ENG 008_4 - departamento de engenharia química

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
ENG 008 – Fenômenos de Transporte I A – Profª Fátima Lopes
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Dimensões e Sistemas de Unidades
A medida de qualquer grandeza física pode ser expressa como o produto de dois
valores, sendo uma a grandeza da unidade escolhida e o outro o número dessas
unidades.
Assim, a distância entre dois pontos pode ser expressa como 1 m, ou como 100 cm
ou então como 3,28 ft.
O metro, o centímetro e o pé (foot) são respectivamente as grandezas das
unidades e 1, 100 e 3,28 são os correspondentes números de unidades.
Quando a magnitude da quantidade medida depende da natureza da unidade
escolhida para se efetuar a medida, diz-se que a quantidade em questão possui
dimensão.
Dimensões:
São conceitos básicos de medidas tais como:
Ø comprimento (L)
Ø massa (M)
Ø força (F)
Ø tempo (T)
Ø temperatura (θ)
Unidades:
São as diversas maneiras através das quais se pode expressar as dimensões
Exemplos:
Ø comprimento: centímetro (cm); pé (ft); polegada (in);
Ø massa: grama (g); libra massa (lbm); tonelada (ton);
Ø força: dina (di); grama força (gf); libra força (lbf);
Ø tempo: hora (h); minuto (min); segundo (s).
Regra para se tratar corretamente com as unidades:
“Tratar as unidades como se fossem símbolos algébricos”
Não se pode somar, subtrair, multiplicar ou dividir unidades diferentes entre si e depois
cancela -las: 1 cm + 1 s é 1 cm + 1 s
No entanto, em se tratando de operações cujos termos apresentam unidades
diferentes, mas com as mesmas dimensões, a operação pode ser efetuada mediante uma
simples transformação de unidades.
1 m + 30 cm (dois termos com dimensão de comprimento)
1 m = 100 cm
então, 1 m + 30 cm = 100 cm + 30 cm = 130 cm.
Exemplo 1:
Um campo de futebol apresenta uma área de 4.000 m2. Calcular a sua área em
2
cm .
4
2
1 m = 100 cm; 1 m2 = (100)2 cm2 ; 10 cm = 1
2
1m
4
2
4.000 m2 x 10 cm = 4 x 107 cm2
1 m2
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Exemplo 2:
Água escoa de uma torneira com uma vazão de 200 in3/dia. Calcular o valor da
vazão em cm3 /min.
1 in = 2,54 cm; 1 in3 = (2,54)3 cm3 ;
1 dia = 24 h = 24 x 60 min;
(2,54 )3 cm 3
=1
3
1 in
1 dia
=1
24 × 60 min
200 in 3 (2,54 ) cm3
1 dia
200 × (2,54) cm3
×
×
=
= 2, 28 cm3 min
3
dia
24 × 60 min
24 × 60 min
1 in
3
3
Exemplo 3:
Se um avião viaja com uma velocidade de 2 vezes a velocidade do som (vsom =
1100 ft/s), calcular a sua velocidade em milhas/h.
1 milha = 5280 ft; 1 h = 3600 s
2×
1100 ft 1 milhas 3600 s
×
×
= 1500 mi h
s
5280 ft
1h
Sistemas de unidades
As grandezas básicas e as derivadas podem ser expressas nos vários sistemas de
unidades.
1. Dimensões básicas MLTθ (Sistema absoluto)
a Sistème International d’Unités (S.I.)
Este sistema está sendo adotado internacionalmente e baseia-se no anterior sistema
metro-quilograma-segundo (M.K.S.) no qual as unidades básicas são as seguintes:
Comprimento = metro
(m)
L
Massa = quilograma
(kg)
M
Tempo = segundo
(s)
T
Temperatura = Kelvin
(K)
θ
Este sistema é uma modificação do sistema C.G.S. em que se usam unidades
maiores.
A unidade de força, chamada Newton, é a que dará uma aceleração de 1 metro por
segundo por segundo a uma massa de 1 quilograma.
A unidade de energia, o Newton-metro, é 107 ergs e chama-se joule.
A unidade de potencia, igual a 1 joule por segundo, é o watt.
A unidade de pressão é o Pascal (Pa), igual a Newton por metro quadrado (N/m2
ou kg m-1 s-2)
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b Sistema pé-libra-segundo (F.P.S.)
Neste sistema usam-se as seguintes unidades básicas:
Comprimento = pé
(ft)
L
Massa = libra massa
(lbm)
M
Tempo = segundo
(s)
T
Temperatura = Rankine
(R)
θ
A unidade de força, o poundal, é a força que provocará uma aceleração de 1 pé por
segundo por segundo a uma massa de 1 libra massa, ou seja:
1 poundal = 1 (libra massa) (pé) (segundo)-2
c Sistema métrico absoluto ou C.G.S.
Neste sistema as dimensões básicas são as seguintes:
Comprimento = centímetro
(cm)
L
Massa = grama
(g)
M
Tempo = segundo
(s)
T
Temperatura = Kelvin
(K)
θ
A unidade de força é a força que dará a uma massa de 1 grama a aceleração de 1
centímetro por segundo por segundo e chama-se dina.
Portanto, 1 dina = 1 (grama) (centímetro) (segundo)-2
A unidade de energia correspondente é o dina -cm que se chama erg.
2. Dimensões básicas FLTθ (Sistema gravitacional)
a British Gravitational System
Este sistema usa também o pé e o segundo para unidades de comprimento e tempo,
mas emprega a libra força para a terceira unidade fundamental.
A libra força é definida como a força que imprime à massa de uma libra uma
aceleração de 32,174 pé por segundo por segundo.
Portanto as unidades fundamentais são:
Comprimento = pé
(ft)
L
Força = libra força
(lbf)
F
Tempo = segundo
(s)
T
Temperatura = Rankine
(R)
θ
A unidade de massa neste sistema chama-se slug e é a massa que recebe uma
aceleração de 1 pé por segundo por segundo com a aplicação de 1 libra força, isto é:
1 slug = 1 (libra força) (pé)-1 (segundo)2
A unidade de energia é o pé-libra força, mas se designa sempre como o pé-libra.
b M.K.S. técnico ou gravitacional
Este sistema tem como unidade de força o quilograma força (kgf), que é a força que
dará uma aceleração de 9,81 metros por segundo por segundo a uma massa de 1
quilograma.
Suas unidades fundamentais são:
Comprimento = metro
(m)
L
Força = quilograma força (kgf)
F
Tempo = segundo
(s)
T
Temperatura = Kelvin
(K)
θ
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A unidade de massa neste sistema é a U.T.M. (unidade técnica de massa).
No sistema absoluto, a unidade de força é definida pela lei de Newton em termos
de massa e aceleração, ou seja:
[F] =  M L
F=ma


