Universidade do Estado de Santa Catarina

Universidade do Estado de Santa Catarina-UDESC
Departamento de Matemática-DMAT
I Lista de Introdução à álgebra semestre 01/2010
Profs: Ivanete Zuchi Siple e Paulo Sergio
1. Demonstre que para todo a, b ∈ N vale a propriedade comutativa, ou seja, a + b = b + a
2. Mostre por indução as seguintes igualdades nos naturais
(a) 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
(b) 13 + 23 + 33 + .... +
n(n+1)(2n+1)
6
2
n3 = n(n+1)
2
(c) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) =
(d) 3 + 6 + 9 + ... + 3n = 32 n(n + 1)
(e)
1 + q + q 2 + q 3 + ... + q n =
n(n+1)(n+2)
3
q n+1 − 1
q−1
para todo
n ≥ 0 e para todo q 6= 1
Ps: a0 = 1 para todo a ∈ N
3. Mostre que n(n + 1)(n + 2) é divísivel por 6
4. Mostre que n3 + 2n é divísivel por 3
5. Mostre que
(a) para quaisquer a, b, c ∈ N, vale a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c
(b) para quaiquer a e b ∈ N e c ∈ N∗ , vale a ≤ b ⇔ ac ≤ bc
(c) para quaisquer a, b, c ∈ N,vale a ≤ b e c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d e ac ≤ bd
6. Se a, b ∈ N mostre que:
(a) se a + b = a então b = 0
(b) se ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0
7. Quantos números naturais entre 1 e 1250 são divisíveis por 7?
8. Qual o menor número natural de 2 algarismos que deixa o maior resto quando dividido por 12?
9. Prove que a soma de dois números pares é par e que a soma de dois números impares também
é par
10. Na divisão euclidiana de 802 por b o quociente é 14 e o resto é r. Determine b e r.
11. Determine o menor número natural de 2 algarismos que dividido por 11 deixa o maior resto
12. Ache dois números naturais a e b de modo que mdc(a, b) = 11 e o mmc(a, b) = 22 .112 .293
13. O máximo divisor comum de dois números é 48 e o maior deles é 384. Determine o outro
número.
14. Ache dois números cujo produto é 4800 e o seu mdc é 20
1
15. Calcule quantos múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com
2, 3, 4, 6 e 9
16. Os algarismos 1,2,3,4 e 5 foram usados, cada um uma única vez, para escrever um número de
5 algarismos abcde, tal que abc é divisível por 4, bcd por 5 e cde por 3. Encontre esse número.
17. Encontre quatro números distintos de 3 algarismos, tais que a soma de três quaisquer deles é
divisível pelo quarto número.
18. Observe as seguintes igualdades: 1.2.3.4 + 1 = 25 = 52 , 2.3.4.5 + 1 = 121 = 112 ... 10.11.12.13 +
1 = 17161 = 1312 Será que isso é sempre verdadeiro? Isto é, o produto de quatro números
naturais consecutivos, mais 1, é sempre um quadrado perfeito?
19. Demonstre que de dois números pares consecutivos um é sempre divisível por 4
20. É possível encontrar dois números naturais distintos, ambos divisíveis por 7, tais que a divisão
de um pelo outro deixe resto 39? Justique a resposta.
21. Escreva os números abaixo nas bases 2, 3, 5 e 7
(a)
(b)
(c)
(d)
182
12
72
965
22. Passe para o nosso sistema de numeração os seguintes números
(a) (10121)3
(b) (1042)5
23. Determine o valor da base em cada um dos seguintes casos:
(a) (104)b = 8285
(b) 12551=(30407)b
24. Na divisão euclidiana de a por b, o quociente é 356, e o resto 4623. Qual o maior número de
que se pode aumentar dividendo e divisor sem que o quociente se altere?
25. Qual o maior número de 4 algarismos divisível por 13
26. Calcule o σ(n) para n = 1, 2, 3, ...15
27. Prove que número primo não pode ser perfeito
28. Mostre que os números abaixo são números perfeitos
(a) 496
(b) 230 (231 − 1)
29. Dados a, b, c ∈ N através de sua decomposição canônica a = 32 .19.712 , b = 2.35 .19.61 e c =
24 .192 .71, determine:
(a) mdc(a, b)
2
(b) mdc(a, b, c)
(c) mmc(a, b)
(d) mmc(a, b, c)
30. Sejam a, b ∈ N não primos entre si, cujo produto é 420. Determine o mdc(a, b)
31. Ache três pares de números a, b ∈ N de modo que mdc(a, b) = 11 e mmc(a, b) = 22 .112 .293
32. Mostre que todo número primo é da forma 4k + 1 ou 4k + 3
33. Qual o menor número natural que admite 15 divisores
34. Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colocado por
força maior, este tempo é de 4 anos, os acessores deles também tem este mandato que é de 6
anos e os auxiliares tem o mesmo mandato de 3 anos. Se em 2001 houve uma eleição interna
nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os 03 cargos, em que ano se realizarão
novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos?
35. Determine o menor número natural que dividido por 12, 20 e 38 dá o mesmo resto 10
36. Mostre que:
(a) se 2 | n2 então 2 | n
(b) Para todo a, b ∈ N,se a ≤ b e a ≥ b então a = b
37. Determine o que se pede:
(a)
(b)
(c)
(d)
O resto da divisão de 35971659 por 4
se somarmos todos os números de 1 a 587 qual o resto da divisão por 5?
Sem efetuar o produto determine o resto da divisão de (4358 × 57917) por 4
No ponto de ônibus perto da casa de um aluno de IAL, existem duas linhas de ônibus
que ele pode usar para ir a UDESC. Uma passa de 15 em 15 minutos e a outra de 9 em
9 minutos. Se os dois ônibus passaram junto às 5h30 min, a que horas passarão juntos
novamente? das 5h30min até meio dia, quais os horários em que os ônibus passarão juntos
no ponto perto da casa deste aluno.
(e) A soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 11 e 527
38. Ache dois números naturais sabendo que mdc(a, b) = 12 e o mmc(a, b) = 240 e verique se a
ou b são números perfeitos.
39. Verique se as armações abaixo são Verdadeiras(V) ou Falsas (F) Se verdadeiras, demonstre,
se falsas exibam um contra-exemplo
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(
(
(
(
) se n é um número ímpar natural, então n2 − 1 é par
)se a e b são primos entre si, então a e b são números primos
) Um número primo nunca é perfeito.
) no nosso sistema de numeração o número (10212)3 = 104
mmc(2563, 671) = 156343
mdc(a, b + c) = mdc(a, b) + mdc(a, c)
O produto de dois números ímpares é ímpar.
(1202)3 = (142)5
3