números primos

Por que cometer erros antigos se há tantos erros
novos a escolher??
(Bertrand Russel)
Nossos sinceros agradecimentos ao
Prof. João Evangelista Brito da Silva, o João,
que apesar dos nossos erros, novos e antigos,
continua a nos acolher com disposição e simpatia.
NÚMEROS PRIMOS: TENTANDO ORGANIZAR O CAOS
Prof. Hermes Antonio Pedroso
Josy Fernandes Ribeiro
Conteúdo
Introdução ............................................................................................ 2
“Os Elementos” de Euclides ................................................................. 2
Marin Mersenne ................................................................................... 5
Números Primos Recordistas................................................................ 6
Porque é que se tentam descobrir Números Primos?............................. 8
Fórmulas que dão números primos ....................................................... 9
Fórmulas Polinomiais ........................................................................... 9
Fórmulas Exponenciais......................................................................... 10
O Crivo de Eratóstenes ......................................................................... 11
Tabela de Números Primos................................................................... 14
Seqüências com Infinitos Números Primos........................................... 15
A Distribuição dos Números Primos..................................................... 16
A Distribuição Logarítmica .................................................................. 17
Referências Bibliográficas.................................................................... 22
1
Introdução
Apresentamos neste trabalho um pouco da história dos números primos, desde os
primórdios na escola pitagórica até os dias atuais, onde ainda são encontrados problemas em
aberto.
Os pitagóricos faziam distinção entre Aritmética, ciência que estuda as propriedades
dos números, e Logística, arte de calcular. A logística é muito anterior aos pitagóricos e à
matemática grega, mas a aritmética é uma criação deles.Por exemplo, foram os pitagóricos os
primeiros a estudar conceitos como o de números pares, ímpares, primos, perfeitos, amigos,
entre outros, bem como algumas propriedades envolvendo esses números.
Abordamos a relação de Euclides (cerca de 300 a.C.) entre números primos e números
perfeitos, onde ainda persistem questões sobre a existência de números perfeitos ímpares e se
o conjuntos desses números é infinito.
Destacamos a surpreendente relação dos números primos com a função logarítmica
natural e, desse modo, estabelece uma relação estreita entre a teoria dos números e análise.
Apresentamos ainda referências aos números de Mersenne (1588-1648) dentre os
quais são encontrados os maiores números primos, sendo o último de 4 de setembro de 2006.
“Os Elementos” de Euclides
Composto de 13 livros, “Os Elementos” de Euclides dedica alguns
livros aos estudos dos pitagóricos, sendo que a aritmética, que
atualmente chamamos de Teoria dos Números, é abordada nos
livros VII, VIII e IX.
ƒAlgumas definições do Livro VII:
− Definição 2: Um número é uma multiplicidade composta de
unidades.
− Definição 3: Um número é parte de outro, o menor do maior,
quando ele mede o maior.
− Definição 11: Um número primo é aquele que só é mensurável pela unidade.
Em grego: “Protós Arithmós estin monadi mone metroymenos”.
Definição atual: Um número primo é aquele que só é divisível por 1 e por ele
mesmo.
2
− Definição 12: Um número composto é aquele que é mensurável por algum
número.
ƒProposição 32, Livro VII:
“Um número qualquer ou é primo ou pode ser medido por um número primo”.
ƒProposição 20, Livro IX:
“Existem mais números primos do que qualquer quantidade dada de números
primos”.
A elegante demonstração dada por Euclides é aritmética, depende da proposição 32 do
Livro VII e usa o raciocínio de redução ao absurdo. A idéia é a seguinte: se a, b,…, k é uma
quantidade de números primos, toma-se o número p = a ⋅ b ⋅ ... ⋅ k + 1 . O número p pode ser
primo ou não. No primeiro caso, é um primo diferente daqueles considerados; no segundo,
tem um divisor primo também diferente dos considerados. Logo, existe um primo diferente de
a, b, …, k.
ƒProposição 36, Livro IX:
“Se tantos números quanto desejarmos começando com uma unidade são expostos
em proporção dupla, até que a soma de todos se torne um número primo, e se a soma
multiplicada pelo último forma algum número, o produto será perfeito”.
Para demonstrar esse fato usaremos a função sigma (denotada por σ (n) ) que associa a
cada número n a soma de seus divisores.
Exemplos:
1. n = 12
σ (n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 .
2. Se n é primo, como os únicos divisores de n são 1 e n, então
σ ( n) = 1 + n .
Fórmula para encontrar σ (n) :
1. É fácil verificar que para n = p α , onde p é primo e α é um número natural,
σ (n) = 1 + p + p 2 + ... + p α =
1 − p α +1 p α +1 − 1
=
.
1− p
p −1
3
Exemplo:
n = 53
σ ( n) = 1 = 5 + 5 2 + 5 3 =
2.
α
α
No caso n = p1 1 p 2 2 ... p r
αr
54 − 1
5 −1
, onde r ≥ 1 e cada fator pi é primo, com pi ≠ p j para
i ≠ j.
