)
A orientação da força de atrito estático é tal que
ela se opõe a tendência de deslizamento da
caixa.
IMPORTANTE!
Figura 4.5 - (PAUL A. TIPLER, GENE MOSCA, 2012).
⃗
Você aplica uma pequena força horizontal 𝑭
(Figura 4.5) sobre uma grande caixa que esta
em repouso sobre o piso. A caixa pode não vir a
se mover perceptivelmente, porque a força de
atrito estático 𝒇𝒆 exercida pelo piso sobre a caixa
contrabalança a força que você aplica. Atrito
estático é a força de atrito que atua quando não
existe deslizamento entre as duas superfícies em
contato – é a força que evita que a caixa
escorregue. A força de atrito estático, em sentido
contraria a força aplicada sobre a caixa, pode
variar em magnitude de zero até um valor
máximo 𝑓𝑒 𝑚á𝑥 , dependendo do seu empurrão.
Isto é, enquanto você empurra a caixa, a força
oposta de atrito estático vai aumentando para se
manter igual em magnitude à força aplicada, até
que a magnitude da força aplicada exceda o
valor máximo da força de atrito 𝑓𝑒 𝑚á𝑥 . Dados
mostram que 𝑓𝑒 𝑚á𝑥 é proporcional à intensidade
das forças que pressionam as duas superfícies
uma contra outra. Isto é, 𝑓𝑒 𝑚á𝑥 é proporcional à
A equação (4.6) é uma desigualdade
porque a magnitude da força de atrito
estático varia de zero até 𝒇𝒆 𝒎á𝒙 .
IMPORTANTE!
Se a força horizontal que você exerce
sobre uma caixa aponta para esquerda,
então a força de atrito estático aponta
para a direita. A força de atrito estático
sempre se opõe à tendência de
deslizamento.
IMPORTANTE!
Lembre-se de que a equação (4.5) não é
uma equação vetorial porque 𝒇𝒆 e 𝑭𝑵 são
sempre perpendiculares. Em vez disso,
representa uma relação escalar entre os
módulos das duas forças.
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ATRITO CINÉTICO
Se você empurrar a caixa da Figura (4.5) com
suficiente vigor, ela deslizará sobre o piso.
Enquanto ela escorrega, o piso exerce uma força
de atrito cinético 𝒇𝒄 (também chamado de atrito
dinâmico, ou de deslizamento) que se opõe ao
movimento. Para manter a caixa deslizando com
velocidade constante, você deve exercer uma
força sobre a caixa igual em magnitude e oposta
em sentido à força de atrito cinético exercida pelo
piso. Assim como a magnitude da força de atrito
estático máxima, a magnitude de 𝑓𝑐 da força de
atrito cinético é proporcional à magnitude 𝑓𝑛 da
força normal exercida por uma superfície sobre a
outra:
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐 𝐹𝑁 (4.7)
Onde a constante de proporcionalidade 𝜇𝑐 é o
coeficiente de atrito cinético. Este coeficiente
depende dos materiais de que são feitas as
superfícies em contato e das temperaturas das
superfícies em contato. Diferentemente do atrito
estático, a força de atrito cinético é independente
da magnitude da força horizontal aplicada.
Experimentos
mostram
que
𝜇𝑐
é
aproximadamente constante para uma larga faixa
de valores de rapidez.
infinitesimal. Enquanto a caixa está deslizando, a
força de atrito permanece igual a 𝜇𝑐 𝐹𝑁 . Para
quaisquer duas superfícies em contato, 𝜇𝑐 é
menor que 𝜇𝑒 . Isto significa que você deve
empurrar com mais vigor para fazer com que a
caixa comece a deslizar, do que para mantê-la
deslizando
com
rapidez
constante.
IMPORTANTE!
Os pneus possuem ranhuras não para
aumentar o atrito, mas para deslocar e
redirecionar a água entre a superfície da
rodovia e o lado externo dos pneus. Muitos
carros de corrida usam pneus sem ranhuras,
porque correm em dias secos.