T 2 
Então, o quilograma (kg) e a libra massa (lbm) são definidas independentemente
da lei de Newton, enquanto que o Newton (N) e o Poundal (pdl) são unidades de força
derivadas pela própria lei.
Já no sistema gravitacional a unidade de massa é que passa a ser definida pela lei
de Newton em termos de força e aceleração. Então:
m=F
F T 2 
[M ] = 
L 

a
Desse modo, resulta que o quilograma força (kgf) e a libra força (lbf) são definidas
independentemente da lei de Newton enquanto que UTM e slug são unidades derivadas.
Como unidades de força e massa podem ser definidas independentemente da lei
de Newton, surge a necessidade de utilizar-se um fator de conversão para tornar a
equação dimensionalmente consistente.
F=Kma
F=
ou
1
ma
gC
Então:
K=
F
1
=
m a gC
No sistema internacional de unidades S.I. por exemplo, a unidade de força é o
Newton, então:
K=
1N
kg m s 2
gC =
ou
1 kg m
N s2
Deste modo,
 1N 
 (1 kg ) 1 m s 2 = 1 N
F = 
2
 kg m s 
(
)
No sistema C.G.S. a unidade de força é o dina, portanto:
K=
1 dina
g cm s 2
gC =
ou
1 g cm
dina s 2
Sendo assim,
(
)
 1 dina 
 (1 g ) 1 cm s 2 = 1 dina
F = 
2
 g cm s 
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3. Dimensões básicas FMLTθ (Sistema híbrido)
a Sistema inglês de Engenharia (English Engineering System)
Para este sistema a unidade de força é a libra força (lbf), a unidade de massa é a libra
massa (lbm), a unidade de comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o segundo (s) e
a unidade de temperatura o grau Rankine (R).
Neste sistema exige-se que o valor numérico da força e da massa seja o mesmo
na superfície terrestre. Então:
F = K 1 lbm g ft s 2 = 1 lbf
e
K=
1
lbf
g lbm ft s 2
O valor numérico escolhido para K é de 1/32,174 que é o mesmo valor da
aceleração da gravidade em ft/s2 ao nível do mar a 45o de latitude.
Resulta que:
K=
1
gC
onde
gC = 32,174
lbm ft
lbf s2
b Sistema que utiliza unidades do sistema métrico
Da mesma forma é definido o gC para outro sistema híbrido que tem como unidade de
força o quilograma força (kgf), de massa o quilograma (kg), de comprimento o metro (m),
de tempo o segundo (s) e de temperatura o grau Kelvin (K).
Portanto, g = 9,81 kg m
C
kgf s 2
Princípio da homogeneidade dimensional
Toda equação para ser consistente deve ser dimensionalmente homogênea, ou
seja, deve apresentar as mesmas dimensões em ambos os lados da equação.
Exemplo 1: Movimento uniformemente acelerado
s = s0 + v t +
1 2
at
2
onde: s = espaço percorrido por um corpo
s0 = espaço inicial
v = velocidade do corpo
t = tempo
a = aceleração
s [= ] L
v t [=]
s 0 [= ] L
a t2
(L)
(L)
(L/T)
(T)
(L/T2 )
L
T [= ] L
T
[= ] L2 T 2 [=] L
T
s [=] s 0 [=] v t [=] a t 2 [=] L
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Exemplo 2: É a equação
a = aceleração
d = distância
t = tempo
v0 = velocidade
Exemplo 3:
energia?
a = 2 d t 2 − 2 v0 t
dimensionalmente homogênea?
(L/T2 )
(L)
(T)
(L/T)
Qual a dimensão do termo hf (perdas) na seguinte forma da equação da
v12 p1
v 22 p 2
z1 +
+ = z2 +
+
+ hf
2g γ
2g γ
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SISTEMA
Dimensões
básicas
S.I.
F.P.S.
MLTθ
UNIDADES
Comprimento
Força
metro
pé
Massa
Tempo
Temperatura
Newton*
quilograma
segundo
Kelvin
*
libra massa
segundo
Rankine
grama
segundo
Kelvin
poundal
*
C.G.S.
centímetro
dina
Britsh Gravitational
System
pé
libra força
Slug *
segundo
Rankine
metro
quilograma força
UTM*
segundo
Kelvin
FLTθ
M.K.S. técnico
* - unidades derivadas pela Lei de Newton
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