2ª Aula 25 de Setembro de 2003

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Resistência dos Materiais 2003/2004
Curso de Gestão e Engenharia Industrial
2ª Aula
Duração - 2 Horas
Data - 25 de Setembro de 2003
Sumário: Tensões numa Barra Traccionada. Conceito de Tensão. Tensor das
Tensões. Casos Particulares. Simbologia. Unidades e Aplicações Elementares.
Objectivos da Aula: Apreensão de alguns conceitos associados à grandeza Tensão de
Cauchy e sua simbologia e apreensão das razões pelas quais são necessárias as
componentes do tensor das tensões para representar o estado de tensão num ponto.
Resumo do Conteúdo da Aula
Materiais Utilizados nos Sólidos Referidos ao Longo da Aula: Homogéneos e
Isotrópicos.
1- Sólidos no Espaço
F1
Figura 2.1: Sólidos Solicitados no Espaço.
P1
y
P2
P3
x
As condições de equilíbrio Estático para um sólido no espaço podem ser escritas com
i
F
z forma:
a seguinte
(b)
∑ Fx = 0
Fn
∑ Mx = 0
O
∑ Fy = 0
y
∑ My = 0
ou
∑ Fi = 0
∑ Mz = 0
ou
∑ Mi = 0
x
∑ Fz = 0
(a)
y
p
(2.1)
x
onde Fx , Fy e Fz representam as componentes das forças aplicadas(c)segundo os eixos
Ox, Oy e Oz e Mx , M y e Mz representam as componentes dos momentos aplicados
ao sólido ou parcela do sólido segundo os eixos Ox, Oy e Oz.
Exemplo 2.1
Considere o sólido representado na figura 2.2 e determine as resultantes dos
esforços que se desenvolvem na secção A-A.
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A
A
P
A
A
P
P
M=Pa
a
(b)
(a)
Figura 2.2: Peça sujeita a carga exterior
Utilizando o método das Secções e as equações de equilíbrio estático, para
que a parcela do sólido representado na figura 2.2 b esteja em equilíbrio é necessário
que se desenvolvam, na Secção A-A, esforços que equilibrem o efeito da força
exterior aplicada P, estes esforços são uma força P aplicada em A-A de sentido
contrário à força P aplicada e um momento M=Pa igual e de sinal contrário ao
momento resultante da força exterior aplicada como resulta da equação de equilíbrio
de momentos.
2- Barra Traccionada
O elemento sólido tridimensional, com uma dimensão superior às restantes e sujeito a
esforços axiais de tracção e/ou compressão segundo o eixo do elemento que
corresponde à direcção de aplicação dos esforços, costuma ser designado por Barra.
Os esforços são ditos de tracção no caso de terem a orientação representada na figura
2.3 e no caso de terem sentidos contrários são ditos de compressão.
Secção A-A
A
P
P
a
A
b
Figura 2.3: Barra Prismática
Para que uma barra prismática como a que se representa na figura 2.3, esteja em
equilíbrio estático é necessário que as forças que actuam nos extremos da barra
traccionada ou comprimida sejam iguais e de sinal contrário. Considerando uma
secção recta como a secção A-A, secção obtida por intercepção de um plano normal
ao eixo da barra com a barra, a resultante dos esforços na referida secção deve igualar
a força axial aplicada, no caso da figura, a referida força é designada por P, de modo a
permitir o equilíbrio de cada uma das parcelas em que fica dividido o corpo. No caso
da secção A-A ser suficientemente afastada do ponto de aplicação da acção exterior,
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de acordo com Saint -Venant, a força pode considerar-se uniformemente distribuída
na Secção como se representa na figura 2.4. Considera-se que a tensão, σ, na secção
A-A, tem uma grandeza igual a P/A, sendo A, a área da secção e P a resultante da
força na secção, sendo a distribuição de tensões tida por uniforme no caso do material
da barra ser homogéneo e isotrópico.
No caso de se considerar a secção obtida, a partir da intercepção de um plano
com uma inclinação α em relação ao eixo da barra, sendo o eixo da barra, considerado
coincidente com o eixo cartesiano do sólido, ou seja coincidente com o eixo Ox, a
resultante das forças na secção de corte tem uma grandeza igual a P e tem a direcção
do eixo da barra que é considerado coincidente com o eixo cartesiano Ox. Na secção
obtida por intercepção do plano oblíquo com a barra, pode considerar-se o sistema de
eixos Ox´y´, definidos de tal modo que o eixo Ox´ coincida com a direcção normal ao
plano da secção e o eixo Oy´ coincida com a direcção tangente ao plano da secção,
podendo considerar-se este eixo contido no plano Oxy, como se representa na figura
2.4.b. No sistema de eixos Ox´y´, a força P dá origem a duas componentes, uma força
na direcção normal à secção designada por P´ e uma força com a direcção tangente à
secção P´´. As forças P´ e P´´ são determinadas a partir da força P e do ângulo de
inclinação do plano em relação ao eixo da barra e são:
P´= P sen α
e