IMPORTANTE!
O atrito entre o pneu e o piso é
aproximadamente o mesmo, seja o pneu
largo ou estreito. O propósito da maior área
de contato é diminuir o aquecimento e o
desgaste.
4.4.3 FORÇAS DE TRAÇÃO
Forças são frequentemente aplicadas por meio
de cabos ou cordas usados para puxar um
objeto. Por exemplo, a Figura (4.7.a) mostra uma
força 𝑻 sendo aplicada à extremidade direita de
uma corda presa a uma caixa. Cada partícula na
corda, por sua vez, aplica uma força a sua
vizinha. Consequentemente, a força é aplicada à
caixa, como mostra a Figura (4.7.b).
Figura 4.6 - (PAUL A. TIPLER, GENE MOSCA, 2012).
A Figura (4.6) mostra um gráfico da força
de atrito exercida sobre a caixa pelo piso em
função da força aplicada. A força de atrito
contrabalança a força aplicada até que a caixa
começa a deslizar, o que ocorre quando a força
aplicada excede a 𝜇𝑒 𝐹𝑁 por uma quantidade
Figura 4.7 – (a) A força 𝑻 está sendo aplicada à
extremidade direita de uma corda. (b) a força é
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transmitida para caixa. (c) Forças são aplicadas às
duas extremidades da corda. Estas forças possuem
mesmos módulos e direções opostas (mesma direção
e sentidos contrários), (CUTNELL & JOHNSON,
2012).
Em situações como a da Figura (4.7), dizemos
⃗ é aplicada na caixa por causa da
que “a força 𝑻
tração na corda”, significando que a tração e a
força aplicada à caixa possuem o mesmo
módulo. Entretanto, a palavra “tração” é
comumente usada para significar a tendência de
a corda ser esticada. Para ver a relação entre
estes dois usos da palavra “tração”, considere a
extremidade esquerda da corda, que aplica a
força ⃗𝑻 à caixa. De acordo com a terceira lei de
Newton, a caixa aplica uma força de reação à
corda. A força de reação possui o mesmo módulo
⃗ , mas sentido contrário.
e mesma direção que 𝑻
pedra grande porque ela possui massa grande, e
é difícil levantá-la porque ela possui peso grande.
Qualquer corpo próximo da superfície da terra
que possua massa de 1 kg deve possuir um peso
igual a 9,8 N para que ele tenha a aceleração que
observamos quando o corpo está em queda livre.
Generalizando, qualquer corpo de massa m deve
possuir um peso com módulo 𝑃 dado por:
𝑃⃗ = 𝑚𝑔 (4.7)
Logo, o módulo 𝑃 do peso de um corpo é
diretamente proporcional à sua massa 𝑚. o peso
de um corpo é uma força, uma grandeza vetorial,
de modo que podemos escrever a equação (4.7)
como uma equação vetorial (Figura 4.8):
Em outras palavras, uma força - ⃗𝑻 atua na
extremidade esquerda da corda. Desta forma,
forças
de
mesmo
módulo
atuam
em
extremidades opostas da corda, como na figura
4.7.c, e tendem esticá-la.
4.4.4 MASSA E PESO
O peso de um corpo é uma das forças mais
familiares que a Terra exerce sobre o corpo.
(Quando você estiver em outro planeta, seu peso
será a força gravitacional que o planeta exerce
sobre você.) infelizmente, os termos massa e
peso em geral são mal empregados e
considerados sinônimos em nossa conversação
cotidiana. É extremamente importante que você
saiba a diferença entre essas duas grandezas
físicas.
A massa caracteriza a propriedade da inercia de
um corpo. Por causa de sua massa, a louça fica
praticamente em repouso sobre a mesa quando
você puxa repentinamente a toalha. Quanto
maior a massa, maior a força necessária para
produzir uma dada aceleração; isso se reflete na
⃗ = 𝑚𝒂
⃗.
segunda lei de Newton, ∑ 𝑭
Figura 4.8 – A relação entre massa e peso (SEARS &
ZEMANSKY, 2011).
