uma experiência de ensino-aprendizagem - SBEM

UMA EXPERIÊNCIA DE ENSINO-APRENDIZAGEM UTILIZANDO O
WINPLOT NA ABORDAGEM DE GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL
Stefane Layana Gaffuri
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
[email protected]
Renato Hallal
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
[email protected]
Liliane Hellmann
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
[email protected]
Resumo
O presente trabalho apresenta a utilização do software Winplot como apoio no ensino-aprendizagem de
Cálculo Diferencial e Integral. O objetivo é promover uma reflexão sobre as possibilidades
pedagógicas da utilização deste software, particularmente através da exploração dos seus recursos de
animação gráfica. Durante o estudo, verificou-se que, o Winplot facilita a construção dos conceitos
estudados através da visualização dos gráficos e curvas de níveis. O trabalho é de natureza aplicada,
desenvolvido através de uma abordagem qualitativa.
Palavras-chave: Ensino-Aprendizagem. Cálculo. Winplot.
Introdução
As disciplinas de matemática são consideradas pelos alunos, mesmo por aqueles que
frequentam cursos da área das ciências exatas, como as mais difíceis de suas grades
curriculares. E, como consequência disso, são as que geram maiores índices de reprovação.
Há diversos estudos que buscam entender as razões dessa dificuldade e, ao mesmo tempo,
encontrar alternativas que possam contribuir para a aprendizagem dos conteúdos estudados
nessas disciplinas, particularmente, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral (CURY,
2006; FERREIRA & BRUMATTI, 2009 e SILVA & FERREIRA, 2009).
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No contexto dessa emergência, pode-se considerar que as Tecnologias de Informação
e Comunicação (TICs) tornam-se elementos essenciais nas relações de produção e de
trabalho.
Na Educação, gerir o conhecimento da área é fundamental para que possamos evoluir
em termos técnicos e científicos. Em outros termos: gerir os saberes, tácitos e explícitos, do
capital intelectual da área é potencializar o seu desenvolvimento. Não podemos conceber, no
atual estágio de desenvolvimento tecnológico e científico da sociedade, profissionais que não
percebam o impacto e as oportunidades da Tecnologia da Informação e Comunicação na
Educação.
Recentemente, vem sendo desenvolvidas diversas pesquisas que analisam as
implicações da inserção das Tecnologias de Informação e Comunicação no ensino da
Matemática. Várias pesquisas sobre sua utilização vêm sendo realizadas, dentre as quais
destacam-se os trabalhos de Allevato (2005; 2008; 2010), Borba & Villareal (2005), Braga &
Paula (2010), Jesus (2005) e Borba & Penteado (2001). Esses autores concordam que o uso de
softwares computacionais possibilitam uma inovação no ensino, pois, são considerados uma
ferramenta auxiliar na construção de conceitos e aplicações relacionados ao ensino de
matemática.
Dentre essas ferramentas, fazendo da informação e comunicação um elemento
importante na Educação, destacam-se os softwares: winplot, matlab, geogebra, maple,
cabri3D, entre outros. Especificamente, daremos ênfase ao winplot, tema central deste artigo.
Este relato tem por objetivo, apresentar uma alternativa para o estudo de funções de
duas variáveis, no âmbito da Educação Matemática, com a utilização do software Winplot.
Para isso, foram exploradas as possibilidades de representação gráfica de funções, permitindo
melhor visualização, argumentação e compreensão sobre o mesmo. Nessa perspectiva, este
trabalho descreve uma intervenção pedagógica no contexto da disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral II, cujos participantes foram os alunos dos cursos de Engenharia da
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campus Francisco Beltrão.
A importância do computador no ensino de matemática
A utilização da tecnologia, especialmente a do computador, pode ser encarada como
uma colaboradora em sala de aula, pois, permite tratar de problemas diversos que envolvem
diferentes níveis de complexidade algébrica e grande quantidade de dados. Ela é facilitadora,
já que, ao possibilitar uma ampla visualização de imagens, contribui tanto para a melhor
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aprendizagem de conceitos, quanto para aplicações da Matemática. Além disso, o
uso
do
computador pode colaborar para suprir as exigências do mercado de trabalho, que requer cada
vez mais profissionais, com uma formação generalista, crítica e reflexiva.