Mostra-se por indução sobre r que
σ ( n) =
α
+1
α
α
+1
+1
p1 1 − 1 p 2 2 − 1 p r r − 1
⋅
⋅⋅⋅
p1 − 1
p 2 −1
pr − 1
Exemplos:
a) n = 12 = 2 2 ⋅ 3
σ (n) =
2 3 − 1 32 − 1
8
⋅
= 7 ⋅ = 7 ⋅ 4 = 28
2 −1 3 −1
2
b) n = 20 = 2 2 ⋅ 5
σ (n) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 =
23 − 1 52 − 1
24
⋅
= 7⋅
= 7 ⋅ 6 = 42
2 −1 5 −1
4
Demonstraremos agora a Proposição 36 de Euclides. Em notação atual: “Se
1 + 2 + 2 2 + ... + 2 n −1 = 2 n − 1 é primo, então P n = 2
n −1
(2
n
− 1 ) é perfeito.”
Demonstração: Temos que 2 n − 1 é primo, por hipótese, logo
σ ( Pn ) = σ (2 n −1 )σ (2 n − 1) =
2n − 1
⋅ (1 + 2 n − 1) = 2 n (2 n − 1) = 2 [2 n −1 (2 n − 1)] = 2 Pn
2 −1
ou seja, Pn = 2 n−1 (2 n − 1) é perfeito.
Resultado importante: Euler provou a seguinte recíproca da Proposição 36 de Euclides: “Se n
é um número perfeito par, então n = 2 k −1 (2 k − 1) , onde k > 1 e 2 k − 1 é um número de
Mersenne primo”.
Observação: Nenhum número primo é perfeito.
De fato, se p é um número primo, temos que σ ( p ) = 1 + p ≠ 2 p .
4
Curiosidades:
Os
dois
primeiros
números
perfeitos,
P2 = 2(2 2 − 1) = 2 ⋅ 3 = 6
e
P3 = 2 2 ( 2 3 − 1) = 4 ⋅ 7 = 28 , eram conhecidos dos hindus e dos hebreus antes de Pitágoras.
Os
gregos
conheciam
apenas
os
P2 = 6 ,
números
P3 = 28 ,
P5 = 2 4 (2 5 − 1) = 16 ⋅ 31 = 496 e P7 = 2 6 (2 7 − 1) = 64 ⋅ 127 = 8 128 .
O quinto número perfeito foi encontrado na primeira metade do século XVI por
Hudalrichus Regius e corresponde a n = 13 .
P13 = 212 (213 − 1) = 4096 ⋅ 8192 = 33 350 336
Em 1603, Pietro A. Cataldi (1548-1626) encontrou
P17 = 216 (217 − 1) = 65 536 ⋅ 131 071 = 8 589 869 056
e
P19 = 218 (219 − 1) = 262 144 ⋅ 524 287 = 137 438 691 328 .
Marin Mersenne (1588-1648)
A ardente atividade dos matemáticos num período em
que não existiam revistas científicas conduziu a círculos de
discussão e a uma constante correspondência. Algumas figuras
ganharam mérito por servirem como centro de intercâmbio
científico. A mais conhecida delas é o frade, filósofo e músico
Marin Mersenne, cujo nome como matemático é recordado nos
“Números
de
Mersenne”.
Com
ele
corresponderam-se
Descartes, Fermat, Desargues, Pascal e muitos outros
cientistas. Segundo H. Bosmans, informar Mersenne de uma
descoberta significava publicá-la em toda a Europa. O convento no qual Mersenne ensinou
situava-se na atual Place des Vosges, em Paris, e aí acudiam os visitantes a procura de “Lê
bon père Mersenne”.
Em 1644 Marin Mersenne conjecturou que os números M p = 2 p − 1 , p ≥ 1 , são
primos para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257 e compostos para todos os outros
primos p < 257 .
5
O número M 19 foi o maior número primo de Mersenne conhecido até 1732, quando
Euler provou que M 31 é primo. Mas a conjectura de Mersenne tinha cinco erros. Hoje
sabemos que M 61 é primo, M 67 é composto, M 89 e M 107 são primos e M 257 é composto.
Em 1983 (com computador é lógico), Slowinski mostrou que M 132 049 é primo. O
número perfeito associado a esse número de Mersenne é P132 049 = 2132 048 (2132 049 − 1) , formado
por 79 000 dígitos, é o 29° número perfeito conhecido.
Números Primos Recordistas
•
Em 13 de novembro de 1.996, na França, Joel Armengaud descobriu o 35° primo de
Mersenne. É o número 21.398.269 − 1 , com 420.921 dígitos.
•
Com 895.932 dígitos, o número 2 2.976.221 − 1 é o 36° primo de Mersenne descoberto.
Foi encontrado por Gordon Spence, no dia 24 de agosto de 1.997 no Reino Unido,
com seu computador pessoal, um Pentium de 100 MHz, que demorou 15 dias para
provar a primalidade do número.