⃗⃗ = 𝑚𝒈
⃗⃗ (4.8)
𝑷
⃗⃗ é o módulo de 𝒈
⃗⃗ , a
Lembre-se de que 𝒈
aceleração da gravidade, logo, g é sempre
⃗⃗ , dado pela Equação (4.7), é
positivo. Portanto, 𝑷
o módulo do peso e também é sempre um
número positivo.
O peso de um corpo, por outro lado, é a força de
atração gravitacional exercida pela Terra sobre o
corpo. Massa e peso se relacionam: um corpo
que possui massa grande também possui peso
grande. É difícil lançar horizontalmente uma
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𝑎𝑟𝑎𝑑 =
IMPORTANTE!
Lembre-se que o peso de um corpo atua
eternamente
sobre
o
corpo,
independentemente de ele estar ou não em
queda livre. Quando um objeto de 10 kg
está em equilíbrio, suspenso por uma
corrente, sua aceleração é igual a zero.
Porem, seu peso, dado pela Equação (4.8),
continua puxando-o para baixo (Figura 4.8).
Nesse caso, a corrente exerce uma força
que puxa o objeto de baixo para cima. A
soma vetorial das forças é igual a zero,
mas o peso ainda atua.
4.5
DINÂMICA
CIRCULAR
DO
𝑣²
𝑅
𝑇²
(4.10)
O movimento circular uniforme, como qualquer
movimento de uma partícula, é governado pela
segunda lei de Newton. A aceleração da partícula
orientada para o centro deve ser produzida por
alguma força, ou diversas forças, tais que a soma
vetorial ∑ ⃗𝑭 seja um vetor sempre orientado para
o centro do círculo (Figura 4.9). O módulo da
aceleração é constante, logo o módulo da força
resultante 𝑭𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 também é constante. Caso a
força para dentro deixe de atuar, a partícula é
expelida para fora do círculo descrevendo uma
linha reta tangente ao círculo (Figura 4.10).
MOVIMENTO
Movimentos circulares são muito comuns na
natureza. As palhetas de um ventilador, um CD e
o pneu de um carro são apenas alguns exemplos
que fazem parte de nosso cotidiano. De uma
maneira geral podemos afirmar que uma partícula
está em movimento circular quando sua trajetória
é uma circunferência. Em situações onde o valor
numérico da velocidade permanece constante,
dizemos que o corpo descreve um Movimento
Circular Uniforme (MCU).
Quando uma partícula se desloca ao longo de
uma circunferência com velocidade escalar
constante, a aceleração da partícula é sempre
orientada para o centro do círculo (perpendicular
à velocidade instantânea). O módulo 𝑎𝑟𝑎𝑑 da
aceleração é constante, sendo dado em termos
da velocidade v e do raio R por:
𝑎𝑟𝑎𝑑 =
4𝜋²𝑅
Figura 4.9 – Em um movimento circular uniforme,
tanto a aceleração, como a força resultante são
orientadas para o centro do circulo (SEARS &
ZEMANSKY, 2011).
(4.8)
O índice inferior ‘rad’ é um lembrete de que a
aceleração da partícula é sempre orientada ao
longo da direção radial, para o centro do círculo e
perpendicular à velocidade instantânea.
Podemos também representar a aceleração
centrípeta, 𝑎𝑟𝑎𝑑 , em termos do período 𝑇, o
tempo necessário para uma revolução:
𝑻=
𝟐𝝅𝑹
𝒗
Em termos do período, 𝑎𝑟𝑎𝑑 é dada por:
(4.9)
Figura 4.10 – O que acontece quando a força
orientada para o centro deixa de atuar sobre um
movimento circular? (SEARS & ZEMANSKY, 2011).