Silva & Ferreira (2009), reconhecem que, a utilização do computador com a finalidade
de explorar ideias matemáticas, pode provocar uma mudança no ambiente da sala de aula. Isto
é, ao invés de um ensino centrado no professor, os alunos são levados a refletir sobre as
informações recebidas, já que o computador pode ser considerado como um meio de aprender
fazendo, pensando e argumentando, de forma que a interação seja o ponto chave.
Borba e Villarreal (2005) apresentam um amplo estudo sobre a utilização da
tecnologia em sala de aula, destacando a importância da visualização. Porém, os autores
chamam a atenção para o cuidado em que se deve ter ao utilizar o ambiente computacional,
visto que os alunos criam conflitos entre os conceitos e a abordagem visual proporcionada
pelo computador. Durante a pesquisa, muitas vezes os alunos recorriam ao lápis e papel para
resolver tais dificuldades. No entanto, a visualização sugeriu questionamentos, e, a partir
disso foi possível rever os conceitos de maneira mais ampla.
De acordo com isso, Allevato diz
(...) O computador privilegia o pensamento visual sem, contudo, implicar na
eliminação do algébrico. No Cálculo pode-se empregar informações gráficas
para resolver questões que também podem ser abordadas algebricamente e
relacioná-las. (...) Além disso, a abordagem visual tem demonstrado facilitar
a formulação de conjecturas, refutações, explicações de conceitos e
resultados, dando espaço, portanto, à reflexão. (ALLEVATO, 2008, p. 2)
É importante salientar que, o uso do computador, tem por objetivo a integração deste
no processo de ensino-aprendizagem dos conceitos curriculares em todas as modalidades e
níveis de ensino, podendo desempenhar um papel de facilitador entre o aluno e a construção
do conhecimento.
Além disso, segundo Borba (2002), a utilização do computador possibilita que
argumentos visuais sejam utilizados com mais frequência. Concordamos com o autor e
destacamos que a tecnologia é essencial no processo da visualização, e essa, por sua vez,
ocupa um papel fundamental na compreensão de conteúdos matemáticos, principalmente no
estudo de funções. Nesse sentido Borba (2002) ressalta que o “aspecto visual ou estético” é
importante em conteúdos matemáticos como interpretação de gráficos de funções, pois
favorecem experimentações e aproximam os alunos da matemática.
Além desses fatores, Borba e Penteado (2001) destacam o enfoque experimental que o
computador possibilita: "o enfoque experimental explora ao máximo as possibilidades de
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rápido feedback das mídias informáticas e a facilidade de geração de inúmeros gráficos,
tabelas e expressões algébricas" (p. 43). A partir da experimentação e investigação, os alunos
formulam, reformulam e rejeitam hipóteses; lançam novas questões e apresentam dúvidas em
contextos não previstos pelo professor e que, talvez, não surgiriam em outro ambiente.
Braga e Paula também enfatizam a importância do uso das tecnologias
“Tornar a aprendizagem um processo dinâmico em que a experimentação, o
levantamento de hipóteses, a busca por conjecturas e pela validação do
percebido podem levar o aluno a construir um modo de pensar matemática
que lhe seja significativo. (...) Esse é um dos caminhos possíveis para
desenvolver a autonomia, e tornar o aprendiz sujeito ativo e responsável pela
construção do seu conhecimento. A participação ativa do aluno pode ser
favorecida pelas tecnologias informática. Assim, as tecnologias da
informação e comunicação podem proporcionar novas formas de
aprendizagem, modificando as relações entre professores e alunos, ou entre
alunos e alunos e entre alunos e conhecimento”. (BRAGA e PAULA, 2010,
p.6-7)
A utilização dos recursos computacionais ocupa uma posição central atualmente, e,
por isso, é importante refletir sobre as mudanças educacionais provocadas por essas
tecnologias, propondo novas práticas docentes e buscando proporcionar experiências de
aprendizagem significativas para os alunos.
Diante deste contexto, esta experiência pretende favorecer o ensino-aprendizagem de
conceitos matemáticos por intermédio da visualização gráfica do software Winplot, podendo
auxiliar na visualização e experimentação do discente, bem como, estimular o docente em sua
prática pedagógica.