•
Roland Clarkson descobriu em 27 de janeiro de 1.998 que o número 2 3.021.377 − 1 , com
909.526 dígitos é o 37° primo de Mersenne. Roland usou um Pentium de 200 MHz,
que ficou 46 dias para mostrar que esse número realmente é primo.
•
O 38° primo de Mersenne, descoberto nos Estados Unidos por Nayan Hajratwala, no
dia 1 de junho de 1.999 é o número 2 6.972.593 − 1 , que possui 2.098.960 dígitos e foi
encontrado por um Pentium II IBM de 350 MHz, que demorou 111 dias para verificar
se realmente era um número primo. Nayan Hajratwala recebeu um prêmio de US$ 50
mil da Eletronic Frontier Fundation por ter sido o primerio a descobrir um número
primo com mais de 1.000.000
•
A 39° posição foi ocupada pelo número 213.466.917 − 1 , que possui 4.053.946 dígitos.
Descoberto em 14 de novembro de 2.001 por Michael Cameron, no Canadá, que
demorou 45 dias para provar que esse número realmente é primo em seu AMD T-Bird
PC de 800MHz.
6
•
2 20.996.011 − 1 , com 6.320.430 dígitos é o 40° primo de Mersenne. Número descoberto
por Michael Shafer, em 17 de novembro de 2.003.
•
Em 15 de maio de 2.004 foi encontrado um número primo com 7.235.733 dígitos, com
milhões de dígitos a mais do que o do número encontrado anteriormente. Ele foi
encontrado pelo computador (um Pentium de 2,4 GHz) do norte-americano Josh
Findley. Descoberto pelo projeto GIMPS é o 41° primo Mersenne encontrado e pode
ser representado como 2 24.036.583 − 1 .
•
O 42° primo de Mersenne é o número 2 25.964.951 − 1 , com 7.816.230 dígitos foi
encontrado pelo Dr. Martin Nowark, da Alemanha, no dia 18 de fevereiro de 2.005.
Demorou 50 dias para seu Pentium 4 de 2,4 GHz provar a primalidade deste número.
•
Em 15 de dezembro de 2.005, Dr. Curtis Cooper e Dr. Steven Boone, professores da
Central Missouri State University, descobriram o 43° primo de Mersenne, o número
2 30 402 457 − 1 , com 9.152.052 dígitos.
•
No dia 4 de setembro de 2.006, novamente Dr. Curtis Cooper e Dr. Steven Boone
descobriram o 44° primo de Mersenne. Esse número contém 9.808.358 dígitos e é
expresso por 2 32 582 657 − 1 . Este é o maior número primo conhecido até hoje e quase
ganhador do prêmio de US$ 100 mil que a Eletronic Frontier Fundation promete dar
para quem encontrar um número primo com mais de 10.000.000 dígitos.
A Eletronic Frontier Fundation (Fundação Fronteira Eletrônica), dos Estados Unidos,
promete dar, além desse prêmio de US$ 100 mil, prêmios de:
•
US$ 150 mil para quem descobrir primeiro um número primo com 100.000.000
dígitos.
•
US$ 250 mil para quem for o primeiro a encontrar um número primo que possui
1.000.000.000 de dígitos.
Os Números de Mersenne são encontrados através de um projeto na Internet, o GIMPS
(The Great Internet Mersenne Prime Search – Grande busca do Primo de Mersenne pela
Internet), onde os voluntários baixam um programa que roda continuamente em seus
7
computadores. Um servidor central, então, envia diferentes números para cada máquina, que
analisa se realmente se trata de um número primo. Este programa foi criado pelos
programadores George Woltman e Scott Kurowski. Esta forma de processamento
“espalhado” pela Internet permite um maior poder de análise de informações. Até hoje são
conhecidos apenas 44 números primos de Mersenne.
Porque é que se tentam descobrir números primos?
1. Para testar Hardware:
Este tem sido historicamente utilizado como um argumento para a evolução
computacional em geral, logo é mais uma motivação para uma empresa do que para um único
indivíduo. Desde o princípio da computação eletrônica, que programas com o intuito de
encontrar grandes números primos têm sido utilizados como teste para hardware. Por
exemplo, rotinas de software do projeto GIMPS foram utilizadas pela Intel para testar os chips
de Pentium II e Pentium Pro antes de serem lançados no mercado.
2. Para saber mais sobre sua distribuição:
Apesar da Matemática não ser uma ciência experimental, freqüentemente se procuram
exemplos para testar conjecturas (que após tal, esperamos demonstrar). Com o evoluir do
tamanho dos números, evolui, de certo modo, o nosso conhecimento sobre a distribuição dos
mesmos. O Teorema dos Números Primos foi descoberto através do simples "olhar" para
tabelas de números primos e verificar a sua distribuição.
3. Criptografia:
Para a segurança da Criptografia RSA escolhe-se números primos grandes. Usa-se
números grandes, pois, caso contrário, seria fácil quebrar e são melhores os números
primos por não admitirem fatoração.