41
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O módulo da aceleração radial é dado por
𝑣²
⃗ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 da força
𝑎𝑟𝑎𝑑 = , logo o módulo 𝑭
𝑅
resultante sobre uma partícula de massa m em
um movimento circular uniforme é dado por:
⃗ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑚𝑎𝑟𝑎𝑑 = 𝑚 𝑣²
𝑭
𝑅
(4.11)
O movimento circular uniforme pode ser
produzido por qualquer conjunto de forças, desde
que a força resultante ∑ ⃗𝑭 seja sempre orientada
para o centro do círculo e possua módulo
constante. Note que o corpo não precisa se
mover em torno de um círculo completo: a
Equação (4.11) é valida para qualquer trajetória
que possa ser considerada como parte de um
arco circular.
IMPORTANTE!
A força centrípeta não é uma força real.
Este é meramente um nome que se dá para
a componente da força resultante que
aponta para o centro de curvatura da
trajetória. Assim como a força resultante, a
força centrípeta não está presente em um
diagrama de corpo livre. Apenas forças
reais pertencem a diagramas de corpo
livre.
EXERCÍCIOS
01. (HALLIDAY E RESNICK, 8ª Ed) Em um
cabo-de-guerra bidimensional, Alex, Charles e
Betty puxam horizontalmente um pneu de
automóvel nas orientações mostradas na vista
superior da figura abaixo. Apesar dos esforços da
trinca, o pneu permanece no mesmo lugar. Alex
⃗⃗⃗⃗𝐴 de módulo 220N e Charles
puxa com a força 𝐹
02. (CUTNELL & JOHNSON, 6ª Ed) Um
alpinista, durante a travessia entre dois
penhascos, faz uma pausa para descansar. Ele
pesa 535N. Como mostrado no desenho, ele está
mais próximo do penhasco da esquerda do que
do penhasco da direita, isto faz com que a tração
no trecho à esquerda da alpinista seja diferente
da tração no trecho à sua direita. Determine as
trações na corda à esquerda e à direita da
alpinista.
03. (SEARS & ZEMANSKY, 12ª Ed) O motor de
um automóvel com peso ‘P’ está suspenso por
uma corrente que está ligada por um anel ‘O’ a
duas outras correntes, uma delas amarrada ao
teto e a outra presa na parede. Ache as tensões
nas três correntes em função de ‘P’ e despreze o
peso das correntes e do anel.
04. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) O sistema
da figura está em equilíbrio. A distância “d” é de 1
m e o comprimento relaxado de cada uma das
duas molas iguais é de 0,5 m. A massa “m” de 1
kg faz descer o ponto “P” de uma distância h=15
cm e a massa das molas é desprezível. Calcule a
constante k das molas.
Dados: K=Força/Deformação da mola
⃗⃗⃗⃗𝐶 de módulo 170N.
puxa com uma força 𝐹
⃗⃗⃗⃗𝐶 não é dada. Qual
Observe que a orientação de 𝐹
é o módulo da força ⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐵 exercida por Betty?
42
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05. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) Um
acrobata de 60 kg se equilibra no centro de uma
corda bamba de 20m de comprimento. O centro
desceu de 30 cm em relação às extremidades,
presas em suportes fixos. Qual é a tração em
cada metade da corda?
e exerce uma força de 98N sobre a parede à qual
está presa. As tensões nas cordas mais curtas
são T1=58,8N T2=49N T3=9,8N. Quais as massas
(a) do disco A, (b) do disco B, (c) do disco C e (d)
do disco D?
06. (SEARS & ZEMANSKY, 12ª Ed) Um carro de
1130 kg está seguro por um cabo leve, sobre
uma rampa muito lisa (sem atrito), como indicado
na figura. O cabo forma um ângulo de 31,0°
sobre a superfície da rampa, e a rampa ergue-se
25,0° acima da horizontal.
a) Desenhe um diagrama do corpo livre para o
carro.
b) Ache a tração no cabo.
c) Com que intensidade a superfície da rampa
empurra o carro?
07. (CUTNELL & JOHNSON, 6ª Ed) A viga ‘I’ de
aço do desenho possui um peso de 8,00 kN e
está sendo suspensa com velocidade constante.