O Winplot
O software Winplot é um programa de domínio público, ou seja, é distribuído
gratuitamente
e
pode
ser
obtido
via
internet
através
do
endereço
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html. Deste modo, pode ser utilizado sem restrições em
escolas e em computadores individuais. Sua versão original (em língua inglesa) foi
desenvolvida por Richard Parris, da Phillips Exeter Academy (USA).
É um programa para plotagem de gráficos (2D e 3D). É de fácil utilização, pois,
dispensa o conhecimento de qualquer linguagem de programação, além de utilizar pouca
memória do computador. Dispõe de muitos recursos que o torna um programa atraente,
poderoso, e apropriado tanto ao nível médio como superior de ensino, uma vez que está
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voltado ao estudo de funções de uma ou mais variáveis, equações diferenciais e outros
conteúdos matemáticos.
Atividades desenvolvidas
Em nossa experiência, utilizamos o Winplot no ensino de Cálculo Diferencial e
Integral, para investigar se, esse recurso facilita a construção do conceito de funções de duas
variáveis, principalmente o conceito visual, isto é, a construção de gráficos e curvas de nível.
Além disso, buscamos relacionar as múltiplas representações desse conteúdo, isto é, verificar
as possibilidades de representação algébrica, numérica e gráfica que o computador oferece.
Nessa perspectiva, este trabalho descreve uma intervenção pedagógica no contexto da
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II, cujos participantes foram os alunos dos cursos
de Engenharia da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR). Para análise dessa
experiência, utilizamos como instrumento de coleta de dados a observação participante, com o
registro dos principais pontos discutidos, da reação dos alunos e suas respostas às atividades e
ao questionário propostos.
Após a explanação da teoria, os alunos foram levados ao laboratório de informática e
lhes foi apresentado o software Winplot. O primeiro contato teve como intuito explorar a
ferramenta e verificar a digitação de funções de forma explícita.
Apresentamos, a seguir, as atividades propostas aos alunos da disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral II no processo de ensino-aprendizagem de funções de várias variáveis.
Essas atividades foram adaptadas da proposta de ensino construída por Miranda (2010).
Atividade 1
O objetivo dessa atividade, de cunho investigativo, foi o de verificar a compreensão de
determinadas superfícies em R³ e das relações existentes entre elas e suas expressões
algébricas, afim de unir, a representação algébrica e gráfica. Após a resolução pedimos aos
alunos que utilizassem o software Winplot para verificar suas respostas e analisarem as
relações existentes.
1) Associe cada função ao seu gráfico nas figuras abaixo. Após a associação, faça a
construção dos gráficos utilizando o software Winplot e verifique suas respostas.
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a) f(x,y) = y³ - x²
b) f(x,y) =
d) f(x,y) =
e) f(x,y) = ln (x² + y²)
+
+ x²
c) f(x,y) =
f) f(x,y) = sen
+ x² - 2y²
+
)
g) f(x,y) = 2y³ - 3y² - 12y + x²
Inicialmente, sem a utilização do software, os estudantes tiveram dificuldade em
associar as expressões algébricas a seus gráficos. Então, sugerirmos que eles utilizassem o
Winplot, e construíssem os gráficos. E, em seguida fizessem a associação com as expressões
algébricas e seus primeiros resultados. Além disso, durante as construções, os alunos foram
incentivados a visualizar domínio e imagem de cada função, fazendo associação com a teoria
estudada anteriormente.
Ao propor que os alunos construíssem seus próprios gráficos, constatamos que o
processo de ensino-aprendizagem tornou-se dinâmico e interativo, conforme Allevato (2010).
No entanto vale ressaltar que apesar da vantagem visual do software, é necessário estarmos
atentos às atividades de forma mais ampla, isto é, na apreensão dos conteúdos, afim de que o
aluno consiga relacionar os conceitos algébricos às representações gráficas, fazendo um elo
entre os dois.
Atividade 2
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De maneira análoga a atividade 1, pedimos que os alunos utilizassem sua noção
intuitiva e tentassem relacionar os gráficos à suas respectivas curvas níveis. Em seguida, foi
solicitado que os alunos utilizassem o software Winplot para se certificar de suas respostas.
2) Associe cada superfície as suas curvas de nível. Após a associação, faça a
construção dos gráficos utilizando o software Winplot e verifique suas respostas.