4. Pelos produtos que advém da procura:
A busca de números primos recordistas deixou como legado alguns dos maiores
teoremas da teoria elementar dos números primos, tais como o Pequeno Teorema de Fermat,
e a reciprocidade quadrática. Mais recentemente a busca de tais primos é ainda usada por
professores para motivarem os seus alunos na pesquisa matemática e talvez para os demover
8
a futuras carreiras nas áreas de ciências e engenharias. Estes são apenas alguns produtos que
advém desta pesquisa.
5. Pela glória:
Muitos tentam descobrir números primos recordistas simplesmente pelo desejo de
competir e ganhar!! As suas maiores contribuições para a Humanidade não são meramente
pragmáticas, é pela curiosidade e pelo espírito inquieto do Homem. Para não perdemos o
desejo do "fazer ainda melhor".
Fórmulas que dão Números Primos
1. Fórmulas Polinomiais
Um dos tipos mais simples de fórmulas para primos que podemos imaginar é a
fórmula polinomial. Com isto nos referimos a um polinômio
f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0
cujos coeficientes a n , a n −1 , ..., a1 , a 0 são números inteiros que satisfazem a condição
f(m) é primo para todo inteiro m.
Vamos ver o que acontece no exemplo f ( x) = x 2 + 1 . Tabelando os valores inteiros
positivos de x contra f(x), temos:
x
f(x)
1
2
2
5
3
10
4
17
5
26
6
37
7
50
8
65
9
82
10
101
9
Observe que se x for ímpar, f(x) é par. Assim, a não ser quando x = 1 , o valor de f(x) é
sempre composto (e múltiplo de 2) quando x é impar. Portanto, quando x > 1 , temos que f(x)
só pode vir a ser primo se x for par. Também não adianta considerar apenas os valores pares
para x, uma vez que f (8) = 65 é composto. Vemos então, que este polinômio não nos dá uma
fórmula para primos. Infelizmente este exemplo não é fruto do azar, veja o que nos diz o
seguinte teorema:
Teorema: Dado um polinômio f(x) com coeficientes inteiros, existe uma infinidade de
números positivos m tais que f(m) é composto.
Vejamos alguns exemplos de fórmulas polinomiais que nos fornecem números
primos:
ƒLeonard Euler (1707-1783), o maior matemático do século XVIII, e talvez de todos os
tempos, apresentou, em 1772, a fórmula
f (n) = n 2 + n + 41 ,
que fornece primos para os seguintes valores de do inteiro n:
n = 0,...,39, 42, 43, 45, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 53,...
ƒTemos ainda:
ƒ
P = 2n 2 + 29 , n = 0,...,28 .
ƒ
P = n 2 + n + 17 , n = 0,...,16 .
ƒ
P = 3n 2 + 3n + 23 , n = 0,...,21 .
Do que dissemos até agora, conclui-se que não existe uma fórmula polinomial para
primos, pelo menos se estivermos considerando apenas polinômios em uma variável.
Entretanto, existem polinômios em mais de uma variável cujos valores positivos são sempre
primos. Mas estes polinômios têm grau muito alto e muitas variáveis. Infelizmente estas
fórmulas são complicadas demais para serem úteis na prática.
2. Fórmulas Exponenciais
Pierre de Fermat (1601-1665), um dos maiores matemáticos do século XVII,
acreditava conhecer uma fórmula que fornecessem, senão todos, pelo menos uma infinidade
10
de números primos. Em uma carta endereçada a seu amigo Bernard Frenide de Bessy datada,
n
provavelmente, de agosto de 1640, ele enumerou os números da forma Fn = 2 2 + 1 para os
números inteiros de n entre 0 e 6. Os números são:
F0 = 3 ,
F1 = 5 ,
F5 = 4.294.967.297
F3 = 257 ,
F2 = 17 ,
e
F4 = 65.537
F6 = 18.446.744.073.709.551.617
Em seguida, revelava ele, embora confessando não estar de posse de uma prova
completa, sua convicção de que os números eram primos para todos os valores do natural n. É
surpreendente que Fermat não tenha tentado aplicar um método para fatorar o número F5 ,
como fazia para fatorar os Números de Mersenne. Igualmente curioso é que Frenide não tenha
imediatamente observado o erro de Fermat, já que também trabalhara na fatoração de
Números de Mersenne. A julgar pelo tom da correspondência entre eles, isto não traria senão
satisfação a Frenide, que aliás, estava muito longe de ser um matemático do gabarito de
Fermat. Ao contrário, Frenide parece ter concordado com Fermat quanto a esta conjectura.
Esse problema só ficou definitivamente resolvido quando Euler, em 1732, provou que,
para n = 5 , Fn não é primo:
5
F5 = 2 2 + 1 = 4.294.967.297 = 641 × 6.700.417
Ao passo que os Números de Mersenne são uma rica fonte de primos, poucos primos
de Fermat são conhecidos. Até hoje são conhecidos apenas os números
F0 = 3 ,
F1 = 5 ,
F2 = 17 ,
F3 = 257
e
F4 = 65.537 .
Esses números são chamados de Primos de Fermat. Sabemos hoje que Fn é composto
para todo n entre 5 e 16.
