Cálculo Diferencial e Integral T 7005 B

SALA: 68- C Animais
Cálculo Diferencial e Integral 2
Quarta Feira
4a Aula
Aplicações de Integrais Definidas:
Centróide e Volume
Turma: BCT
Prof. Walter Martins
Versão: 2o Semestre de 2010
Prof. Walter Martins
Notas de aula
Calculo 2
Aplicações das Integrais Definidas
A integral definida para cálculo do Centróide
O problema de determinar o centróide de uma região planar (R) é definido como
o centro de massa da região. O centro de massa é o ponto pelo qual esta região R pode
ser suspensa sem girar. As coordenadas ( x , y ) do centróide são dadas por
x
1 2
x   [ f ( x)  g ( x)] x dx
A x1
x
1 2 2
y
[ f ( x)  g 2 ( x)] dx

2 A x1
Exemplo: Achar as coordenadas do centróide da região limitada pela curva y2 = 2x e
o eixo x, no intervalo [0,3].
y
y2 = 2x
y=
1
2
3
2x
(só a parte positiva)
x
Solução: Acha-se a área A
3
A

3
3

2 x dx  2 x
0
1/ 2
0
 x

3
xA 
 27 
3 3 
 x3 / 2 
dx  2 
  2 2
2 6
  2 2
 3 
 3 
 3 2 0
2 x  0 dx 
3
2
0
3
yA=

0
x
0
 y2 
 
 2 0
2x
3
1
dx =
2
18
6
18
5
x =
=
= 1,8
10
2 6

0
3/ 2
dx 
18
6
5
2
2 x dx = 1 . 2 . x
2
2
y =
3
=
0
9/2
2 6
=
9
2
9
= 0,92
4 6
1
Prof. Walter
Assunto: Centróide
Exemplo: Determinar o centróide da figura entre as duas curvas y  x 3 e y  x .
y  x3
Y
(1,1)
y
x
X


1
A
x  x 3 dx 
0
1
xA   x


5
12
x  x 3 dx 
0
1
5
1
1
1
1  x2 x7 
1 1 1 1 7  2
5
6
yA   x  x dx  


     
20
2 2
7  0 2  2 7  2 14
28

x
2

5  12  0,48
5
25
12
5
5  12
3 4
12
3
=
=
= = 0,43
y = 28 =
5
28
7
5  28
47
12
Exemplo: Determinar o centróide de uma semicircunferência positiva.
Solução:
A equação da circunferência e x 2  y 2  r 2 , onde r  raio . Então, y  r 2  x 2 é a
semicircunferência.
Y
y  r 2  x2
r
r
X
2
Prof. Walter Martins
A
Notas de aula
Calculo 2
 r2
2
u  r 2  x2 
du
  dx  
2x
du  2 xdx
r
xA 

x
r 2  x 2 dx
r
r
xA    x . u
r
1/ 2
r
x 
2
2 r 2
du
1
1 2u 3 / 2
1/ 2
.
   u du  
2x
2 r
2 3
4  x 
r
2 3

r

1  2
r  r2
 r 2 

3

r
2
r
r
u3/ 2

3
r
r

3
 r 2   0 ,

como já era esperado.
r
r
1
1
x3 
1
r3
r3 
r 3 2r 3
yA   r 2  x 2 dx  r 2 x     r 3 
 r 3    r 3 

2 r
2
3  r 2 
3
3
3
3

y

2 2r 3 4 r

3
 r2 3
Exercício:
Calcule o centróide de uma semicircunferência. A equação da
circunferência e x2 + y2 = r2 , onde r = raio, r = 2. Então y =
semicircunferência.
4  x2
é a
Y
y  4  x2
2
2
X
 r2  4
A

 2
2
2
2
xA 
x
2
4  x dx
2
u  4  x 2
du
du  2 xdx  
dx  

2x
3
Prof. Walter
Assunto: Centróide
2
  x .u
2
1/ 2
2

du
1
1 2u 3 / 2
1/ 2
.
   u du  
2x
2 2
2 3
4  x 
1
2
2
2
u 3/ 2

3
2
2
2
2 3
 0 (como já era esperado)
2
 4  x 
2
1
yA =
2
yA =
2
2
16
3

2
3
dx = 1 4 x  x  = 1   8  8     8 
3  2 2  
2 
3 
16
16
16
=
= 0,8488
y = 3 =
3A
6
A
8  16
 =
3  3
Exercício: Determinar o centróide da área delimitada pelas parábolas y 2  20 x ,
x 2  4 y  16  0 e o eixo X .
x 2  4 y  16  0 
y
16  x 2 16 x 2
x2
 
