SALA: 68- C Animais Cálculo Diferencial e Integral 2 Quarta Feira 4a Aula Aplicações de Integrais Definidas: Centróide e Volume Turma: BCT Prof. Walter Martins Versão: 2o Semestre de 2010 Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2 Aplicações das Integrais Definidas A integral definida para cálculo do Centróide O problema de determinar o centróide de uma região planar (R) é definido como o centro de massa da região. O centro de massa é o ponto pelo qual esta região R pode ser suspensa sem girar. As coordenadas ( x , y ) do centróide são dadas por x 1 2 x [ f ( x) g ( x)] x dx A x1 x 1 2 2 y [ f ( x) g 2 ( x)] dx 2 A x1 Exemplo: Achar as coordenadas do centróide da região limitada pela curva y2 = 2x e o eixo x, no intervalo [0,3]. y y2 = 2x y= 1 2 3 2x (só a parte positiva) x Solução: Acha-se a área A 3 A 3 3 2 x dx 2 x 0 1/ 2 0 x 3 xA 27 3 3 x3 / 2 dx 2 2 2 2 6 2 2 3 3 3 2 0 2 x 0 dx 3 2 0 3 yA= 0 x 0 y2 2 0 2x 3 1 dx = 2 18 6 18 5 x = = = 1,8 10 2 6 0 3/ 2 dx 18 6 5 2 2 x dx = 1 . 2 . x 2 2 y = 3 = 0 9/2 2 6 = 9 2 9 = 0,92 4 6 1 Prof. Walter Assunto: Centróide Exemplo: Determinar o centróide da figura entre as duas curvas y x 3 e y x . y x3 Y (1,1) y x X 1 A x x 3 dx 0 1 xA x 5 12 x x 3 dx 0 1 5 1 1 1 1 x2 x7 1 1 1 1 7 2 5 6 yA x x dx 20 2 2 7 0 2 2 7 2 14 28 x 2 5 12 0,48 5 25 12 5 5 12 3 4 12 3 = = = = 0,43 y = 28 = 5 28 7 5 28 47 12 Exemplo: Determinar o centróide de uma semicircunferência positiva. Solução: A equação da circunferência e x 2 y 2 r 2 , onde r raio . Então, y r 2 x 2 é a semicircunferência. Y y r 2 x2 r r X 2 Prof. Walter Martins A Notas de aula Calculo 2 r2 2 u r 2 x2 du dx 2x du 2 xdx r xA x r 2 x 2 dx r r xA x . u r 1/ 2 r x 2 2 r 2 du 1 1 2u 3 / 2 1/ 2 . u du 2x 2 r 2 3 4 x r 2 3 r 1 2 r r2 r 2 3 r 2 r r u3/ 2 3 r r 3 r 2 0 , como já era esperado. r r 1 1 x3 1 r3 r3 r 3 2r 3 yA r 2 x 2 dx r 2 x r 3 r 3 r 3 2 r 2 3 r 2 3 3 3 3 y 2 2r 3 4 r 3 r2 3 Exercício: Calcule o centróide de uma semicircunferência. A equação da circunferência e x2 + y2 = r2 , onde r = raio, r = 2. Então y = semicircunferência. 4 x2 é a Y y 4 x2 2 2 X r2 4 A 2 2 2 2 xA x 2 4 x dx 2 u 4 x 2 du du 2 xdx dx 2x 3 Prof. Walter Assunto: Centróide 2 x .u 2 1/ 2 2 du 1 1 2u 3 / 2 1/ 2 . u du 2x 2 2 2 3 4 x 1 2 2 2 u 3/ 2 3 2 2 2 2 3 0 (como já era esperado) 2 4 x 2 1 yA = 2 yA = 2 2 16 3 2 3 dx = 1 4 x x = 1 8 8 8 3 2 2 2 3 16 16 16 = = 0,8488 y = 3 = 3A 6 A 8 16 = 3 3 Exercício: Determinar o centróide da área delimitada pelas parábolas y 2 20 x , x 2 4 y 16 0 e o eixo X . x 2 4 y 16 0 y 16 x 2 16 x 2 x2 4 4 4 4 4 Y y f x 1 0 4 A 4 X 1 4 x2 x3 64 64 4 dx 4 x 16 16 4 12 4 12 12 A 32 32 96 32 64 3 3 3 4 4 4 3 x2 3 x3 3 2 x4 2x x x 4 dx 4 x dx 64 4 4 64 4 4 64 16 4 4 3 44 2 24 2 x 2 4 64 16 16 4 0 (como já era esperado) 4 Prof. Walter Martins 4 x2 3 2 2 y 4 2 x 128 4 4 Notas de aula 2 4 3 dx 128 4 Calculo 2 x4 2 16 2 x dx 16 4 3 2x3 x5 3 128 1024 128 1024 y 64 64 16 x 128 3 80 4 128 3 80 3 80 y 3 256 2048 256 768 3 53 8 128 3 32 1,6 128 3 80 128 1280 5 5 5 Aplicações das Integrais Definidas Volume de sólidos de revolução Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades (a) e (b) a seguir é um sólido: a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices. b) S é uma região limitada. Sólidos de Revolução - Método do Disco Dada uma região R plana e uma linha reta, ou eixo, que pode tocar (a) ou não (b) em R e que esteja no mesmo plano de R . Girando-se R em torno deste eixo, forma-se um região no espaço tridimensional denominada sólido de revolução. a) S R Área plana Sólido gerado pela Rotação. 