O Crivo de Eratóstenes
O cientista grego Eratóstenes (276-194 a.C.) era responsável pela famosa Biblioteca
de Alexandria. Escreveu sobre Astronomia, Geografia, Cronologia, Ética, Matemática e
outros assuntos. Ele é lembrado por ter sido o primeiro a medir com precisão (a menos de 50
milhas!) a circunferência da Terra. E também por seu Crivo dos números primos.
Eratóstenes foi também amigo de Arquimedes (287-212 a.C.) – o maior intelecto da
Antiguidade – e o receptor da famosa carta (chamada “O Método”) em que Arquimedes
11
revelou seu método de fazer descobertas matemáticas. Em sua velhice, Eratóstenes ficou cego
e dizem que se suicidou deixando de se alimentar.
Nicômaco (cerca de 100 d.C.) em sua Aritmética, publicada por volta do ano 100 d.C.,
introduz o Crivo de Eratóstenes da seguinte maneira: “O método para obter os números
primos é chamado por Eratóstenes uma peneira (crivo), porque tomamos os números ímpares
misturados de maneira indiscriminada e, por este método, como se fosse pelo uso de um
instrumento ou peneira, separamos os primos ou indecomponíveis dos secundários ou
compostos.”
Portanto o crivo atua como uma peneira que só deixa passar os números primos.
Vejamos como funciona. Em primeiro lugar o crivo determina todos os primos até um certo
inteiro positivo n previamente escolhido. Para realizar o crivo devemos proceder da seguinte
maneira: listamos os ímpares de 3 a n. É claro que só listamos os ímpares porque o 2 é o único
primo par. Começamos então a operar com o crivo propriamente dito. O primeiro número da
nossa lista é 3; riscamos os demais números da lista de 3 em 3. Assim serão riscados todos os
múltiplos de 3 maiores que ele próprio. Em seguida procuramos o menor elemento da lista,
maior que 3, que não tenha sido riscado, que é 5. Riscamos os demais números da lista, de 5
em 5. Assim serão riscados todos os múltiplos de 5 maiores que ele próprio. E assim por
diante, até chegar a n.
Por exemplo, se n = 35 , a lista de números é
3
5 7
9 11 13 15
17 19 21 23 25
27 29 31 33 35
Ao final da primeira passagem do crivo (de 3 em 3), ficamos com
3
5 7 9 11 13 15
17 19 21 23 25
27 29 31 33 35
Ao final da segunda passagem do crivo (de 5 em 5), a lista é
3
5 7 9 11 13 15
17 19 21 23 25
27 29 31 33 35
Ao final da terceira passagem do crivo (de 7 em 7), a lista continua a mesma acima. A quarta
passagem seria de 11 em 11, mas novamente nada vai mudar na lista. Na verdade nenhuma
passagem posterior do crivo vai eliminar nenhum número adicional desta lista. Logo, os
primos ímpares menores que 35 são
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
Este exemplo nos leva a observar algumas características do crivo. Em primeiro lugar,
alguns números são riscados da lista mais de uma vez. É o caso do 15 que já havia sido
riscado na primeira passagem e foi também riscado na segunda. Em segundo lugar, já
havíamos riscado da lista todos os números compostos na segunda passagem do crivo. Todas
as passagens posteriores foram redundantes.
12
Consideremos a segunda observação. Ela indica que deve ser possível parar de riscar
os números muito antes de chegar a n. De fato, se m é um inteiro da lista, então m ≤ n . Se m
m ≤ n . Isto é, qualquer
for composto, então terá um fator menor ou igual a
m . Mas
número composto da lista tem fator menor ou igual a
n . Desta forma não precisamos riscar
números de r em r quando r > [ n ] . No exemplo acima [ 35 ] = 5 ; por isso é suficiente
riscar de 3 em 3 e de 5 em 5, e nada mais.
A outra observação é mais delicada. Infelizmente não é possível evitar completamente
o fato de que alguns números serão riscados várias vezes. Mas podemos melhorar um pouco o
crivo acima. Digamos que queremos achar os primos até n, e que estamos prestes a riscar os
números de p em p. É claro que os múltiplos de p que também são múltiplos de primos
menores do que p já foram riscados da lista. Portanto, nesta etapa, podemos começar a riscar
de p em p a partir do menor múltiplo de p, que não é múltiplo de um primo menor que p; isto
é, a partir de p 2 . Resumindo: podemos começar a riscar de p em p a partir de p 2 . Isto evita
algumas duplicações e torna o crivo um pouco mais econômico.
Como todo algoritmo, o crivo de Eratóstenes tem suas limitações. Se o que queremos é
achar primos muito grandes, este não é o algoritmo que devemos usar. Mas não podemos
creditar isto como um defeito; afinal, o objetivo do algoritmo é achar todos os primos até n, e
isto não é razoável se n tiver 200 algarismos.