 4
4
4
4
4
Y
y  f x 
1
0
4
A

4
X
1
4


x2 
x3 
64
64 

 4 
 dx   4 x 
  16 
 16 

4 
12  4 
12
12 


A  32 
32 96  32 64


3
3
3
4
4
4

3
x2 
3 
x3 
3  2 x4 




 2x 

x
x
4

dx

4
x

dx

64 4 
4 
64 4 
4 
64 
16  4
 4 
3 
44
2
 24 2 
x
 2 4  

64 
16
16
4

  0 (como já era esperado)


4
Prof. Walter Martins
4 
 x2
3
2
2


y
4

2
x

128 4 
 4

Notas de aula



2
4

3
 dx 
128 4

Calculo 2

x4 
2
16

2
x

dx

16 

4
3 
2x3 x5 
3 
128 1024
128 1024 
y

64 

 64 

16 x 
 

128 
3
80  4 128 
3
80
3
80 
y
3 
256 2048 
256 768
3 53 8
128 

3

32 
  1,6


128 
3
80 
128 1280
5
5
5
Aplicações das Integrais Definidas
Volume de sólidos de revolução
Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades (a) e (b) a seguir é um sólido:
a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se
interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar
num número finito de vértices.
b) S é uma região limitada.
Sólidos de Revolução - Método do Disco
Dada uma região R plana e uma linha reta, ou eixo, que pode tocar (a) ou não (b) em
R e que esteja no mesmo plano de R . Girando-se R em torno deste eixo, forma-se um
região no espaço tridimensional denominada sólido de revolução.
a)
S
R

Área plana
Sólido gerado pela Rotação.
5
Prof. Walter
Assunto: Centróide
b)
S


R
Área plana
Sólido gerado pela Rotação.
Girando o gráfico de uma função f  x  tem-se:
Y
r  f x   y
y  f x 
Y
dV  r 2 dx
2
dV   f  x  dx
Área plana
a
X
b X
V    f x  dx
b
2
a
a
b
Cálculo do elemento de volume
Exemplo: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela
revolução da região sob a função y  f x   x 3 , no intervalo 1, 2  .
(2,8)
Y
(2,8)
y  x3
(1,1)
(1,1)
R
1
Área plana
r
x
2X
Elemento de volume
6
Prof. Walter Martins
2
2
Notas de aula
2
V   [ f ( x)] dx   [ x ] dx  x 6 dx 
2
3 2
1
1
1
Calculo 2
 2 7 17  127
x7 2
    
  18,143  56,99 u.v.
7 1
7
 7 7
Exemplo: Achar o volume gerado pela função f x  a 2  x 2 em  a, a 
Y
Y
y  a2  x2
a
X
a
X
Sólido gerado pela rotação do
semi-círculo
Semi-círculo em rotação
 2
x3  a
V    [ f ( x)] dx    [ a  x ] dx   [a  x ]dx  a x  
3 a

a
a
1
a
a
2
2
2
2 2
2
2


 3 2a 3 
a3  
a 3 
a3
a3 
V   a 3     a 3       a 3 
 a3 



 2a 

3 
3 
3
3 
3 



 6a 3  2a 3  4
3
V 
  a
3

 3
que é o volume da esfera gerada!
Exemplo: Uma região plana pode ser girada em torno do eixo y ao invés do eixo x , e
novamente um sólido de revolução será gerado.
7
Prof. Walter
Assunto: Centróide
y
y
b
r = x = g(y)
x = g(y)
R
dy
dV
x
a
x
Área plana girando em y
Sólido de revolução da área plana em
torno de y
b
b
V =   [g( y)] 2 dy =   r 2 dy
a
que é o volume do sólido
a
Exemplo: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de
y, no intervalo [0,4].
y
y
x= y
4
y = x2
0
2
x
x
Sólido gerado pela Parábola de revolução
Seção plana parábola girando em y
b
b
4
4
V    [ g ( y)] 2 dy    r 2 dy    [ y ]2 dy    ydy 
a
a
0
0
y 2 4
2 0

