11aLista de Exercícios - Rolamento, torque e momento angular

11 Lista de Exercícios - Rolamento, torque e momento
angular
a
1. (Halliday 12.13P1 ) Uma bolinha de gude sólida de massa m e raio r (I = 2mr2 /5) rola
sem deslizar sobre o trilho mostrado na figura abaixo, tendo partido do repouso de
algum ponto do trecho retilíneo do trilho, situado a uma altura h. (a) Qual o valor
mínimo de h para que a bolinha atinja o ponto mais alto da curva sem perder contacto
com o trilho (considere que r pode ser desprezado em comparação com h e R)? (b) Se
a bolinha for solta de uma altura h = 6R, qual será a normal no ponto Q?
[Respostas: a) h = 2, 7 R; b) N = 50 gm/7]
2. (Halliday 12.14P) Um cilindro sólido, de raio R = 10 cm e massa M = 12 kg parte
do repouso e rola sem deslizar uma distância D = 6 m de cima do telhado de uma
casa, cuja inclinação é θ = 30o (ver figura abaixo). (a) Quais is valores da velocidade
angular do cilindro em torno de seu eixo quando ele sai do telhado (ω 1 ) e quando ele
atinge o solo (ω 2 )? (b) A parede externa do telhado tem uma altura h = 5 m. A que
distância de beira do telhado o cilindro atinge o solo? (Dado: o momento de inércia
do cilindro é I = M R2 /2)
[Respostas: a) ω 1 = ω 2 = 62, 6 rad/s; b) d = 4, 0 m]
3. (Moysés 12.14) Uma roda cilíndrica homogênea de raio R e massa M rola sem deslizar
sobre um plano horizontal, deslocando-se com velocidade constante v até encontrar um
plano inclinado, que forma um ângulo θ com a horizontal. Ela continua seu movimento
subindo este plano sem deslizar até atingir uma altura máxima H, e depois desce
rolando no sentido oposto. (a) Calcule H. (b) determine os valores das forças de
atrito no trecho horizontal e no plano inclinado. Assuma que a raio da roda pode ser
desprezado em comparação com H (H >> R) .
[Respostas: a) h = 3v2 /4g; b) fat = M g sin θ/3 (no sentido de subida da rampa)]
4. (Halliday 12.65P) Duas bolas de 2,00 kg cada são presas às extremidades de uma barra
fina de massa desprezível, com 50 cm de comprimento. A barra pode girar livremente,
sem atrito, em um plano vertical, em torno de um eixo horizontal que passa pelo
seu centro. Enquando a barra está parada na horizontal, uma bolota de massa de
vidraceiro de 50,0 g cai sobre uma das bolas com velocidade de 3,0 m/s e fica grudada
nela. (a) Qual a velocidade angular do sistema logo após a massa de vidraceiro grudar
na bola? (b) Qual é a razão entre a energia cinética do sistema inteiro logo após
a colisão e a energia cinética da bolota imediatamente antes da colisão? (c) Qual o
ângulo que o sistema irá girar até parar temporariamente?
[Respostas: a) ω = 0, 148 rad/s; b) E2 /E1 = m/(2M + m) = 0, 0123; c) θ = 181, 3o ]
5. (Halliday 12.61P) Uma barata de massa m se desloca sobre a borda de um prato giratório
(prato circular montado sobre um eixo vertical) de raio R e momento de inércia I,
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Halliday significa a 4a edição de Fundamentos de Física - vol I, de Halliday, Resnick e Walker.
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montado sobre mancais sem atrito. A velocidade da barata (em relação ao solo) é
v, no sentido anti-horário, enquanto o prato gira no sentido horário com velocidade
angular ω o. Ela então encontra um pedaço de pão sobre o prato e para (em relação a
ele). (a) Qual a nova velocidade angular do prato neste instante? (b) Mostre que neste
processo a energia mecânica diminuiu. Explique a origem desta variação.
[Respostas: a) ω = (mvR − Iω 0 ) / (I + mR2 );
b) ∆E = − (mv2 /2) (1 + ω 0 R/v)2 / (1 + mR2 /I) (trab. negativo da fat )]
6. (Moysés 12.13) Uma haste metálica delgada de comprimento d e massa M pode girar
livremente em torno de um eixo horizontal que a atravessa perpendicularmente, à
distância d/4 de uma de suas extremidades (ver figura abaixo). A haste é solta a
partir do repouso, na posição horizontal. (a) Calcule o momento de inércia I da haste
com respeito ao eixo em torno do qual ela gira. (b) Calcule a velocidade angular ω
adquirida pela haste após ter caído de um ângulo θ, bem com a aceleração angular α.