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Notamos dificuldades análogas às da atividade 1. Atentamos para as respostas dos
alunos as questões F e H (alternativas que apresentavam o formato das superfícies e curvas de
nível similares). Com isso, tínhamos o objetivo de levar o aluno a deduzir diferenças e
peculiaridades entre elas.
Após as atividades, aplicamos um questionário afim de saber a opinião dos estudantes
sobre as possíveis contribuições que o software Winplot proporcionou à compreensão e estudo
de gráficos em R³ e curvas de nível. Também, buscamos compreender as estratégias utilizadas
durante a realização das atividades.
É interessante salientar que, os alunos apreciaram a metodologia. Abaixo algumas
considerações feitas por eles:
“Com o Winplot consegui visualizar com precisão o gráfico e o seu domínio. Se obtém uma
visão melhor da função quando movimentamos o gráfico e alteramos os pontos do domínio.”
(Loreni)
“Com a ajuda do Winplot, conseguimos enxergar corretamente e claramente a forma do
gráfico e suas curvas de nível, o que fica difícil ao esboçar o gráfico a mão. É uma maneira
fácil de construir os gráficos.” (Aline)
“Achei bem interessante, já que não conhecia o software. Ajudou muito no entendimento.”
(Izadora)
“As atividades desenvolvidas em laboratório foi de grande valia para o melhor entendimento
do conteúdo. O software possibilitou a construção e visualização dos gráficos e curvas de
nível, o qual seria praticamente impossível construir a mão.” (Vinicius)
“O software possibilitou o entendimento da relação função (algébrica)  gráfico e gráfico
 curvas de nível.” (Helen)
“Com a ajuda do software, eu consegui visualizar de forma clara os gráficos e perceber
como cada função se comporta geometricamente e não somente algebricamente”. (Danieli)
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“Atividades como esta ajudam na compreensão do conteúdo, principalmente na visualização.
Atividades como estas devem sempre que possível serem usadas.” (Mariana)
De acordo com as observações em sala de aula e as respostas dos alunos ao
questionário, percebemos que as atividades desenvolvidas favoreceram o ensinoaprendizagem, principalmente na visualização dos gráficos e curvas de nível de funções de
duas variáveis.
Notamos também que, o computador oferece a conexão da representação algébrica,
numérica e gráfica de funções. Isso está de acordo com Allevato,
“(...) o computador oferece, as coordenações dessas representações e a
compreensão das relações que as vinculam permitem ao aluno conectar
conhecimentos que, de outra forma, permaneceriam separados, porém, se
conectados, geram compreensões matemáticas mais amplas e completas.”
(ALLEVATO, 2010, p. 113)
Considerações finais
Na perspectiva dos educandos que vivenciaram essa experiência, podemos afirmar
que, a maioria deles acreditam que o uso do Winplot auxiliou na aprendizagem dos conceitos
abordados, pois permitiu a visualização do conceito gráfico de funções de duas variáveis.
Notamos, também, que o elemento visualização, fator preponderante no uso do
computador, pode estimular o aluno a fazer experimentações, quando do uso virtual de um
software educativo. Ademais, a utilização da tecnologia está modificando as formas de se
ensinar o que leva a novas formas de se aprender.
Acreditamos que a interação com o programa, pode auxiliar os docentes a
desenvolver, junto com os discentes, melhores formas de compreender e visualizar os
conceitos de funções de duas variáveis, tais como domínio, imagem, gráficos e curvas de
nível.
Além disso, sugerimos que cursos de capacitação com profissionais que já utilizam
esse recurso em aulas de Cálculo sejam realizados, visto que é de grande importância que os
docentes desta disciplina conheçam a ferramenta e a utilizem em sala de aula.
Dessa maneira, o processo de ensino-aprendizagem pode torna-se mais dinâmico,
interativo e criativo, estimulando o interesse dos alunos pelos conteúdos, e consequentemente,
pela Matemática. Assim, ameniza-se dificuldades e melhora-se o aproveitamento da disciplina
de Cálculo Diferencial e Integral.
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Esperamos, com esse relato, que mais educadores busquem novos recursos e
atividades com o uso de tecnologias na educação, enriquecendo o ensino-aprendizagem de
Matemática.
Referências
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