42 
 0  8
2
V  8   25,13 u.v.
8
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Notas de aula
Calculo 2
O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este
método surge quando a área de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que
f(x) > g(x), para todo x[a,b].
y
f(x)
y
Anel projetado
dx
g(x)
g(x)
x
a
b
x
f(x)
Área plana em revolução
dV
Sólido gerado pela revolução
O elemento de volume do anel é dado por:
dV    f  x  dx   g  x  dx  
2
2
 f  x 
2

 g  x  dx
2
de forma que o volume todo é dado por:
b
b
a
a


V   dV    [ f ( x)] 2  [ g ( x)] 2 dx
Note que o vão interno é descontado pela subtração dos dois volumes.
Exemplo: Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela
rotação da região entre y  x 2 e y  x  2 .
y  x2
Y
(-1,1)
(2,4)
Y
R
X
X
Área entre parábola e reta.
Sólido de revolução
9
Prof. Walter
Assunto: Centróide
Solução: Faz-se f x   x  2 e g x   x 2 (pois f x   g x  )
Pontos de Interseção: f x   g x   x  2  x 2 , isto é:
 x  1  y1  1
x2  x  2  0   1
 x2  2  y 2  4
b
2
a
1


2


V   dV    ( x  2) 2  ( x 2 ) 2 dx    ( x 2  4 x  4)  ( x 4 ) dx
1
 x 3 4x 4
x5 
V    x  4 x  4  x dx   
 4 x  
2
5 
 3
1
2

2
4

2
1
 2 3
2 5   (1) 3
(1) 5 
2
2




V     2.2  4.2    
 2(1)  4(1) 
3
5
3
5
 


 8
 8
32   1
1 
32   1
1 
V     8  8       2  4       16       2  
5  3
5 
5  3
5 
 3
 3
 40  240  96    5  30  3 
 184    32 
216 72
V   
 

   

  
15
15
15
5
 


 15   15 
logo V 
72
 45,2389 u.v.
5
Exercício: Se a revolução for em torno do eixo y, como por exemplo para as funções
x  f  y  e x  g  y , tem-se:


dV   [ f ( y)] 2  [ g ( y)] 2 dy
Y
x  f y
Y
x  gy
dy
dV
X
Área entre curvas, em
revolução
X
Sólido gerado pela área em
revolução
de forma que o volume todo é dado por:
10
Prof. Walter Martins
b
b
a
a

Notas de aula
Calculo 2

V   dV    [ f ( y)] 2  [ g ( y)] 2 dy
As vezes, o sólido de revolução é gerado em torno de um eixo externo que pode ser
paralelo a " x " ou a " y ". O método dos anéis circulares, pode ser aplicado, desde que se
identifique o raio do giro.
Exercício: Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do
eixo x  6 . R é limitada pelos gráficos de y 2  4 x e x  4 .
6  y2 4
Y
6  y2 4
4, 4
Y
dV
dy
R
6
X
x  y2 4
 4, 4
y 2  4x
6
Parábola girando em torno de um
eixo externo
Parabolóide gerado pela rotação
Solução: Para isolar-se x faz-se: y 2  4 x  x 
Também, se tem que: se x  4 
2
y2
.
4
y 2  4  4  16  y  4
Observação: re  raio externo  6  y 2 4 e ri  raio interno  2
V 
y 4
4


dV    re2  ri 2 dy
y  4
4
11
Prof. Walter
Assunto: Centróide
2
4
4




 y4

y2 
y4
2
2


V     6    2 dy    36  3 y 
 4dy      3 y 2  32dy
4 
16
16



4 
4 
4 

4
 y5
 4
 45
  (4) 5

3
3
V     y  32 y 
    4  32  4  
 (4) 3  32(4)
 80
4
 80
  80

 384   384  768
V 

  153,6   482,548 u.v. (unidades de volume)
 
5
 5  5 
12