P´´ = P cos α
(2.2)
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B
Ã
Secção A-A
α
P
P
a
B
A
b
P =
P
∫ σ dA
A
σ
σ
σ = P/A
(a)
y
y´
y´
x´
x´
P´
x
P
x
O
P´´
P´ = P sen α
P´´ = P cos α
A´ = A/sen α
(b)
Figura 2.4 : Barra Prismática. Secção Recta e Secção não Recta.
As tensões resultantes são uma tensão normal
σ
n
e uma tensão tangencial
σ , as quais podem ser calculadas a partir das forças P´ e P´´ tendo em conta que a
t
área A´ da secção B-B é igual a A/sen α. As tensões são:
P′
Psenα
P
=
= sen 2α
A′ A / senα A
P′′
P cos α
p
=−
= − cos α senα
σt = −
A′
A / senα
A
σn =
(2.3)
As tensões normais máximas ocorrem nas secções normais ao eixo da barra e
correspondem a um ângulo α = 0o . As tensões tangenciais máximas ocorrem nas
secções inclinadas a 45o e − 45o em relação ao eixo dos xx como resulta de igualar a
zero a derivada em ordem a α de σ t . As tensões tangenciais máximas têm uma
grandeza igual a P/2A.
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Exemplo 2.2
Uma barra colada, como se representa na figura 2.5, tem secção rectangular de
dimensões 10 × 20 mm. O plano que corresponde ao plano de colagem faz um ângulo
de 30 o com o eixo da barra, como se mostra na figura. Admitindo que a resistência
ao corte da ligação colada controla o projecto e admitindo que a tensão de corte
máxima admissível é de 10 Mpa, determine a carga axial P a aplicar à barra.
P
α=30
P
Figura 2.5: Barra Colada
Resolução:
Na Secção de corte as forças actuantes são de acordo com a figura 2.6, as
forças P´ e P´´ calculadas do seguinte modo:
P´´= P cos α = P cos 30 o = 0.866025 P
P´ = P sen α = P sen 30 o = 0.5 P
P´
P
α
Figura 2.6 : Secção de Corte
A tensão tangencial ou de corte na secção colada é:
σt = −
P′′
P cos α
P
=−
= − cos α senα = −0.217P N / mm 2
A′
A / senα
A
= -0.217 P Mpa
P´´
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Tendo em conta que a tensão tangencial máxima é 10 Mpa, o valor de P é obtido do
seguinte modo:
σ t = 10 = 0.217P ⇒ P =
10
= 46.08N
0.217
3 - Conceito de Tensão
As forças no interior do sólido são distribuídas e têm efeitos distintos nos
vários pontos do sólido. A fim de quantificar os esforços distribuídos no sólido é
necessário definir a grandeza tensão.
Na figura 2.7 representa-se uma parte de um sólido contínuo, no qual se
considerou uma secção perpendicular à direcção do eixo dos yy (Para efeitos de
definição de tensão a orientação da Secção a considerar pode ser arbitrária), as forças
distribuídas na secção que equilibram as forças exteriores têm uma resultante que é
conhecida e é de prever que numa área elementar da secção ∆A actue uma parcela da
força designada por ∆F. O quociente ∆F/ ∆A representa uma força por unidade de
superfície, o limite deste quociente quando ∆A tende para zero designa-se por
tensão, σ, isto é :
∆F
σ = lim
∆A→0 ∆A
(2.4)
A força ∆F pode decompor-se em três componentes, ∆ FX , ∆ Fy e ∆ Fz ,
segundo os eixos coordenados, como se representa a figura 2.7.b. As forças ∆ Fx e
∆ Fz , no caso da secção considerada na figura 2.7 que é uma secção perpendicular ao
eixo Oy, são forças que são tangentes à secção e a força ∆ Fy tem a direcção da
normal à secção. Nestas condições podem considerar-se três componentes da tensão σ
que são:
τ yx =
∆F
∆ Fx
∆ Fz
y
;
; τ yz = lim
=
σ yy
lim
lim
∆A a 0 ∆A
∆A a 0 ∆A
∆A a 0 ∆A
(2.5)
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z
∆Fz
∆F
∆F
O
x
∆Fy
∆Fx
y ∆A
Figura 2.7: Sólido Contínuo
4- Tensor das Tensões
As componentes da tensão σ foram representadas com dois índices, o primeiro índice
indica a direcção da normal à secção e o segundo índice indica a direcção da
componente da tensão, a tensão σ yy é uma tensão normal que pode ser de tracção
ou compressão e as tensões, τyx e τyz , são tensões tangenciais em geral designadas
por tensões de corte. Pode dizer-se que tensões normais actuam segundo a normal ao
plano da secção e que tensões de corte são tangentes ao plano da secção considerada.
No caso de se considerarem planos perpendiculares aos eixos Ox e Oz obtémse as tensões, σ xx , τ xy , τ xz e τzx , τzy , σ zz . O modo como se representam as tensões é
tal que o primeiro índice representa a direcção da normal ao plano de intercepção e
o segundo índice indica a direcção de actuação da tensão. No caso de se
considerarem três planos de intercepção que sejam perpendiculares às direcções dos
eixos coordenados, obtém-se nove tensões, três tensões normais, σ xx , σ yyeσ zz e seis
tensões tangenciais que são, τ xy, τ yx , τ xz, τ zx , τ yzeτ zy . Estas tensões podem ser
representadas sob a forma de tensor,
σ
=
σ
ij
, tal que:
σ xx τ xy τ xz 
 σ11 σ12 σ13 