13
Tabela de Números Primos
2
29
67
107
163
211
263
313
373
431
479
547
601
653
719
773
839
907
971
1031
1091
1153
1223
1289
1361
1433
1487
1553
1609
1669
1747
1823
1889
1979
2029
2099
2161
2251
2311
2381
2441
2539
2617
2683
2729
2797
2861
3
31
71
109
167
223
269
317
379
433
487
557
607
659
727
787
853
911
977
1033
1093
1163
1229
1291
1367
1439
1489
1559
1613
1693
1753
1831
1901
1987
2039
2111
2179
2267
2333
2383
2447
2543
2621
2687
2731
2801
2879
5
37
73
131
173
227
271
331
383
439
491
563
613
661
733
797
857
919
983
1039
1097
1171
1231
1297
1373
1447
1493
1567
1619
1697
1759
1847
1907
1993
2053
2113
2203
2269
2339
2389
2459
2549
2633
2689
2741
2803
2887
7
41
79
127
179
229
277
337
389
443
499
569
617
673
739
809
859
929
991
1049
1103
1181
1237
1301
1381
1451
1499
1571
1621
1699
1777
1861
1913
1997
2063
2129
2207
2273
2341
2393
2467
2551
2647
2693
2749
2819
2897
11
43
83
137
181
233
281
347
397
449
503
571
619
677
743
811
863
937
997
1051
1109
1187
1249
1303
1399
1453
1511
1579
1627
1709
1783
1867
1931
1999
2069
2131
2213
2281
2347
2399
2473
2557
2657
2699
2753
2833
2903
13
47
89
139
191
239
283
349
401
457
509
577
631
683
751
821
877
941
1009
1061
1117
1193
1259
1307
1409
1459
1523
1583
1637
1721
1787
1871
1933
2003
2081
2137
2221
2287
2351
2411
2477
2579
2659
2707
2767
2837
2909
17
53
97
149
193
241
293
353
409
461
521
587
641
691
757
823
881
947
1013
1063
1123
1201
1277
1319
1423
1471
1531
1597
1657
1723
1789
1873
1949
2011
2083
2141
2237
2293
2357
2417
2503
2591
2663
2711
2777
2843
2917
19
59
101
151
197
251
307
359
419
463
523
593
643
701
761
827
883
953
1019
1069
1129
1213
1279
1321
1427
1481
1543
1601
1663
1733
1801
1877
1951
2017
2087
2143
2239
2297
2371
2423
2521
2593
2671
2713
2789
2851
2927
23
61
103
157
199
257
311
367
421
467
541
599
647
709
769
829
887
967
1021
1087
1151
1217
1283
1327
1429
1483
1549
1607
1667
1741
1811
1879
1973
2027
2089
2153
2243
2309
2377
2437
2531
2609
2677
2719
2791
2857
2939
14
Observações:
a) Todo número primo ímpar é da forma 4k + 1 ou 4k + 3 .
b) Todo número primo ímpar é da forma 6k + 1 ou 6k + 5 .
Justificativa: Seja a um número primo,
•
a ÷ 4 = 4k + r , assim a = 4k , a = 4k + 1, a = 4k + 2 ou a = 4k + 3 , como
a = 4k e a = 4k + 2 são números pares, então a é da forma 4k + 1 ou 4k + 3 .
•
a ÷ 6 = 6k + r , assim a = 6k , a = 6k + 1, a = 6k + 2, a = 6k + 3, a = 6k + 4
ou a = 6k + 5 , como a = 6k , a = 6k + 2 e a = 6k + 4 são números pares e
a = 6k + 3 é divisível por 3, então a é da forma 6k + 1 ou 6k + 5 .
Seqüências com Infinitos Números Primos
Teorema: A progressão 3, 7, 11,..., 4n+3,... contém infinitos primos.
Demonstração: É claro que o termo geral de nossa progressão também pode ser escrito como
4n-1. Seja 3, 7, 11,..., p a lista completa dos primos dessa progressão até p. Formamos o
número N = 4(3.7.11... p ) − 1 . É claro que N>p e também N não é divisível por dois ou por
qualquer dos primos 3, 7, 11,..., p. Se N for primo, então ele é um primo da forma 4n-1, que é
maior que p. Suponha que N não seja primo. Pela observação anterior, ele é um produto de
primos ímpares menores que N, que não pode incluir qualquer dos primos 3, 7, 11,...,p.
Observamos que todo primo ímpar é da forma 4n+1 ou 4n-1 e, como
(4m + 1)(4n + 1) = 4(4mn + m + n) + 1 ,
é claro que todo produto de números da forma 4n+1 é novamente dessa forma. Esses fatos
implicam que, na nossa situação presente, isto é, em que N é um produto de primos ímpares
que não pode incluir qualquer dos primos 3, 7, 11,..., p, deve ser verdadeiro que qualquer dos
fatores primos é da forma 4n-1, e, portanto, maior que p. Concluímos que em cada caso existe
um primo na progressão que é maior do que p, e isto completa a prova.
Teorema de Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): Se a e b são inteiros
positivos sem fator comum maior que 1, então a progressão aritmética a, a+b,
a+2b,...,a+nb,... contém infinitos números primos.
15
A prova de Dirichlet utilizou idéias e técnicas de análise avançada e abriu novas linhas
de pensamento na Teoria dos Números.