Qual a tração em cada cabo às suas
extremidades?
08. (HALLIDAY E RESNICK, 8ª Ed) A figura
abaixo mostra um arranjo no quais quatro discos
estão suspensos por uma corda. A corda mais
comprida, do alto, passa por uma polia sem atrito
09. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) No
sistema representado na figura, calcule as
Tensões nas cordas A e B a compressão na viga
C, desprezando as massas da viga e das cordas.
10. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) O sistema
representado na figura está em equilíbrio.
Determine as tensões nos fios 1, 2 e 3 e o valor
do ângulo 𝜃.
11. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Se um
corpo-padrão de 1 kg tem uma aceleração de
2,00 m/s² a 20,0° com o semieixo positivo, quais
são (a) a componente x e (b) a componente y da
força resultante a que o corpo está submetido e
(c) qual é a força resultante em termos dos
vetores unitários? (trabalhando vetores no
contexto de força).
43
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12. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Duas forças
horizontais agem sobre um bloco de madeira de
2 kg que pode deslizar sem atrito na bancada de
uma cozinha, situada em um plano xy. Uma das
forças é F1=3i+4j. Determine a aceleração do
bloco em termos dos vetores unitários se a outra
é: (a) F=-3i+(-4)j; (b) F=-3i+4j; (c) F=3i+(4)j.(obs.: todas as forças são dadas em Newtons)
(trabalhando vetores no contexto de força)
13. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Na figura
abaixo, três blocos conectados são puxados para
a direita sobre uma mesa horizontal sem atrito
por uma força de módulo T3=65N. Se m1=12kg,
m2=24kg e m3=31kg, calcule (a) o módulo da
aceleração do sistema, (b) a tração e T1(c) a
tração T2.
14. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) A figura
abaixo mostra dois blocos ligados por uma corda
(de massa desprezível) que passa por uma polia
sem atrito (também de massa desprezível). O
conjunto é conhecido como máquina de Atwood.
Um bloco de massa m1=1,3kg; o outro tem massa
m2=2,8kg. Quais são (a) o módulo da aceleração
dos blocos e (b) a tração na corda?
15. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um bloco de
massa m1 = 3,70 kg sobre um plano sem atrito
inclinado, de ângulo θ = 30,0º, está preso por
uma corda de massa desprezível, que passa por
uma polia de massa e atrito desprezíveis, a um
outro bloco de massa m2 = 2,30 kg. Quais são (a)
o módulo da aceleração de cada bloco, (b) a
orientação da aceleração do bloco que está
pendurado e (c) a tração da corda?
16. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) A figura
abaixo mostra uma caixa de dinheiro sujo (m1=3
kg) sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo
𝜃1 =30°. A caixa está ligada por uma corda de
massa desprezível a uma caixa de dinheiro
lavado (m2=2 kg) situada sobre um plano sem
atrito de ângulo 𝜃2 =60°. A polia não tem atrito e
tem massa desprezível. Calcule a tração da
corda.
17. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) No
sistema da figura, m1 = 20 kg, m2 = 40 kg, m3 =
60 kg. Desprezando as massas das polias e dos
fios e o atrito, calcule a aceleração do sistema e
as tensões nos fios 1, 2, 3.
18. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) A figura
abaixo mostra três blocos ligados por cordas que
passam por polias sem atrito. O bloco B está
sobre uma mesa sem atrito. As massas são mA =
6,00 kg, mB = 8,00 kg e mC = 10,0 kg. Quando os
blocos são liberados qual a tração na corda da
direita?
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19. (CUTNELL & JOHNSON, 6ª Ed) No desenho,
o peso do bloco sobre a mesa é de 422N e o
bloco pendurado tem peso de 185N. Ignorando
todos os efeitos de atrito e supondo que a
roldana não possui massa, determine: (a) a
aceleração dos dois blocos e (b) a tração no
cabo.
20. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Uma lata de
antioxidantes (m1 = 1,0 kg) sobre um plano
inclinado sem atrito esta ligado a uma lata de
apresuntado (m2 = 2,0 kg). A polia tem massa e
atrito desprezíveis. Uma força vertical para cima
de módulo ⃗⃗⃗
𝐹 = 6,0 N atua sobre a lata de
apresuntado, que tem uma aceleração para baixo
de 5,5 m/s2. Determine (a) a tração da corda e (b)
o ângulo 𝛽.
21. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) No
sistema da figura, o bloco 1 tem massa 10 Kg e
seu coeficiente de atrito estático com o plano
inclinado é 0,5. Entre que valores mínimo e
máximo pode variar a massa m bloco 2 para que
o sistema permaneça em equilíbrio?
22. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) O bloco B da
figura abaixo pesa 711N. O coeficiente de atrito
estático entre o bloco e a mesa é de 0,25; o
ângulo α é de 30°. Determine o peso máximo de
A para que o sistema permaneça em repouso.
23. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Os três
blocos da figura abaixo são liberados a partir do
repouso. Aceleram com um módulo de 0,500
m/s². O bloco 1 tem massa M, o bloco 2 tem
massa 2M e o bloco três tem massa 2M. Qual o
coeficiente de atrito cinético entre o bloco 2 e a
mesa?
24. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) O bloco A da
figura abaixo Pesa 102N, e o bloco B pesa 32N.
Os coeficientes de atrito entre o bloco A e a
rampa são µe=0,56 e µc=0,25. O ângulo de
inclinação da rampa com a horizontal é de 40°.
Suponha que o eixo x é paralelo à rampa, com o
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sentido positivo para cima. Em termos de vetores
unitários, qual é a aceleração de A se A está
inicialmente (a) em repouso, (b) subindo a rampa
e (c) descendo a rampa?
25. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um bloco de
3,5kg é empurrado ao longo de um piso
⃗⃗⃗ de módulo 15N que
horizontal por uma força 𝐹
faz um ângulo de 40° com a horizontal (figura
abaixo). O coeficiente de atrito cinético entre o
bloco e o piso é 0,25. Calcule (a) o módulo da
força de atrito que o piso exerce sobre o bloco e
(b) o módulo da aceleração do bloco.
26. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um bloco de
4,1 kg é empurrado sobre o piso pela aplicação
de uma força horizontal constante de módulo
40N. A figura abaixo mostra a velocidade do
bloco v em função do tempo t quando o bloco se
desloca sobre o piso ao longo de um eixo x. A
escala vertical do gráfico é definida por vs=5 m/s.
Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o
bloco e o piso?
27. (CUTNELL & JOHNSON, 6ª Ed) O desenho
mostra um caixote de 25,0 kg que inicialmente
está em repouso. Observe que a vista mostrada é
uma vista da parte de cima do caixote. Duas
forças, F1 e F2 são aplicadas ao caixote, e ele
começa a se mover. O coeficiente de atrito
cinético entre o caixote e o piso é µc = 0,35.
Determine o módulo e o sentido (em relação ao
eixo +x) da aceleração do caixote.
28. (CUTNELL & JOHNSON, 6ª Ed) Um caixote
de 225 kg repousa sobre uma superfície que está
inclinada de um ângulo de 20° acima da
horizontal. Uma força horizontal (módulo = 535 N
e paralela ao chão, não ao plano inclinado) é
necessária para dar início ao movimento de
descida do caixote no plano inclinado. Qual o
coeficiente de atrito estático entre o caixote e o
plano inclinado?
29. (PAUL A. TIPLER, GENE MOSCA, 6ª Ed)
Dois blocos ligados por um cordão como mostra
a figura abaixo, deslizam para baixo sobre um
plano inclinado de 10°. O bloco 1 tem a massa m1
= 0,80 kg e o bloco 2 tem massa m2 = 0,25 kg.