σ = σij =  τ yx σ yy τ yz  ou σ ij = σ 21 σ 22 σ 23 
 τ zx τ zy σ zz 
 σ 31 σ 32 σ 33 
(2.6)
os elementos da diagonal representam tensões normais e os elementos não
pertencentes à diagonal representam tensões tangenciais ou de corte .
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O modo como se definiu tensão mostra que a tensão é uma grandeza que se
pretende referida a um ponto, ∆A a 0 e que depende da grandeza e sentido da força
considerada e da orientação da superfície em que actua. No caso de se considerar o
sólido interceptado por um plano com outra orientação, a intensidade e a orientação
da força, ∆F, são distintas e consequentemente a tensão ou tensões obtidas também.
Em cada ponto é possível definir uma infinidade de planos que contêm o ponto, não
ficando o estado de tensão num ponto completamente definido pelo conhecimento das
tensões normais e das tensões tangenciais num plano. A descrição do estado de tensão
num ponto é em geral feita considerando três planos ortogonais que contêm o ponto,
como se pode demonstrar.
Convenção de sinais: As tensões são consideradas Positivas se têm o sentido
considerado positivo nas facetas do paralelepípedo mais próximas do observador e
nas outras facetas são consideradas positivas se têm o sentido contrário. As Tensões
representadas nas figuras estão a ser consideradas positivas.
5- Casos Particulares do Estado de Tensão
a)Tensões Axiais em Barras à Tracção ou Compressão
σ
σ
Figura 2.8: Estado Uniaxial de Tensão
σ 0 0
0 0 0


Tensor das Tensões no sistema de Eixos Oxyz:  0 0 0  ou 0 σ 0  ou
 0 0 0 
0 0 0 
0 0 0 
0 0 0 
(2.7)


 0 0 σ 
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b)Tensões de Corte Puro
y
Tensor das Tensões no Sistema de Eixos Oxyz:
O
x
z
Tensões Hidrostáticas
z
y
y
τ yx
x
τ yz
τ xy
x
τ xz
τ zy
τ zx
z
z
Figura 2.9: Corte Puro
Tensor das Tensões no sistema de Eixos Oxyz:
0 0 0 
 0 τ xy 0 




 τ yx 0 0  ou  0 0 τ yz  ou
 0 τ zy 0 
 0
0 0 
 0 0 τ xz 
0 0 0


 τ zx 0 0 
(2.8)
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c) Tensões Normais
σ yy
y
σ xx
x
z
σ zz
Figura 2.10: Tensões Axiais
0
 σ xx 0

Tensor das Tensões:  0 σ yy 0 
 0
0 σ zz 
d) Estados Planos de Tensão
σ yy
y
τ yx
y
τ xy
σ yy
σ xx
τ yx
τ xy
σ xx
x
z
Figura 2.11: Estado Plano de Tensão
Tensor das Tensões para um Estado Plano de Tensão:
 σ xx τ xy 0 