[Respostas: a) I = 7M d2 /48; b) ω = 24g sin(θ)/7d, α = 12g cos(θ)/7d]
7. (Halliday 12.59P) Duas crianças, cada uma de massa M , sentam-se nos extremos opostos
de uma prancha estreita (considere-a como uma haste fina) de comprimento L e massa
M (igual às das crianças). A prancha é pivotada no centro e pode girar livremente
sem atrito, em uma circunferência horizontal. (a) Qual o momento de inércia do
sistema formado pela prancha e pelas crianças, em torno do eixo vertical que passa
pelo centro da prancha? (b) Qual o momento angular do sistema (módulo, direção
e sentido) quando ele roda com velocidade angular ω o em sentido horário (visto de
cima)? (c) Enquanto o sistema está rodando, as crianças se arrastam na prancha em
direção ao seu centro, até ficarem na metade da distância que tinham inicialmente.
Qual a nova velocidade angular (em termos de ω o )? (d) Qual a mudança sofrida pela
energia cinética do sistema como resultado desta mudança de posição? (de onde vem
esta energia adicional?)
[Respostas: a) I = 7M L2 /12; b) l = − (7M L2 ω 0 /12) k̂; c) ω ′ = 14ω 0 /5;
d) ∆E = 21M L2 ω 20 /40 (trabalho da fat )]
8. (Halliday - questionário 12.10 - modificada) Um carretel de massa M e momento de
inércia total I é formado por dois discos de raio R e um cilindro central de raio r.
A linha é então puxada por uma força F em um ângulo θ, como indicado na figura.
(a) Obtenha expressões para a aceleração a e para a força de atrito fat em função
de M, I, F, R, r e θ. (b) Mostre que para θ < θ0 = cos−1 (r/R) o carretel se move no
sentido da projeção x de F (a linha enrola) enquanto para θ > θ0 acontece o contrário
(a linha desenrola). O que acontece quando θ = θ0 ?
[Respostas: a) a = (F/M ) [M R2 / (I + M R2 )] (cos θ − r/R),
fat = F (I cos θ + M rR) / (I + MR2 ) ; b) sinal de a ; θ = θ 0 → fica parado]
9. (2a prova - 1999/1)Uma roda é formada por uma anel de massa M1 e raio R e uma barra
delgada de massa M2 , atravessada diametralmente sobre o anel. Junto ao centro O da
barra estão presos dois objetos de massa m, de dimensões desprezíveis, como indicado
na figura abaixo. Inicialmente, a roda gira em torno de um eixo perpendicular a ela
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passando pelo seu centro, com velocidade angular ω o . Os objetos então deslizam sobre
a barra até chegarem ao anel. (a) Determine a velocidade angular resultante ω em
função de m, ω o , R e do momento de inércia da roda, I. (b) Calcule I em função
de R e das massas M1 e M2 . (c) Um freio é então acionado, de modo que o atrito
produz sobre a roda uma força tangencial F . Determine o deslocamento angular da
roda entre o instante em que o freio começa atuar e o em que ela para. Dê o resultado
em função da velocidade angular ω e do momento de inércia I ′ , que o sistema tem
quando as massas m estão na posição final.
[Respostas: a) ω = Iω 0 / (I + 2mr2 ), b) I = R2 (M1 + M2 /3) ; c) ∆θ = I ′ ω 2 /2F R]
10. (Moysés 12.11) Uma fita métrica é formada por um disco com massa m e raio r no
qual é enrolada uma fita de massa desprezível. A extremidade livre da fita é presa no
teto e o disco é solto a partir do repouso. (a) Calcule a aceleração linear do centro
de massa da fita métrica. (b) Calcule sua velocidade depois que um comprimento s da
fita desenrolou (verifique a conservação de energia).
[Respostas: a) a = 2g/3 (para baixo); b) v = 4sg/3]
3
m,r
D
h
O
R
θ
Q
h
d
Problema 2
Problema 1
F
θ
3d/4
θ
R
Problema 6
Problema 8
Problema 9
Freio
M
r
d/4
O
M2
m
m
R
M1
ωo
4