A Distribuição dos Números Primos
Existem 5 números primos entre 101 e 113, mas nenhum entre 114 e 126. Achamos 23
primos entre 1 e 100 e 21 primos entre 101 e 200; mas entre 8.401 e 8.500 existem apenas 8
primos, e estes estão amontoados no intervalo 8.418 e 8.460. E antes que se fique com uma
impressão errônea, deixe-me acrescentar que existem 13 primos entre 89.501 e 89.600.
Entre 1 e 10.000.000 encontramos 664.580 primos. Depois disso, dependemos de
teorias e fórmulas de aproximação.
Isso deixa aberta a possibilidade de haver concentrações de números primos em certos
lugares ou a ausência deles em outros. Essa ausência pode ser facilmente estabelecida, pelo
simples expediente de exibir intervalos arbitrariamente longos de números naturais nos quais
todos os números são compostos, nenhum é primo! Tais intervalos são as vezes chamados
desertos de números primos. Para exibi-los, comecemos por observar que, dado qualquer
número natural n, seu fatorial é divisível por todos os números 2, 3, ..., n − 1, n pois é
simplesmente o produto desses números. Então,
n!+ 2 é divisível por 2,
n!+ 3 é divisível por 3,
n!+ 4 é divisível por 4,
e assim por diante, até chegarmos a
n!+ n é divisível por n.
Em outras palavras, todos os números
n!+ 2, n!+ 3, n!+ 4, ..., n!+ n ,
são compostos. Nesse intervalo existem n − 1 números. Como n é arbitrário, podemos
escolhê-lo de forma a termos uma seqüência ininterrupta de números compostos, ou seja, um
deserto de números primos, tão longo quanto quisermos!
16
Exemplo: n = 6
6 != 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720
6 !+ 2 = 720 + 2 = 722 = 2 ⋅ 321
6 !+ 3 = 720 + 3 = 723 = 3 ⋅ 241
6 !+ 4 = 720 + 4 = 724 = 4 ⋅ 181
6 !+ 5 = 720 + 5 = 725 = 5 ⋅ 145
6 !+ 6 = 720 + 6 = 726 = 6 ⋅ 121
Ou seja, 722, 723, 724, 725, 726 são compostos.
A distribuição logarítmica
Muitas tentativas foram feitas para descobrir o n-ésimo
primo p n e para o exato número de primos entre os n inteiros
positivos. Todos esses esforços falharam e foi alcançado algum
progresso real apenas quando os matemáticos começaram a
procurar informações acerca da distribuição média dos primos
entre os inteiros positivos. É costume denotar por π (x) o
número de primos menor ou igual um número positivo x. Assim
π (1) = 0 , π (2) = 1 , π (3) = 2, π (4) = 2 , e π ( p n ) = n . Os
matemáticos Adrien-Marie Legendre (1752-1833) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855), cada
um a seu modo, estudaram essa função por meio de tabelas de primos, com o objetivo de
descobrir uma função simples que aproximasse π (x) com um erro relativo pequeno para x
grande. Mais precisamente, eles procuravam uma função f (x) com a propriedade de que
lim
x →0
 f ( x) 
f ( x) − π ( x)
= lim
− 1 = 0 .
x →∞ π ( x )
π ( x)


Isto é, tal que
lim
x →∞
f ( x)
=1
π ( x)
17
Baseado em suas observações eles conjecturaram que
ambas as funções
x
ln x
x
dt
ln t
2
e li ( x) = ∫
eram boas aproximações. A função li(x) é conhecida como a
integral logarítmica. A tabela seguinte mostra que sucesso têm
essas funções.
x
π (x)
10
4
4,34
8,5
10 2
25
21,71
13,16
10 3
168
144,76
13,83
178
10 4
1 229
1085,73
11,65
1246
10 5
9 592
8685,88
9,44
78 628
10 6
78 498
72382,41
7,79
664 918
10 7
664 579
620420,68
6,64
10 8
5 761 455
5428681,02
5,77
10 9
50 847 534
48254942,43
5,09
1010
455 052 012 434294481,9
4,56
x / ln x
% de erro
li(x)
Tanto Legendre como Gauss foram incapazes de provar suas conjecturas. Os primeiros
resultados solidamente estabelecidos nessa direção foram obtidos em torno de 1850, pelo
matemático russo Pafnutii L. Chebyshev (1821-1894), que mostrou as seguintes
desigualdades
π ( x) 9
7
<
<
8 x / ln x 8
são válidas para todo x suficientemente grande. Ele provou também que, se o limite
lim
x →∞
π ( x)
x / ln x
18
existe, então seu valor deve ser 1. O passo seguinte – grandioso – foi
dado por Bernhard Riemann (1826-1866) em 1859 num artigo
breve, de apenas 9 páginas, famoso por sua riqueza de idéias
profundas. Riemann, no entanto, simplesmente esboçou suas provas
e assim seu trabalho foi inconclusivo em diversos aspectos. O fim
dessa parte da história veio em 1896, quando Jacques Hadamard
(1865-1963) e Charles de la Vallée Poussin (1866-1962),
trabalhando independentemente mas baseados nas idéias de
Riemann, estabeleceram a existência desse limite e desse modo
completaram a prova do Teorema dos Números Primos:
lim
x →∞
π ( x)
= 1.