 σ xx τ xy 
 τ yx σ yy 0  ou  τ yx σ yy 

 0
0 0  
x
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6- Unidades em que se Representam as Tensões
As unidades em que se exprimem as tensões são as unidades que correspondem a uma
força por unidade de superfície, no caso de se tratar do Sistema Internacional, a
unidade de força é o Newton, N, a unidade de comprimento é o metro, m e
consequentemente a unidade de tensão, é o Newton por metro quadrado, N/ m2 ,
muitas vezes designada por Pascal, Pa. No quadro 1.1 estão representadas as
unidades de comprimento, massa, tempo, força e tensão nos Sistemas Internacional e
no Sistema tradicional do Reino Unido (U.K.). No quadro 1.3. mostra-se uma tabela
de conversão de unidades de um Sistema em unidades de outro Sistema. Note-se que
a unidade Pascal, N/ m 2 é muitas vezes substituída por kPa que corresponde a
103 × Pa e por Mpa (N/ mm2 ) que corresponde a 106 × Pa . Os múltiplos e
submúltiplos das unidades estão representados no quadro 1.2. .
Unidade
Comprimento
Tempo
Massa
Força
Tensão
S.I.
metro(m)
segundo (s)
Kilograma(Kg)
Newton(N)
Pascal(Pa)
S. Métrico
metro(m)
segundo(s)
Kilograma(Kg)
Kilogramo(Kg)
Kg/m2
U.K.
polegada (in)
segundo(s)
Libra Massa (lb)
Libra Peso (lb)
lb/in2
Quadro 1.1 : Unidades Fundamentais dos Sistemas Internacional , Métrico e
U.K.
T
1012
G
109
M
k
106
103
m
10−3
µ
n
p
10−6
10−9
10−12
Quadro1.2: Múltiplos e Submúltiplos das Unidades
12/14
S.I
U.K.
Comprimento
1mm
1mm
1m
1km
Área
1 mm2
1 m2
1 m2
1ha = 104 m2
Volume
1 mm3
1 m3
1 m3
1 dm3 (1l i t r o)
Recíproco
0.0394in
0.0033ft
1.094 yd
0.621 miles
25.4
304.80
0.9144
1.609
1.55 × 10−3 i n2
10.76 f t 2
2
1.996 yd
2.471 acre
0.6452 × 103
92.9 × 10−3
0.836
0.405
0.061 × 10−3 i n3
35.314 f t 3
3
1.308 yd
0.220 U.K. gal
16.387 × 10−3
0.028
0.765
4.546
Massa
1kg
1t = 1Mg
2.205lb
0.984 ton
0.4536
1.016
0.225lbf
7.23pdl
0.102Kgf
4.448
0.138
9.8067
Força
1N
1N
1N
Pressão, Tensão
1kN/ m2 =1kPa
1 Pa =1N/ mm2
=1kN/ m2
=1N/ mm2
Momento
1Nm
29.88 lbf/ f t 2
0.145 × 103 l bf / i n2
9.33 × 10−3 t onf / f t 2
10.2Kgf/ cm2
0.7375lbf ft
47.88 × 10−3
6.895 × 10−3
108
98.067 × 10−3
1.3558
Quadro 1.3 : Conversão de Unidades do S.I. no U.K.
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7- Problemas Propostos Para Resolução na Aula
1. a) Desenhe um Elemento de Volume, mostrando o estado de pressão
hidrostática de tracção num ponto que é: σxx = σyy = σzz = 150MPa .
b) Desenhe um Elemento de Volume, mostrando o estado de tensão num
ponto cujas componentes do tensor das tensões são:
σxx = σyy = σzz = 100MPa , τxy = τyx = −50MPa , τzx = τxz = τzy = τyz = 0 .
c) Desenhe um Elemento de Volume, mostrando o estado de tensão num ponto
cujas componentes do tensor das tensões são:
σxx = 15MPa ,σyy = −20MPA, σzz = 80MPa , τxy = τyx = 10MPa ,
τzx = τxz = −12MPa , τzy = τyz = 20MPa.
2.
Considere a barra prismática traccionada representada na figura 1.1. O plano
AA´ faz um ângulo θ = 30º com a secção recta da viga prismática como se
mostra na figura. As dimensões da secção recta da barra prismática são
30mm×60mm. Sob a acção da carga P de tracção, a tensão normal que se
desenvolve no plano AA´ é σn = 10MPa . Determine:
a) o valor da carga axial P aplicada,
b) a tensão de corte τnt no plano AA´,
A
P
θ
P
A´
Figura 1.12: Barra Traccionada
8- Problemas Propostos para Resolução nas Horas de Estudo
1.
a) Desenhe um Elemento de Volume, mostrando o estado de pressão
hidrostática de compressão num ponto que é: σxx = σyy = σzz = −90MPa .
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b) Desenhe um Elemento de Volume, mostrando o estado de tensão num
ponto cujas componentes do tensor das tensões são:
σxx = −10MPa , σyy = 30MPA, σzz = 50MPa , τxy = τyx = −40MPa ,
τzx = τxz = 20MPa τzy = τyz = 50MPa
9- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo
- V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995,
Páginas 8-10
- Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill,
1989. Páginas 1-3
No Final do Estudo desta aula devem saber responder a questões como as seguintes:
1- O que se entende por Tensão num ponto?
2- O que se entende por Barra?
3- O que se representa com o símbolo τ xy ?
4- Caracterize um Estado de Tensão Plana, um Estado de Corte Puro etc..
5- Indique a unidade do Sistema Internacional em que se representa a tensão.
etc.