5 Prof. Walter Assunto: Centróide b) S R Área plana Sólido gerado pela Rotação. Girando o gráfico de uma função f x tem-se: Y r f x y y f x Y dV r 2 dx 2 dV f x dx Área plana a X b X V f x dx b 2 a a b Cálculo do elemento de volume Exemplo: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função y f x x 3 , no intervalo 1, 2 . (2,8) Y (2,8) y x3 (1,1) (1,1) R 1 Área plana r x 2X Elemento de volume 6 Prof. Walter Martins 2 2 Notas de aula 2 V [ f ( x)] dx [ x ] dx x 6 dx 2 3 2 1 1 1 Calculo 2 2 7 17 127 x7 2 18,143 56,99 u.v. 7 1 7 7 7 Exemplo: Achar o volume gerado pela função f x a 2 x 2 em a, a Y Y y a2 x2 a X a X Sólido gerado pela rotação do semi-círculo Semi-círculo em rotação 2 x3 a V [ f ( x)] dx [ a x ] dx [a x ]dx a x 3 a a a 1 a a 2 2 2 2 2 2 2 3 2a 3 a3 a 3 a3 a3 V a 3 a 3 a 3 a3 2a 3 3 3 3 3 6a 3 2a 3 4 3 V a 3 3 que é o volume da esfera gerada! Exemplo: Uma região plana pode ser girada em torno do eixo y ao invés do eixo x , e novamente um sólido de revolução será gerado. 7 Prof. Walter Assunto: Centróide y y b r = x = g(y) x = g(y) R dy dV x a x Área plana girando em y Sólido de revolução da área plana em torno de y b b V = [g( y)] 2 dy = r 2 dy a que é o volume do sólido a Exemplo: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4]. y y x= y 4 y = x2 0 2 x x Sólido gerado pela Parábola de revolução Seção plana parábola girando em y b b 4 4 V [ g ( y)] 2 dy r 2 dy [ y ]2 dy ydy a a 0 0 y 2 4 2 0 42 0 8 2 V 8 25,13 u.v. 8 Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2 O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este método surge quando a área de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que f(x) > g(x), para todo x[a,b]. y f(x) y Anel projetado dx g(x) g(x) x a b x f(x) Área plana em revolução dV Sólido gerado pela revolução O elemento de volume do anel é dado por: dV f x dx g x dx 2 2 f x 2 g x dx 2 de forma que o volume todo é dado por: b b a a V dV [ f ( x)] 2 [ g ( x)] 2 dx Note que o vão interno é descontado pela subtração dos dois volumes. Exemplo: Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela rotação da região entre y x 2 e y x 2 . y x2 Y (-1,1) (2,4) Y R X X Área entre parábola e reta. Sólido de revolução 9 Prof. Walter Assunto: Centróide Solução: Faz-se f x x 2 e g x x 2 (pois f x g x ) Pontos de Interseção: f x g x x 2 x 2 , isto é: x 1 y1 1 x2 x 2 0 1 x2 2 y 2 4 b 2 a 1 2 V dV ( x 2) 2 ( x 2 ) 2 dx ( x 2 4 x 4) ( x 4 ) dx 1 x 3 4x 4 x5 V x 4 x 4 x dx 4 x 2 5 3 1 2 2 4 2 1 2 3 2 5 (1) 3 (1) 5 2 2 V 2.2 4.2 2(1) 4(1) 3 5 3 5 8 8 32 1 1 32 1 1 V 8 8 2 4 16 2 5 3 5 5 3 5 3 3 40 240 96 5 30 3 184 32 216 72 V 15 15 15 5 15 15 logo V 72 45,2389 u.v. 5 Exercício: Se a revolução for em torno do eixo y, como por exemplo para as funções x f y e x g y , tem-se: dV [ f ( y)] 2 [ g ( y)] 2 dy Y x f y Y x gy dy dV X Área entre curvas, em revolução X Sólido gerado pela área em revolução de forma que o volume todo é dado por: 10 Prof. Walter Martins b b a a Notas de aula Calculo 2 V dV [ f ( y)] 2 [ g ( y)] 2 dy As vezes, o sólido de revolução é gerado em torno de um eixo externo que pode ser paralelo a " x " ou a " y ". O método dos anéis circulares, pode ser aplicado, desde que se identifique o raio do giro. Exercício: Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x 6 . R é limitada pelos gráficos de y 2 4 x e x 4 . 6 y2 4 Y 6 y2 4 4, 4 Y dV dy R 6 X x y2 4 4, 4 y 2 4x 6 Parábola girando em torno de um eixo externo Parabolóide gerado pela rotação Solução: Para isolar-se x faz-se: y 2 4 x x Também, se tem que: se x 4 2 y2 . 4 y 2 4 4 16 y 4 Observação: re raio externo 6 y 2 4 e ri raio interno 2 V y 4 4 dV re2 ri 2 dy y 4 4 11 Prof. Walter Assunto: Centróide 2 4 4 y4 y2 y4 2 2 V 6 2 dy 36 3 y 4dy 3 y 2 32dy 4 16 16 4 4 4 4 y5 4 45 (4) 5 3 3 V y 32 y 4 32 4 (4) 3 32(4) 80 4 80 80 384 384 768 V 153,6 482,548 u.v. (unidades de volume) 5 5 5 12