Princípio Multiplicativo – Teoria A Análise Combinatória é fundamentada no Princípio Multiplicativo: Teorema 1: ( Princípio Multiplicativo ) Se um experimento (P) ocorre em k etapas, k∈ IN* , e cada etapa ( P i ), 1≤ i ≤ k , i ∈ IN , k pode ocorrer de ni maneiras deferentes, n i ∈ IN* , 1≤ i ≤ k , então o experimento ( P ) poderá ocorrer de ∏n i maneiras. i =1 Ex. 1 Quantas palavras com 3 letras podem ser formadas a partir de um alfabeto de 10 letras. Solução: N= 10 { × Nímero de escolhas da 1° letra 10 { Nímero de escolhas da 2° letra × 10 { = 1.000 Nímero de escolhas da 3° letra Ex. 2 Quantas palavras com 3 letras distintas podem ser formadas a partir de um alfabeto de 10 letras. Solução: N= 10 { Nímero de escolhas da 1° letra × 9{ Nímero de escolhas da 2° letra × 8{ = 720 Nímero de escolhas da 3° letra Ex. 3 (AFA 2002) A palavra que não muda o seu sentido, quer se leia da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, é chamada palíndromo (Ex., ovo, asa, acaiaca, serres, etc.). Considerando-se as 23 letras do nosso alfabeto, quantos anagramas de 6 letras com características de um palíndromo, pode-se formar? (A) 236 (B) 233 (C) 323 (D) 623. Solução: Devemos escolher apenas os tr~es primeiros algarismos, já que o quarto algarismo deve ser igual ao terceiro algarismo, o quinto algarismo deve ser igual ao segundo algarismo e o sexto algarismo deve ser igual ao primeiro algarismo, ou seja, N = 23 × 23 × 23 × 1 × 1 = 233 Opção (B) Ex. 4 (EN 2010) No sistema decimal, a quantidade de números ímpares positivos menores que 1000, com todos os algarismos distintos é (A) 360 (B) 365 (C) 405 (D) 454 (E) 500 Solução: Seja N k a quantidade de números ímpares positivos menores que 1000 com k algarismos distintos, k =1, 2, 3. A quantidade de números satisfazendo as condições do enunciado é dada por: N = N1 + N 2 + N3 Onde N1 = 5 N 2 = 8× 5 = 40 N3 = 8 × 8 × 5 = 320 ⇒ N = 5 + 40 + 320 = 365. Opção (B) Ex. 5 (EN 2007) Um tapete de oito faixas deve ser pintado com as cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras que se pode pintar este tapete de modo que duas faixas consecutivas não sejam da mesma cor é: (A) 256. (B) 384. (C) 520. (D) 6561. (E) 8574. Solução: A primeira faixa pode ser pintada de três maneiras diferentes, a partir da segunda faixa teremos sempre duas maneiras de se pintar a faixa já que a cor desta deve diferir da cor da faixa anterior, ou seja, N = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 384 Opção (B) Ex. 6 (IME 2005) O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico, conforme ilustrado na figura. Um ladrão observa de longe e percebe que: . a senha utilizada possui 4 dígitos; . o primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha; . o segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior. Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que com certeza ele consiga entrar na casa. Solução: Vamos separar o problema em dois casos, no primeiro caso vamos considerar senhas cujos primeiro e último algarismo é o número 0 e o segundo e o terceiro algarismo podem ser escolhidos de forma livre dentre os algarismos 7, 8 ou 9, ou seja, N1 = 1 × 3 × 3 × 1 = 9 No segundo caso vamos considerar senhas cujos primeiro e último algarismos são escolhidos da segunda ou terceira linha, logo primeiramente devemos escolher uma linha dentre a segunda e a terceira, escolhida a linha, dentre os algarismos desta linha escolhemos livremente um algarismo para ser o primeiro e outro para ser o último, feito isto, na linha imediatamente superior escolhemos livremente um algarismo para ser o segundo e outro para ser o terceiro, ou seja, N 2 = 2 × (3 × 3 × 3 × 3) = 162 O número total de senhas é dado por N = N1 + N 2 Então N = 9 + 162 = 171