x / ln x
(1)
Essa lei relativamente simples é um dos fatos mais notáveis de toda a Matemática. Se
a escrevemos da forma:
π ( x) / x
= 1.
x →∞ 1 / ln x
lim
(2)
então ela admite a seguinte interpretação interessante em termos de probabilidade. Sendo n
um número inteiro positivo, então a razão π (n) / n é a proporção de primos entre os inteiros
1, 2,..., n; ou, de modo equivalente, é a probabilidade de ser primo um desses inteiros
escolhidos ao acaso. Podemos pensar em (2) como a afirmação de que essa probabilidade é
aproximadamente 1/ln n para n grandes.
Segue-se do Teorema dos Números Primos que o n-ésimo primo é aproximadamente
n.ln n, no sentido de que
pn
=1
n →∞ n. ln n
lim
(3)
Para provar usamos o fato de que π ( p n ) = n e inferimos de (1) que
lim
n →∞
pn
n
=1
= 1 ou lim
n →∞ n ln p
p n / ln p n
n
(4)
Tomando agora o logaritmo de (4) e usando a continuidade do logaritmo na forma
ln lim = lim ln , obtemos
lim(ln p n − ln n − ln ln p n ) = 0
n→∞
ou
19

ln n ln ln p n 
lim ln p n 1 −
−
 = 0.
ln p n 
 ln p n
n→∞
Isto implica que a expressão entre colchetes deve tender a 0, e como a terceira parcela
dela também tende a 0 [recordemos que (ln n) / n → 0 ], devemos ter
lim
n →∞
ln n
=1
ln p n
(5)
Com o auxilio de (5), obtemos de (4)
lim
n →∞
pn
pn
ln p n
= lim
⋅
= 1,
n
→
∞
n ln n
n ln p n ln n
o que termina a prova de (3).
É também interessante ver que o Teorema dos Números Primos é equivalente à
afirmação de que
π ( x)
= 1.
li ( x)
(6)
li ( x)
= 1;
x →∞ x / ln x
(7)
lim
x →∞
Para provar, basta mostrar que
lim
pois, se assim o for
lim
x →∞
π ( x)
π ( x) li( x )
π ( x)
= lim
⋅
= lim
.
x
x
→
∞
→
∞
x / ln x
li ( x ) x / ln x
li ( x)
Provemos (7). Integrando-se li(x) por partes, obtemos
x
x
dt
x
dt
2
li ( x) = ∫
=
−
+∫
.
ln t ln x ln 2 2 (ln t ) 2
2
(8)
Como 1 /(ln t ) 2 é positivo e decrescente para t > 1 , se x ≥ 4 temos
x
dt
=
2
2 (ln t )
0<∫
Dividindo membro a membro por
x
dt
∫2 (ln t ) 2 +
x
dt
∫ (ln t )
2
x
<
x −2 x− x
+
(ln 2) 2 (ln x ) 2
<
x
x− x
+
2
(ln 2)
(ln x ) 2
x
chegamos em
ln x
20
x
0<
dt
∫ (ln t )
2
2
x
ln x
<
ln x
x (ln 2)
2
+
4
ln x
Calculando o limite com x → ∞ e usando o Teorema do Confronto concluímos que
x
lim
x →∞
dt
∫ (ln t )
2
2
x / ln x
=0
(9).
Esse resultado mostra que as duas conjecturas de Legendre e Gauss foram confirmadas
quando o Teorema dos Números Primos foi finalmente provado.
O Teorema dos Números Primos como proposição envolvendo a função logarítmica e
um limite está obviamente relacionado à Análise. Esse fato é muito surpreendente em vista de
que os primos são objetos discretos e não têm aparentemente ligação com as funções
contínuas e processo de passagem a limite, que são a essência da Análise. Contudo, quase
todo trabalho significativo sobre o Teorema de Dirichlet e o Teorema dos Números Primos,
depende do instrumental analítico avançado de séries infinitas, de Teoria da Variável
Complexa, de transformadas de Fourier, etc. Conseqüentemente, essa parte da Matemática
tornou-se conhecida como Teoria Analítica dos Números.
21
Referências Bibliográficas
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Rio de Janeiro: IMPA, 2003, 213p.
DOMINGUES, H.H., Fundamentos de Aritmética,
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ÁVILA, G., Distribuição dos Números Primos,
Revista do Professor de Matemática 10, 19-26, Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 1991.
SIMMONS, G.F., Cálculo com Geometria Analítica,
vol 1, São Paulo: Mc Graw-Hill, 1987, 829p.
WATANABE, R.G., Uma Fórmula para os Números Primos,
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HONSBERGER, R., Mathematical Gems II. The Mathematical Association of America, 1976.
DANTZIG, T., Número: A Linguagem da Ciência,
Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1970, 283p.
22