Ademais, os coeficientes de atrito cinético entre
os blocos e o plano são 0,30, para o bloco 1 e
0,20 para o bloco 2. Encontre (a) a magnitude da
aceleração dos blocos e (b) a tração no cordão.
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30. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um caixote
de 68 kg é arrastado sobre um piso, puxado por
uma corda inclinada 15° acima da horizontal. (a)
Se o coeficiente de atrito estático é 0,50, qual é o
valor mínimo do módulo da força para que o
caixote comece a se mover? (b) se µc = 0,35,
qual é o módulo da aceleração do caixote?
31. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Suponha
que o coeficiente de atrito estático entre a estrada
e os pneus de um carro é 0,60 e não há
sustentação negativa. Que velocidade deixa o
carro na iminência de derrapar quando faz uma
curva não compensada com 30,5 m de raio?
36. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um disco de
metal de massa m=1,5 kg descreve uma
circunferência de raio r = 20 cm sobre uma mesa
sem atrito, enquanto permanece ligado a um
cilindro de massa M=2,5 kg, pendurado por um
fio que passa no centro da mesa (figura abaixo).
Que velocidade do disco mantém o cilindro em
repouso?
32. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Qual o
menor raio de uma curva sem compensação
(plana) que permite um ciclista a 29 km/h faça a
curva sem derrapar se o coeficiente de atrito
estático* entre os pneus e a pista é de 0,32?
33. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Durante uma
corrida de trenós nas Olimpíadas de Inverno, a
equipe jamaicana fez uma curva de 7,6m de raio
com uma velocidade de 96,6 km/h. Qual foi a sua
aceleração em unidades de g?
34. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Na figura
abaixo, um carro passa com velocidade
constante por uma elevação circular e por uma
depressão circular de mesmo raio. No alto da
elevação a força exercida sobre o motorista pelo
assento do carro é zero. A massa do motorista é
de 70 kg. Qual é a força normal exercida pelo
motorista no banco quando ele passa pelo fundo
vale?
35. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um avião
está voando em uma circunferência horizontal
com uma velocidade de 480 km/h(figura abaixo).
Se as asas estão inclinadas formando 40° com a
horizontal, qual é o raio da circunferência?
Suponha que a força necessária para manter
esse avião na trajetória resulte inteiramente de
uma “sustentação aerodinâmica” perpendicular à
superfície das asas.
37. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) As curvas
das rodovias costumam ser compensadas
(inclinadas) para evitar que os carros derrapem.
Quando a estrada está seca a força de atrito
entre os pneus e o piso pode ser suficiente para
evitar derrapagens. Quando a pista está molhada
o coeficiente de atrito diminui e a compensação
se torna essencial. A figura abaixo mostra um
carro que se move com velocidade escalar
constante de 20 m/s em uma pista circular
compensada de raio 190 m. Se a força de atrito é
desprezível, qual o menor ângulo de inclinação
para o qual o carro não derrapa?
38. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Uma curva
circular compensada de uma rodovia foi
planejada para uma velocidade de 60 km/h. O
raio da curva é 200 m. Em um dia chuvoso, a
velocidade dos carros diminui para 40 km/h. Qual
é o menor coeficiente de atrito entre os pneus e a
estrada para que os carros façam a curva sem
derrapa?
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39. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Uma bola de
1,34 kg é ligada por meio de dois fios de massa
desprezível, cada um com comprimento L = 1,70
m, a uma haste vertical giratória. Os fios estão
amarrados à haste a uma distância d = 1,70 m
um do outro e estão esticados. A tração do fio de
cima é 35 N. determine (a) a tração do fio de
baixo; (b) o modulo da força resultante a que esta
sujeita a bola; (c) a velocidade escalar da bola;
(d) a direção da força resultante.
40. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) O
coeficiente de atrito estático entre as roupas de
uma pessoa e a parede cilíndrica de uma
centrífuga de parque de diversões de 2 m de raio
é 0,5. Qual é a velocidade mínima da centrifuga
para que a pessoa permaneça colada à parede,
suspensa acima do chão?
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